1、小学五年级奥数知识点分类汇总及解析第 1 讲 平均数 (一)一、知识要点把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢?下面的数量关系必须牢记：平均数=总数量总份数 总数量= 平均数总份数 总份数=总数量平均数二、精讲精练【例题 1】 有 4 箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱 42 个，梨、橘子、桃平均每箱 36 个，苹果和桃平均每箱 37 个。一箱苹果多少个 ?【思路导航】(1)1 箱苹果 +1 箱梨+1 箱橘子=423=136(个);(2)1 箱桃+1 箱梨+1 箱橘子=363=108( 个
2、)(3)1 箱苹果+1 箱桃=372=72( 个)由(1)(2)两个等式可知：1 箱苹果比 1 箱桃多 126-108=18(个)，再根据等式(3)就可以算出：1 箱桃有(74-18)2=28(个)，1箱苹果有 28+18=46(个)。1 箱苹果和 1 箱桃共有多少个： 372=74(个)1 箱苹果比 1 箱桃多多少个： 423-36=18(个)1 箱苹果有多少个：28+18=46(个)练习 1：1.一次考试 ，甲、乙、丙三人平均分 91 分，乙、丙、丁三人平均分 89 分，甲、丁二人平均分 95 分。问：甲、丁各得多少分?2.甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重 120 千克，甲、丙
3、、丁三人共重 126 千克，丙、丁二人的平均体重是 40 千克。求四人的平均体重是多少千克?3.甲、乙、丙三个小 组的同学去植 树，甲、乙两组平均每组植树 18 棵，甲、丙两组平均每组植树 17棵，乙、丙两组平均每组植树 19 棵。三个小组各植树多少棵?【例题 2】 一次数学测验 ，全班平均分是 91.2 分，已知女生有 21 人，平均每人 92 分;男生平均每人 90.5 分。求这个班男生有多少人?【思路导航】女生每人比全班平均分高 92-91.2=0.8(分)，而男生每人比全班平均分低 91.2-90.5=0.7(分)。全体女生高出全班平均分 0.821=16.8(分)，应补给每个男生 0
4、.7 分，16.8 里包含有 24个 0.7，即全班有 24 个男生。练习 2：1.两组学生 进行跳绳比赛 ，平均每人跳 152 下。甲组有 6 人，平均每人跳 140 下，乙组平均每人跳160 下。乙组有多少人?2.有两块棉田，平均每 亩产 量是 92.5 千克，已知一块地是 5 亩，平均每亩产量是 101.5 千克;另一块田平均每亩产量是 85 千克。 这块田是多少亩?3.把甲级和乙 级糖混在一起，平均每千克 卖 7 元，乙知甲级糖有 4 千克，平均每千克 8 元;乙级糖有2 千克，平均每千克多少元?【例题 3】 某 3 个数的平均数是 2.如果把其中一个数改为 4，平均数就变成了 3。被
5、改的数原来是多少?【思路导航】原来三个数的和是 23=6，后来三个数的和是 33=9，9 比 6 多出了 3.是因为把那个数改成了 4。因此，原来的数应该是 4-3=1。练习 3：1.已知九个数的平均数是 72.去掉一个数之后，余下的数的平均数是 78。去掉的数是多少?2.有五个数，平均数是 9。如果把其中的一个数改为 1.那么这五个数的平均数为 8。这个改动的数原来是多少?3.甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分是 90 分。可是，甲在抄分数时，把自己的分错抄成了 87 分，因此，算得四人的平均分是 88 分。求甲在 这次考试中得了多少分?【例题 4】 五一班同学数学考试平均成绩
6、 91.5 分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的 98 分误作 89 分计算了。 经重新计算，全班的平均成 绩是 91.7 分，五一班有多少名同学?【思路导航】98 分比 89 分多 9 分。多算 9 分就能使全班平均每人的成绩上升 91.7-91.5=0.2(分) 。9 里面包含有几个 0.2.五一班就有几名同学。练习 4：1.五(1)班有 40 人，期中数学考试，有 2 名同学去参加体育比赛而缺考，全班平均分为 92 分。缺考的两位同学补考均为 100 分，这次五(1)班同学期中考试 的平均分是多少分?2.某班的一次 测验，平均成 绩是 91.3 分。复查时发现把张静的 89 分误看作
7、97 分计算，经重新计算，该班平均成绩是 91.1 分。问全班有多少同学?3.五个数的平均数是 18，把其中一个数改为 6 后，这五个数的平均数是 16。这个改动的数原来是多少?【例题 5】 把五个数从小到大排列，其平均数是 38。前三个数的平均数是 27，后三个数的平均数是 48。中间一个数是多少 ?【思路导航】先求出五个数的和：385=190，再求出前三个数的和： 273=81.后三个数的和：483=144。用前三个数的和加上后三个数的和，这样，中 间的那个数就算了两次，必然比 190 多，而多出的部分就是所求的中间的一个数。练习 5：1.甲、乙、丙三人的平均年龄为 22 岁，如果甲、乙的
8、平均年龄是 18 岁，乙、丙的平均年龄是 25 岁，那么乙的年龄是多少岁?2.十名参赛 者的平均分是 82 分，前 6 人的平均分是 83 分，后 6 人的平均分是 80 分。那么第 5 人和第 6 人的平均分是多少分?3.下图中的 内有五个数 A、B、C、D、E ， 内的数表示与它相连的所有中的平均数。求 C 是多少?第 2 讲 平均数二、精讲精练【例题 1】 小明前几次数学测验的平均成绩是 84 分，这次要考 100 分，才能把平均成绩提高到 86分。问这是他第几次测验?【思路导航】100 分比 86 分多 14 分，这 14 分必须填补到前几次的平均分 84 分中去，使其平均分成为 86
9、 分。每次填 补 86-84=2(分)，14 里面有 7 个 2.所以，前面已经测验了 7 次，这是第 8 次测验。练习 1：1.老师带着几个同学在做花，老师做了 21 朵，同学平均每人做了 5 朵。如果师生合起来算，正好平均每人做了 7 朵 。求有多少个同学在做花?2.一位同学在期中 测验中，除了数学外，其它几 门功课的平均成绩是 94 分，如果数学算在内，平均每门 95 分。已知他数学得了 100 分，问这位同学一共考了多少门功课?3.两组同学 进行跳绳比赛 ，平均每人跳 152 次。甲组有 6 人，平均每人跳 140 次，如果乙组平均每人跳 160 次，那么，乙组有多少人?【例题 2】
10、小亮在期末考试中，政治、语文、数学、英语、自然五科的平均成绩是 89 分，政治、数学两科平均 91.5 分，政治、英语两科平均 86 分，英语比语文多 10 分。小亮的各科成绩是多少分?【思路导航】因为语文、英语两科平均分 84 分，即语文+英语=168 分，而英语比语文多 10 分，即英语-语文=10 分，所以，语 文是(168-10)2=79 分，英语是 79+10=89 分。又因为政治、英语两科平均 86 分，所以政治是 862-89=83 分;而政治、数学两科平均分 91.5 分，数学是 91.52-83=100 分;最后根据五科的平均成绩是 89 分可知，自然分是 895-(79+8
11、9+83+100)=94 分。练习 2：1.甲、乙、丙三个数的平均数是 82.甲、乙两数的平均数是 86，乙、丙两数的平均数是 77。乙数是多少?甲、丙两个数的平均数是多少 ?2.小华的前几次数学 测验 的平均成绩是 80 分，这一次得了 100 分，正好把这几次的平均分提高到85 分。这一次是他第几次 测验 ?3.五个数排一排，平均数是 9。如果前四个数的平均数是 7，后四个数的平均数是 10，那么，第一个数和第五个数的平均数是多少?【例题 3】 两地相距 360 千米，一艘汽艇顺水行全程需要 10 小时，已知这条河的水流速度为每小时 6 千米。往返两地的平均速度是每小时多少千米?【思路导航
12、】用往返的路程除以往返所用的时间就等于往返两地的平均速度。显然，要求往返的平均速度必须先求出逆水行全程时所用的时间。因为 36010=36(千米) 是顺水速度，它是汽艇的静水速度与水流速度的和，所以，此汽艇的静水速度是 36-6=30(千米) 。而逆水速度= 静水速度-水流速度，所以汽艇的逆水速度是 30-6=24(千米)。逆水行全程时所用时间是 36024=15(小时)，往返的平均速度是3602(10+15)=28.8(千米)。练习 3：1.甲、乙两个 码头相距 144 千米，汽船从乙码头逆水行驶 8 小时到达甲码头，已知汽船在静水中每小时行驶 21 千米。求汽船从甲码头顺流行驶几小时到达乙
13、码头?2.一艘客轮 从甲港驶向乙港，全程要行 165 千米。已知客轮的静水速度是每小时 30 千米，水速每小时 3 千米。 现在正好是 顺流而行，行全程需要几小时?3.甲船逆水航行 300 千米，需要 15 小时，返回原地需要 10 小时;乙船逆水航行同样的一段水路需要20 小时，返回原地需要多少小时?【例题 4】 幼儿园小班的 20 个小朋友和大班的 30 个小朋友一起分饼干，小班的小朋友每人分 10块，大班的小朋友每人比大、小班小朋友的平均数多 2 块。求一共分掉多少块饼干?【思路导航】只要知道了大、小班小朋友分得的平均数，再乘(30+20)人就能求出饼干的总块数。因为大班的小朋友每人比大
14、、小班小朋友的平均数多 2 块，30 个小朋友一共多 230=60(块) ，这 60 块平均分给 20 个小班的小朋友，每人可得 6020=3(块)。因此，大、小班小朋友分得平均 块数是10+3=13(块)。一共分掉 13(30+20)=650(块)。练习 4：1.数学兴趣小 组里有 4 名女生和 3 名男生，在一次数学竞赛中，女生的平均分是 90 分，男生的平均分比全组的平均分高 2 分，全组的平均分是多少分?2.两组同学跳 绳，第一组 有 25 人，平均每人跳 80 下;第二组有 20 人，平均每人比两组同学跳的平均数多 5 下，两 组同学平均每人跳几下?3.一个技术 工带 5 个普通工人
15、完成了一项任务，每个普通工人各得 120 元，这位技术工人的收入比他们 6 人的平均收入还多 20 元。问这位技术工得多少元 ?【例题 5】 王强从 A 地到 B 地，先骑自行车行完全程的一半，每小时行 12 千米。剩下的步行，每小时走 4 千米。王 强行完全程的平均速度是每小时多少千米?【思路导航】求行完全程的平均速度，应该用全程除以行全程所用的时间。由于题中没有告诉我们A 地到 B 地间的路程，我们可以 设全程为 24 千米(也可以 设其他数) ，这样，就可以算出行全程所用的时间是 1212+124=4(小时)，再用 244 就能得到行全程的平均速度是每小时 6 千米。练习 5：1.小明去
16、爬山，上山 时每小 时行 3 千米，原路返回时每小时行 5 千米。求小明往返的平均速度。2.运动员进 行长跑训练，他在前一半路程中每分 钟跑 150 米，后一半路程中每分钟跑 100 米。求他在整个长跑中的平均速度。3.把一份书 稿平均分给甲、乙二人去打，甲每分 钟打 30 个字，乙每分钟打 20 个字。打这份书稿平均每分钟打多少个字?第 3 讲 长方形、正方形的周长一、知识要点同学们都知道，长方形的周长=(长+宽)2.正方形的周长=边长4。长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需同学们灵活应用已学知识
17、，掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算它们的周长。二、精讲精练【例题 1】 有 5 张同样大小的纸如下图(a)重叠着，每张纸都是边长 6 厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。【思路导航】 根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、下平移(如图 b)，转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和原来 5 个小正方形重叠后的图形的周长相等。因此，所求周长是 184=72 厘米。练习 1:1.下图由 8 个边长都是 2 厘米的正方形组成，求这个图形的周长。2.下图由 1 个正方形和 2 个长方形组成，求这个图形的周长。3.有 6 块边长 是
18、1 厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重叠后图形的周长。【例题 2】 一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去 4 厘米，截掉的面积为 192 平方厘米。现在这块木板的周长是多少厘米?【思路导航】 把截掉的 192 平方厘米分成 A、B、C 三块(如图) ，其中 AB 的面积是 192-44=176(平方厘米)。把 A 和 B 移到一起拼成一个宽 4 厘米的长方形，而此长方形的长就是这块木板剩下部分的周长的一半。1764=44(厘米)，现在这块木板的周 长是 442=88(厘米) 。练习 2：1.有一个长 方形，如果长 减少 4 米，宽减少 2 米，面积就比原来减少 44 平方米
19、，且剩下部分正好是一个正方形。求这个正方形的周长。2.有两个相同的 长方形， 长是 8 厘米，宽是 3 厘米，如果按下图叠放在一起，这个图形的周长是多少?3.有一块长 方形广场，沿着它不同的两条 边各划出 2 米做绿化带，剩下的部分仍是长方形，且周长为 280 米。求划去的绿化带的面积是多少平方米?【例题 3】 已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少?【思路导航】 从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围成，其中三条横着，三条竖着。三条横着的线段和是(a+b)2.三条竖着的线段和是 b2。所以，整个 图形的周长是(a+b)2+b2. 即2a+4b。练习 3：1.有一张长 4
20、0 厘米，宽 30 厘米的硬纸板，在四个角上各剪去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。2.一个长 12 厘米，宽 2 厘米的长方形和两个正方形正好拼成下图(1)所示长方形，求所拼长方形的周长？3.求下面图 形(图 2)的周长( 单位：厘米)。【例题 4】 下图是边长为 4 厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。【思路导航】 我们把阴影部分周长中左边的 5 条线段全部平移到左边，其和正好是 4 厘米。再把下面的线段全部平移到下面，其和也正好是 4 厘米。因此，阴影部分的周长与边长是 4 厘米的正方形的周长是相等的。练习 4：1.求下面图 形的周长(单位：厘米)。2
21、.在( )里填上“”、“”或“=” 。甲的周长( )乙的周长3.下图中的每一小段的 长 度都相等，求图形的周长。【例题 5】 如下图，阴影部分是正方形，DF=6 厘米，AB=9 厘米，求最大的长方形的周长。【思路导航】根据题意可知，最大长方形的宽就是正方形的边长。因为 BC=EF，CF=DE ，所以，AB+BC+CF=AB+FE+ED=9+6=15(厘米) ，这正好是最大 长方形周长的一半。因此，最大长方形的周长是(9+6)2=30(厘米)。练习 5：1.下面三个正方形的面 积 相等，剪去阴影部分的面积也相等，求原来正方形的周长发生了什么变化?(单位：厘米)2.下面是一个零件的平面图，图中每条
22、短线段都是 5 厘米，零件长 35 厘米，高 30 厘米。这个零件的周长是多少厘米?3.有两个相同的 长方形， 长 7 厘米，宽 3 厘米，如下图重叠着，求重叠图形的周长。第 4 讲 长方形、正方形的面积一、知识要点长方形的面积=长 宽，正方形的面积=边长 边长。掌握并能运用 这两个面积公式，就能计算它们的面积。但是，在平时的学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。这就需要我们切实掌握有关概念，利用“割补” 、“平移”、“ 旋转”等方法，使复杂的问题转化为普通的求长方形、正方形面积的问题，从而正确解答。二、精讲精练【例题 1】 已知大正
23、方形比小正方形边长多 2 厘米，大正方形比小正方形的面 积大 40 平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘米?【思路导航】从图中可以看出，大正方形的面积比小正方形的面积大出的 40 平方厘米，可以分成三部分，其中 A 和 B 的面积相等。因此，用 40 平方厘米减去阴影部分的面积，再除以 2 就能得到长方形A 和 B 的面 积，再用 A 或 B 的面积除以 2 就是小正方形的 边长。求到了小正方形的边长，计算大、小正方形的面积就非常简单了。练习 1：1.有一块长 方形草地，长 20 米，宽 15 米。在它的四周向外筑一条宽 2 米的小路，求小路的面积。2.正方形的一 组对边增加 30 厘
24、米，另一组对边减少 18 厘米，结果得到一个与原正方形面积相等的长方形。原正方形的面积是多少平方厘米?3.把一个长 方形的长增加 5 分米，宽增加 8 分米后，得到一个面积比原长方形多 181 平方分米的正方形。求这个正方形的边长是多少分米?【例题 2】 一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小的长方形，其中三个长方形的面积如下图所求，求第四个长方形的面积。【思路导航】因为 AECE=6，DEEB=35 ，把两个式子相乘 AECEDEEB=356，而CEEB=14，所以 AEDE=35614=15。练习 2：1.下图一个 长方形被分成四个小 长方形，其中三个长方形的面积分别是 24
25、 平方厘米、30 平方厘米和 32 平方厘米，求阴影部分的面积。2.下面一个 长方形被分成六个小 长方形，其中四个长方形的面积如图所示(单位：平方厘米)，求 A和 B 的面积。3.下图中阴影部分是 边长 5 厘米的正方形，四块完全一样的长方形的宽是 8 厘米，求整个图形的面积。【例题 3】 把 20 分米长的线段分成两段，并且在每一段上作一正方形，已知两个正方形的面 积相差 40 平方分米，大正方形的面积是多少平方分米?【思路导航】我们可以把小正方形移至大正方形里面进行分析。两个正方形的面积差 40 平方分米就是图中的 A 和 B 两部分，如图 。如果把 B 移到原来小正方形的上面，不难看出，
26、A 和 B 正好组成一个长方形，此长方形的面积是 40 平方分米，长 20 分米，宽是 4020=2(分米) ，即大、小两个正方形的边长相差 2 分米。因此，大正方形的边长就是(20+2)2=11( 分米)，面积是 1111=121(平方分米) 。练习 3：1.一块正方形，一 边划出 1.5 米，另一边划出 10 米搞绿化，剩下的面积比原来减少了 1350 平方米。这块地原来的面积是多少平方米?2.一个正方形，如果它的边长增加 5 厘米，那么，面积就比原来增加 95 平方厘米。原来正方形的面积是多少平方厘米?3.有一个正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米宽的小路，路面面积是 80 平方米。求草坪
27、的面积。【例题 4】 有一个正方形 ABCD 如下图，请把这个正方形的面 积扩大 1 倍，并画出来。【思路导航】由于不知道正方形的边长和面积，所以，也没有办法计算出所画正方形的边长或面积。我们可以利用两个正方形之间的关系进行分析。以正方形的四条边为准，分别作出 4 个等腰直角三角形，如图中虚线部分，显然，虚线表示的正方形的面积就是原正方形面积的 2 倍。练习 4：1.四个完全一 样的长方形和一个小正方形 组成了一个大正方形，如果大、小正方形的面积分别是 49平方米和 4 平方米，求其中一个长方形的宽。2.正图的每条 边都垂直于与它相 邻的边，并且 28 条边的长都相等。如果此图的周长是 56
28、厘米，那么，这个图形的面积是多少?3.正图中，正方形 ABCD 的边长 4 厘米，求长方形 EFGD 的面积。【例题 5】 有一个周长是 72 厘米的长方形，它是由三个大小相等的正方形拼成的。一个正方形的面积是多少平方厘米?【思路导航】三个同样大小的正方形拼成的长方形，它的周长是原正方形边长的 8 倍，正方形的边长为 728=9(厘米) ，一个正方形的面积就是 99=81(平方厘米) 。练习 5：1.五个同样大小的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是 36 厘米，求每个正方形的面积是多少平方厘米?2.有一张长 方形纸，长 12 厘米，宽 10 厘米。从这张纸上剪下一个最大的正方形后，剩下部
29、分的周长是多少厘米?3.有一个小 长方形，它和一个正方形拼成了一个大 长方形 ABCD(如下图)，已知大长方形的面积是 35平方厘米，且周长比原来小长方形的周长多 10 厘米。求原来小长方形的面积。第 5 讲 分类 数图形一、知识要点我们在数数的时候，遵循不重复、不遗漏的原则，不能使数出的结果准确。但是在数图形的个数的时候，往往就不容易了。分类数图形的方法能够帮助我们找到图形的规律，从而有秩序、有条理并且正确地数出图形的个数。二、精讲精练【例题 1】 下面图形中有多少个正方形?【思路导航】图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组成的有 63=18 个，22 的正方形有 52=10 个，33 的正方形有 41=4 个。因此图 中共有 18+10+4=32 个正方形。练习 1：1.下图中共有多少个正方形?2.下图中共有多少个正方形?3.下图中共有多少个正方形，多少个三角形?【例题 2】 下图中共有多少个三角形?
