1、0 圆 目 录 一圆的定义及相关概念 二垂经定理及其推论 三圆周角与圆心角 四圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 五圆内接四边形 六会用切线 , 能证切线 七切线长定理 八三角形的内切圆 九了解弦切角与圆幂定理（选学） 十圆与圆的位置关系 十一 圆的有关计算 十二 圆的基础综合测试 十三 圆的终极综合测试 1 一圆的定义及相关概念 【考点速览】 考点 1： 圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它 的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点 2： 确定圆的条件；圆心和半径 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； 不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点 3： 弦：连结圆上任
2、意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的 弦。 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。 弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。 （请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高） 固定的已经不能再固定的方法： 求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得 到直角三角形。如下图： 2 考点 4： 三角形的外接圆： 锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点 5 点和圆的位
3、置关系 设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d， 则点与圆的位置关系有三种。 点在圆外 dr；点在圆上 d=r；点在圆内 dr； 【典型例题】 例 1 在 ABC 中， ACB=90,AC=2,BC=4， CM 是 AB 边上的中线，以点 C 为圆心，以 为半径作圆，试确定 A,B,M 三点分别与 C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。5 例 2已知，如图，CD 是直径， ，AE 交O 于 B，且 AB=OC，求A 的度84EOD 数。 M A B C D O E B AC 3 例 3 O 平面内一点 P 和O 上一点的距离最小为 3cm，最大为 8cm，则这圆的半径 是_cm。 例 4 在半
4、径为 5cm 的圆中，弦 ABCD，AB=6cm，CD=8cm，则 AB 和 CD 的距离是 多少？ 例 5 如图,O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，已知 AE=6cm，EB=2cm, ，30CEA 求 CD 的长 例 6.已知：O 的半径 0A=1，弦 AB、AC 的长分别为 ，求 的度数3,2BACA BDC O E 4 【考点速练】 1.下列命题中，正确的是（ ） A三点确定一个圆 B任何一个三角形有且仅有一个外接圆 C任何一个四边形都有一个外接圆 D等腰三角形的外心一定在它的外部 2如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C等
5、边三角形 D钝角三角形 3圆的内接三角形的个数为（ ） A1 个 B2 C3 个 D无数个 4三角形的外接圆的个数为（ ） A1 个 B2 C3 个 D无数个 5下列说法中，正确的个数为（ ） 任意一点可以确定一个圆；任意两点可以确定一个圆；任意三点可以确定一 个圆；经过任一点可以作圆；经过任意两点一定有圆 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( ) A.圆的外部(包括边界)； B.圆的内部(不包括边界)； C.圆； D.圆的内部(包括边 界) 7.已知O 的半径为 6cm,P 为线段 OA 的中点,若点 P 在O 上,则 OA 的长( ) A.
6、等于 6cm B.等于 12cm； C.小于 6cm D.大于 12cm 8.如图,O 的直径为 10cm,弦 AB 为 8cm,P 是弦 AB 上一点,若 OP 的长为整数, 则满足条 件的点 P 有( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 9.如图,A 是半径为 5 的O 内一点,且 OA=3,过点 A 且长小于 8 的弦有( ) A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.4 条 BPA O A O 5 A C B D O P 10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在 图中作出它的一条半径 （要求保留作图痕迹） 11.如图，已知在 中， ，
7、AB=3cm，AC=4cm，以点 A 为圆心，AC 长为半ABC90 径画弧交 CB 的延长线于点 D，求 CD 的长 12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度 AB16cm，拱高 CD4cm，那么拱形的半径是 m。 13、 ABC 中，AB=AC=10，BC=12，则它的外接圆半径是。 14、如图，点 P 是半径为 5 的O 内一点，且 OP3，在过点 P 的所有的O 的弦中，弦 长为整数的弦的条数为。 C B D A 6 15.思考题 如图所示,已知O 的半径为 10cm，P 是直径 AB 上一点,弦 CD 过点 P,CD=16cm,过点 A 和 B 分别向 CD 引垂线 AE 和 BF,求
8、AE-BF 的值. A B D C E P F O 7 【作业】日期 姓名 完成时间 成绩 1、在半径为 2 的圆中，弦长等于 2 的弦的弦心距为 _ 3 2. ABC的三个顶点在O上,且AB=AC=2,BAC=120,则O的半径= _, BC= _. 3 P 为O 内一点，OP=3cm，O 半径为 5cm，则经过 P 点的最短弦长为_； 最长弦长为_ 4. 如图,A,B,C三点在O上,且AB是O的直径,半径ODAC,垂足为F,若A=30,OF=3, 则OA=_ , AC=_ , BC= _ . 5.如图5,为直径是52cm圆柱形油槽,装入油后,油深CD为16cm,那么油面宽度AB= _ 6.
9、如图6, O中弦ABAC,D,E分别是AB,AC的中点. 若AB=AC,则四边形OEAD是 形; 若OD=3,半径 ,则AB= _cm, AC= _ _ cm 5r 7.如图 7，O 的直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，已知 AE=8cm，EB=4cm，CEA=30，则 CD 的长为_ (5) (6) (7) D O B C A A E D B O C F A D C BO 8 二垂径定理及其推论 【考点速览】 考点 1 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤 推论 1： 平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的
10、两条孤 平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤 推论 2圆的两条平行弦所夹的孤相等 垂径定理及推论 1 中的三条可概括为： 经过圆心；垂直于弦；平分弦(不是直径)；平分弦所对的优弧；平分弦所 对的劣弧 以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点 【典型例题】 例 1 如图 AB、CD 是O 的弦，M、N 分别是 AB、CD 的中点，且 CNMA 求证：AB=CD A B D C O NM 9 例 2 已知，不过圆心的直线 交O 于 C、D 两点，AB 是O 的直径，AE 于 E，BFl l 于 F。求证：CE=DFl l 问 题 一 图 1 O H FE DC B
11、A l 问 题 一 图 2 O H FE DC B A l问 题 一 图 3 OH FE DC BA 例 3 如图所示， O 的直径 AB15cm，有一条定长为 9cm 的动弦 CD 在弧 AmB 上 滑动（点 C 与点 A，点 D 与 B 不重合） ，且 CECD 交 AB 于 E，DFCD 交 AB 于 F。 （1）求证：AEBF （2）在动弦 CD 滑动的过程中，四边形 CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出 证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。 OA B C D E F m 10 例 4 如图，在 O 内，弦 CD 与直径 AB 交成 角，若弦 CD 交直径 AB 于点 P
12、，且045 O 半径为 1，试问： 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理2PDC 由. 【考点速练】 1.已知O 的半径为 2cm，弦 AB 长 ，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距cm32 离为（ ）. A1cm B.2cm C. D. cmcm3 3如图 1，O 的半径为 6cm，AB、CD 为两弦，且 ABCD，垂足为点 E，若 CE=3cm，DE=7cm，则 AB 的长为（ ） A10cm B.8cm C. D.c24c28 4.有下列判断：直径是圆的对称轴；圆的对称轴是一条直径；直径平分弦与弦所 对的孤；圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有（ ） A0 个 B.1 个 C.
13、2 个 D.3 个 5如图 2，同心圆中，大圆的弦交 AB 于 C、D 若 AB=4，CD=2，圆心 O 到 AB 的距离等于 1，那么两个同心圆的半径之比为（ ） A B C D P O 。 . 11 A B D C O 800 A3:2 B. :2 C. : D.5:4552 6.等腰三角形腰长为 4cm,底角为 ,则外接圆直径为（ ）30 A2cm B.4cm C.6cm D.8cm 7.如图,O 的直径为 10,弦 AB=8,P 是弦 AB 上的一个动点,那么 OP 长的取值范围是 . 8.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度 AB=16cm,拱高 CD=4cm,那么拱形的半径是_ _m
14、. 9.如图，直径为 1000mm 的圆柱形水管有积水（阴影部分） ，水面的宽度 AB 为 800mm，求 水的最大深度 CD 10.如图，已知ABC 中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，以 C 为圆心，CA 为半径作圆 交斜边 AB 于 D，则 AD 的长为 。 A B C D 图 BPA O D C BA A D E C B O 图 1 A O C D B 图 2 12 11.已知:如图,在O 中,弦 AB 的长是半径 OA 的 倍,C 为弧 AB 的中点,AB、OC 相交于3 点 M.试判断四边形 OACB 的形状,并说明理由. 12.如图所示，在O 中，弦 ABAC，弦 BD
15、BA，AC、BD 交直径 MN 于 E、F.求证： ME=NF. 13.（思考题）如图， 与 交于点 A，B，过 A 的直线分别交 ， 于1o2 1o2 M,N，C 为 MN 的中点，P 为 的中点，求证：PA=PC.O M C B A O O A B D CE F M N1O A B 2M NCP 13 【作业】日期 姓名 完成时间 成绩 1.已知O 的直径 AB=10cm，弦 CDAB，垂足为 M。且 OM=3cm，则 CD= . 2D 是半径为 5cm 的O 内的一点，且 D0=3cm，则过点 D 的所有弦中，最小的弦 AB= cm. 3.若圆的半径为 2cm，圆中一条弦长为 cm，则此
16、弦所对应弓形的弓高是 .32 4.已知O 的弦 AB=2cm,圆心到 AB 的距离为 n,则O 的半径 R= ，O 的周长为 . O 的面积为 . 5在O 中，弦 AB=10cm，C 为劣孤 的中点，OC 交 AB 于 D，CD=1cm，则O 的半径AB 是 . 6O 中，AB、CD 是弦，且 ABCD，且 AB=8cm，CD=6cm，O 的半径为 5cm，连接 AD、BC，则梯形 ABCD 的面积等于 . 7如图，O 的半径为 4cm，弦 AB、CD 交于 E 点，AC=BC，OFCD 于 F，OF=2cm，则 BED= . 8已知O 的半径为 10cm，弦 MNEF，且 MN=12cm，E
17、F=16cm，则弦 MN 和 EF 之间的距 离为 . A E F B C D O 14 三圆周角与圆心角 【考点速览】 考点 1 圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。 圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可 Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由 15 考点 2 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 Eg: 如下三图，请证明。 考点 3 4. 推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 半圆（或直径）所对的圆周角是
18、直角， 的圆周角所对的弦是直径90 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 经典例题 例 1：下图中是圆周角的有 .是圆心角的有 。 16 例 2：如图，A 是O 的圆周角，且A35,则OBC=_. 例 3：如图，圆心角AOB=100，则ACB= 例：如图， 是O 的直径，点 都在 O 上，若 ，ABCDE， ， CDE 则 例 5：如图 2，O 的直径 过弦 的中点 ， ，则 CDEFG40EODCF 例 6：已知：如图，AD是O的直径，ABC=30，则CAD=_ _ . . . _D _C _B _A _O 例 7：已知O 中， ， ，则O 的半径为 30C2cm
19、Bcm B O C A O A B C （例） ABC E F C D G O 例BOCA 17 例 8 已知：如图所示， 是O 的内接三角形，O 的直径 BD 交 AC 于 E，AFBDABC 于 F，延长 AF 交 BC 于 G求证： B2 考点练习 1.如图，已知 是O 的圆周角， ，则圆心角 是（ ）ACB50ACBAOB A B. C. D. 405081 2.已知：如图，四边形 ABCD 是O 的内接正方形，点 P 是劣弧 上不同于点 C 的任意一CD 点，则BPC 的度数是（ ） A45 B60 C75 D90 3.ABC 中，A30，B60，AC6，则ABC 外接圆的半径为（
20、） A B C D3323 4.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ） A30 B150 C30或 150 D60 PO D CB A A OB D CG F 1 E 18 5.如图所示，AB 是O 的直径，ADDE ，AE 与 BD 交于点 C，则图中与 BCE 相等的 角有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 6.下列命题中，正确的是（ ） 顶点在圆周上的角是圆周角；圆周角的度数等于圆心角度数的一半； 的圆周90 角所对的弦是直径；不在同一条直线上的三个点确定一个圆；同弧所对的圆周角相 等 A B C D 7.如图，O 是等边三角形 的外接圆，O 的半径为
21、2，A 则等边三角形 的边长为（ ）C A B C D35235 8.如图， ABC 内接于 O， BAC=120， AB=AC， BD 为 O 的直径， AD=6，则 BC 。 9.如图 9，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点 处安装了一台监视器，它的监控角度A 是 为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视65 器 台。 10.如图，量角器外沿上有 A、 B 两点，它们的读数分别是 70、40，则 1 的度数为 。 B E D A C O A B C O （第 9 题） A 65 O A BO C x P 19 11.如图, AB 是O 的直径，点 C 在O 上，BAC =30，点
22、 P 在线段 OB 上运动.设 ACP=x，则 x 的取值范围是 . 12.如图所示，小华从一个圆形场地的 A 点出发，沿着与半径 OA 夹角为 的方向行走， 走到场地边缘 B 后，再沿着与半径 OB 夹角为 的方向折向 行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧 AB 上，此时AOE56，则 的度数是 . 13.如图，已知 A、B、C、D 是O 上的四个点， ABBC，BD 交 AC 于点 E，连接 CD、AD （1）求证：DB 平分ADC； （2）若 BE3，ED 6，求 AB 的长 14.如图所示，已知 AB 为O 的直径，CD 是弦，且 ABCD 于点 E连接 AC、OC、BC
23、 （1）求证： ACO= BCD （2）若 EB=8cm，CD= 24c，求O 的直径 E D B A O C 20 15.如图，在 RtABC 中，ACB90，AC5，CB12，AD 是ABC 的角平分线，过 A、C、D 三点的圆与斜边 AB 交于点 E，连接 DE。 （1）求证：ACAE； （2）求ACD 外接圆的半径。 16.已知：如图等边 内接于 O，点 是劣弧 上的一点（端点除外） ，延长ABC PBC 至 ，使 ，连结 BPDPD （1）若 过圆心 ，如图，请你判断 是什么三角形？并说明理由 （2）若 不过圆心 ，如图， 又是什么三角形？为什么？ A C BD E A O C D
24、P B 图 A O C DP B 图 21 四圆心角、弧、弦、弦心距关系定理 【考点速览】 圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理: 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量 相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等. （务必注意前提为：在同圆或等圆中） 22 例 1如图所示，点 O 是EPF 的平分线上一点，以 O 为圆心的圆和角的两边分别交于 A、B 和 C、D，求证：AB=CD 例2、已知：如图，EF为O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且APF=CPF。 求证：PA=
25、PC。 例 3如图所示，在 中， A= ，O 截 的三条边长所得的三条弦等长，ABC72ABC 求BOC. A B E F O OPO C O 1 O2 O D O O A B C 23 例 4如图，O 的弦 CB、ED 的延长线交于点 A，且 BC=DE求证：AC=AE 例 5如图所示，已知在O 中，弦 AB=CB，ABC= ，ODAB 于 D，OEBC 于 E120 求证： 是等边三角形ODE O C A E B D O A D E B C 24 A B CO D E 综合练习 一、选择题 1下列说法中正确的是（ ） A、相等的圆心角所对的弧相等 B、相等的弧所对的圆心角相等 C、相等的弦
26、所对的弦心距相等 D、弦心距相等，则弦相等 2如图，在O 中，AB 的度数是 ，OBC= ，那么 OAC 等于（ ）504 A、 B、 C、 D、1522530 3P 为O 内一点，已知 OP=1cm，O 的半径 r=2cm，则过 P 点弦中，最短的弦长为（ ） A、1cm B、 cm C、 cm D、4cm332 4在O 中，AB 与 CD 为两平行弦，AB CD，AB、CD 所对圆心角分别为 ，若60,12 O 的半径为 6，则 AB、CD 两弦相距（ ） A、3 B、6 C、 D、13 5.如图所示，已知ABC 是等边三角形，以 BC 为直径的O 分别交 AB、AC 于点 D、E。 （1
27、）试说明ODE 的形状； （2）如图 2，若A=60，ABAC，则的结论是否仍然成立，说明你的理由。 O 图 A B C A B CO D E 25 6 如图，ABC 是等边三角形，O 过点 B，C，且与 BA、CA 的延长线分别交于点 D、E.弦 DFAC，EF 的延长线交 BC 的延长线于点 G. （1）求证：BEF 是等边三角形； （2）BA=4，CG=2，求 BF 的长. 7 已知：如图，AOB=90，C 、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点 E、F。求证：AE=BF=CD 。 A O B E D C G F 26 如图 3 如图 4 如图 5 【作业】日期 姓名 完成时间
28、 成绩 1.如图 1， 内接于 ， 则 的半径为（ ）.ABCO45ABO A B4 C D52 32 2.如图 2，在 中，点 C 是 AB 的中点， ，则 等于（ ）.0 A B C D400780 3.如图 3，A、B、C、D 是 上四点，且 D 是 AB 的中点，CD 交 OB 于 E，O ， = 度.5,10OEC 4.如图 4，已知 AB 是 的直径，C、D 是 上的两点， ，则 的度130BAC 数是 . 5.如图 5，AB 是半圆 的直径，E 是 BC 的中点，OE 交弦 BC 于点 D，已知 BC=8cm,DE=2cm，则 AD 的长为 cm. 6如图所示，在O 中，AB 是
29、直径，COAB，D 是 CO 的中点，DEAB求证:EC=2EA 如图 1 如图 2 A BO DE C 27 五圆内接四边形 【考点速览】 圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。 判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。 【典型例题】 例 1 （1）已知圆内接四边形 ABCD 中，A:B:C=2:3:4，求D 的度数 （2）已知圆内接四边形 ABCD 中，如图所示，AB、BC、CD、AD 的度数之比为 1:2:3:4, 求A、B、C、D 的度数 A B C D O 28 例 2 四边形 ABCD 内接于O，点 P 在 CD 的延长线上，且
30、APBD求证：ADBCP 例 3 如图所示， 是等边三角形， D 是 BC 上任一点求证：DB+DC=DAABC A D C B O P A B C D O 29 例4 AB是O的直径，弦DEAB，弦AF和DE的延长线交于C，连结DF、EF， 求证： FEDA 例 5 如图所示，在 中，AB=AC，过 A 点的直线与 的外接圆交于 E，与 BCABCBC 的延长线交于 D求证： ED2 A B C D EO 30 【考点速练】 1圆内接四边形的对角 ，并且任何一个外角都 它的内对角 2已知四边形 ABCD 内接于O，则A:B:C:D=3:2: :7，且最大的内角为 3如右图，已知四边形 ABC
31、D 内接于O，AECD 于 E，若ABC= ，则DAE= 130 4已知圆内接四边形 ABCD 的A、B、C 的外角度数比为 2:3:4， 则A= ，B= 5圆内接梯形是 梯形，圆内接平行四边形是 6若 E 是圆内接四边形 ABCD 的边 BA 的延长线上一点，BD=CD，EAD= ，则BDC= 5 7四边形 ABCD 内接于圆，A、C 的度数之比是 5:4，B 比D 大 ，则A= 30 。D= 8圆内接四边形 ABCD 中，A、B、C 的度数比是 2：3：6,则D 的度数是（ ） A、 B、 C、 D、5.671355.110 9如图 1 所示，圆的内接四边形 ABCD，DA、CB 延长线交
32、于 P，AC 和 BD 交于 Q，则图中 相似三角形有（ ） A、1 对 B、2 对 C、3 对 D、4 对 10如果圆的半径是 15，那么它的内接正方形的边长等于（ ） A、 B、 C、 D、515215215 11下列四边形中，有外接圆的四边形是（ ） A、有一个角为 的平行四边形 B、菱形60 C、矩形 D、直角梯形 12如图 2，四边形 ABCD 是圆的内接四边形，如果 BCD 的度数为 ，那么C 等于240 （ ） A、 B、 C、 D、108060 A B C E D O 31 13若四边形 ABCD 内接于圆，且A:B:C:D=5:m:4:n，则（ ） A、5m=4n B、4m=
33、5n C、m+n=9 D、m=n= 180 14如图，已知O 的半径为 2，弦 AB 的长为 ，点 C 与点 D 分别是劣弧 AB 与优32 弧 ADB 上任一点（点 C、D 均不与 A、B 重合）. (1)求 ；AB (2)求三角形 ABD 的最大面积 15如图所示，已知ABC 内接于O，AB=AC，点 D 为劣弧 BC 上一动点（不与 B、A、C 重合） ，直线 AD 与 BC 交于 E 点，连结 BD、DC. （1）求证:BDDC=DEDA； （2）若将 D 改为优弧 BAC 上一动点（不与 B、A、C 重合） ，其他条件均不改变， 则（1）中的结论还成立吗？请画图并证明你的结论. A
34、D C B P Q 图 1 A D B CO 图 2 A B C O D A B C O A E D CB 32 【作业】日期 姓名 完成时间 成绩 1过四边形 ABCD 顶点 A、B、C 作一个圆，若B+D ，则 D 点在（ ）180 A、圆上 B、圆内 C、圆外 D、不能确定 2如图 1，若 AC=AD，那么圆中相等的圆周角所有的对数共有（ ） A、5 对 B、6 对 C、7 对 D、8 对 3如图 2，已知 的外角 BCD 的平分线 CE 交 的外接圆于 E，则 是CABAB （ ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形 4如图 3，四边形 ABCD 是O 的内
35、接四边形，AE 是O 的弦，且 AECD，若 B= ，则DAE 为（ ）120 A、 B、 C、 D、6305070 5已知：如图所示，四边形 ABCD 内接于O，BD 是O 直径，若DAC= ，BC=60 ，AD=5求 AC 的长37A BCD 图 1 ABC DE O图 3AB C DE图 2 A B D C O 33 六会用切线，能证切线 考点速览： 考点 1 直线与圆的位置关系 图形 公共点个数 d 与 r 的关系 直线与圆的位置关系 0 dr 相离 1 d=r 相切 2 dPA） ，若 ，PT4 ，则 等于（ ）P2cosP A. B. C. D. 4512834 4. 如图 3，A
36、B 为O 的弦，且 ABOP 于 D，PA 为圆 O 的切 线，A 为切点， ，则 PA 等于（ BcmOc83， ） A. B. C. D. 253c203c5c8cm 5. 如图 4 所示，AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，CDAB 于 D，CD1，E 是 上任意一点，且EDCFDC，以下A 结论正确的是（ ） （1） ， （2）E 与F 互补， （3）DEDF 是变量，F （4）DEDF1， （5）FECD A. （1） （2） （3） B. （3） （5） C. （2） （4） D. （4） （5） 二. 填空题。 1. 在直径为 2 的圆外有一点 P 到圆的最近点的距离为 3，则
37、从 P 点所引圆的切线长是_。 2. 如图 5 所示，AD 切O 于 D 点，ABC 为割线， AD24，AB18， ，则O 半径为_。A90 3. 已知在 中， ，D 是 AC 上一点，以 CD 为直径作O 切 AB 边于 ERtBC 点，AE2，AD1，则 _。SA 58 4. PA 切圆于 A 点，PBC 是过圆心的割线，交圆于 B、C 两点， ，PAcm42 ，则圆的半径等于_cm。PBcm2 三. 解答题及证明题。 1. 如图所示，已知 AD 是O 的切线，D 是切点，ABC 是O 的割线，DEAO 于 E。 求证：AEBACO 2. 已知：如图所示， AB 为半圆的直径，C、D 为
38、半圆弧上的两点，若 ，DC 与CDB BA 的延长线交于 P，若 AP：CP3：4， ，求 AP 的长。SADB165 59 3. 如图所示，AB 切O 于 A，AC 经过圆心 O 交圆于点 D，BC 交圆于点 M、N，且使 MBMNNC，若 AB2，求O 的半径。 4. 如图所示，已知O 中弦 AB/CD，BG 切O 于 B，交 CD 延长线于点 G，P 是 上CD 一点，PA、PB 分别交 CD 于 E、F 两点。 求证：EFFGFDFC 60 5. 如图所示，AB 是O 的直径，M 是 AB 上一点，MPAB 交O 于 N，PD 是O 的割线 交O 于 C、D。 求证：PCPDMAMBP
39、M 2 十圆与圆位置的关系 考点速览： 61 1 圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为 R 和 r，圆心距为 d） 外离 外切 相交 内切 内含 图形 公共 点 0 个 1 个 2 个 1 个 0 个 d、r 、R 的 关系 rdRrdRrdrdRr 外公 切线 2 条 2 条 2 条 1 条 0 条 内公 切线 2 条 1 条 0 条 0 条 0 条 2有关性质： （1）连心线：通过两圆圆心的直线。如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。 （2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 （3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。 两个圆在公切线同旁 两个圆在公切线两旁 3相交
40、两圆的性质 定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 4相切两圆的性质 定理：相切两圆的连心线经过切点 经典例题： 例 1、如图，已知 与 相交于 A、B 两点，P 是 上一点，PB 的延长线交1O2 1O 外公切线 内公切线 O1 O2 O1 O2 O1 O 2 O1 O2 O1 O2 62 于点 C，PA 交 于点 D，CD 的延长线交 于为 N.2O2 1O （1）过点 A 作 AE/CN 交 于点 E.求证：PA=PE.1O （2）连接 PN，若 PB=4，BC=2，求 PN 的长. 例2 如图，在 中， ，圆A的半径为1，若点O在BCABC2,90CAB 边上运动（与点B、C不重
41、合） ，设 的面积为y.xO （1）求 关于 的函数关系式，并写出 的取值范围；yx （2）以点O为圆心，BO长为半径作O，当圆O与A相切时，求 的面积.AC 经典得不能再经典的练习 一选择 1.已知O 1与O 2的半径分别为 5cm 和 3cm，圆心距 020=7cm，则两圆的位置关系为 P2O A B C E N1D OB C A 63 A外离 B外切 C相交 D内切 2.已知两圆半径分别为 2 和 3，圆心距为 ，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是d （ ） A B C 或 D 或01d5d01501d 5 3.大圆半径为 6，小圆半径为 3，两圆圆心距为 10，则这两圆的位置关系为（
42、 ） A外离 B外切 相交 D内含 4.右图是一张卡通图，图中两圆的位置关系（ ） A相交 B外离 C内切 D内含 5.若两圆的半径分别是 1cm 和 5cm，圆心距为 6cm，则这两圆的位 置关系是（ ） A内切 B相交 C外切 D外离 6.外切两圆的圆心距是 7，其中一圆的半径是 4，则另一圆的半径是 A11 B7 C4 D3 7.已知 O1和 O2的半径分别为 1 和 4，如果两圆的位置关系为相交，那么圆心距 O1O2 的取值范围在数轴上表示正确的是 8.若两圆的半径分别是 2cm 和 3cm,圆心距为 5cm，则这两个圆的位置关系是（ ） A. 内切 B.相交 C.外切 D. 外离 9
43、.若 与 相切，且 ， 的半径 ，则 的半径 是（ 1O 2 125O1 12r2O 2r ） A 3 B 5 C 7 D 3 或 7 10.已知 与 外切，它们的半径分别为 2 和 3，则圆心距 的长是（ ）1 2 12 A =1 B 5 C D 2O1O12 11.已知两圆的半径分别为 3cm 和 2cm，圆心距为 5cm，则两圆的位置关系是 A外离 B外切 C相交 D内切 12.如图，把O 1向右平移 8 个单位长度得O 2，两圆相交于 A.B，且 O1AO 2A，则图中阴影部分的面积是 A.4-8 B. 8-16 C.16-16 D. 16-32 13若两圆的直径分别是 2cm 和 1
44、0cm，圆心距为 8cm，则这两个圆的位置关系是 B 310 2 4 5 D 310 2 4 5 A 310 2 4 5 C 310 2 4 5 64 （ ） A.内切 B.相交 C.外切 D.外离 14.如图，两个同心圆的半径分别为 3cm 和 5cm，弦 AB 与小圆 相切于点 C，则 AB 的长为（ ） A4cm B5cm C6cm D8cm 15.如图，两同心圆的圆心为 O，大圆的弦 AB 切小圆于 P，两 圆的半径分别为 6，3，则图中阴影部分的面积是（ ） A B9 C D 2 16若相交两圆的半径分别为 1 和 2，则此两圆的圆心距可能 是（ ） A1 B2 C3 D4 17.图中圆与圆之间不同的位置关系有 （ ） A2 种 B3 种 C4 种 D5 种 18已知 的半径为 3cm， 的半径为 4cm，两圆的圆心距1O 2O 为 7cm，则 与 的位置关系是 12 二填空 19.已知两圆的半径分别是 2 和 3，圆心
