1、 Http:/ Http:/ 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 818 室 凤凰学习网 联系电话： 400-106-6600 Mail： 凤凰教育网 联系电话： 025-83657815 Mail： 徐州 市 2013 年高考考前信息卷 数学卷 参考公式： 样本数据 12, , , nx x x 的标准差 211 ()n iis x xn ，其中11 n iixxn 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在 答题卡相应位置 上 1若集合 1, 0 , 1A ， 2 1,B x x m m R，则 BA 2 设 i 是虚数单位，复数 1i3ia 为
2、纯虚数，则实数 a 的值为 3 已知样本 7,8,9, ,xy 的平均数是 8 ，且 60xy ，则此样本的标准差是 4 在集合 | , 1 , 2 , ,10 6nM x x n 中任取一个元素， 所取元素恰好满足方程 1cos2x的概率是 5 已知双曲线与椭圆 2 2 12x y有相同的焦点，且它们的 离 心率互为倒数，则该双曲线的方程为 6 已知某算法的伪代码如右，根据伪代码，若函数 7 ( ) ( )g x f x m在 R 上有且只有 两个零点，则实数 m 的取值范围是 7已知 32cos( )23 ，则 cos2 8有一个正四面体的棱长为 3 ，现用一张圆形的包装纸将其完全包住（不
3、能裁剪纸，但可以Read x If x 1 Then f(x) x+2 Else If 1 x 1 Then f(x) x 2 Else f(x) x +2 End If End If Print f(x) (第 6 题图 ) 注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 4 页，均为非选择题 (第 1 题第 20 题，共 20 题 )。本试卷满分 160 分，考 试时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的 0.5 毫米 黑色墨水的 签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。 3.作答试题，必须用 0
4、.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。 4.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 Http:/ Http:/ 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 818 室 凤凰学习网 联系电话： 400-106-6600 Mail： 凤凰教育网 联系电话： 025-83657815 Mail： 折叠），那么包装纸的最小半径为 9 过点 (1,1)P 的直线将圆 224xy分 成 两 段圆弧 ， 要 使这 两段弧长 之差最大， 则该 直线 的方程 为 10 已知数列 na 的前 n 项和 21 ()2nS n k n k N， 且 nS
5、 的最大值为 8，则 2a 11 已知中心为 O 的正方形 ABCD 的边长为 2，点 ,MN分别为线段 ,BCCD 上的两个不同点，且 1MN ， 则 OMON 的取值范围是 12 在 数列 na 中， 已知 1 3a ， 2 2a ， 当 2n 时， 1na 是 1n naa 的个位数， 则 2013a 13 已知 2( ) log ( 1)f x x，若实数 nm, 满足 ( ) ( ) 2f m f n，则 mn 的最小值是 14设曲线 1exy ax 在点 01,A x y 处的切线为 1l ，曲线 1exyx 在点 02,A x y 处的切线为 2l 若存在0 30,2x ，使得
6、12ll ，则实数 a 的取值范围是 二、解答题 : 本大题共 6 小题，共计 90 分请在 答题卡指定的区域 内作答，解答时 应写 出文字说明 、 求证过程或演算步骤 15 （本 小题满分 14 分 ） 设 ABC 的内角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc 已知 1a ， 2b ， 12CACB 求边 c 的 长； 求 CAcos 的值 16 （本 小题满分 14 分 ） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是平行四边形，且AC CD ， PA AD ， M ， Q 分别是 PD ， BC 的中点 （ 1）求证： MQ 平面 PAB ； （ 2）若
7、 AN PC ，垂足为 N ，求证： MN PD P A B D C M N Q Http:/ Http:/ 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 818 室 凤凰学习网 联系电话： 400-106-6600 Mail： 凤凰教育网 联系电话： 025-83657815 Mail： 17 （本 小题满分 14 分 ） 某人 2002 年底花 100万元买了一套住房，其中首付 30 万元， 70 万元采用商业贷款贷款的月利率为 5 ，按复利计算，每月等额还贷一次， 10 年还清，并从贷款后的次月开始还贷 这个人每月应还贷多少元？ 为了抑制高房价，国家出台“国五条”，要求卖房时 按照差额的
8、20%缴税 如果这个人现在将住房 150万元卖出，并且 差额税 由卖房人承担，问：卖房人将获利约多少元？ （参考数据： 120(1 0.005) 1.8+ ） 18 （本 小题满分 16 分 ） 已知椭圆 E ： 22 10xy abab + 的离心率为 12， 右焦点为 F ，且椭圆 E 上的点到点 F距离的 最小值为 2 求椭圆 E 的方程； 设椭圆 E 的左、右顶点分别为 ,AB，过点 A 的直线 l 与椭圆 E 及直线 8x 分别相交于点 ,MN （ ） 当 过 ,AFN 三点的圆半径最小时，求这个圆的方程； （ ）若 65cos 65AM B ，求 ABM 的面积 Http:/ Ht
9、tp:/ 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 818 室 凤凰学习网 联系电话： 400-106-6600 Mail： 凤凰教育网 联系电话： 025-83657815 Mail： 19 （本 小题满分 16 分 ） 已知数列 na ，其前 n 项和为 nS 若 对任意的 n N ， 2 -1 2 +1 2,n n na a a 组成公差为 4 的等差数列， 且 1=1a ， 2 20132nSn ，求 n的值 ； 若数列 +nnS aa 是公比为 ( 1)qq 的等比数列， a 为常数，求证： 数列 na 为等比数列的充要条件为 1=1+qa 20 （本 小题满分 16 分 ） 已知
10、函数 ( ) lnaf x xx +， 21( ) 2 22g x bx x +， ,abR 求函数 ()fx的单调区间； 记函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x，当 0a 时， ()hx 在 (0,1) 上有且只有一个极值点，求实 数 b 的取值范围； 记函数 ( ) ( )F x f x ，证明：存在一条过原点的直线 l 与 ()y Fx 的图象有两个切点 徐州 市 2013 年高考考前信息卷 数学（附加题） 21.【 选做题】本题包括 A、 B、 C、 D 四小题， 请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答 .若多做，则按作答的前两题评分 . 解答时应写出文字说明、证明过程
11、或演算步骤 . 注 意 事 项 考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本试卷共 2 页，均为非选择题 (第 21 题第 23 题 )。本试卷满分 40 分，考试时间为30 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的 0.5 毫米 黑色墨水的 签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。 3.作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。 4.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 Http:/ Http:/ 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 818 室 凤凰
12、学习网 联系电话： 400-106-6600 Mail： 凤凰教育网 联系电话： 025-83657815 Mail： A 选修 4-1：几何证明选讲 （本小题满分 10 分） 如图， O 的半径 OB 垂直于直径 AC ， M 为 AO 上一 点， BM 的延长线交 O 于 点 N ， 过 N 点的切线交 CA 的延长线于 点 P （ 1）求证： 2PM PA PC； （ 2）若 O 的半径 为 23， 3OA OM ， 求 MN 长 B 选修 4-2： 矩阵与变换 （本小题满分 10 分） 设 1002M， 1 0201N ， 试求曲线 sinyx 在矩阵 MN 变换下的曲线方程 C
13、选修 4-4： 坐 标系与参数方程 （本小题满分 10 分） 在极坐标系中，已知点 P 为圆 2 2 sin 7 0 上任一点 求点 P 到直线 c os si n 7 0 的距离的最小值与最大值 D 选修 4-5：不等式选讲 （本小题满分 10 分） 已知 ,abc为正数，且满足 22cos sina b c，求证： 22c o s s ina b c 【必做题】 第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分 .请在 答题卡指定区域 内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 22 过直线 1y=- 上的动点 ( , 1)Aa- 作抛物线 2yx= 的两切线 ,AP
14、AQ ， ,PQ为切 点 （ 1）若切线 ,APAQ 的斜率分别为 12,kk，求证： 12kk 为定值； （ 2）求证：直线 PQ 过定点 O C M N A P B (第 21-A 图 ) Http:/ Http:/ 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 818 室 凤凰学习网 联系电话： 400-106-6600 Mail： 凤凰教育网 联系电话： 025-83657815 Mail： 23已知 2*0 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( )nn nx a a x a x a x n + + + + + N 求 0a 及1nniiSa； 试比较 nS 与 2(
15、 2)2 2nnn + 的大小，并说明理由 徐州 市 2013 年高考考前信息卷 数学参考答案与评分标准 一、填空题： 1 1 2 3 3 2 4 0.2 5 222 2 1xy 6 ( ,0) 1 7 79818 23 9 20xy 10 52 11 2 2,1 12 6 13 9 14 31,2二、解答题 : 15 由 12CACB，得 1cos2ab C 2 分 因为 1a ， 2b ，所以 1cos4C， 4 分 所以 2 2 2 2 c os 1 4 1 4c a b ab C +， 所以 2c 7 分 因为 1cos4C， (0, )C ， 所以 2 15s in 1 c o s
16、4CC ， 9 分 所以 15s in 1 54s in 28aCA c ， 11 分 因为 ac ，所以 AC ，故 A 为锐角，所以 2 7c os 1 sin8AA ， 所以 7 1 1 5 1 5 1 1c o s ( ) c o s c o s s i n s i n 8 4 8 4 1 6A C A C A C +. 14 分 16 （ 1）取 PA 的中点 E ，连结 ME ， BE ， 因为 M 是 PD 的中点，所以 ME AD ， 12ME AD ， 又因为 Q 是 BC 中点，所以 12BQ BC ， 因为四边形 ABCD 是平行四边形； P A B D C M N Q
17、E Http:/ Http:/ 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 818 室 凤凰学习网 联系电话： 400-106-6600 Mail： 凤凰教育网 联系电话： 025-83657815 Mail： 所以 BC AD ，所以 BQ ME , 所以四边形 MQBE 是平行四边形， 4 分 所以 MQ BE 因为 BE 平面 PAB ， MQ 平面 PAB ， 所以 MQ 平面 PAB 6 分 （ 2）因为 PA 平面 ABCD ,CD 平面 ABCD , 所以 PA CD ，又因为 AC CD , PA AC A , PA 平面 PAC ， AC 平面 PAC ， 所以 CD 平面
18、PAC ，又 AN 平面 PAC ， 所以 AN CD 9 分 又 AN PC ， PC CD C ， PC 平面 PCD ， CD 平面 PCD ， 所以 AN 平面 PCD ，又 PD 平面 PCD ，所以 AN PD ， 12 分 又 PA AD ， M 是 PD 中点，所以 AM PD ， 13 分 又 AM AN A ， AM 平面 AMN ， AN 平面 AMN ， 所以 PD 平面 AMN ， 又 MN 平面 AMN ，所以 MN PD 14 分 17 设每月应还贷 x 元，共付款 12 10 120 次，则有 2 1 1 9 1 2 0 1 ( 1 0 . 0 0 5 ) (
19、1 0 . 0 0 5 ) ( 1 0 . 0 0 5 ) 7 0 0 0 0 0 ( 1 0 . 0 0 5 )x + + + + + + + +， 4 分 所以 1201207 0 0 0 0 0 0 . 0 0 5 (1 0 . 0 0 5 ) 7875(1 0 . 0 0 5 ) 1x +（元） 6 分 答： 每月应还贷 7875 元 7 分 卖房人共付给银行 7875 120 945000 元， 利息 9 4 5 0 0 0 7 0 0 0 0 0 2 4 5 0 0 0（元）， 10 分 缴纳 差额税 (1500000 1000000) 0.2 100000 （元）， 12 分 5
20、0 00 00 ( 24 50 00 10 00 00 ) 15 50 00+（元） 答： 卖房人将获利约 155000 元 14 分 18 由已知， 12ca，且 2ac ，所以 4a ， 2c ，所以 2 2 2 12b a c ， 所以 椭圆 E 的方程为 22116 12xy+ 3 分 （ ）由 ， ( 4,0)A ， (2,0)F ，设 (8,)Nt 设圆的方程为 22 0x y d x ey f + + + +，将点 ,AFN 的坐标代入，得 21 6 4 0 ,4 2 0 ,6 4 8 0 ,dfdft d e t f + + + +解得2,72,8,dettf 6 分 所以圆的
21、方程为 22 722 ( ) 8 0x y x t yt + + +， 即 2 2 21 7 2 1 7 2( 1 ) ( ) 9 ( )24x y t ttt+ + + + +， 因为 2272( ) (2 72 )t t+ ，当且仅当 72 12 2t t + 时，圆的半径最小， Http:/ Http:/ 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 818 室 凤凰学习网 联系电话： 400-106-6600 Mail： 凤凰教育网 联系电话： 025-83657815 Mail： 故所求圆的方程为 22 2 1 2 2 8 0x y x y + 9 分 （ ）由对称性不妨设直线 l 的
22、方程为 ( 4) ( 0)y k x k+ 由 22( 4),1,16 12y k xxy +得 2221 2 1 6 2 4( , )3 4 3 4kkM +， 11 分 所以2224 24( , )3 4 3 4 kMA kk +， 2223 2 2 4( , )3 4 3 4kkMB +， 所以2 2 28 2 4 6 5c o s 652 4 1 ( 3 2 ) 2 4M A M B kA M B M A M B kk +， 化简，得 4216 40 9 0kk ， 14 分 解得 2 14k，或 2 94k，即 12k，或 32k， 此时总有 3My ，所以 ABM 的 面积为 1
23、8 3 122 16 分 19 因为 2 1 2 1 2,n n na a a 成公差为 4 的等差数列， 所以 2 1 2 1 2 2 14 , 8 )n n n na a a a n N（， 2 分 所以 1 3 5 2 1 2 1, , , , ,nna a a a a是公差为 4 的等差数列，且 2 4 6 2 1 3 5 2 1 8nna a a a a a a a n ， 4 分 又 因为 1 1a ，所以 2 1 3 5 2 128S a a a a n 2( 1 )2 4 8 4 6 2 ( 2 3 )2nnn n n n n n + + + +， 所以 2 2 3 20132
24、 nS nn +，所以 1005n 6 分 因为 1( 1) nnnS a a qa ，所以 1( 1) nn n nS a q a aa ， 所以 1 1 1( 1) nn n nS a q a a a ， ， 得 11( 1 ) (1 ) ( 1 ) nnn na q a a a q a ， 8 分 （ ）充分性： 因为 11qa，所以 0, 1, 1a q a aq ，代入 式，得 1(1 ) (1 )nnnnq q a q a ，因为 1q ， 又 1q ， 所以1 1nnaaq ， *nN ，所以 na 为等比数列， 12 分 （ ）必要性：设 na 的公比为 0q ，则 由 得 1
25、0( 1 ) (1 ) ( 1 )nna q q a a q ， 整理得 00 11 1 ( ) na q a a q qq ， 14 分 此 式 为关于 n 的恒等式，若 1q ， 则 左边 0 ，右边 1 ， 矛盾； Http:/ Http:/ 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 818 室 凤凰学习网 联系电话： 400-106-6600 Mail： 凤凰教育网 联系电话： 025-83657815 Mail： 1q若 ，当且仅当 00( 1 ,1( 1 ( 1)a q aa q a q ）时成立，所以 11qa 由 （ ） 、 （ ） 可知， 数列 na 为等比数列的充要条件为
26、 1=1+qa 16 分 20 （ 1）因为221() a x afx x x x ， 若 0a ，则 ( ) 0fx ， ()fx在 (0, ) 上为增函数， 2 分 若 0a ，令 ( ) 0fx ，得 xa ， 当 0 xa时， ( ) 0fx ；当 xa 时， ( ) 0fx 所以 (0, )a 为单调减区间， ( , )a 为单调增区间 综上可得，当 0a 时 ， (0, ) 为单调增区间， 当 0a 时， (0, )a 为单调减区间， ( , )a 为单调增区间 4 分 （ 2） 0a 时， 21( ) ( ) ( ) 2 2 l n2h x f x g x b x x x ， 2
27、1 2 1( ) 2 b x xh x b x xx ， 5 分 ()hx 在 (0,1) 上有且只有一个极值点，即 ( ) 0hx 在 (0,1) 上有且只有一个根且不为重根， 由 ( ) 0hx 得 2 2 1 0bx x ， 6 分 （ i） 0b ， 12x， 满足题意； 7 分 （ ii） 0b 时， 21 2 1 1 0b ，即 01b； 8 分 （ iii） 0b 时， 21 2 1 1 0b ，得 1b ，故 0b ； 综上得： ()hx 在 (0,1) 上有且只有一个极值点时， 1b 9 分 注：本题也可分离变量求得 （ 3）证明：由（ 1）可知： （ i） 若 0a ，则
28、( ) 0fx ， ()fx在 (0, ) 上为单调增函数， 所以直线 l 与 ()y F x 的图象不可能有两个切点，不合题意 10 分 （ ） 若 0a ， ()fx在 xa 处取得极值 ( ) 1 lnf a a 若 1 ln 0a ， 1ea 时，由图象知不可能有两个切点 11 分 故 10 ea ，设 ()fx图象与 x 轴的两个交点的横坐标为 ,st（不妨设 st ）， 则直线 l 与 ()y Fx 的图象有两个切点即为直线 l 与1 ln , ( , )ay x x s tx 和2 ln , ( , )ay x x tx 的切点 1 221a a xy x x x ，2 221a
29、 x ay x x x ， 设切点分别为 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，则 120 xx ，且 11 1 1221 1 1lna x y xax x x x ，22 2 2222 2 2lnx a y xax x x x ， 1222a x x axx ， Http:/ Http:/ 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 818 室 凤凰学习网 联系电话： 400-106-6600 Mail： 凤凰教育网 联系电话： 025-83657815 Mail： 即112 1 lna xx ， 222 1 lna xx ， 1 2 1 22212()x x x x
30、a xx ， - 得：1121 2 222 ln ln ln xaa xxx x x ， 由 中的 a 代入上式可得：1 2 1 2 1221 2 1 2 2()22( ) lnx x x x xx x x x x ， 即 221 2 11 2 22( ) lnx x xx x x ， 14 分 令 12 (0 1)x kkx ，则 22( 1) ln 2 2k k k ，令 22( ) ( 1 ) l n 2 2 ( 0 1 )G k k k k k ， 因为213( ) 1 0eeG ，2414( ) 0eeG ， 故存在 0 (0,1)k ，使得 0 0Gk ， 即存在一条过原点的直线
31、l 与 ()y Fx 的图象有两个切点 16 分 徐州 市 2013 年高考考前信息卷 数学（附加 题）参考答案与评分标准 21 A （ 1） 连结 ON 因为 PN 切 O 于 N，所以 90ONP ， 所以 90O N B B N P 因为 OB ON ， 所以 OBN ONB 因为 BO AC 于 O， 所以 90O B N B M O ， 所以 B N P B M O P M N ， 所以 PM PN 所以 22P M P N P A P C 5分 （ 2） 2OM ， 23BO ， 4BM 因为 ( 2 3 2 ) ( 2 3 2 ) 8B M M N C M M A ， 所以 2MN 10分 B 1110 002202 0 1 0 2 MN ， 4 分 设 ,xy 是曲线 sinyx 上的任意一点，在矩阵 MN 变换下对应的点为 ,xy 则 1 0202xxyy ，所以1 ,22,xxyy 即 2,1,2xxyy 8 分 代入 sinyx ， 得 1 sin22 yx ，即 2sin2yx 即曲线 sinyx 在矩阵 MN 变换下的曲线方程为 2sin2yx 10 分 C 圆 2 2 sin 7 0 的普通方程为 22 2 7 0x y y ， 2 分 O C M N A P B
