1、1“点差法”在圆锥曲线之中点弦的应用直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解，但运算量较大。若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为 、 ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对),(1yxA),(2B所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法” 。下面就如何用点差法计算举几个例子供参考。一、 求以定点为
2、中点的弦所在直线的方程例 1、过椭圆 内一点 引一条弦，使弦被 点平分，求这条弦所在直线1462yx)1,2(MM的方程。例 2、已知双曲线 ，经过点 能否作一条直线 ，使 与双曲线交于 、12yx)1,(MlA，且点 是线段 的中点。若存在这样的直线 ，求出它的方程，若不存在，说BMAB明理由。二、 求弦的中点坐标和中点轨迹方程例 3、已知椭圆 的一条弦的斜率为 3，它与直线 的交点恰为这条弦的中1257xy 21x点 ，求点 的坐标。M2例 4、已知椭圆 ,求它的斜率为 3 的弦中点的轨迹方程。1257xy三求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例 5、已知中心在原点，一焦点为 的椭圆被直线 截得
3、的弦的中点的)50,(F23:xyl横坐标为 ，求椭圆的方程。21四、求圆锥曲线上两点关于某直线对称的问题例 6、已知椭圆 ，试确定的 取值范围，使得对于直线 ，椭圆上1342yxmmxy4总有不同的两点关于该直线对称。例 7、已知抛物线 C: 和直线 为使抛物线上存在关于 对称2)43(xy)0(:kxyl l的两点，求 的取值范围。k3上面给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些解法。下面看一个结论引理 设 A、B 是二次曲线 C： 02FEyDxyAx上的两点，P),(0yx为弦 AB 的中点，则 )02(00EyCyDxkAB。设 A ),(1、B ),则 0121yxx（1）
4、2FDCA （2）2得 0)()()( 2111212121 yExyx )(00 Ey 0D 20ECy 21x CyAx021即 CyDAkB02。（说明：当 BA 时，上面的结论就是过二次曲线 C 上的点 P ),(x的切线斜率公式，即 yk0）推论 1 设圆 02FEyDx的弦 AB 的中点为 P ),(0y（ )，则xAB0。 （假设点 P 在圆上时，则过点 P 的切线斜率为）推论 2 设椭圆12byax的弦 AB 的中点为P),(0yx（ )，则 0kAB。 （注：对 ab 也成立。假设点 P 在椭圆上，则过点 P 的切线斜率为 02y）推论 3 设双曲线12bax的弦 AB 的中
5、点为 P ),(0yx（ )则02yxabkAB。 （假设点 P 在双曲线上，则过 P 点的切线斜率为 02abk）推论 4 设抛物线 px2的弦 AB 的中点为 P ),(0yx（ )则 ypAB。 （假设点 P 在抛物线上，则过点 P 的切线斜率为 0pk五、注意的问题利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题、对称性问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养解题能力和解题兴趣。但不能忽略弦中点的轨迹应在曲线内的条件。EDxk024六强化训练题1 求椭圆1625yx斜率为 3 的弦的中点轨迹方程。2 过椭圆 内一点 M（2，1）引一条弦，使弦被点 M 平分，求这条弦所在的4162yx直线方程。3 过椭圆 上一点 P（-8，0）作直线交椭圆于 Q 点，求 PQ 中点的轨迹方程。13642yx4 求直线 被抛物线 截得线段的中点坐标。1xyxy42
