1、第十一章 机械振动 11.4 单摆 【教学目标】 1、知道什么是单摆，了解单摆的构成。 2、掌握单摆振动的特点，知道单摆回复力的成因，理解摆角很小时单摆的振动是简谐 运动。 3、知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。 4、知道用单摆可测定重力加速度。 重点：1、知道单摆回复力的来源及单摆满足简谐运动的条件； 2、通过定性分析、实验、数据分析得出单摆周期公式。 难点：1、单摆振动回复力的分析； 2、与单摆振动周期有关的因素。 【自主预习】 1单摆 (1)组成： ， (2)理想化要求： 质量关系：细线质量与小球质鼍相比可以 线度关系：球的 与线的长度相比可以忽略
2、 力的关系：忽略摆动过程中所受 作用 实验中为满足上述条件，我们尽量选择质量大、 小的球和尽量细的线 2单摆的回复力 (1)回复力的提供：摆球的重力沿 方向的分力 (2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成 ，方向总指向 。 即 F= . (3)运动规律：单摆在偏角很小时做 运动，其振动图像遵循 函数规 律 关键一点除两个最大位移处，单摆的回复力不是摆球所受的合力 3探究单摆周期与摆长的关系 (1)实验表明，单摆振动的周期与摆球无关，在振幅较小时与 无关，但与 摆长有关，摆长 ，周期越长. (2)周期公式： 荷兰物理学家 发现单摆的周期丁与摆长 L 的二次方根成
3、 ，与重力加 速度 g 的二次方根成他确定为 ：T= (3)应用 计时器 原理：单摆的等时性 校准：调节 可调节钟摆的快慢 测重力加速度 由 得 g= ，即只要测出单摆的 和 ，就可以求gLT2 出当地的重力加速度。 选修 3-4 【典型例题】 一、单摆 【例 1】单摆是为了研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是 ( ) A摆线质量不计 B摆线长度不伸缩 C摆球的直径比摆线长度短得多 D只要是单摆的运动就是一种简谐运动 二、单摆的回复力 【例 2】下列关于单摆的说法，正确的是 ( ) A单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的位移为 A(A 为振幅)，从正向最大 位移处运动到平衡位置时
4、的位移为 - A B单摆摆球的回复力等于摆球所受的合外力 C单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力 D单摆摆球经过平衡位置时加速度为零 三、单摆的周期 【例 3】一个单摆的摆长为 L，在其悬点 O 的正下方 0.19L 处有一钉子 P(如图 1142 所 示)，现将摆球向左拉开到 A，使摆线偏角 10，放手使其摆动，求出单摆的振动周期。 【例 4】将在地面上校准的摆钟拿到月球上去，若此钟在月球上记录的时间是 1 h，那么实 际的时间是多少？若要在月球上使该钟与地面上时一样准，应如何调节？(已知 g 月 g 地 /6)。 四、用单摆测重力加速度 【例 5】 （2012 上海宝山高三期末）
5、在用单摆测重力加速度的实验中 （1）为了比较准确地测量出当地的重力加速度值，应选用下列所给器材中的哪些？将所选 用的器材的字母填在题后的横线上。 （A）长 1m 左右的细绳； （B）长 30m 左右的细绳； （C）直径 2 cm 的铅球； （D）直径 2cm 的铁球； （E）秒表； （F）时钟； （G）最小刻度是厘米的直尺； （H ）最小刻度是毫米的直尺。 所选择的器材是_。 （2）实验时摆线偏离竖直线的要求是_，理由是 _ _。 （3）某同学测出不同摆长时对应的周期 T，作出 T2L 图线，如图所示， 再利用图线上任两点 A、B 的坐标（x 1，y 1） 、 （x 2，y 2） ，可求得 g
6、= 。若该同学测摆长时漏加了小球半径，而其它测量、计算均无误， 也不考虑实验误差，则用上述方法算得的 g 值和真实值相比是 的（选填“偏大” 、 “偏小”或“不变” ） 。 【课后练习】 1、关于单摆做简谐运动的回复力正确的说法是（ ） A就是振子所受的合外力 B振子所受合外力在振子运动方向的 分力 C振子的重力在运动方向的分力 D振子经过平衡位置时回复力为零 2、用空心铁球内部装满水做摆球，若球正下方有一小孔，水不断从孔中流出，从球内装 满水到水流完为止的过程中，其振动周期的大小是（ ） A不变 B变大 C先变大后变小再回到原值 D先变小后变大再回到原值 3、一个摆钟从甲地拿到乙地，它的钟摆
7、摆动加快了，则下列对此现象的分 析及调准方法的叙述中正确的是（ ） AG 甲G 乙，将摆长适当增长 BG 甲G 乙，将摆长适当缩短 CG 甲G 乙，将摆长适当增长 DG 甲G 乙，将摆长适当缩短 4、一绳长为 L 的单摆，在悬点正下方（LL）处的点有一个钉子，如图所示，这个 摆的周期是（ ） AT=2 g BT=2 g L/ CT=2（ L + / ） DT= （ + / ） 5关于单摆做简谐运动时所受的回复力，下列说法正确的是( ) A是重力和摆线对摆球拉力的合力 B是重力沿圆弧切线方向的分力，另一个沿摆线方向的分力与摆线对摆球的拉力平 衡 C是重力沿圆弧切线方向的分力，另一个沿摆线方向的分
8、力总是小于或等于摆线对 摆球的拉力 D是摆球所受的合力沿圆弧切线方向的分力 6若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的 4 倍，摆球经过平衡位置时的速度减小 为原来的 1/2，则单摆振动的 ( ) A频率不变，振幅不变 B频率不变，振幅改变 C频率改变，振幅改变 D频率改变，振幅不变 A B L T2 x1 x2 y1 y2 O AB C ab L L P 7要使单摆的振动频率加大，可采用下列哪些做法( ) A使摆球的质量减小 B使单摆的摆线变长 C将单摆从赤道移到北极 D将单摆从平原移到高山上 8如图 43 所示是半径很大的光滑凹球面的一部分，有一个小球第一次自 A 点由静止 开始滑下，到达
9、最低点 O 时的速度为 v1，用时为 t1；第二次自 B 点由静止开始滑下，到达 最低点 O 时的速度为 v2，用时为 t2，下列关系正确的是( ) At 1t 2，v 1v2 Bt 1t2，v 1t2，v 1v2 9一单摆的摆长为 40 cm，摆球在 t0 时刻正从平衡位置向 右运动，若 g 取 10 m/s2，则在 1 s 时摆球的运动情况是( ) A正向左做减速运动，加速度正在增大 B正向左做加速运动，加速度正在减小 C正向右做减速运动，加速度正在增大 D正向右做加速运动，加速度正在减小 10一单摆做小角度摆动，其振动图象如图 44 所示，以下 说法正确的是( ) At 1 时刻摆球速度
10、最大，悬线对它的拉力最小 Bt 2 时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小 Ct 3 时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最大 Dt 4 时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大 11.有一摆长为 L 的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时， 摆线的上部将被挡住，使摆长发生变化。现使摆球做小角度摆动，如图 45 所示为摆球从 右边最高点 M 摆至左边最高点 N 的闪光照片(悬点和小钉未摄入)， P 为摆动中的最低点，每相邻两次闪光的时间间隔相等，则小钉距 悬点的距离为( ) A. B. L4 L2 C. L D条件不足，无法判断 34 12如图 47 所示是两个单摆的振动图象。 (
11、1)甲、乙两个摆的摆长之比是多少？ (2)以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向， 从 t0 起，乙第一次到达右方最大位移时，甲振动到了什么 位置？向什么方向运动？ 例题答案： 1. 【答案】A、B、C 【解析】一根不可伸长的且没有质量的细线悬挂一质点组成的装置，我们称作单摆，它 是一个理想化模型，所谓理想化是指细线不伸长且无质量， 小球的大小不计可视为质点， 故 A、B、C 正确；单摆做简谐运动的条件是细线与竖直方向夹角很小，一般 10，故 D 项错误 2. 【答案】C 【解析】简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点，摆球在正向最大位移处时位移为 A，在平衡位置时位移应为零。摆球的回复
12、力由合外力沿圆弧切线方向的分力(等于重力沿 圆弧切线方向的分力)提供，合外力在摆线方向的分力提供向心力，摆球经最低点(振动的 平衡位置)时回复力为零，但向心力不为零，所以合外力不为零(摆球到最高点时，向心力 为零，回复力最大，合外力也不为零)。 3. 【答案】1.9 lg 【解析】释放后摆球到达右边最高点 B 处，由机械能守恒知 B 和 A 等高，此时摆线偏角 10，则摆球始终做简谐运动。摆球做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两 个不同单摆的半周期的和，即 T T1 T2 1.9 。 12 12 0.81lg lg lg 4【解析】设在地球上该钟的周期为 T0，在月球上该钟的周期为 T，指示
13、的时间为 t。 则在月球上该钟的时间 t 内振动的次数为 N 。在地面上振动次数 N 时所指示的时间为 tT t0，则有 N ， t0T0 即 ，所以 t0 t t h。 tT t0T0 T0T g月g地 66 地面上的实际时间为 h。 66 要使其与在地面上时一样准，则 TT 0， 即 2 2 ，l 月 l 地 。 l月g月 l地g地 16 即应将摆长调到原来的 。 16 5. （1）ACEH（1 分） （2）摆线与竖直方向的夹角不超过（或小于）5（1 分） 。因为只有在摆角不超过（或小 于）5的情况下，单摆的周期公式 才成立（1 分） 。gLT2 （3） （2 分） ；不变（1 分） 。1
14、24yx 课后练习答案： 1BCD 2.C 3.C 4.D 5. 解析：摆球所受的回复力是合力沿圆弧切线方向的分量，也等于重力沿切线方向的 分量，重力沿摆线方向的分力与摆线拉力两者合力提供向心力，这个合力等于零或总指向 悬点，故 C、D 正确。 答案：C、D 6.解析：单摆的周期与单摆的质量、振幅无关，即改变质量和振幅，周期不变；到达平衡 位置时速度减小，说明单摆摆角减小，即振幅减小，故 B 项正确。 答案：B 7. 解析：由 f 知，要使 f 加大，则 g 加大或 l 减小，可知只有 C 正确。 1T 12 gl 答案：C 8. 解析：从 A、B 点均做单摆模型运动，t 1 ，t 2 ，R
15、为球面半径， TA4 2 Rg TA4 2 Rg 故 t1t 2；A 点离开平衡位置远些，高度差大，故从 A 点滚下到达平衡位置 O 时速度大， 即 v1v 2。 答案：A 9.解析：由 T2 ，代入数据得 T1.26 s，则 1 s 时，正处于第四个 T 内，由左侧 lg 14 最大位移向平衡位置运动，D 正确。 答案：D 10. 解析：由振动图象知 t1 和 t3 时刻摆球偏离平衡位置位移最大，此时摆球速度为零， 悬线对摆球拉力最小；t 2 和 t4 时刻摆球位移为零，正在通过平衡位置，速度最大，悬线对 摆球拉力最大，故选项 D 正确。 答案：D 11. 解析：图中 M 到 P 为四个时间间隔，P 到 N 为两个时间间隔，即左半部分单摆的 周期是右半部分单摆周期的 ，根据周期公式 T2 ，可得左半部分单摆的摆长为 ，即 12 lg L4 小钉距悬点的距离为 3L/4，故 C 选项正确。 答案：C 12.解析：由图象知 T 甲 4 s ，T 乙 8 s， (1)由 T2 得 。 lg l甲l乙 T2甲T2乙 4282 14 (2)由于乙的周期 T 乙 2T 甲 ，故乙由平衡位置第一次到达右方最大位移处时，振动了 个周期，历时 2 s，此时甲已经过半个周期，因此摆球刚好回到平衡位置且向左运动。 14 答案：(1)1 4 (2)刚好回到平衡位置且向左运动
