1、1 2016 年中考数学圆切线的证明题 1已知:如图,AB 是O 的直径, AD 是弦,OC 垂直 AD 于 F 交O 于 E, 连结 DE、BE,且C =BED (1)求证:AC 是O 的切线; (2)若 OA=10,AD=16,求 AC 的长 2 (本题 12 分)如图,已知 CD 是ABC 中 AB 边上的高,以 CD 为直径的O 分别交 CA、CB 于点 E、F ,点 G 是 AD 的中点求证: GE 是O 的切线 3、 如图 8.AB 是O 的直径,A=30 o,延长 OB 到 D 使 BD=OB. (1) 是否是等边三角形?说明理由.ABC (2)求证:DC 是O 的切线. 4、如
2、图,在ABC 中,AB=AC ,D 是 BC 中点,AE 平分 BAD 交 BC 于点 E,点 O 是 AB 上一点,O 过 A、E 两点, 交 AD 于点 G,交 AB 于点 F (1)求证:BC 与O 相切; (2)当BAC =120时,求EFG 的度数 5 (10 分)如图,点 在 的直径 的延长线DO AB上,点 在 上,CO C ED A F OB 图 8 A O DB C BA C D EG O F 第 5 题图 2 , ,CDA012 (1)求证: 是 的切线;O (2)若 的半径为 2,求图中阴影部分的面积. 6.在 Rt ACB 中,C=90,AC=3cm ,BC =4cm,
3、以 BC 为直径 作 O 交 AB 于点 D. (1)求线段 AD 的长度; (2)点 E 是线段 AC 上的一点,试问当点 E 在什么位置时, 直线 ED 与O 相切?请说明理由. 7、如图,等腰三角形 ABC 中,AC BC 6,AB8以 BC 为直径作O 交 AB 于点 D,交 AC 于点 G,DFAC,垂足为 F,交 CB 的延长线于点 E (1)求证:直线 EF 是O 的切线; (2)求 sinE 的值 8、如图,直线 l 与O 相交于 A,B 两点,且与半径 OC 垂直,垂足为 H ,已知 AB=16 厘米,4cos5BH (1) 求O 的半径; (2) 如果要将直线 l 向下平移
4、到与O 相切的位置,平移的距离应是多少?请说明理由 9如图,O 的直径 AB=4,C 、D 为圆周上两点,且四边形 OBCD 是菱形,过点 D 的直线 EFAC , 交 BA、BC 的延长线于点 E、F (1)求证:EF 是O 的切线; (2)求 DE 的长 O D C B A (第 7 题图) A B O H C l O F E D C BA 3 MA D B N Co E F 10、如图,已知矩形 ABCD 内接于O,BD 为O 直径,将BCD 沿 BD 所在的直线翻折后,得到点 C 的对应 点 N 仍在O 上,BN 交 AD 与点 M.若AMB=60,O 的半径是 3cm. (1)求点
5、O 到线段 ND 的距离. (2)过点 A 作 BN 的平行线 EF,判断直线 EF 与O 的位置关系并说明理由. 11 如 图 ,在O 中,直径 AB 垂直于弦 CD,垂足为 E,连接 AC,来将 ACE 沿 AC 翻 折得到ACF,直 线 FC 与直线 AB 相交于点 G (1)直线 FC 与O 有何位置关系?并说明理由; (2)若 ,求 CD 的长2B 12如图, 内接于 ,点 在半径 的延长线上,ABC ODB 30D (1)试判断直线 与 的位置关系,并说明理由; (2)若 的半径长为 1,求由弧 、线段 和 所围成的阴影AC 部分面积(结果保留 和根号) 13(10 分)已知,如图
6、在矩形 ABCD 中,点 0 在对角线 AC 上,以 OA 长为半径的圆 0 与 AD、AC 分别交于 点 E、F。ACB=DCE (1)判断直线 CE 与O 的位置关系,并证明你的结论; (2)若 tanACB= ,BC=2,求O 的半径2 A F C GO D E B (第 13 题) A O C B D (第 21 题) 4 14 已知:如图,以 的边 为直径的 交边 于点 ,且过点 的切线 平分ABC OACDDE 边 BC (1) 与 是否相切?请说明理由;OA (2)当 满足什么条件时,以点 , , , 为顶点的四边形是平行四边形?并说明理由 ED 15.如图,以 BC 为直径的O
7、 交CFB 的边 CF 于点 A,BM 平分ABC 交 AC 于点 M,ADBC 于点 D,AD 交 BM 于点 N,MEBC 于点 E,AB 2=AFAC,cosABD= 53,AD=12 求证:ANMENM; 求证:FB 是O 的切线; 证明四边形 AMEN 是菱形,并求该菱形的面积 S 16.(10 分) 如图 9,已知,在 ABC 中,ABC = ,BC 为O 的直径, AC 与O 交于点 D,点 E 为09 AB 的中点 , PFBC 交 B C 于点 G,交 AC 于点 F. (1)求证:ED 是O 的切线. (2)如果 CF =1,CP =2,sinA = ,求O 的直径 BC.
8、54 CEBOAD (第 16 题) 5 参考答案: 1、 (1)证明:BED=BAD,C =BED BAD=C 1 分 OCAD 于点 F BAD+AOC=90 o 2 分 C+AOC=90 o OAC=90 o OAAC AC 是O 的切线. 4 分 (2)OCAD 于点 F, AF= 21AD=8 5 分 在 Rt OAF 中,OF= A=6 6 分 AOF=AOC,OAF =C OAFOCA 7 分 OAFC 即 OC= 35061 2 8 分 在 Rt OAC 中 ,AC= 3402OAC 10 分 2证明:(证法一)连接 1 分ED, 是O 的直径,CD 2 分90AE 是 的中点
9、,G 4 分12 6 分 8 分34OED, 即 10 分 190OEGD 是O 的切线 12 分G (证法二)连接 1 分, ,ADC, 6 2 分OGAC 4 分1234, OC=OE 2=4 1=3 6 分 又 ,ED, 8 分OG 10 分90 是O 的切线 12 分 3、 (1)解法一:A , COB 2 分360 又 OC OB, OCB 是等边三角形 4 分 解法二:AB 是 的直径,ACB 9 又A , ABC 2 分3060 又 OC OB, OCB 是等边三角形 4 分 (2 )证明:由(1)知:BCOB,OCBOBC 又BDOB ,BCBD 6 分 BCDBDC OBC
10、1230 OCDOCBBCD ,9 故 DC 是 的切线 8 分 4、 (1)证明:连接 OE,-1 分 AB=AC 且 D 是 BC 中点, ADBC AE 平分BAD, BAE=DAE-3 分 OA=OE, OAE=OEA OEA=DAE OEAD OEBC BC 是 O 的切线-6 分 (2)AB=AC ,BAC=120, B=C=30 - - -7 分 EOB =60-8 分 EAO =EAG =30-9 分 BA C D EG O F 7 EFG =30-10 分 5、 (1)证明:连结 . 1 分OC , ,DA120 . 2 分3 , . 3 分20 . 4 分29OCDA 是
11、的切线. 5 分 (2)解:A=30 o, . 6 分160A . 7 分3260OBCS扇 形 在 RtOCD 中, , . 8 分tanD32C . 9 分2121SOCDRt 图中阴影部分的面积为 . 10 分3 6、解:(1)在 RtACB 中,AC=3cm,BC =4cm, ACB=90,AB=5cm 1 分 连结 CD,BC 为直径, ADC =BDC =90 A=A,ADC=ACB ,Rt ADC RtACB , 4 分ACDB592B (2)当点 E 是 AC 的中点时,ED 与O 相切 5 分 证明:连结 OD,DE 是 RtADC 的中线 ED= EC,EDC= ECD O
12、C=OD,ODC =OCD 7 分 EDO =EDC+ODC =ECD+OCD =ACB =90 ED 与O 相切 9 7、(1)证明:如图,连结 D,则 OB CBA AC=BC, CA B , EF F于 F, 90 90ODE EF 是O 的切线 -3 分 O D C B A E 8 2 1 O F E D C BA ( 2 ) 连结 BG,BC 是直径 , BGC=90 =CFE BGEF GBCE 设 x,则 6Ax 在 RtBGA 中, 2228() 在 RtBGC 中, 2 28(6)x解得 3x即 3CG 在 RtBGC 中, 1sin9GBC sinE 19 - -5 分 8
13、、解:(1) 直线 l 与半径 OC 垂直, 1682HBA 2 分 4cos5O, OB= 54HB= 8= 10 2 分 (2) 在 RtOBH 中,221086HB 2 分 1064CH 所以将直线 l 向下平移到与 O 相切的位置时,平移的距离是 4cm 2 分 9 (1)证明:AB 是O 的直径, ACB=90 1 分 四边形 OBCD 是菱形, OD/BC 1=ACB=90 EFAC, 2=1 =90 2 分 OD 是半径, EF 是O 的切线 3 分 (2)解:连结 OC, 直径 AB=4, 半径 OB=OC=2 四边形 OBCD 是菱形, OD=BC=OB=OC=2 4 分 B
14、=60 OD/BC, EOD=B= 60 在 Rt EOD 中, 5 分tan2tan603DEOA A B O H C (第 20 题) l 9 10. (1)解:(法一):过点 O 作 OGND 于点 G OGD=90 四边形 ABCD 是矩形, C =90 由翻折得 N=C = 90= OGD 1 分 OGBN NBD=30 GOD=30 3 分 在 RtOGD 中,cos30= ,OD=3 OG= 5 分 (法二):过点 O 作 OGND 于点 G 则 DG=NG 1 分 OB=OD OG 是BDN 的中位线 OG= BN 四边形 ABCD 是矩形, C=90 BD 是O 直径 OD=
15、3 BD=6 3 分 在 RtBND 中,cos30= BN= OG= 5 分 (2)相切.证明:连接 OA 交 BN 与 H. DBN=30, 由翻折得DBC=DBN=30. ABC=90, ABO=60. 1 分 OA=OB, ABO 是等边三角形 . 3 分 AOB=60. BHO=90. 又EFBN , FAH=90. AEF. EF 与O 相切. 5 分 11解:(1)直线 FC 与O 相切1 分 理由 如下: 连接 C , 2 分OA12 由翻折得, , 390FAEC OCAF2 90G 直线 FC 与O 相切4 分 (2)在 RtOCG 中, ,1cos2OGB MGA D B
16、 N Co E FD21BDN326)(cm HMA D B N Co E F )(23cm A F C GO D E B (第 20 题) 1 3 2 10 6 分60COG 在 RtOCE 中, 8 分3sin602EC 直径 AB 垂直于弦 CD, 9 分23D 12解:(1)直线 与 相切A 理由如下: 在 中, OA2306CB 又 , 是正三角形, 0OCB 又 , ,30D 9O 又 是半径, 直线 与 相切 A (2)由(1)得 是 , C Rt 60 , O 3 2CDS 又 ,16OB扇 形 3126CDOCBSS阴 影 扇 形 13解:(1)直线 CE 与O 相切2 分
17、证明如下: 四边形 ABCD 为矩形 BCAD,ACB=DAC 又ACB=DCE DAC=DCE 连接 0E,则DAC=AEO=DCE4 分 DCE+DEC=90 AEO+DEC=90 DEC=90 CE 与O 相切6 分 (2)tanACB= ,BC=22ABC AB=BCtanACB= ,AC= 6 又ACB=DCE tanDCE= 2 A O C B D (第 12 题) 11 DE=DCtanDCE=l8 分 方法一:在 RtCDE 中 CE= 23CDE 连接 OE,令O 的半径为 ,则在 RtCOE 中,r22O 即 (6)3r 解得: 10 分4 14、 (1) 与 相切BCOA
18、 理由:连结 , ,D 切 于 , 为直径,EB ,90A 又 平分 ,C , 2 分12D 又 , ;EB ODB 90ODBE ,即 90O 90AC 与 相切 4 分CA (2)当 为等腰直角三角形 时,四边形 是平行四边形 是等腰直角三角形 ,B 90B 6 分A 于 , 为 中点DC AC , 12OEOD 四边形 是平行四边形 8 分B 15、.证明:BC 是O 的直径 BAC=90 o 又EMBC,BM 平分ABC, AM=ME,AMN=EMN 又MN=MN, ANMENM AB 2=AFAC 12 ABFC 又BAC=FAB=90 o ABF ACB ABF=C 又FBC= A
19、BC+FBA=90 o FB 是 O 的切线 由得 AN=EN,AM=EM,AMN=EMN, 又ANME,ANM= EMN, AMN=ANM,AN=AM, AM=ME=EN=AN 四边形 AMEN 是菱形 cosABD= 53,ADB=90 o ABD 设 BD=3x,则 AB=5x, ,由勾股定理 xxAD4352 而 AD=12, x=3 BD=9,AB=15 MB 平分AME ,BE=AB=15 DE=BE-BD=6 NDME,BND=BME ,又NBD=MBE BNDBME,则 BEDMN 设 ME=x,则 ND=12-x, 1592x,解得 x= 2 S=MEDE= 156=45 16、解: 连接 OD 1 分 BC 为直径 BDC 为直角三角形。 又 OBD=ODB Rt ADB 中 E 为 AB 中点 A BD=EDB 2 分 OBD+ABD =90 ODB+EDB =900 0 ED 是O 的切线。 5 分 (2) PFBC FPC=PDC 又 PCF 公用 13 PCF DCP 7 分 PC =CFCD2 又 CF=1, CP=2, CD=4 8 分 可知 sin DBC = sinA = 54 = 即 = 得直径 BC= 5 10 分BCD54