1、立体几何垂直证明题常见模型及方法 垂直转化：线线垂直 线面垂直 面面垂直 ； 基础篇 类型一：线线垂直证明（共面垂直、异面垂直） （1） 共面垂直：实际上是平面内的两条直线的垂直 （只需要同学们掌握以下几种模 型） 等腰（等边）三角形中的中线 1 菱形（正方形）的对角线互相垂直 勾股定理中的三角形 2 3 1:1:2 的直角梯形中 利用相似或全等证明直角。 4 5 例：在正方体 中，O 为底面 ABCD 的中心，E 为 ,求证：1ABCD 1C1OE （2） 异面垂直 （利用线面垂直来证明，高考中的意图） 例 1 在正四面体 ABCD 中，求证 ACBD 变式 1 如图，在四棱锥 中，底面 是
2、矩形，已知P 60,2,2,3ABDAAB 证明： ；B 变式 2 如图，在边长为 2的正方形 ABCD中，点 E是 AB的中点，点 F是 BC的中点， 将AED, DCF 分别沿 ,EF折起，使 ,两点重合于 . 求证: AD； BE ADFG PCBADE 类型二：线面垂直证明 方法 利用线面垂直的判断定理 1 例 2：在正方体 中，O 为底面 ABCD 的中心，E 为 ,求证：1ABCD 1C1OE平 面 变式 1：在正方体 中，,求证：1ABCD11ACBD平 面 变式 2：如图：直三棱柱 ABCA 1B1C1 中， AC=BC=AA1=2，ACB=90.E 为 BB1 的中点，D 点
3、在 AB 上且 DE= .3 求证：CD平面 A1ABB1； 变式 3：如图，在四面体 ABCD 中，O、E 分别是 BD、BC 的中点，2,2.CABDABD 求证： 平面 BCD；O 变式 4 如图，在底面为直角梯形的四棱锥 中，PABCD ， ， 平面 ， ， ，ADBC 90PA323AB6C 求证： 平面1 D A C O B E 利用面面垂直的性质定理 2 例 3：在三棱锥 P-ABC 中， , ， 。PABC底 面 PABC面 面 PAC求 证 ： 面 方法点拨：此种情形，条件中含有面面垂直。 变式 1, 在四棱锥 ，底面 ABCD 是正方形，侧面 PAB 是等腰三角形，且PAB
4、CD ,求证：面 底 面 PAB面 变式 2： 类型 3：面面垂直的证明。(本质上是证明线面垂直 ) 例 1 如图，已知 平面 ， 平面 ， 为等边三角形，ABCDEACD ， 为 的中点.2ADEF (1) 求证： 平面 ；/E (2) 求证：平面 平面 ； 例 2 如图，在四棱锥 中， 底面 ，PABCDABCD ， ， 是 的中点60ABDCAB， E A B C D E F （1）证明 ； （2）证明 平面 ；CDAEPDABE 变式 1 已知直四棱柱 ABCDABC D的底面是菱形， 60ABC，E 、 F 分别 是棱 CC与 BB上的点，且 EC=BC=2FB=2 （1）求证：平面
5、 AEF平面 AACC ； 举一反三 1.设 M 表示平面，a、b 表示直线，给出下列四个命题： bM bM ./ baMb/a/ 其中正确的命题是 ( ) A. B. C. D. 2.下列命题中正确的是 ( ) A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面 B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面 C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线 D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面 3.如图所示，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点.现在沿 DE、DF 及 E
6、F 把ADE、CDF 和BEF 折起，使 A、B、C 三点重合，重合后的点记为 P.那么，在四 面体 PDEF 中，必有 ( ) A.DP平面 PEF B.DM平面 PEF C.PM平面 DEF D.PF平面 DEF 4.设 a、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( ) DPE 第 3 题图 A.过不在 a、b 上的一点 P 一定可以作一条直线和 a、b 都相交 B.过不在 a、b 上的一点 P 一定可以作一个平面和 a、b 都垂直 C.过 a 一定可以作一个平面与 b 垂直 D.过 a 一定可以作一个平面与 b 平行 5.如果直线 l,m 与平面 , 满足:l =,l,m 和 m,那么必有
7、( ) A. 且 lm B. 且 m C.m 且 lm D. 且 6.AB 是圆的直径，C 是圆周上一点，PC 垂直于圆所在平面，若 BC=1,AC=2,PC=1，则 P 到 AB 的距离为 ( ) A.1 B.2 C. D.5253 7.有三个命题： 垂直于同一个平面的两条直线平行； 过平面 的一条斜线 l 有且仅有一个平面与 垂直； 异面直线 a、b 不垂直，那么过 a 的任一个平面与 b 都不垂直 其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.d 是异面直线 a、b 的公垂线，平面 、 满足 a，b，则下面正确的结论 是 ( ) A. 与 必相交且交线 md 或 m
8、与 d 重合 B. 与 必相交且交线 md 但 m 与 d 不重合 C. 与 必相交且交线 m 与 d 一定不平行 D. 与 不一定相交 9.设 l、m 为直线， 为平面，且 l，给出下列命题 若 m，则 ml；若 ml ，则 m；若 m，则 ml；若 ml， 则 m， 其中真命题的序号是 ( ) A. B. C. D. 10.已知直线 l平面 ，直线 m 平面 ，给出下列四个命题： 若 ，则 lm；若 ，则 lm；若 lm，则 ；若 lm， 则 . 其中正确的命题是 ( ) A.与 B.与 C.与 D.与 二、思维激活 11.如图所示，ABC 是直角三角形，AB 是斜边，三个顶点在平面 的同
9、侧，它们在 内的射影分别为 A，B，C ，如果ABC是正三角形，且 AA 3cm，BB 5cm，CC4cm，则ABC 的面积是 . 第 11 题图 第 12 题图 第 13 题图 12.如图所示,在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中,当底面四边形 ABCD 满足条件 时,有 A1CB 1D1(注: 填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形) 13.如图所示，在三棱锥 VABC 中，当三条侧棱 VA、VB、VC 之间满足条件 时，有 VCAB .(注：填上你认为正确的一种条件即可) 三、能力提高 14.如图所示,三棱锥 V-ABC 中,AH侧面 VBC,且 H 是VBC 的垂心，
10、BE 是 VC 边上的 高. (1)求证:VCAB; (2)若二面角 EABC 的大小为 30,求 VC 与平面 ABC 所成角的大小. 15.如图所示，PA矩形 ABCD 所在平面，M、N 分别是 AB、PC 的中点. (1)求证：MN平面 PAD. (2)求证：MNCD . (3)若PDA45，求证：MN平面 PCD. 16.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，BAD60， AB 4，AD 2 ，侧棱 PB ，PD .153 (1)求证：BD 平面 PAD. (2)若 PD 与底面 ABCD 成 60的角，试求二面角 PBCA 的大小. 17.已知直三棱柱 A
11、BC-A1B1C1 中，ACB =90,BAC=30,BC=1，AA 1= ，M 是6 CC1 的中点，求证：AB 1A 1M 第 14 题图 第 15 题图 第 16 题图 18.如图所示，正方体 ABCDABC D的棱长为 a，M 是 AD 的中点，N 是 BD上一点，且 DNNB12，MC 与 BD 交于 P. (1)求证：NP平面 ABCD. (2)求平面 PNC 与平面 CC DD 所成的角. (3)求点 C 到平面 DMB 的距离. 第 4 课 线面垂直习题解答 1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平 行. 2.C 由线面垂直的性质定理可
12、知. 3.A 折后 DPPE ,DPPF，PEPF. 4.D 过 a 上任一点作直线 bb,则 a，b确定的平面与直线 b 平行. 5.A 依题意,m 且 m ,则必有 ,又因为 l= 则有 l ,而 m 则 lm, 故选 A. 6.D 过 P 作 PDAB 于 D，连 CD，则 CDAB，AB= ，52BCA ，52ABCD PD= .53412P 7.D 由定理及性质知三个命题均正确 . 第 18 题图 8.A 显然 与 不平行. 9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面 垂直. 10.B ，l，lm 11. cm2 设正三角 AB C的边长为 a
13、.3 AC 2=a2+1,BC2=a2+1,AB =a2+4， 又 AC2+BC2=AB2，a 2=2 SA B C = cm234 12.在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中当底面四边形 ABCD 满足条件 ACBD(或任何能推导 出这个条件的其它条件，例如 ABCD 是正方形，菱形等)时,有 A1CB 1D1(注: 填上你认为正 确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形). 点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查 了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活. 13.VCVA，VCAB . 由 VCVA，VC AB 知 VC平面 VAB. 14.(1)证
14、明:H 为VBC 的垂心, VCBE,又 AH平面 VBC, BE 为斜线 AB 在平面 VBC 上的射影,ABVC. (2)解:由(1)知 VCAB,VCBE, VC平面 ABE,在平面 ABE 上,作 EDAB,又 ABVC, AB面 DEC. ABCD,EDC 为二面角 EABC 的平面角， EDC=30,AB平面 VCD, VC 在底面 ABC 上的射影为 CD. VCD 为 VC 与底面 ABC 所成角,又 VCAB,VCBE, VC面 ABE,VCDE, CED=90,故ECD=60, VC 与面 ABC 所成角为 60. 15.证明：(1)如图所示，取 PD 的中点 E，连结 A
15、E，EN ， 则有 ENCDABAM，EN CD ABAM，故 AMNE 为平行四边形.21 MNAE. AE 平面 PAD，MN 平面 PAD，MN平面 PAD. (2)PA平面 ABCD， PAAB. 又 ADAB，AB平面 PAD. ABAE，即 ABMN. 又 CDAB ，MNCD. (3)PA平面 ABCD，PAAD. 又PDA45，E 为 PD 的中点. AEPD ，即 MNPD.又 MNCD， 第 15 题图解 MN平面 PCD. 16.如图(1)证：由已知 AB4，AD，BAD60， 故 BD2AD 2+AB2-2ADABcos604+16-224 12.1 又 AB2AD 2
16、+BD2， ABD 是直角三角形，ADB90， 即 ADBD .在PDB 中，PD ，PB ，BD ，3152 PB 2PD 2+BD2，故得 PDBD .又 PDADD， BD平面 PAD. (2)由 BD平面 PAD，BD 平面 ABCD. 平面 PAD平面 ABCD.作 PEAD 于 E， 又 PE 平面 PAD， PE平面 ABCD，PDE 是 PD 与底面 ABCD 所成的角. PDE60，PE PDsin60 .23 作 EFBC 于 F，连 PF，则 PFBF， PFE 是二面角 PBCA 的平面角. 又 EFBD ，在 RtPEF 中，12 tanPFE .43EF 故二面角
17、PBCA 的大小为 arctan . 17.连结 AC1， .11263ACMC RtACC 1 RtMC 1A1， AC 1C=MA 1C1， A 1MC1+AC 1C=A 1MC1+MA 1C1=90. A 1MAC 1,又 ABC-A1B1C1 为直三棱柱， CC 1B 1C1，又 B1C1A 1C1，B 1C1平面 AC1M. 由三垂线定理知 AB1A 1M. 点评：要证 AB1 A1M，因 B1C1平面 AC1，由三垂线定理可转化成证 AC1 A1M， 而 AC1 A1M 一定会成立 18.(1)证明：在正方形 ABCD 中， MPDCPB，且 MD BC，21 DPPBMDBC12
18、. 又已知 D NNB12， 第 16 题图解 由平行截割定理的逆定理得 NPDD ，又 DD平面 ABCD， NP平面 ABCD. (2)NPDD CC， NP、CC在同一平面内，CC为平面 NPC 与平面 CCD D 所成二面角的棱. 又由 CC平面 ABCD，得 CCCD ，CC CM， MCD 为该二面角的平面角 . 在 Rt MCD 中可知 MCDarctan ，即为所求二面角的大小.21 (3)由已知棱长为 a 可得，等腰MBC 面积 S1 ，等腰MBD 面积 S2 ，设2a246a 所求距离为 h，即为三棱锥 CD MB 的高. 三棱锥 DBCM 体积为 ，h213 .3621a
19、Sh 空间中的计算 基础技能篇 类型一：点到面的距离 方法 1：直接法把点在面上的射影查出来，然后在直角三角形中计算 例 1：在正四面体 ABCD 中，边长为 a，求点 A 到面 BCD 的距离。 变式 1 在正四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 边长为 a,侧棱长为 b.求顶点 V 到 底面 ABCD 的距离。 _A _B _D _C _O _A _B _D _C _O 变式 2 在正四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 边长为 a,侧棱长为 b.求顶点 A 到 底面 VCD 的距离。 方法 2：等体积法求距离-在同一个三棱锥中利用体积不变原理，通过转换不 同的底和高来达到目的。
20、例 2 已知在三棱锥 VABC 中，VA,VB,VC 两两垂直，VA=VB=3 ，VC=4， 求点 V 到面 ABC 的距离。 变式 1：如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面 所截而得到的，其ABCD1AECF 中 14,2,3,ABCE （1）求 的长；F （2）求点 到平面 的距离 1A 变式 2 如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是四边长为 1 的菱形， , BCDO 4ABC 面 , ,求点 B 到平面 OCD 的距离OAB2 变式 3 在正四面体 ABCD 中，边长为 a，求它的内切求的半径。 类型二：其它种类的距离的计算（点到线，点到点 ） 例 3 如图，在四棱锥 中，底面
21、 ABCD 是四边长为 1 的菱形， , ABCDO 4 面 , ,M 为 OC 的中点，求 AM 和点 A 到直线 OC 的距离OAB2 举一反三 1正三棱锥 P-ABC 高为 2，侧棱与底面所成角为 ，则点 到侧面 的距离是45APBC A B C6 D5456 2如图，已知正三棱柱 的底面边长为 1，高为 8，一质点自 点1A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 点的最短路线的长为1A A10 B20 C30 D40 二、填空题： 3太阳光照射高为 m 的竹竿时，它在水平地面上的射影3 为 1m，同时，照射地面上一圆球时，如图所示，其影子 的长度 AB 等于 cm,则该球的体积为_ 4若
22、一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为_ 三、解答题： 5已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为 1，M 是底面 BC 边上的中点，N 是侧 棱 CC1上的点，且 CN2C 1N求点 B1到平面 AMN 的距离 6一个多面体的直观图及三视图如图所示：（其中 M、N 分别是 AF、BC 的中点）. （1）求证：MN平面 CDEF； （2）求多面体 ACDEF 的体积 7一个多面体的直观图和三视图如图 所示，其中 M、N 分别是 AB、AC 的 中点，G 是 DF 上的一动点. （1）求证： ;AC （2）当 FG=GD 时，在棱 AD 上确定一点 P
23、，使得 GP/平面 FMC,并给出证明 主视图 俯视图 2 3 左视图 aa a 主主主 主主主 主主主 G EF N M D C BA 8如图，已知正四棱锥 ,设 为 的中点， 为 的中点， 为 边上ABCDSEFSCMD 的点 （1）求证： 平面 ；/EF （2）试确定点 的位置，使得平面 底面 MFMABD 9 一个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如图所示， 、 分别为 、 NBA11C 的中点 （1） 求证： 平面 ；/MN1AC （2） 求证： 平面 （3）求点 A 到面 ANM 的距离B 10 正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面边长为 2 ，侧棱长为 4. E，F 分别为棱 AB， BC 的中点， EFBD=G. （）求证：平面 B1EF平面 BDD1B1； （）求点 D1 到平面 B1EF 的距离 d； （）求三棱锥 B1EFD1 的体积 V. 11.在三棱锥 SABC 中，SAB=SAC =ACB =90，且 AC=BC=5，SB=5 .（如5 图 921） （）证明：SCBC； （）求侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小； （）求三棱锥的体积 VSABC . B A A C A C 1 A B 1 A A 1 A M N aaa2 主视图 左视图 俯视图 S B C F D A E O 图 921
