1、高等数学（上）期末复习要点 第 1 页 共 9 页 高等数学上册复习要点 、 函数与极限 、 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数 在 连续 )(xf0 )()(lim00xffx 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理 及其推论. 、 极限 1、 定义 1、 数列极限 ax
2、Nnax nn , , ,0lim 2、 函数极限 AxfxxAxfx )( 0 , ,0)(li 00 使使 左极限： 右极限：)(lim)(00xffx )(lim)(00ffx 高等数学（上）期末复习要点 第 2 页 共 9 页 )()( )(lim000 xffAxfx使 2、 极限存在准则 1、 夹逼准则： 1） )(0nzxynn 2） annlimli axnlim 2、 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1、 定义：若 则称为无穷小量；若 则称为无穷大量.0limlim 2、 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、 阶无穷小k Th1 ;)(
3、o Th2 （无穷小代换） limli lim,使 4、 求极限的方法 1、 单调有界准则； 2、 夹逼准则； 3、 极限运算准则及函数连续性； 4、 两个重要极限： a) b) 1 sinlm0xx exxxx )1(lim)1(li0 5、 无穷小代换：（ ）0 a) xxxx arctnarcsintnsi b) 2 1co1 高等数学（上）期末复习要点 第 3 页 共 9 页 c) （ ）xex1axaxln1 d) （ ）)ln( xal)(log e) xx1 、 导数与微分 、 导数 1、 定义： 00 )()(lim)(0xffxfx 左导数： 00 )()(li)(0fffx
4、 右导数： 00 )()(li)(0xfffx 函数 在 点可导xf )()(0xff 2、 几何意义： 为曲线 在点 处的切线的斜率.)(0y)(,0f 3、 可导与连续的关系： 4、 求导的方法 1、 导数定义； 2、 基本公式； 3、 四则运算； 4、 复合函数求导（链式法则）； 5、 隐函数求导数； 6、 参数方程求导； 7、 对数求导法. 5、 高阶导数 高等数学（上）期末复习要点 第 4 页 共 9 页 1、 定义： dxydxy2 2、 Leibniz 公式： nkknkvuCuv0)()( 、 微分 1、 定义： ，其中 与 无关.)()()(00 xoAxfxfy Ax 2、
5、 可微与可导的关系：可微 可导，且dffdy)(00 、 微分中值定理与导数的应用 、 中值定理 1、 Rolle 罗尔 定理：若函数 满足：)(xf 1） ； 2） ； 3） ；,)(baCxf),(baD)()(bfaf 则 .0)()f使 2、 Lagrange 拉格朗日中值定理：若函数 满足：)(xf 1） ； 2） ；,)(baCxf,()(baDxf 则 .) af使 3、 Cauchy 柯西 中值定理：若函数 满足：(,xF 1） ； 2） ；3）,)(,baCxFf),)(,bDxf),(,0)(baxF 则 )()(, Fffba使 、 洛必达法则 、 Taylor 公式 高
6、等数学（上）期末复习要点 第 5 页 共 9 页 、 单调性及极值 1、 单调性判别法： ， ，则若 ，则,)(baCxf),()(baDxf0)(xf 单调增加；则若 ，则 单调减少.)(xf 0)(f 2、 极值及其判定定理： a) 必要条件： 在 可导，若 为 的极值点，则 .)(xf00x)(f 0)(xf b) 第一充分条件： 在 的邻域内可导，且 ，则若当0)(xf 时， ，当 时， ，则 为极大值点；若当0x)(xf 0x)(f 时， ，当 时， ，则 为极小值点；若在0x0x 的两侧 不变号，则 不是极值点 .0x)(xf 0x c) 第二充分条件： 在 处二阶可导，且 ， ，
7、则)(0xf 0)(xf 若 ，则 为极大值点；若 ，则 为极小值点.0)(xf0x 3、 凹凸性及其判断，拐点 1） 在区间 I 上连续，若 ，则称 在)(xf 2)()()2( , 1121 xffxfIx )(xf 区间 I 上的图形是凹的；若 ，则称 在)()()( , 21121 fffI)(f 区间 I 上的图形是凸的. 2）判定定理： 在 上连续，在 上有一阶、二阶导数，则)(xf,ba),(ba a) 若 ,则 在 上的图形是凹的；0)(,fxf b) 若 ,则 在 上的图形是凸的.(xx)(, 3）拐点：设 在区 间 I 上连续， 是 的内点，如果曲线 经过)fy0x)(f
8、)(xfy 点 时，曲 线 的凹凸性改变了，则称点 为曲线的拐点.(,00x )(,00xf 、 不等式证明 高等数学（上）期末复习要点 第 6 页 共 9 页 1、 利用微分中值定理； 2、 利用函数单调性； 3、 利用极值（最值）. 、 方程根的讨论 1、 连续函数的介值定理； 2、 Rolle 定理； 3、 函数的单调性； 4、 极值、最值； 5、 凹凸性. 、 渐近线 1、 铅直渐近线： ，则 为一条铅直渐近线；)(limxfax ax 2、 水平渐近线： ，则 为一条水平渐近线；by 、 不定积分 、 概念和性质 1、 原函数：在区间 I 上，若函数 可导 ，且 ，则 称为)(xF)
9、()(xfF )(xF 的一个原函数.)(xf 2、 不定积分：在区间 I 上，函数 的带 有任意常数的原函数称为 在区)(xf )(xf 间 I 上的不定积分. 3、 基本积分表（P188，13 个公式）； 4、 性质（线性性）. 高等数学（上）期末复习要点 第 7 页 共 9 页 、 换元积分法 1、 第一类换元法（凑微分）： )()(d)( xudfxxf 2、 第二类换元法（变量代换：三角代换、倒代换、根式代换等）： )(1d)()( xttfdxf 、 分部积分法： （反对幂指三，前 U 后 V）vuuv 、 有理函数积分 1、“拆”； 2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.
10、 、 定积分 、 概念与性质： 1、 定义： ni iiba xfdxf10)(lm)( 2、 性质：（7 条） 性质 7 （积分中值定理） 函数 在区间 上连续，则 ，使)(xf,ba,ba （平均值： ）)()(abfdxf ba abdxff)()( 、 微积分基本公式（NL 公式） 1、 变上限积分：设 ，则 xadtf)()( )()(xf 高等数学（上）期末复习要点 第 8 页 共 9 页 推广： )()()()( xfxfdtfdx 2、 NL 公式：若 为 的一个原函数，则F)(xf )()()(aFbdf ba 、 换元法和分部积分 1、 换元法： ttfdxfba d)()( 2、 分部积分法： babba vuuv 、 反常积分 1、 无穷积分： tata dxfdxf )(lim)(bttb ff )(li)( 00 )()()( dxfdxfdxf 2、 瑕积分： （a为瑕点） btatba dxfdxf )(lim)( （b为瑕点） tabtba ff )(li)( 两个重要的反常积分： 1) 1 , ,d1paxap 高等数学（上）期末复习要点 第 9 页 共 9 页 2) 1 , ,1)()(d)(d qabxbax qaqbaq
