1、 常用均值不等式及证明证明 概念： 1、调和平均数调和平均数： naaHn112 2、几何平均数： naGn 121 3、算术平均数： aAn 4、平方平均数： n aQn221n 这四种平均数满足 AGHn ，当且仅当 时取“=”号 Raa21、 naa21 均值不等式的一般形式：设函数 函 rnrrxD121 数(当 时); (当 时） （即 0r n 121aa 0r 则有：当 r=-1、1、0、2 注意到 HnGnAnQnnD 121aa0 仅是上述不等式的特殊情形，即 D(-1)D(0)D(1)D(2) 由以上简化，有一个简单结论，中学常用 21 2baaba 均值不等式的变形： (
2、1)对实数 a,b，有 (当且仅当 a=b 时取“=”号)， ab2a2 b20,a2 (2)对非负实数 a,b，有 ，即 02ab 02ab (3)对负实数 a,b，有 - (4)对实数 a,b，有 baba (5)对非负实数 a,b，有 022 (6)对实数 a,b，有 abba2 (7)对实数 a,b,c，有 3c 222c (8)对实数 a,b,c，有 abba22 (9)对非负数 a,b，有 4222 (10)对实数 a,b,c，有 3aabcb 均值不等式的证明： 方法很多，数学归纳法数学归纳法（第一或反向归纳） 、拉格朗日乘数、拉格朗日 乘数法法、琴生不等式、琴生不等式法、排序不
3、等式排序不等式法、柯西不等式柯西不等 式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。 引理：设 A0，B0，则 BnAB1-n 注：引理的正确性较明显，条件 A0，B0 可以弱化为 A0，A+B0 ,有兴趣的同学可以想想如何证明(用数学归纳法)。 原题等价于：。 n na 2121aa 当 n=2 时易证； 假设当 n=k 时命题成立，即 k ka 2121aa 。那么当 n=k+1 时，不妨设 是 中最大者，1k 12,k 则 121kaka 设 s 1-1-1aa111k21 ksasks kssk k 用引理 1211 kk aas 。用归纳假设 下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法 琴生不等式：上凸函数 是函数 在区间(a,b)内的任意 n 个点，nxxf,21 xf 则有： nxfffnf nn 2121 设 ， 为上凸增函数 所以，xflf n nnxnxxx121 2121ln llll 即 n nxx 12121 在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦）
