加乘原理综合应用题库.doc

1、7-3.加乘原理综合应用.题库 教师版 page 1 of 22加乘原理综合运用知识框架图7-3-1 简单加乘原理综合运用7-3-2 加乘原理与数字问题7 计数综合 7-3 加乘原理综合运用7-3-3 加乘原理与图论教学目标1.复 习乘法原理和加法原理；2.培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力3.让 学生懂得并运用加法、乘法原理来解决 问题，掌握常 见的计数方法，会使用 这些方法解决问题在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中 结合分类讨论 ；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步并了解与加、乘原理相关的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合知识要点一、加乘原理概念生活中常有这样的情况：

2、在做一件事时，有几 类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这 几类方法是互不影响的那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决二、加乘原理应用应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一 类中的任何一种方法都能完成任 务，所以完成任 务的不同方法数等于各类方法数之和乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积在很多题

3、目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一 类 中的任何一种方法都能完成任务， 这样的问题可以使用加法原理解决我们 可以简记为：“ 加法分类，类类 独立”7-3.加乘原理综合应用.题库 教师版 page 2 of 22乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决我们可以简记为： “乘法分步，步步相关 ”例题精讲模块一、简单加乘原理综合应用【例 1】 商店里有 2 种巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有 2

4、 种水果糖：苹果味、梨味、橙味小明想买一些糖送给他的小朋友如果小明只买一种糖，他有几种选法？如果小明想买水果糖、巧克力糖各 种，他有几种选法？（2 级）1【 小明只买一种糖，完成 这件事一步即可完成，有两类办法：第一类是从 种巧克力糖中选一种 2有 种 办 法 ；第 二 类 是 从 种 水 果 糖 中 选 一 种 ，有 种 办 法 因 此 ，小 明 有 种 选 糖 的 方 法 23335小明完成这件事要分两步，每步分 别有 种、 种方法，因此有 种方法6【例 2】 从北京到广州可以选择直达的飞机和火车，也可以选择中途在上海或者武汉作停留，已知北京到上海、武汉和上海、武汉到广州除了有飞机和火车两

5、种交通方式外还有汽车问，从北京到广州一共有多少种交通方式供选择？（2 级）【 从北京转道上海到广州一共有 种方法，从北京转道武汉到广州一共也有 种方法供选39 39择，从北京直接去广州有 2 种方法，所以一共有 种方法920【例 3】 从学而思学校到王明家有 3 条路可走，从王明家到张老师家有 2 条路可走，从学而思学校到张老师家有 3 条路可走，那么从学而思学校到张老师家共有多少种走法？（2 级）【 根据乘法原理， 经过 王明家到张老师家的走法一共有 种方法，从学而思学校直接去 张老师家326一共有 3 条路可走，根据加法原理，一共有 种走法69【巩固】 如下图，从甲地到乙地有 2 条路，从

6、乙地到丙地有 4 条路，从甲地到丁地有 3 条路可走，从丁地到丙地也有 3 条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？（2 级）7-3.加乘原理综合应用.题库 教师版 page 3 of 22【 【 从甲地到丙地有两种方法：第一类，从甲地 经过乙地到丙地，根据乘法原理，走法一共有 种方428法， ；第二类，从甲地经过丁地到丙地，一共有 种方法根据加法原理，一共有 种走39917法【巩固】 王老师从重庆到南京，他可以乘飞机、汽车直接到达，也可以先到武汉，再由武汉到南京他从重庆到武汉可乘船，也可乘火车；又从武汉到南京可以乘船、火车或者飞机，如图那么王老师从重庆到南京有多少种不同走法呢？（2 级）【

7、 从重庆到南京的走法有两类：第一类从重庆经过武汉去南京，根据乘法原理，有 (种)走法；第236二类不经过武汉，有 2 种走法根据加法原理，从重 庆到南京一共有 种不同走法68【例 4】 如下图，八面体有 12 条棱，6 个顶点一只蚂蚁从顶点 出发，沿棱爬行，要求恰好经过每一个A顶点一次问共有多少种不同的走法？（6 级）FEDCBA【 走完 6 个顶点，有 5 个步骤，可分为两大类：第二次走 点：就是意味着从 点出发，我 们要先走 ， ， ， 中间的一点，再经过 点，但之CAFDEBC后只能走 ， 点，最后选择后面两点DB有 种(从 到 的话，是不能到 的)；4128FCE第二次不走 ：有 种(

8、同理， 不能到 )；42132共计： 种30【例 5】 如果从 3 本不同的语文书、4 本不同的数学书、5 本不同的外语书中选取 2 本不同学科的书阅读，那么共有多少种不同的选择？（4 级）7-3.加乘原理综合应用.题库 教师版 page 4 of 22【 因为强调 2 本书来自不同的学科，所以共有三种情况：来自 语文、数学： 34=12；来自语文、外语：35=15；来自数学、外语：45=20；所以共有 121520=47【例 6】 某条铁路线上，包括起点和终点在内原来共有 7 个车站，现在新增了 3 个车站，铁路上两站之间往返的车票不一样，那么，这样需要增加多少种不同的车票？（6 级）【 1

9、、新站为起点，旧站为终点有 37=21 张，2、旧站为起点，新站 为终点有 73=21 张，3、起点、终点均为新站有 32=6 张，以上共有 21216=48 张 【例 7】 某件工作需要钳工 2 人和电工 2 人共同完成现有钳工 3 人、电工 3 人，另有 1 人钳工、电工都会从 7 人中挑选 4 人完成这项工作，共有多少种方法？（6 级）【 分两类情况讨论：都会的这 1 人被挑选中，则 有：如果 这人做 钳工的话，则再按乘法原理，先 选一名钳工有 3 种方法，再选 2 名电工也有 3 种方法；所以有 种方法；39同样 ，这人做电工，也有 9 种方法都会的这一人没有被挑选，则从 3 名钳工中

10、选 2 人，有 3 种方法；从 3 名电工中选 2 人，也有 3 种方法，一共有 种方法所以，根据加法原理，一共有 种方法7【例 8】 某信号兵用红，黄，蓝，绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号每次可挂一面，二面或三面，并且不同的顺序，不同的位置表示不同的信号一共可以表示出多少种不同的信号？（6 级）【 由于每次可挂一面、二面或三面旗子，我 们可以根据旗杆上旗子的面数分三类考虑：第 三 类第 二 类第 一 类第一类，可以从四种颜色中任 选一种，有 4 种表示法；第二类，要分两步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有 4 种选法；第二步，第二面旗子可从剩下的三种中选一

11、种，有 3 种选法根据乘法原理，共有 种表示法；312第三类，要分三步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有 4 种选法；第二步，第二面旗子可从剩下的三种中选一种，有 3 种选法；第三步，第三面旗子可从剩下的两种颜色中选一种，有2 种选法根据乘法原理，共有 种表示法42根据加法原理，一共可以表示出 种不同的信号140【巩固】 五面五种颜色的小旗，任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？（6 级）【 分 3 种情况：取出一面，有 5 种信号；取出两面：可以表示 种信号；420取出三面：可以表示： 种信号；36由加法原理，一共可以表示： 种信号58

12、57-3.加乘原理综合应用.题库 教师版 page 5 of 22【例 9】 五种颜色不同的信号旗，各有 5 面，任意取出三面排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？（6 级）【 方法一：取出的 3 面旗子，可以是一种 颜色、两种颜色、三种颜色，应按此进行分类 一种颜色： 5 种可能； 两种颜色： 460（ 三种颜色： 3所以，一共可以表示 种不同的信号5125方法二：每一个位置都有 5 种颜色可选，所以共有 种512【 巩 固 】 红 、 黄 、 蓝 、 白 四 种 颜 色 不 同 的 小 旗 ， 各 有 2， 2， 3， 3 面 ， 任 意 取 出 三 面 按 顺 序 排

13、成 一 行 ， 表 示 一种 信 号 ， 问 ： 共 可 以 表 示 多 少 种 不 同 的 信 号 ？ 如 果 白 旗 不 能 打 头 又 有 多 少 种 ？ （6 级）【 (一)取出的 3 面旗子，可以是一种 颜色、两种 颜色、三种颜色，应按此进行分类第一类，一种颜色：都是蓝色的或者都是白色的，2 种可能；第二类，两种颜色： (4)36第三类，三种颜色： 2所以，根据加法原理，一共可以表示 种不同的信号246(二)白棋打头的信号，后两面旗有 种情况所以白棋不打头的信号有 种1 6214【例 10】 (2008 年清华附中考题)小红和小明举行象棋比赛，按比赛规定，谁先胜头两局谁赢，如果没有胜

14、头两局，谁先胜三局谁赢共有 种可能的情况 （6 级）【 小红和小明如果有谁胜了头两局， 则胜者赢，此时共 2 种情况；如果没有人胜头两局，即头两局中两人各胜一局， 则最少再进行两局、最多再进行三局，必有一人胜三局，如果只需再进行两局，则这两局的胜者为同一人， 对此共有 种情况；如果还需进 行三局， 则后三局中有一人胜两局，另一24人只胜一局，且 这一局不能为 最后一局，只能为第三局或第四局，此时共有 种情况，所以28共有 种情况2481【例 11】 （2009 年“数学解题能力展示”中年级复赛试题）过年了，妈妈买了 7 件不同的礼物，要送给亲朋好友的 5 个孩子每人一件其中姐姐的儿子小强想从智

15、力拼图和遥控汽车中选一个，朋友的女儿小玉想从学习机和遥控汽车中选一件那么，妈妈送出这 5 件礼物共有 种方法 （6级）【 若将遥控汽车给小强， 则学习机要给小玉，此时另外 3 个孩子在剩余 5 件礼物中任选 3 件，有种方法；若将遥控车给小玉，则智力拼图要给 小强，此 时也有 60 种方法；若遥控车既不54360给小强、也不 给小玉，则智力拼图要给小强，学 习机要给小玉，此时仍然有 60 种方法所以共有种方法18【例 12】 有 3 所学校共订 300 份中国少年报，每所学校订了至少 98 份，至多 102 份问：一共有多少种不同的订法？（6 级）【 可以分三种情况来考虑：3 所学校订的报纸数

16、量互不相同，有 98，100，102；99，100，101 两种组合，每种 组各有 种不36P同的排列，此时有 种订法6217-3.加乘原理综合应用.题库 教师版 page 6 of 223 所学校订的报纸数量有 2 所相同，有 98，101，101；99，99，102 两种组合，每种 组各有 3 种不同的排列，此时有 种订法363 所学校订的报纸数量都相同，只有 100，100，100 一种订法由加法原理，不同的订法一共有 种169【例 13】 玩具厂生产一种玩具棒，共 节，用红、黄、蓝三种颜色给每节涂色这家厂共可生产_4种颜色不同的玩具棒 （8 级）【 每 节 有 种 涂 法 ，共 有 涂

17、 法 (种 )但 上 述 种 涂 法 中 ，有 些 涂 法 属 于 重 复 计 算 ，这 是 因338181为 有 些 游 戏 棒 倒 过 来 放 时 的 颜 色 与 顺 着 放 时 的 颜 色 一 样 ，却 被 我 们 当 做 两 种 颜 色 计 算 了 两 次 可以发现只有游戏棒的颜色关于中点对称时才没有被重复计算，关于中点对称的游戏棒有(种)故玩具棒最多有 种不同的 颜色19(9)245【例 14】 奥苏旺大陆上的居民使用的文字非常独特，他们文字的每个单词都由 个字母 、 、 、 、5abcd组成，并且所有的单词都有着如下的规律，字母 不打头，单词中每个字母 后边必然紧 跟e e着字母

18、， 和 不会出现在同一个字母之中，那么由四个字母构成的单词一共有多少种？（8bcd级）【 分为三种：第一种：有两个 的情况只有 1 种aab第二种，有一个 的情况，又分 3 类第一类，在第一个位置，则 在第二个位置，后边的排列有 种，减去 、 同时出现的两种，416cd总共有 14 种，第二类，在第二个位置，则 在第三个位置，总共有 种.b320第三类，在第三个位置，则 在第四个位置，总共有 种.第三种，没有 的情况 :a分别计算没有 的情况: 种.c2354没有 的情况： 种.d没有 、 的情况： 种.18由容斥原理得到一共有 种.5410所以，根据加法原理，一共有 种35【例 15】 从

19、6 名运动员中选出 4 人参加 接力赛，求满足下列条件的参赛方案各有多少种：甲不能跑第一棒和第四棒；甲不能跑第一棒，乙不能跑第二棒（6 级）【 先确定第一棒和第四棒，第一棒是除甲以外的任何人，有 5 种选择，第四棒有 4 种选择，剩下的四人中随意选择 2 个人跑第二、第三棒，有 种，由乘法原理，共有： 种参赛方案43125120先不考虑甲乙的特殊要求，从 6 名队员中随意 选择 4 人参赛，有 种选择.考虑若甲636跑第一棒，其余 5 人随意选择 3 人参赛， 对应 种选择，考虑若乙跑第二棒，也对应0种选择，但是从 360 种中减去两个 60 种的时 候，重复减了一次甲跑第一棒且乙跑第5436

20、0二棒的情况，这种情况下，对应于第一棒第二棒已确定只需从剩下的 4 人选择 2 人参赛的种方案，所以，一共有 种不同参赛方案1260215模块二、加乘原理与数字问题7-3.加乘原理综合应用.题库 教师版 page 7 of 22【例 16】 由数字 1，2，3 可以组成多少个没有重复数字的数？（4 级）【 因为有 1，2，3 共 3 个数字，因此组成的数有 3 类：组成一位数；组成二位数；组成三位数它们的和就是问题所求组成一位数：有 3 个；组成二位数：由于数字可以重复使用，组成二位数分两步完成；第一步排十位数，有 3 种方法；第二步排个位数也有 3 种方法，因此由乘法原理，有 个；326组成

21、三位数：与组成二位数道理相同，有 个三位数；所以，根据加法原理，一共可组成 个数3615【例 17】 由数字 0，1，3，9 可以组成多少个无重复数字的自然数？（6 级）【 满足条件的数可以分为 4 类：一位、二位、三位、四位数第一类，组成 0 和一位数，有 4 个（0 不是一位数，最小的一位数是 1）；第二类，组成二位数，有 个；39第三类，组成三位数，有 个;218第四类，组成四位数，有 个由加法原理，一共可以组成 个数449【巩固】 用数字 0，1，2，3，4 可以组成多少个小于 1000 的自然数？（6 级）【 小于 1000 的自然数有三类第一 类是 0 和一位数，有 5 个；第二类

22、是两位数，有 个；第三类4520是三位数，有 个，共有 个510521【巩固】 用数码 0，1，2，3，4，可以组成多少个小于 1000 的没有重复数字的自然数？（6 级）【 分为三类，一位数时 ，0 和一位数共有 5 个；二位数 时，为 个，三位数 时，为： 个，41438由加法原理，一共可以组成 个小于 1000 的没有重复数字的自然数16489【例 18】 用 09 这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数 （6 级）【 无重复数字的四位数的千位、百位、十位、个位的限制条件：千位上不能排 0，或说千位上只能排 19这九个数字中的一个.而且其他位置上数码都不相同，下面分 别介绍三种解法.（

23、方法一）分两步完成：第一步：从 19 这九个数中任选一个占据千位，有 9 种方法；第二步：从余下的 9 个数（包括数字 0）中任选 3 个占据百位、十位、个位，百位有 9 种.十位有 8 种，个位有 7 种方法；由乘法原理，共有满足条件的四位数 9987=4536 个（方法二）组成的四位数分为两类：第一类：不含 0 的四位数有 9876=3024 个；第二类：含 0 的四位数的组成分为两步：第一步让 0 占一个位有 3 种占法， （让 0 占位只能在百、十、个位上，所以有 3 种）第二步让其余 9 个数占位有 987 种占法 .所以含 0 的四位数有 3987=1512个由加法原理，共有满足条

24、件的四位数 3024+1512=4536 个【巩固】 用 0，1，2，3 四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？（6 级）7-3.加乘原理综合应用.题库 教师版 page 8 of 22【 分为两类：个位数字为 0 的有 个，个位数字为 2 的有 个，由加法原理，一共有：326 4个没有重复数字的四位偶数6410【例 19】 在 2000 到 2999 这 1000 个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？（6 级）【 若相同的数是 2，则 另一个 2 可以出现在个、十、百位中的任一个位置上，剩下的两个位置分别有 9个和 8 个数可选，有 398=216（个）

25、；若相同的数是 1，有 3824（个）；同理，相同的数是0，3，4，5，6，7，8，9 时，各有 24 个，所以，符合题意的数共有 216924=432（个）【例 20】 在 1000 至 1999 这些自然数中个位数大于百位数的有多少个? （6 级）【 (方法一)解决计数问题常用分类讨论的方法 设在 1000 至 1999 这些自然数中满足条件的数为(其中 )； (1)当 时， 可取 19 中的任一个数字， 可取 09 中的任一个数字，于1abc a0cb是一共有 个 (2)当 时， 可取 29 中的任一个数字， 仍可取 09 中的任一个数90a字，于是一共有 个(3)类似地，当 依次取 2

26、，3，4，5，6，7，8 时分别有870，60，50，40，30，20，10 个符合条件的自然数所以，符合条件的自然数有个745(方法二)1000 至 1999 这 1000 个自然数中，每 10 个中有一个个位数等于百位数，共有 100 个；剩余的数中，根据对称性，个位数大于百位数的和百位数大于个位数的一样多，所以总数为个.10)20【例 21】 某人忘记了自己的密码数字，只记得是由四个非 0 数码组成，且四个数码之和是 9为确保打开保险柜至少要试多少次？（6 级）【 四个非 0 数码之和等于 9 的组合有 1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，

27、2，2，3 六种第一种中，只要考虑 6 的位置即可，6 可以随意选择四个位置，其余位置方 1，共有 4 种选择第二种中，先考虑放 2，有 4 种选择，再考虑 5 的位置，有 3 种选择，剩下的位置放 1，共有 43=12 种选择，同理，第三、第四、第五种都有 12 种选择，最后一种与第一种相似，3 的位置有四种选择，其余位置放 2，共有 4 种选择.由加法原理，一共可以组成 4+12+12+12+12+4=56 个不同的四位数，即为确保打开保险柜至少要试 56 次【例 22】 从 1 到 100 的所有自然数中，不含有数字 4 的自然数有多少个? （6 级）【 从 1 到 100 的所有自然数

28、可分为三大类，即一位数，两位数，三位数一位数中，不含 4 的有 8 个，它们是 1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含 4 的可以这样 考虑：十位上，不含 4 的有 l、2、3、5、6、7、8、9 这八种情况个位上，不含 4 的有 0、1、2、3、5、6、7、8、9 这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有 个数不含 4三位数只有 100所以一共有 个不含 4 的自然数891【巩固】 从 1 到 500 的所有自然数中，不含有数字 4 的自然数有多少个? （6 级）【 从 1 到 500 的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数一位数中

29、，不含 4 的有 8 个，它们是 1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含 4 的可以这样 考虑：十位上，不含 4 的有 l、2、3、5、6、7、8、9 这八种情况个位上，不7-3.加乘原理综合应用.题库 教师版 page 9 of 22含 4 的有 0、1、2、3、5、6、7、8、9 这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有 89=72 个数不含 4三位数中，小于 500 并且不含数字 4 的可以这样考虑：百位上，不含 4 的有 1、2、3、这三种情况十位上，不含 4 的有 0、1、2、3、5、6、7、8、9 这九种情况，个位上，不含 4 的也有

30、九种情况要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理，这时共有 个三位94数由于 500 也是一个不含 4 的三位数所以，1500 中，不含 4 的三位数共有 个12所以一共有 个不含 4 的自然数892【巩固】 从 1 到 300 的所有自然数中，不含有数字 2 的自然数有多少个? （6 级）【 从 1 到 300 的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数一位数中，不含 2 的有 8 个，它们是 1、3、4、5、6、7、8、9；两位数中，不含 2 的可以这样 考虑：十位上，不含 2 的有 1、3、4、5、6、7、8、9 这八种情况个位上，不含 2 的有

31、0、1、3、4、5、6、7、8、9 这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有 个数不含 2；三位数中，除去 300 外，百位数只有 1 一种取法，十位与个位均有 0，1，3，4，5，6，7，8，9 九种取法，根据乘法原理，不含数字 2 的三位数有： 个， 还 要加上 300；81根据加法原理，从 1 到 300 的所有自然数中，不含有数字 2 的自然数一共有 个21【例 23】 由数字 0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列，2008 排在第 个 【2008 年第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛】 （8 级）【 比

32、 小的 位数有 和 ，比 小的 位数有 （种），比 小的 位数有402083231208（种），比 小的 位数有 （种），所以 排在第 （个）361 69【巩固】 从分别写有 2、4、6、8 的四张卡片中任取两张，做两个一位数乘法.如果其中的 6 可以看成 9，那么共有多少种不同的乘积？（6 级）【 取 2 有 8、12、16、18 四种，取 4 增加 24、32、36 三种，取 6 增加 48、72 两种，一共有 9 种【例 24】 自然数 8336，8545，8782 有一些共同特征，每个数都是以 8 开头的四位数，且每个数中恰好有两个数字相同这样的数共有多少个？（6 级）【 两个相同的数

33、字是 8 时，另一个 8 有 3 个位置可 选，其余两个位置有 种填法，有9 72个数； 3921两个相同的数字不是 8 时，相同的数字有 9 种选法，不同的数字有 8 种选法，并有 3 个位置可放，有个数86由加法原理，共有 个数39342【巩固】 在 1000 到 1999 这 1000 个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？（6 级）【 若相同的数是 1，则 另一个 1 可以出现在个、十、百位中的任一个位置上，剩下的两个位置分 别有 9个和 8 个数可选，有 个；若相同的数是 2，有 3824 个；同理，相同的数是398260，3，4，5，6，7，8，9 时，

34、各有 24 个，所以，符合题意的数共有 个169243【例 25】 如果一个三位数 满足 ， ，那么把这个三位数称为“凹数” ，求所有“凹数”的个ABCBC7-3.加乘原理综合应用.题库 教师版 page 10 of 22数 （8 级）【 当 为 时， 、 可以为 19 中的任何一个，此时有 种；当 为 时， 、 可以为 29 中的B0AC9B1AC任何一个，此时有 种； ；当 为 时，有 种；所以共有8B81(个)90256【例 26】 用数字 1，2 组成一个八位数，其中至少连续四位都是 1 的有多少个？（6 级） 【 将 4 个 1 看成一个整体，其余 4 个数有 5 种情况：4 个 2

35、、3 个 2、2 个 2、1 个 2 和没有 2； 4 个 2 时， 4 个 1 可以有 5 种插法； 3 个 2 时， 3 个 2 和 1 个 1 共有 4 种排法，每一种排法有 4 种插法，共有 种； 462 个 2 时， 2 个 2 和 2 个 1 共有 6 种排法，每一种排法有 3 种插法，共有 种； 381 个 2 时， 1 个 2 和 3 个 1 共有 4 种排法，每一种排法有 2 种插法，共有 种； 没有 2 时，只有 1 种； 所以，总共有： 个 568答：至少连续四位都是 1 的有 48 个【例 27】 七位数的各位数字之和为 60 ，这样的七位数一共有多少个？（6 级）【

36、七位数数字之和最多可以为 七位数的可能数字 组合为：973609，9，9，9，9，9，6第一种情况只需要确定 6 的位置即可所以有 6 种情况9，9，9，9，9，8，7第二种情况只需要确定 8 和 7 的位置，数字即确定8 有 7 个位置，7 有 6 个位置所以第二种情况可以组成的 7 位数有 个429，9，9，9，8，8，8，第三种情况，3 个 8 的位置确定即 7 位数也确定三个 8 的位置放置共有 种75210三个相同的 8 放置会产生 种重复的放置方式316所以 3 个 8 和 4 个 9 组成的不同的七位数共有 种210635所以数字和为 60 的七位数共有 54【例 28】 从自然

37、数 140 中任意选取两个数，使得所选取的两个数的和能被 4 整除，有多少种取法？（6 级）【 2 个数的和能被 4 整除，可以根据被 4 除的余数分 为两类：第一类：余数分别为 0，0140 中能被 4 整除的数共有 （个）， 10 个中选 2 个，有401（种）取法；1925第二类：余数分别为 1，3140 中被 4 除余 1，余 3 的数也分别都有 10 个，有 （种）取法；10第三类：余数分别为 2，2同第一类，有 45 种取法根据加法原理，共有 （种）取法409【例 29】 在 的 自 然 数 中 取 出 两 个 不 同 的 数 相 加 ， 其 和 是 3 的 倍 数 的 共 有 多 少 种 不 同 的 取 法 ？ （6 级）10【 将 1100 按照除以 3 的余数分为 3 类：第一类，余数为 1 的有 1，4，7，100，一共有 34 个；第二类，余数为 2 的一共有 33 个；第三类，可以被 3 整除的一共有 33 个取出两个不同的数其和是 3 的倍数只有两种情况：第一种，从第一、二类中各取一个数，有 种取法；第二种，从第三类中取2两个数，有 种取法根据加法原理，不同取法共有： 种528 58160【巩固】 在 110 这 10 个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们的和是 3 的倍数，共有多少种不同的