1、 1 高二数学竞赛班一试讲义 第 七 讲 复数与单位根 班级 姓名 一、知识要点： 1复数模、共轭 复数模运算符合乘除运算，模的加减符合三角不等式1 2 1 2 1 2z z z z z z 模与共轭的联系 2zz z 2复数的几何（向量）意义 z x yi 在复平 面上对应点 ( , )Zxy ，也对应着向量 OZ 复数 z 满足 z a z b ，轨迹表示复数 ,ab对应的点 ,AB组成的线段的中垂线 复数 z 满足 0z z r，轨迹表示以 0z 为 圆心 ， r 为半径的圆 复数 z 满足 , 1 ,z a z b R ，轨迹表示圆（阿波罗尼斯圆） 3复数的三角形式 ( c o s s
2、 in ) , 0z r i r ， 是复数的辐角， 0,2 ) 时称为复数的辐角主值 运算法则： 1 1 1 1 1( c o s s i n ) , 0z r i r ， 2 2 2 2 2( c o s s i n ) , 0z r i r 乘法 1 2 1 2 1 2 1 2 1( c o s ( ) s i n ( ) ) , 0z z r r i r 除法 111 2 1 2 122 ( c o s ( ) s in ( ) ) , 0zr irzr 乘方 ( c o s s i n ) , 0nnz r n i n r 开方 ( c o s s in ) , 0z r i r ，
3、 z 有 n 个 n 次方根： 22( c o s s i n ) , 0 , 1 , 2 , . . . , 1nk kkz r i k nnn 4 单位根： 记 2 22c o s s inineinn ，其中 i 为虚数单位，多项式 1nx 有 n 个互不 相等的根 2, , , ( 1)n ，它们称为 n 次 单位根 。易于看到，在复平面上， n 个 n 次 单位根对应的点恰是单位圆的内接正 n 边形的顶点。 5 n 次单位根的性质： （ 1）设 k 和 l 是整数，则 kl 的充分必要条件是 (mod )k l n （ 2）任意两个 n 次单位根的乘积仍是一个 n 次单位根；任意一个
4、 n 次单 位根的倒数也是一 个 n 次单位根。 （ 3）设 k 是整数， ( , ) 1kn ，则 ( ) ( 1, 2, , )kl ln 恰给出全体 n 次单位根。 证明：因为 ( , ) 1kn ，所以 ,2 , ,k k nk 是模 n 的一个完系 6 因 2, , , ( 1)n 是 1nx 的 n 个不同的根，故有 11 ( 1 ) ( ) ( )nnx x x x ， 又 )1)(1(1 221 xxxxxx nnn ，所以 （ 1） )()(1 12221 nnn xxxxxxx （ 2） 01 12 n 7 3 10x 的根为 21, ,x ，（可设 1322i ），有 （
5、 1） 210 ，（ 2） 3 3 1 3 2 21 , ,n n n ，（ 3） 221 ,1 2 二、例题精析 例 1 （ 1） z 为模 大于 1 的复数， 1 5 5c o s s in22iz z ，则 z= （ 2）（ 13北约 6）模长都为 1的复数 ,ABC 满足 0A B C ,则 BC CA ABA B C ( ) A. 12 B. 1 C. 2 D. 无法确定 例 2 （ 2006 年上海交大）已知 1z ， k 是实数， z 是复数，求 2 1z kz的最大值。 例 3 若关于 x 的二次方程 2 2 2 0xx ， 2 2 1 0x mx 的解在复平面上对应的四个不
6、同的点共圆，求实数 m 的取值范围。 例 4 设 M是单位圆 122 yx 上的动点，点 N 与定点 A(2, 0)和点 M构成一个等边三角 形的顶点，并且 M N A M成逆时针方向，当 M点移动时，求点 N 的轨迹。 例 5 已知单位圆的内接正 n 边形 1,nAA 及圆周上一点 P ，求证： 21 2nkk PA n 。 0yxNAM3 例 6 设 n 是正整数，证明： （ 1） 0 3 6 90 1 ( 2 2 c o s )33nn n n n nS C C C C （ 2） 1 4 7 1 01 1 ( 2 )( 2 2 c o s )33nn n n n nS C C C C （
7、 3） 2 5 8 1 12 1 ( 4 )( 2 2 c o s )33nn n n n nS C C C C 例 7 (2011 年清 华金秋营 )求 sinn sin n2 sin nn )1( 的值。 三、精选习题 1 （ 13华约 5）若复数 11ww 的实部为 0， Z 是复平面上对应 11w 的点，则点 ,Z xy 的轨 迹是（ ） (A) 一条直线 (B) 一条线段 (C) 一个圆 (D)一段圆弧 2 关于 ()xx C 的一元二次方程 2 10x x m 有一根模长为 1，则 m =_ 3 若虚数 满足 3 1 ，则 2 1 _ _ _ _ _ _ _ _nn ，其中 n 是
8、正整数。 4 已知 1 2 1 22 , 3 , 4z z z z ，则 12 _zz 。 5 （ 2006 年清华） 求最小正整数 n ，使得 11()2 23 nIi为纯虚数，并求出 I 4 6 设 P 为椭圆 149 22 yx 上任意一点，以 OP 为边长作矩形 OPQR （字母顺序按逆时针 方向），使 OPOR 2 ，求动点 R 的轨迹 7 （ 2011 年卓越） i 为虚数单位，设复数 z 满足 1z ，求 2 221zzzi的最大值。 8 复平面内区域 A 由复数 z 对应的点 Z 组成，若 40z 与 40z 的实部与虚部都在 0与 1之间， 求区域 A 的面积。 9 (201
9、3 北大） 求 265522 iiee的值。 10 若复数 z 满足 1z ，且存在负数 a ，使得 2220z az a a ，求 a 的值。 11 证明： 0 4 8 1 21 ( 2 2 c o s )24nnn n n nC C C 。 5 高二数学竞赛班一试讲义 第 七 讲 复数与单位根 例 1 （ 1） 【解】 2 11 5 5c o s sin22zz z izz 两边取模 2 1 5 5 5c o s s i n2 2 2z iz 得 1 (2z 舍 去 )或 2，故 5 = 2 ( c o s s in )55c o s s in22zii （ 2） 【解】方法一： 2zz
10、z 由题知 1AA BB CC ,所以 2B C A C A B B C A C A B B C A C A BA B C A B C A B C , 也即 2B C A C A B B C A C A B B C A C A BA B C A B C A B C 3 13 B A C A A B C B A C B CA B A C B A B C C A C B ,故选 B. 方法二：由题知 1AA BB CC ,所以 1A A ， 1B B ， 1C C 1 1 1B C A C A B A B C ABCA B C A B C 1A B CA B C 例 2 【解】 2 11z k z
11、 z z k z z kz 2 Re ( ) 2 Re ( ) 2z k k z k 且当 1, 01, 0kz k时取等 例 3 【解】 2 2 2 0xx 的解是 1xi， 易知圆心在 x 轴上 1） 20 1 0m 时， 2 2 1 0x mx 的解为两个实根时， 易知圆心为 ( ,0)m OC OA 2 2 21 4 4 ( 1 ) 12 mm 221 2 2m m m 32m 2） 20 1 0m 时， 2 2 1 0x mx 的解为两个虚根时， 21x m m i AC 中垂线交 x 轴于一点，即为圆心 故 11m ， 综上所述： 3 ( 1,1)2m OBAC DCDBAO6 例
12、 4 3 0 0 3 0 0( c o s s i n )A M i A N 3 0 0 3 0 0( c o s s i n ) ( )O M O A i O N O A 13222 ()ix y i x yi 3 2 3 2 322x y y x i 3 2 3 2 322,x y y xxy 221xy 223 2 3 2 3 122( ) ( )x y y x 整理得 22 2 2 3 3 0x y x y 即 22( 1) ( 3 ) 1xy 例 5 证明：设 2 22c o s s inineinn ， 1,nAA 对应的复数是 211, , , , n 。又设 P 对应的复数为
13、c o s siniz e i ， 1 1 121 0 0 0( ) ( ) ( 1 )n n n nk k k k kkk k k kP A z z z z z z 1 1 120 0 0 2n n nkkk k kz z z n n 例 6 在二项展开式 01(1 ) n n nn n nx C C x C x 中， 依次取 21, ,x （设 1322i ），则0 1 220 1 2220 1 22(1 )(1 )nnnS S SS S SS S S 相加得 203 2 ( 1 ) ( 1 ) 2 ( c o s s i n ) ( c o s s i n )3 3 3 3n n n n
14、 n nS i i 得 0 3 6 90 1 ( 2 2 c o s )33nn n n n nS C C C C 在0 1 220 1 2220 1 22(1 )(1 )nnnS S SS S SS S S 中从上到下各式分别乘以 21, ,，求得 221 1 1 ( 2 )( 2 ( 1 ) ( 1 ) ) ( 2 2 c o s )3 3 3n n n n nS 从上到下各式分别乘以 21, , ，求得 222 1 1 ( 4 )( 2 ( 1 ) ( 1 ) ) ( 2 2 c o s )3 3 3n n n n nS 例 7 解：设 nin sincos （ i为虚数单位） ,则 1
15、, )1(22, n 为 012 nx 的根。 kkkk iink 2 12s in 2 ， sinn sin n2 sin nn )1( =)1(2111)1(2422)1()1)(1( nnnnni =211)1(2421)(2 )1()1)(1()1( nnnni =1)1(242 2 )1()1)(1(nn , 7 而 )()( )1(224222 nxxx = 12)2(2)1(2 xxx nn , nn )1()1)(1( )1(242 12)1(s in2s ins in nnnnnn 2 实系数一元二次方程， 0 时有两个共轭的虚数根，且根的情况一般要分实数、虚数讨论。 【解】
16、 1) 50 4 m 时，方程有两个实根，其中有一根为 1或 -1 代入得 11m或 2) 50 4m 时，方程有两个共轭的虚根， 由韦达定理 21 1 2z z m z m 综上所述： 1m或 2 6 椭圆 13616 22 yx 8 【解】设 ,z x yi x y R 0 400 4040 40 40 xz x y i y 222 2 2 22240014 0 4 0 4 04001xxyxy iyz x y x yxy 22220 400 4040 040 0xyx y xx y y 由线性规划知图中阴影部分即为区域 A 故面积为 22314 0 2 0 1 2 0 0 2 0 042 11 在二项展开式 01(1 ) n n nn n nx C C x C x 中， 依次取 1, 1, ,x i i （ 4 次单位根），则 相加得 0 4 84 ( ) 2 ( 1 1 ) ( 1 ) ( 1 )n n n nn n nC C C i i 222 2 ( c o s s i n ) 2 ( c o s s i n )4 4 4 4nnn n nii 所以 0 4 8 1 21 ( 2 2 c o s )24nnn n n nC C C 400 40
