1、第六章 微分方程教学目的：1了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。2熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。3会解齐次微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。4掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解二阶的常系数齐次线性微分方程。5.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。教学重点：1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法2、二阶常系数齐次线性微分方程；3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；教学难点：1、 齐次微分方程；2、自由项为多项式、指数函数、
2、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。教学过程：6.1 微分方程的基本概念一、引 例函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究 因此如何寻找出所需要的函数关系 在实践中具有重要意义 在许多问题中 往往不能直接找出所需要的函数关系 但是根据问题所提供的情况 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式 这样的关系就是所谓微分方程 微分方程建立以后 对它进行研究 找出未知函数来 这就是解微分方程本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的解法。 例 1 一曲线通过点(1 2) 且在该曲线上任一点 M(x y)处的切线的
3、斜率为 2x 求这曲线的方程解 设所求曲线的方程为 yy(x) 根据导数的几何意义 可知未知函数 yy(x)应满足关系式(称为微分方程) (1) xdy2此外 未知函数 yy(x)还应满足下列条件 x1 时 y2 简记为 y|x12 (2)把(1)式两端积分 得(称为微分方程的通解) 即 yx2C (3) d其中 C 是任意常数 把条件“ x1 时 y2”代入(3)式 得212C 由此定出 C1 把 C1 代入(3)式 得所求曲线方程(称为微分方程满足条件 y|x12的解) yx21 例 2 列车在平直线路上以 20m/s(相当于 72km/h)的速度行驶 当制动时列车获得加速度04m/s 2
4、 问开始制动后多少时间列车才能停住 以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解 设列车在开始制动后 t 秒时行驶了 s 米 根据题意 反映制动阶段列车运动规律的函数 ss(t)应满足关系式 (4)4.02d此外 未知函数 ss(t)还应满足下列条件 t0 时 s0 简记为 s|t0=0 s|t0=20 (5)2dv把(4)式两端积分一次 得 (6)14.Ctdv再积分一次 得s02t2 C1t C2 (7)这里 C1 C2都是任意常数 把条件 v|t020 代入 (6)得20C1 把条件 s|t00 代入(7) 得 0C2 把 C1 C2的值代入(6)及(7)式得v04t 20 (8)s02t22
5、0t (9)在(8)式中令 v0 得到列车从开始制动到完全停住所需的时间(s) 54.t再把 t50 代入(9) 得到列车在制动阶段行驶的路程s025022050500(m) 二、微分方程的基本概念 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程 常微分方程 未知函数是一元函数的微分方程 叫常微分方程 偏微分方程 未知函数是多元函数的微分方程 叫偏微分方程 微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶 x3 yx2 y4xy3x2 y(4) 4y10y12y5ysin2x y(n) 10 一般 n 阶微分方程 F(x y y y(n)
6、)0 y(n)f(x y y y(n1) ) 微分方程的解 满足微分方程的函数(把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式)叫做该微分方程的解 确切地说 设函数 y(x)在区间 I 上有 n 阶连续导数 如果在区间 I 上 Fx (x) (x) (n) (x)0 那么函数 y(x)就叫做微分方程 F(x y y y(n) )0 在区间 I 上的解 通解 如果微分方程的解中含有任意常数 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同 这样的解叫做微分方程的通解 初始条件 用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件 如xx0 时 yy0 y y0 一般写成 0x0x特解 确定了通解中的任意常数以后 就得到微分方
7、程的特解 即不含任意常数的解 初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题 如求微分方程 yf(x y)满足初始条件 的解的问题 记为0yx 0),fx积分曲线 微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线 例 3 验证 函数xC1cos ktC2 sin kt是微分方程 02kdt的解 解 求所给函数的导数 ktCtkdtxcossin21 )sinco(in2122 ktCt将 及 x 的表达式代入所给方程 得2dtk2(C1cos ktC2sin kt) k2(C1cos ktC2sin kt)0 这表明函数 xC1cosktC2sinkt 满足方程 因此所给函数是所给
8、方xkdt程的解 例 4 已知函数 xC1cosktC2sinkt(k0)是微分方程 的通解 求满02t足初始条件x| t0 A x| t0 0的特解 解 由条件 x| t0 A 及 xC1 cos ktC2 sin kt 得C1A 再由条件 x| t0 0 及 x(t) kC1sin ktkC2cos kt 得C20 把 C1、 C2的值代入 xC1cos ktC2sin kt 中 得xAcos kt 6.2 一阶微分方程可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx (或写成 y(x)(y)的形式 就是说 能把微分方程写成一端只含 y 的函数和 dy 另一端只含
9、x 的函数和 dx 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1) y2xy 是 y1dy2xdx (2)3x25xy0 是 dy(3x25x)dx(3)(x2y2)dxxydy=0 不是(4)y1xy2xy2 是 y(1x)(1y2)(5)y10xy 是 10 ydy10xdx(6) 不是可分离变量的微分方程的解法 第一步 分离变量 将方程写成 g(y)dy f(x)dx 的形式 第二步 两端积分 设积分后得 G(y)F(x)C dxfy)(第三步 求出由 G(y)F(x)C 所确定的隐函数 y(x)或 x(y)， G(y)F(x)C y (x)或
10、x(y)都是方程的通解 其中 G(y)F(x)C 称为隐式(通)解 例 1 求微分方程 的通解 xyd2解 此方程为可分离变量方程 分离变量后得 y两边积分得 xdy21即 ln| y|x2C1 从而 2xee因为 仍是任意常数 把它记作 C 便得所给方程的通解1C 2xey例 2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量 M 成正比 已知 t0 时铀的含量为 M0 求在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 变化的规律 解 铀的衰变速度就是 M(t)对时间 t 的导数 dt由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程 dt其中 (0)是常数 前的曲面号表示当 t 增加时 M 单调减少 即 0dt由
11、题意 初始条件为M|t0M0 将方程分离变量得 dt两边积分 得 t)(即 ln MtlnC 也即 MCet 由初始条件 得 M0Ce0C 所以铀含量 M(t)随时间 t 变化的规律 MM0et 例 3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系 解 设降落伞下落速度为 v(t) 降落伞所受外力为 Fmgkv( k 为比例系数) 根据牛顿第二运动定律 Fma 得函数 v(t)应满足的方程为 kvmgdt初始条件为v|t00 方程分离变量 得 mdtkvg两边积分 得 1)ln(1Ctkv即 ( ) tmegvk将初始条件
12、v|t00 代入通解得 g于是降落伞下落速度与时间的函数关系为 )1(tmkev例 4 求微分方程 的通解 21xydxy解 方程可化为 )(2yxy分离变量得 dxy)1(2两边积分得 即 )(2 Cxy21arctn于是原方程的通解为 )21txy齐次方程的解法 在齐次方程 中 令 即 yux 有 )(xydxu)(udx分离变量 得 d两端积分 得 xu)(求出积分后 再用 代替 u 便得所给齐次方程的通解 xy例 1 解方程 dxyy2解 原方程可写成 1)(2xy因此原方程是齐次方程 令 则 yux uxydxu于是原方程变为 12d即 1udx分离变量 得 xu)(两边积分 得 u
13、ln|u|Cln|x| 或写成 ln|xu|uC 以 代上式中的 u 便得所给方程的通解xy xy|ln一阶线性微分方程方程 叫做一阶线性微分方程 )(xQyPdx如果 Q(x)0 则方程称为齐次线性方程 否则方程称为非齐次线性方程 方程 叫做对应于非齐次线性方程 的齐次线性方程 )(xQyPdx下列方程各是什么类型方程？(1) 是齐次线性方程 ydx)2( 021yx(2) 3x25x5y0y3x25x 是非齐次线性方程 (3) yy cos xesin x 是非齐次线性方程(4) 不是线性方程d1(5) 或 不是线性方程0)(32xy0)1(23yxd32)1(xyd齐次线性方程的解法齐次
14、线性方程 是变量可分离方程 分离变量后得)(xPy d两边积分 得 1)(|lnCdxPy或 ( 1)dxPeCey这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数） 例 1 求方程 的通解 ydx)2(解 这是齐次线性方程 分离变量得 xyd两边积分得ln|y|ln|x2|lnC 方程的通解为yC(x2) 非齐次线性方程的解法将齐次线性方程通解中的常数换成 x 的未知函数 u(x) 把dxPeuy)(设想成非齐次线性方程的通解 代入非齐次线性方程求得 )()()()()( )()( xQexuPxx dPdxd 化简得 PeQu Cdxx)()(于是非齐次线性方程的通解为 )()(eeydxP
15、dxP或 xQCd)()非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和 例 2 求方程 的通解 25)1(xyd解 这是一个非齐次线性方程 先求对应的齐次线性方程 的通解 0xyd分离变量得 12xdy两边积分得 ln y2ln (x1)ln C 齐次线性方程的通解为yC(x1)2 用常数变易法 把 C 换成 u 即令 yu(x1)2 代入所给非齐次线性方程 得52 )112)()1( xu x两边积分 得 Cu23)1(再把上式代入 yu(x1)2 中 即得所求方程的通解为 )3)解 这里 1(xP25)(xQ因为 1ln)2)d)1ln()(xedxP232125)( )()()( xdxQ所以通解为 )1(3)()( 2)( CCdxeeyPdxP6.4 二阶常系数齐次线性微分方程一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程 方程 ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中 p、 q 均为常数 如果 y1、 y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2就是它的通解
