1、1 2016 年中考数学圆切线的证明题 1已知：如图，AB 是O 的直径， AD 是弦，OC 垂直 AD 于 F 交O 于 E， 连结 DE、BE，且C =BED （1）求证：AC 是O 的切线； （2）若 OA=10，AD=16，求 AC 的长 2 （本题 12 分）如图，已知 CD 是ABC 中 AB 边上的高，以 CD 为直径的O 分别交 CA、CB 于点 E、F ，点 G 是 AD 的中点求证： GE 是O 的切线 3、 如图 8.AB 是O 的直径，A=30 o,延长 OB 到 D 使 BD=OB. (1) 是否是等边三角形？说明理由.ABC (2)求证：DC 是O 的切线. 4、如
2、图，在ABC 中，AB=AC ，D 是 BC 中点，AE 平分 BAD 交 BC 于点 E，点 O 是 AB 上一点，O 过 A、E 两点, 交 AD 于点 G，交 AB 于点 F （1）求证：BC 与O 相切； （2）当BAC =120时，求EFG 的度数 5 （10 分）如图，点 在 的直径 的延长线DO AB上，点 在 上，CO C ED A F OB 图 8 A O DB C BA C D EG O F 第 5 题图 2 ， ，CDA012 （1）求证： 是 的切线；O （2）若 的半径为 2，求图中阴影部分的面积. 6.在 Rt ACB 中，C=90，AC=3cm ，BC =4cm，
3、以 BC 为直径 作 O 交 AB 于点 D. （1）求线段 AD 的长度； （2）点 E 是线段 AC 上的一点，试问当点 E 在什么位置时， 直线 ED 与O 相切？请说明理由. 7、如图，等腰三角形 ABC 中，AC BC 6，AB8以 BC 为直径作O 交 AB 于点 D，交 AC 于点 G，DFAC，垂足为 F，交 CB 的延长线于点 E (1)求证：直线 EF 是O 的切线； (2)求 sinE 的值 8、如图，直线 l 与O 相交于 A，B 两点，且与半径 OC 垂直，垂足为 H ，已知 AB=16 厘米，4cos5BH (1) 求O 的半径； (2) 如果要将直线 l 向下平移
4、到与O 相切的位置，平移的距离应是多少？请说明理由 9如图，O 的直径 AB=4，C 、D 为圆周上两点，且四边形 OBCD 是菱形，过点 D 的直线 EFAC ， 交 BA、BC 的延长线于点 E、F （1）求证：EF 是O 的切线； （2）求 DE 的长 O D C B A （第 7 题图） A B O H C l O F E D C BA 3 MA D B N Co E F 10、如图，已知矩形 ABCD 内接于O，BD 为O 直径,将BCD 沿 BD 所在的直线翻折后，得到点 C 的对应 点 N 仍在O 上,BN 交 AD 与点 M.若AMB=60，O 的半径是 3cm. (1)求点
5、O 到线段 ND 的距离. (2)过点 A 作 BN 的平行线 EF，判断直线 EF 与O 的位置关系并说明理由. 11 如 图 ，在O 中，直径 AB 垂直于弦 CD，垂足为 E，连接 AC，来将 ACE 沿 AC 翻 折得到ACF，直 线 FC 与直线 AB 相交于点 G （1）直线 FC 与O 有何位置关系？并说明理由； （2）若 ，求 CD 的长2B 12如图， 内接于 ，点 在半径 的延长线上，ABC ODB 30D （1）试判断直线 与 的位置关系，并说明理由； （2）若 的半径长为 1，求由弧 、线段 和 所围成的阴影AC 部分面积（结果保留 和根号） 13(10 分)已知，如图
6、在矩形 ABCD 中，点 0 在对角线 AC 上，以 OA 长为半径的圆 0 与 AD、AC 分别交于 点 E、F。ACB=DCE (1)判断直线 CE 与O 的位置关系，并证明你的结论； (2)若 tanACB= ，BC=2，求O 的半径2 A F C GO D E B （第 13 题） A O C B D （第 21 题） 4 14 已知：如图，以 的边 为直径的 交边 于点 ，且过点 的切线 平分ABC OACDDE 边 BC （1） 与 是否相切？请说明理由；OA （2）当 满足什么条件时，以点 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形？并说明理由 ED 15.如图，以 BC 为直径的O
7、 交CFB 的边 CF 于点 A，BM 平分ABC 交 AC 于点 M，ADBC 于点 D，AD 交 BM 于点 N，MEBC 于点 E，AB 2=AFAC，cosABD= 53，AD=12 求证：ANMENM； 求证：FB 是O 的切线； 证明四边形 AMEN 是菱形，并求该菱形的面积 S 16.(10 分) 如图 9，已知，在 ABC 中，ABC = ，BC 为O 的直径， AC 与O 交于点 D,点 E 为09 AB 的中点 ， PFBC 交 B C 于点 G,交 AC 于点 F. （1）求证：ED 是O 的切线. （2）如果 CF =1,CP =2，sinA = ，求O 的直径 BC.
8、54 CEBOAD （第 16 题） 5 参考答案： 1、 （1）证明：BED=BAD，C =BED BAD=C 1 分 OCAD 于点 F BAD+AOC=90 o 2 分 C+AOC=90 o OAC=90 o OAAC AC 是O 的切线. 4 分 （2）OCAD 于点 F， AF= 21AD=8 5 分 在 Rt OAF 中，OF= A=6 6 分 AOF=AOC，OAF =C OAFOCA 7 分 OAFC 即 OC= 35061 2 8 分 在 Rt OAC 中 ，AC= 3402OAC 10 分 2证明：（证法一）连接 1 分ED， 是O 的直径，CD 2 分90AE 是 的中点
9、，G 4 分12 6 分 8 分34OED， 即 10 分 190OEGD 是O 的切线 12 分G （证法二）连接 1 分， ，ADC， 6 2 分OGAC 4 分1234， OC=OE 2=4 1=3 6 分 又 ，ED， 8 分OG 10 分90 是O 的切线 12 分 3、 （1）解法一：A ， COB 2 分360 又 OC OB， OCB 是等边三角形 4 分 解法二：AB 是 的直径，ACB 9 又A ， ABC 2 分3060 又 OC OB， OCB 是等边三角形 4 分 （2 ）证明：由（1）知：BCOB，OCBOBC 又BDOB ，BCBD 6 分 BCDBDC OBC
10、1230 OCDOCBBCD ，9 故 DC 是 的切线 8 分 4、 （1）证明：连接 OE，-1 分 AB=AC 且 D 是 BC 中点， ADBC AE 平分BAD， BAE=DAE-3 分 OA=OE， OAE=OEA OEA=DAE OEAD OEBC BC 是 O 的切线-6 分 （2）AB=AC ，BAC=120， B=C=30 - - -7 分 EOB =60-8 分 EAO =EAG =30-9 分 BA C D EG O F 7 EFG =30-10 分 5、 （1）证明：连结 . 1 分OC ， ，DA120 . 2 分3 , . 3 分20 . 4 分29OCDA 是
11、的切线. 5 分 （2）解:A=30 o， . 6 分160A . 7 分3260OBCS扇 形 在 RtOCD 中, , . 8 分tanD32C . 9 分2121SOCDRt 图中阴影部分的面积为 . 10 分3 6、解：（1）在 RtACB 中，AC=3cm，BC =4cm， ACB=90，AB=5cm 1 分 连结 CD，BC 为直径， ADC =BDC =90 A=A，ADC=ACB ，Rt ADC RtACB ， 4 分ACDB592B （2）当点 E 是 AC 的中点时，ED 与O 相切 5 分 证明：连结 OD，DE 是 RtADC 的中线 ED= EC，EDC= ECD O
12、C=OD，ODC =OCD 7 分 EDO =EDC+ODC =ECD+OCD =ACB =90 ED 与O 相切 9 7、(1)证明：如图，连结 D，则 OB CBA AC=BC, CA B ， EF F于 F， 90 90ODE EF 是O 的切线 -3 分 O D C B A E 8 2 1 O F E D C BA ( 2 ) 连结 BG，BC 是直径 , BGC=90 =CFE BGEF GBCE 设 x，则 6Ax 在 RtBGA 中, 2228() 在 RtBGC 中, 2 28(6)x解得 3x即 3CG 在 RtBGC 中, 1sin9GBC sinE 19 - -5 分 8
13、、解：(1) 直线 l 与半径 OC 垂直， 1682HBA 2 分 4cos5O， OB= 54HB= 8= 10 2 分 (2) 在 RtOBH 中，221086HB 2 分 1064CH 所以将直线 l 向下平移到与 O 相切的位置时，平移的距离是 4cm 2 分 9 （1）证明：AB 是O 的直径， ACB=90 1 分 四边形 OBCD 是菱形， OD/BC 1=ACB=90 EFAC， 2=1 =90 2 分 OD 是半径， EF 是O 的切线 3 分 （2）解：连结 OC， 直径 AB=4， 半径 OB=OC=2 四边形 OBCD 是菱形， OD=BC=OB=OC=2 4 分 B
14、=60 OD/BC， EOD=B= 60 在 Rt EOD 中， 5 分tan2tan603DEOA A B O H C (第 20 题) l 9 10. (1)解：(法一)：过点 O 作 OGND 于点 G OGD=90 四边形 ABCD 是矩形, C =90 由翻折得 N=C = 90= OGD 1 分 OGBN NBD=30 GOD=30 3 分 在 RtOGD 中，cos30= ,OD=3 OG= 5 分 (法二)：过点 O 作 OGND 于点 G 则 DG=NG 1 分 OB=OD OG 是BDN 的中位线 OG= BN 四边形 ABCD 是矩形, C=90 BD 是O 直径 OD=
15、3 BD=6 3 分 在 RtBND 中，cos30= BN= OG= 5 分 (2)相切.证明：连接 OA 交 BN 与 H. DBN=30, 由翻折得DBC=DBN=30. ABC=90, ABO=60. 1 分 OA=OB, ABO 是等边三角形 . 3 分 AOB=60. BHO=90. 又EFBN , FAH=90. AEF. EF 与O 相切. 5 分 11解：（1）直线 FC 与O 相切1 分 理由 如下： 连接 C ， 2 分OA12 由翻折得， ， 390FAEC OCAF2 90G 直线 FC 与O 相切4 分 （2）在 RtOCG 中， ，1cos2OGB MGA D B
16、 N Co E FD21BDN326)(cm HMA D B N Co E F )(23cm A F C GO D E B （第 20 题） 1 3 2 10 6 分60COG 在 RtOCE 中， 8 分3sin602EC 直径 AB 垂直于弦 CD， 9 分23D 12解：（1）直线 与 相切A 理由如下： 在 中， OA2306CB 又 ， 是正三角形， 0OCB 又 ， ，30D 9O 又 是半径， 直线 与 相切 A （2）由（1）得 是 ， C Rt 60 ， O 3 2CDS 又 ，16OB扇 形 3126CDOCBSS阴 影 扇 形 13解：(1)直线 CE 与O 相切2 分
17、证明如下： 四边形 ABCD 为矩形 BCAD，ACB=DAC 又ACB=DCE DAC=DCE 连接 0E，则DAC=AEO=DCE4 分 DCE+DEC=90 AEO+DEC=90 DEC=90 CE 与O 相切6 分 (2)tanACB= ，BC=22ABC AB=BCtanACB= ，AC= 6 又ACB=DCE tanDCE= 2 A O C B D （第 12 题） 11 DE=DCtanDCE=l8 分 方法一：在 RtCDE 中 CE= 23CDE 连接 OE，令O 的半径为 ，则在 RtCOE 中，r22O 即 (6)3r 解得： 10 分4 14、 （1） 与 相切BCOA
18、 理由：连结 ， ，D 切 于 ， 为直径，EB ，90A 又 平分 ，C ， 2 分12D 又 ， ；EB ODB 90ODBE ，即 90O 90AC 与 相切 4 分CA （2）当 为等腰直角三角形 时，四边形 是平行四边形 是等腰直角三角形 ，B 90B 6 分A 于 ， 为 中点DC AC ， 12OEOD 四边形 是平行四边形 8 分B 15、.证明：BC 是O 的直径 BAC=90 o 又EMBC，BM 平分ABC， AM=ME，AMN=EMN 又MN=MN， ANMENM AB 2=AFAC 12 ABFC 又BAC=FAB=90 o ABF ACB ABF=C 又FBC= A
19、BC+FBA=90 o FB 是 O 的切线 由得 AN=EN，AM=EM，AMN=EMN， 又ANME，ANM= EMN， AMN=ANM，AN=AM， AM=ME=EN=AN 四边形 AMEN 是菱形 cosABD= 53，ADB=90 o ABD 设 BD=3x，则 AB=5x， ，由勾股定理 xxAD4352 而 AD=12， x=3 BD=9，AB=15 MB 平分AME ，BE=AB=15 DE=BE-BD=6 NDME，BND=BME ，又NBD=MBE BNDBME，则 BEDMN 设 ME=x，则 ND=12-x， 1592x，解得 x= 2 S=MEDE= 156=45 16、解： 连接 OD 1 分 BC 为直径 BDC 为直角三角形。 又 OBD=ODB Rt ADB 中 E 为 AB 中点 A BD=EDB 2 分 OBD+ABD =90 ODB+EDB =900 0 ED 是O 的切线。 5 分 (2) PFBC FPC=PDC 又 PCF 公用 13 PCF DCP 7 分 PC =CFCD2 又 CF=1, CP=2， CD=4 8 分 可知 sin DBC = sinA = 54 = 即 = 得直径 BC= 5 10 分BCD54
