1、1第四十一讲 复数的概念、几何意义及运算一、引言复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有了一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础1考试大纲要求： （1）理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件，了解复数的代数表示法及其几何意义；（2）会进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义2考情分析：从近几年的高考试题看，复数的概念和复数的代数形式成为命题热点，通常以选择题和填空题为主，一是考查复数的概念，如实数、纯虚数、共轭虚数和两个复数相等等，二是复数代数形式的加、减、乘、除四则运算等基础知识二、考点梳理1.虚数单位 i（1）它的平方
2、等于 1，即 2i； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加法、乘法运算律仍然成立（3） i与 的关系: i就是 的一个平方根，即方程 21x的一个根，另一个根是i（4） i的周期性： 41ni， 4ni， 421ni， 43()niiZ2.复数的定义：形如 (,)abR的数叫做复数， a叫做复数的实部， b叫做复数的虚部；全体复数所组成的集合叫做复数集，用字母 C表示 3.复数的代数形式：复数通常用字母 z表示，即 (,)zbiR叫做复数的代数形式4复数集的分类： 0(0)(,)bzazzaiR时 为 实 数 时 为 实 数复 数 时 为 纯 虚 数时 为 虚 数 时 为 非
3、 纯 虚 数5. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果 ,abcdR，那么 abicdiac且 bd.一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小，当两个复数不全是实数时不能比较大小6复数的模： 2ziOZ，两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小；27共轭复数：实部相等，虚部互为相反数：a+bi 和 abi（a,b R） ；z的共轭复数用 z表示,特别地: 2zz8.实轴、虚轴与复平面：点 Z的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数 (,)abi可用点 (,)Zab表示，这个建立了直角坐标系来表示复
4、数的平面叫做复平面， x轴叫做实轴， y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数 (,)zbiR、复平面内的点 (,)Z与复平面内的向量 O三者之间是一一对应的关系9复数的和、差、积、商运算法则：（1）z 1z2=(a+bi) (c+di)=(ac)+(bd)i； （2）(a+ bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad) i；（3） 22bid复数运算满足加、乘的交换律、结合律、分配律.10.复数加法的几何意义：如图，如果复数 1z、 2分别对应于向量 12OZ、 ，那么，以 12OZ、 两边作平行四边形 12OZ，对角线 Z表示的向量 就是 z所对应的向
5、量.11.复数减法的几何意义：两个复数的差 12z与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.三、典型例题选讲考点一：复数的概念例 1（2008 年全国卷）设 aR，且 2()i为正实数，则 a（ ）A2 B1 C0 D 1解：由于 22()(1)aii为正实数，所以2,0.解得 1归纳小结：此题是基础题，用到了复数的分类，在对复数进行分类时要注意，使得虚部和实部均有意义，如当 z为实数时，应有虚部 b，还要保证实部 a有意义；当 z为纯虚数时，应有实部 0，还要保证虚部 0，否则容易发生错误例 2（ 2007 山 东 卷 ） 若 cosin（ 为虚数单位） ，则使 21z的值 可3能是（ ）
6、A 6 B 4 C 3 D 2解： 22cosincosincosin1z，所以1,in0.()kZ，因此， ()2，当 0时， 2因此选 D归纳小结：本题是复数与三角综合题，利用复数的运算和分类以及复数相等的充要条件，即可解决例 3(2009 湖北卷)投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为 m 和 n,则复数（m+ni）(n-mi)为实数的概率为（ ）A. 1 B. 14 C. 16 D. 12 解：因为 2()()mniini为实数，所以 n故 ，则可以取 1、2 6，共 6 种可能，所以 3P.因此选 C.小结：此题用到了复数的分类，在对复数进行分类时要区分实数、虚数以及纯虚数的概念，结合
7、概率的知识解决问题. 若复数中出现 ()niZ，应牢记 i的周期性： 41ni，41ni， 421ni， 43()niiZ等常用的公式，有利于解决与复数 相关的概念问题和计算问题.考点二：复数的运算例 4 （2009 全国卷）已知 21i ,则复数 z=（ ）w. A.-1+3i B.1-3i C.3+i D.3-i解： (1)23,ziizi 因此选 B. 归纳小结：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位 i的看做一类同类项，不含 i的看做另一类同类项，分别合并即可，但要注意把 i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉 i的特点及熟练应用运算技巧例 5（2009 年上海卷
8、理）若复数 z 满足 z (1+i) =1-i (i 是虚数单位)，则其共轭复数z=_.解法 1：设 zabi，则 ()1ii，即 ()1abi，所以 ,.，解得 0， b，所以 zi，因此 zi.4解法 2：由 z (1+i) =1-i，可得 1iz，所以 zi.归纳小结：解法 1 中把复数问题转化为实数范围内的代数问题，是解决复数问题常用的方法，主要是依据复数相等的充要条件即：如果 ,abcdR，那么abicdiac且 bd.解法 2 中应用了复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变为实数，将除法转变为乘法进行运算.考点三：复数的几何意义例 6（2008 年江西卷）在复
9、平面内，复数 sin2coz对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限解： 2弧度的角是第二象限角， i0， ， sincoz对应的点 (s,co)Z在第四象限因此选 D 归纳小结：复数 ,zabiR、复平面内的点 (,)Zab与复平面内的向量 OZ三者之间是一一对应，复数的加、减法分别对应向量的加、减法，可借助向量的加法法则和减法法则来研究复数的加、减法例 7 已知 zC，且 21zi， i是虚数单位，则 2zi的最小值是（ ）A.2 B.3 C.4 D.5解：设 zxyi，由已知 zi可知，点 Z的轨迹是以 (,)为圆心， 1为半径的圆，则所求 2表示圆 22()()
10、1xy上的动点到定点的距离，因此它的最小值为圆心 (,)到定点 ,的距离减去圆的半径 ，即 43，因此选 B.归纳小结：本题是关于复数的几何意义、复数的模以及最值问题的简单综合性问题，由于复数 (,)zabiR、复平面内的点 (,)Zab与复平面内的向量 OZ三者之间是一一对应的关系，解决此类问题的关键在于利用复数的几何意义，实现代数问题与几何问题的互化，把复数问题转化为解析几何问题，使复杂的问题简单化，运用数形结合思想，借助于圆的相关知识求最值问题例 8 已知平行四边形的三个顶点分别对应复数 2i， 4i， 6i，求第四个顶点对应的复数解：如图所示，设这个平行四边形已知的三个顶点分别为 12
11、3,Z，它们对应的复数分别是 12zi， 4i， 326zi，第四个顶点对应的复数为 4z，则若平行四边形以 12Z和 为一组邻边，有 1423Z，所以 412131()()zz，即 316zz；5若平行四边形以 21Z和 3为一组邻边，有 24123ZZ，所以 422()()zz，即 413zzi；若平行四边形以 31和为一组邻边，有 4312，所以 4323()()zz，即 4128zzi；综上所述，这个平行四边形第四个顶点对应的复数分别是 6i， ， 归纳小结：复数与向量之间的相互转化是解决此类问题的关键，利用复数的几何意义，实现代数问题与几何问题的互化，充分利用平面向量的相关知识，再结合分类讨论这种重要的解题策略和方法，使复杂的问题简单化四、本专题总结本节的主要内容是复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义本节的基本方法和数学思想是:（1）复数概念清晰化，即注意区分实数、虚数、纯虚数等复数的基本概念；（2）复数问题实数化，即根据复数相等的定义，将复数问题转化为实数问题来解决；（3）代数问题几何化，即利用复数的几何意义，实现复数的代数问题和几何问题的互化，运用分类讨论思想、数形结合思想，结合向量、解析几何知识来解决
