1、创新设计图书 第 1 讲 圆与圆锥曲线的基本问题 高考定位 1.圆的方程及直线与圆的位置关系是高考对本讲内容考查的重点，涉及圆的方程的求法、直线与圆的位置关系的判断、弦长问题及切线问题等； 2.圆锥曲线中的基本问题一般以椭圆、双曲线、抛物线的定义、 标准方程、几何性质等作为考查的重点，多为选择题或填空题 . 真 题 感 悟 1.(2016浙江卷 )已知椭圆 C1： x2m2 y2 1(m 1)与双曲线 C2： x2n2 y2 1(n 0)的焦点重合， e1， e2 分别为 C1， C2的离心率，则 ( ) A.m n且 e1e2 1 B.m n且 e1e2 1 C.m n且 e1e2 1 D.
2、m n且 e1e2 1 解析 由题意可得： m2 1 n2 1，即 m2 n2 2， 又 m 0， n 0，故 m n. 又 e21e22 m2 1m2 n2 1n2 n2 1n2 2n2 1n2 n4 2n2 1n4 2n2 11n4 2n2 1， e1e2 1. 答案 A 2.(2016全国 卷 )以抛物线 C 的顶点为圆心 的圆交 C 于 A， B两点，交 C 的准线于 D， E 两点 .已知 |AB| 4 2， |DE| 2 5，则 C 的焦点到准线的距离为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析 不妨设抛物线 C： y2 2px(p0)，则圆的方程可设为 x2 y2 r2(r0
3、)，又可设 A(x0， 2 2)， D p2， 5 ， 创新设计图书 点 A(x0， 2 2)在抛物线 y2 2px 上， 8 2px0， 点 A(x0， 2 2)在圆 x2 y2 r2上， x20 8 r2， 点 D p2， 5 在圆 x2 y2 r2 上， 5 p22 r2， 联立 ，解得 p 4，即 C 的焦点到准 线的距离为 p 4，故选 B. 答案 B 3.(2016全国 卷 )已知方程 x2m2 ny23m2 n 1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n的取值范围是 ( ) A.( 1， 3) B.( 1， 3) C.(0， 3) D.(0， 3) 解析 方程 x2m
4、2 ny23m2 n 1 表示双曲线， (m2 n)(3m2 n)0，解得 m20. 则圆心 C 到直线 2x y 0 的距离 d |2a 0|5 4 55 ，解得 a 2. 圆 C 的半径 r |CM| （ 2 0） 2（ 0 5） 2 3，因此圆 C 的方程为 (x2)2 y2 9. (2)由题意知，椭圆上、下顶点的坐标为 (0， 2)， (0， 2)，左、右顶点的坐标为 (4， 0)， (4， 0)，由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过点 (0， 2)， (0， 2)， (4， 0)，设圆的标准方程为 (x m)2 y2 r2，则有 m2 4 r2，（ 4 m） 2 r2， 解得 m 32，
5、r2 254 ，所以圆的标准方程为 x 322 y2 254 . 答案 (1)(x 2)2 y2 9 (2) x 322 y2 254 探究提高 求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个几何要创新设计图书 素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方法 .在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用 . 命题角度 2 圆的切线问题 【例 1 2】 (1)在平面直角坐标系中， A， B 分别是 x 轴和 y 轴上的动点，若以AB为直径的圆 C 与直线 l： 2x y 4 0 相切，则
6、圆 C 面积的最小值为 ( ) A.45 B.34 C.(6 2 5) D.54 (2)若 O： x2 y2 5 与 O1： (x m)2 y2 20(m R)相交于 A， B两点，且两圆在点 A 处的切线互相垂直，则线段 AB的长度是 _. 解析 (1)由题意可知以线段 AB为直径的圆 C 过原点 O，要使圆 C 的面积最小 (D为切点 )，只需圆 C 的半径或直径最小，又圆 C 与直线 2x y 4 0 相切，所以由平面几何知识，当 OC 所在直线与 l 垂直时， |OD|最小 (D 为切点 )，即圆 C 的直径最小，则 |OD| |2 0 0 4|5 45，所以圆的半径为 25，圆 C
7、的面积的最小值为 S r2 45. (2)依题意得 OO1A 是直角三角形， |OO1| 5 20 5， S OO1A 12|AB|2 | OO1| 12| OA|AO1|， 因此 |AB| 2|OA|AO1|OO1| 2 5 2 55 4. 答案 (1)A (2)4 探究提高 (1)直线与圆相切时利用 “ 切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径 ” 建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式 . (2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理 . 命题角度 3 直线与圆的位置关系 【例 1 3】 已知过原点的动直线 l与圆 C1： x2 y2 6x 5
8、0 相交于不同的两点 A， B. (1)求圆 C1 的圆心坐标； 创新设计图书 (2)求线段 AB的中点 M的轨迹 C 的方程； (3)是否存在实数 k，使得直线 L： y k(x 4)与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；若不存在，说明理由 . 解 (1)由 x2 y2 6x 5 0，得 (x 3)2 y2 4， 所以圆 C1 的圆心坐标为 (3， 0). (2)设线段 AB的中点 M的坐标为 (x， y)， 当线段 AB不在 x 轴上时，有 C1M AB， 则 kC1MkAB 1，即 yx 3yx 1， 整理得 x 322 y2 94， 又当直线 l与圆 C1 相切时，易
9、求得切点的横坐标 为 53. 所以此时 M的轨迹 C 的方程为 x 322 y2 94 53 x 3 . 当线段 AB在 x 轴上时，点 M的坐标为 (3， 0)，也满足式子 x 322 y2 94. 综上，线段 AB的中点 M的轨迹 C 的方程为 x 322 y2 94 53 x 3 . (3)由 (2)知点 M的 轨迹是以 C 32， 0 为圆心， r 32为 半径的部分圆弧 EF(如图所示，不包括两端点 )， 且 E 53， 2 53 ， F 53， 2 53 . 又直线 L： y k(x 4)过定点 D(4， 0)，当直线 L与圆 C 相切时，由 k 32 4 0k2（ 1） 2 32
10、，得 k 34， 创新设计图书 又 kDE kDF0 2 534 53 2 57 ， 结合如图可知当 k 34， 34 2 57 ， 2 57 时，直 线 L： y k(x 4)与曲线 C只有一个交点 . 探究提高 此类题易失分点有两处：一是不会适时分类讨论，遇到直线问题，想用其斜率，定要注意斜率是否存在；二是数形结合求参数的取值范围时，定要注意 “ 草图不草 ” ，如本题，画出轨迹 C时，若把端点 E， F画成实心点，借形解题时求出的斜率就会出错 . 【训练 1】 (2016江苏卷 )如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知以 M为圆心的圆 M： x2 y2 12x 14y 60 0 及其上一
11、点 A(2， 4). (1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M外切，且圆心 N 在直线 x 6 上，求圆 N 的标准方程； (2)设平行于 OA 的直线 l与圆 M相交于 B， C 两点，且 BC OA，求直线 l的方程； (3)设点 T(t， 0)满足：存在圆 M 上的两点 P 和 Q，使得 TA TP TQ，求实数 t的取值范围 . 解 (1)圆 M的方程化为标准形式为 (x 6)2 (y 7)2 25，圆心 M(6， 7)，半径 r 5， 由题意，设圆 N 的方程为 (x 6)2 (y b)2 b2(b 0). 则 （ 6 6） 2（ b 7） 2 b 5. 解得 b 1， 圆 N 的标
12、准方程为 (x 6)2 (y 1)2 1. (2) kOA 2， 可设 l的方程为 y 2x m，即 2x y m 0. 又 BC OA 22 42 2 5， 创新设计图书 由题意，圆 M的圆心 M(6， 7)到直线 l的距离为 d 52 BC22 25 52 5， 即 |2 6 7 m|22（ 1） 2 2 5，解得 m 5 或 m 15. 直线 l的方程为 y 2x 5 或 y 2x 15. (3)由 TA TP TQ，则四边形 AQPT 为平行四边形， 又 P、 Q为圆 M上的两点， |PQ| 2r 10. |TA| |PQ| 10，即 （ t 2） 2 42 10， 解得 2 2 21
13、 t 2 2 21. 故所求 t 的范围为 2 2 21， 2 2 21. 热点二 圆锥曲线的定义、方程、性质的应用 命题角度 1 定义与标准方程的应用 【例 2 1】 (1)(2015浙江卷 )如图，设抛物线 y2 4x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A， B， C，其中点 A， B在抛物线上，点 C 在 y轴上，则 BCF 与 ACF 的 面积之比是 ( ) A.|BF| 1|AF| 1 B.|BF|2 1|AF|2 1 C.|BF| 1|AF| 1 D.|BF|2 1|AF|2 1 (2)(2017全国 卷 )已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的一条
14、渐近线方程为 y52 x，且与椭圆x212y23 1 有公共焦点，则 C 的方程为 ( ) A.x28y210 1 B.x24y25 1 创新设计图书 C.x25y24 1 D.x24y23 1 解析 (1)由图形知 S BCFS ACF |BC|AC| xBxA，由抛物线的性质知 |BF| xB 1， |AF| xA 1， xB |BF| 1， xA |AF| 1， S BCFS ACF |BF| 1|AF| 1.故选 A. (2)由题设知 ba 52 ， 又由椭圆 x212y23 1 与双曲线有公共焦点， 易知 a2 b2 c2 9， 由 解得 a 2， b 5，则双曲线 C 的方程为 x
15、24y25 1. 答案 (1)A (2)B 探究提高 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程 及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式 .(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定 . 命题角度 2 几何性质与标准方程的应用 【例 2 2】 (1)已知椭圆 x2a2y2b2 1(a b 0)短轴的两个端点为 A， B，点 C 为椭圆上异 于 A， B的一点，直线 AC与直线 BC 的斜率之积为 14，则椭圆的离心率为 ( ) A. 32 B. 3 C.12 D. 34 (2)平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1： x2a2y2b2
16、 1(a0， b0)的渐近线与抛物线C2： x2 2py(p 0)交于点 O， A， B.若 OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为 _. 解析 (1)设 C(x0， y0)，则 x20a2y20b2 1， 故 x20 a2 1 y20b2 a2（ b2 y20）b2 ， 创新设计图书 所以 kACkBC y0 bx0y0 bx0 y20 b2x20 b2a214. 故 a2 4b2，所以 e 1 b2a2 11432 .(也可使用特殊点法 ) (2)由题意，不妨设直线 OA 的方程为 y bax，直线 OB的方程为 y bax. 由y bax，x2 2py，得 x2 2p bax， x 2pba ， y 2pb2a2 ， A 2pba ， 2pb2a2 . 设抛物线 C2 的焦点为 F， 则 F 0， p2 ， kAF2pb2a2 p22pba. OAB的垂心为 F， AF OB， kAFkOB 1， 2pb2a2 p22pba ba 1， b2a254. 设 C1 的离心率为 e， 则 e2 c2a2a2 b2a2 15494. e 32. 答案 (1)A (2)32
