1、学科分类号0703本科毕业论文题目（中文）极限求解的若干方法（英文）SOMEMETHODSOFLIMITSOLVING姓名学号2008120129院（系）数学与计算机科学学院专业、年级2008级数学与应用数学指导教师二一二年五月湖南师范大学本科毕业论文诚信声明本人郑重声明所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。本科毕业论文作者签名二一二年五月四日湖
2、南师范大学本科毕业论文开题报告书论文题目极限求解的若干方法作者姓名所属院、专业、年级数计院数学与应用数学专业2008年级指导教师姓名、职称教授预计字数7000开题日期2012年2月18日选题的根据1）说明本选题的理论、实际意义2）综述国内外有关本选题的研究动态和自己的见解高等数学是以函数为研究对象，以微分和积分及其应用为内容，以极限为手段的一门科学，换句话说，高等数学是用极限来研究函数的微分和积分的理论，由于极限贯穿整个高等数学，故极限的计算就显得尤为重要。极限的计算不仅是高等数学的基本计算之一，同时又是解决许多实际问题不可缺少的工具，它在物理学、工程学等相关学科上有广泛的应用。因此，求极限是
3、学生必须练好的一门基本功。然而，极限的题目错综复杂，针对不同的问题我们的解决方法不尽相同。定义固然要掌握牢固，但“具体问题具体分析”，面对这五花八门的极限问题有些方法是可以让我们在解决具体问题的时候走捷径的。主要内容极限是高等数学基础，在高等数学中占有十分重要的位置。极限可分为函数极限和数列极限，本课题主要讨论极限的求法，预计总结极限的十六种求法，1、利用定义求极限；2、利用极限的四则运算性质求极限；3、利用两个准则求极限；4、利用两个重要极限公式求极限；5、换元法求极限；6、利用单侧极限求极限；7、利用导数的定义求极限；8、利用函数的连续性求极限；9、利用级数收敛的必要条件求极限；10、利用
4、无穷小量的性质求极限；11、利用中值定理求极限；12、洛必达法则求极限；13、利用定积分求和式的极限；14、利用泰勒展开式求极限；15、利用海涅定理（归结原理）求极限；16、利用STOLTZ公式法求极限。研究方法研究步骤到图书馆电子阅览室查找相关的期刊文献，并利用中国期刊网、中国知识网和中国数字化期刊群查找论文相关的资料从图书馆借阅相关书籍，仔细阅读，细心分析，通过自己的耐心总结、研究，老师的指导、改正，争取做好毕业论文工作研究方法本课题研究方法主要是理论研究法，文献研究法、经验总结法措施查阅资料，理解函数极限的定义，对函数极限的求法加以归纳完成期限和采取的主要措施2011年12月16日201
5、2年4月22日，严格按照本科生毕业论文质量标准完成论文写作工作。3月31日前完成初稿，交给指导老师评阅；4月15日前完成二稿，交给指导老师评阅；4月22日前完成三稿，交给指导老师评阅。4月22日30日，根据指导教师整改意见修改论文、完善论文指导程序和论文各项规范工作。5月1日5月12日，成立论文答辩分组，组织论文答辩主要参考资料1陈传璋，金福临编，数学分析（上下册）第二版M，高等教育出版社2毛钢源，高等数学解题方法技巧归纳M，华中科技大学出版社3郝涌，卢士堂等，数学考研精解M，华中理工大学出版社4陈纪修，数学分析习题全解指南M，高等教育出版社5李小光，求极限的若干技巧J，西安航空技术高等专科学
6、校学报，1，20023，20216冯丽珠，变形法求极限的变法技巧J，武汉职业技术学院学报，1，20033，35367范钦杰，关于极限求法的进一步探讨J，松辽学刊，3，19902，24278MARKJSCHERVISH，LIMITCYCLEOFLIENARDEQUATIONJ，JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITION，1，19902，1724指导教师意见签名年月日开题报告会纪要时间地点与会人员姓名职务（职称）姓名职务（职称）姓名职务（职称）会议记录摘要会议主持人签名记录人签名年月日指导小组意见负责人签名年月日学院意见负责人签名年月日湖南师范大学数学与计
7、算机科学学院指导教师指导毕业论文情况登记表论文题目极限求解的若干方法学生姓名所属专业、年级数学与应用数学专业2008级指导教师姓名职称教授学历博士指导时间指导地点指导内容学生签名备注二、湖南师范大学本科毕业论文评审表论文题目极限求解的若干方法作者姓名所属院、专业、年级数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2008年级指导教师姓名、职称教授字数7000定稿日期201254中文摘要极限一直是高等数学中的一个重点内容，高等数学的许多基本概念都是用极限来描述的。极限的一般求法有定义法，四则运算，夹逼法则，单调有界法则等。本文在这些基础上，加入了一些比较繁琐、新颖的方法，如泰勒展开式，定积分的定义，海涅
8、定理，STOLTZ公式等。经过大量采集材料和归纳总结，本文得出了求极限的十六种方法。关键词（35个）极限；导数；无穷小量；海涅定理；STOLTZ公式英文摘要LIMITHASBEENOFHIGHERMATHEMATICSISONEOFTHEKEYCONTENT,THEHIGHERMATHEMATICSTHEMANYBASICCONCEPTSAREDESCRIBEDWITHLIMITTHELIMITSOFTHEGENERALMETHODTOHAVEDEFINITIONMETHOD,ARITHMETIC,CLAMPFORCELAW,DRABBOUNDEDLAW,ETCINTHISPAPERBASED
9、ONTHESE,ADDSOMEMORETEDIOUS,NOVELMETHODS,SUCHASTAYLOREXPANSION,THEINTEGRALDEFINITION,HEINETHEOREM,STOLTZFORMULA,ETCAFTERHARVESTINGMATERIALSANDSUMUP,THISPAPERCONCLUDEDTHATFORTHELIMITSOFTHE16KINDSOFMETHODS关键词（35个）LIMITDERIVATIVEINFINITELYSMALLAMOUNTHEINETHEOREMSTOLTZFORMULA毕业论文指导教师评定成绩评审基元评审要素评审内涵满分实评分
10、选题质量30目的明确符合要求选题符合专业培养目标，体现学科、专业特点和综合训练的基本要求10理论意义或实际价值符合本学科的理论发展，有一定的学术意义；对经济建设和社会发展的应用性研究中的某个理论或方法问题进行研究，具有一定的实际价值10选题恰当题目规模适当5难易度适中5能力水平35查阅文献资料能力能独立查阅相关文献资料，归纳总结本论文所涉及的有关研究状况及成果，并恰当运用5综合运用知识能力能运用所学专业知识分析、研究和阐述问题；论文内容有适当的深度、广度和难度10研究方案的设计能力整体思路清晰；研究方案合理可行5研究方法和手段的运用能力能运用本学科常规研究方法及相关研究手段（如计算机、实验仪器
11、设备等）进行实验、实践并加工处理、总结信息10外文应用能力能阅读、翻译一定量的本专业外文资料、外文摘要和外文参考书目（特殊专业除外）体现一定的外语水平5论文质量35文题相符较好地完成论文选题的目的要求5写作水平论点鲜明；论据充分；条理清晰；语言流畅10写作规范符合学术论文的基本要求。用语、格式、图表、数据、量和单位、各种资料引用规范化、符合标准10论文篇幅文科类不少于10000字，理工科类不少于7000字，艺体类不少于5000字，外国语言文学类不少于5000个实词。5成果的理论或实际价值成果富有一定的理论深度和实际运用价值5正文部分成绩（上表）总成绩评定等级外文资料译文成绩指导教师评审意见指导
12、教师签名说明此表指标部分为正文部分计分表，正文部分成绩实评总分09，外文资料译文成绩满分为10分。总成绩正文部分成绩外文资料译文成绩。评定成绩分为优秀、良好、中等、及格、不及格五个等级，总成绩90100分记为优秀，8089分记为良好，7079分记为中等，6069分记为及格，60分以下记为不及格。若译文成绩为零，则不计总成绩，评定等级记为不及格。毕业论文评阅教师评定成绩评审基元评审要素评审内涵满分实评分选题质量30目的明确符合要求选题符合专业培养目标，体现学科、专业特点和综合训练的基本要求10理论意义或实际价值符合本学科的理论发展，有一定的学术意义；对经济建设和社会发展的应用性研究中的某个理论或
13、方法问题进行研究，具有一定的实际价值10选题恰当题目规模适当5难易度适中5能力水平35查阅文献资料能力能独立查阅相关文献资料，归纳总结本论文所涉及的有关研究状况及成果，并恰当运用5综合运用知识能力能运用所学专业知识分析、研究和阐述问题；论文内容有适当的深度、广度和难度10研究方案的设计能力整体思路清晰；研究方案合理可行5研究方法和手段的运用能力能运用本学科常规研究方法及相关研究手段（如计算机、实验仪器设备等）进行实验、实践并加工处理、总结信息10外文应用能力能阅读、翻译一定量的本专业外文资料、外文摘要和外文参考书目（特殊专业除外）体现一定的外语水平5论文质量35文题相符较好地完成论文选题的目的
14、要求5写作水平论点鲜明；论据充分；条理清晰；语言流畅10写作规范符合学术论文的基本要求。用语、格式、图表、数据、量和单位、各种资料引用规范化、符合标准10论文篇幅符合学校文件（处发200768号）要求5成果的理论或实际价值成果富有一定的理论深度和实际运用价值5正文部分成绩（上表）总成绩评定等级外文资料译文成绩评阅教师评审意见评阅教师签名说明此表指标部分为正文部分计分表，正文部分成绩实评总分09，外文资料译文成绩满分为10分。总成绩正文部分成绩外文资料译文成绩。评定成绩分为优秀、良好、中等、及格、不及格五个等级，总成绩90100分记为优秀，8089分记为良好，7079分记为中等，6069分记为及
15、格，60分以下记为不及格。若译文成绩为零，则不计总成绩，评定等级记为不及格。三、湖南师范大学本科毕业论文答辩记录表论文题目极限求解的若干方法作者姓名所属院、专业、年级数学与计算机科学学院数学与应用数学专业2008年级指导教师姓名、职称教授答辩会纪要时间地点答辩小组成员姓名职务（职称）姓名职务（职称）姓名职务（职称）答辩中提出的主要问题及回答的简要情况记录会议主持人签名记录人签名年月日答辩小组意见评语评定等级负责人（签名）年月日学院意见评语论文学院最终评定等级负责人（签名）学院（公章）年月日学校意见评语评定等级负责人（签名）年月日I目录中文摘要1英文摘要11引言22极限的求法321函数极限的求法
16、3211利用定义求极限3212利用极限的四则运算性质求极限4213利用两个重要极限公式求极限5214换元法求极限6215利用单侧极限求极限6216利用导数的定义求极限7217利用函数的连续性求极限8218利用无穷小量的性质求极限8219利用中值定理求极限92110洛必达法则求极限112111利用泰勒展开式求极限122112利用海涅定理（归结原理）求极限1322数列极限的求法13221利用两个准则求极限13222利用级数收敛的必要条件求极限15223利用定积分求和式的极限15II224利用STOLTZ公式法求极限16结束语17参考文献18致谢191极限求解的若干方法数学与应用数学专业2008级摘
17、要极限一直是高等数学中的一个重点内容，高等数学的许多基本概念都是用极限来描述的。极限的一般求法有定义法，四则运算，夹逼法则，单调有界法则等。本文在这些基础上，加入了一些比较繁琐、新颖的方法，如泰勒展开式，定积分的定义，海涅定理，STOLTZ公式等。经过大量采集材料和归纳总结，本文得出了求极限的十六种方法。关键词极限；导数；无穷小量；海涅定理；STOLTZ公式SOMEMETHODSOFLIMITSOLVINGABSTRACTLIMITHASBEENOFHIGHERMATHEMATICSISONEOFTHEKEYCONTENT,THEHIGHERMATHEMATICSTHEMANYBASICCON
18、CEPTSAREDESCRIBEDWITHLIMITTHELIMITSOFTHEGENERALMETHODTOHAVEDEFINITIONMETHOD,ARITHMETIC,CLAMPFORCELAW,DRABBOUNDEDLAW,ETCINTHISPAPERBASEDONTHESE,ADDSOMEMORETEDIOUS,NOVELMETHODS,SUCHASTAYLOREXPANSION,THEINTEGRALDEFINITION,HEINETHEOREM,STOLTZFORMULA,ETCAFTERHARVESTINGMATERIALSANDSUMUP,THISPAPERCONCLUDED
19、THATFORTHELIMITSOFTHE16KINDSOFMETHODSKEYWORDSLIMITDERIVATIVEINFINITELYSMALLAMOUNTHEINETHEOREMSTOLTZFORMULA21引言高等数学是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位。早在中国古代，极限的朴素思想和应用就已在文献中有记载。例如,3世纪中国数学家刘徽的割圆术，就是用圆内接正多边形周长的极限是圆周长这一思想来近似地计算圆周率的。极限是研究变量变化趋势的基本工具，高等数学1中许多基本概念，如连续，导数，定积分
20、，无穷级数都是建立在极限的基础上，极限方法又是研究函数的一种最基本的方法，因此学好极限在高等数学学习中具有重要意义。极限的求法27多种多样，本文列举了求极限的一些方法利用定义求极限、函数连续性求极限、四则运算、两个重要极限、等价无穷小量代替求极限、洛必达法则、泰勒展式求极限、微分中值定理、积分中值定理、夹逼准则等等。那么在运用这些方法时应该注意一些细节问题。本文在求极限的基础上，也详细的介绍了一些应该注意的地方。在求极限的过程中，会经常发现一道题可以运用多种方法解答，因此给我们的启示是每种方法之间都有一定的联系。求极限必须是在极限存在的前提下进行的，根据不同的形式可以选择不同的计算方法，合理利
21、用各种计算方法，亦可进行适当的结合，使得求极限的方法更明了，算法更加简单。32极限的求法从高中开始我们就已经开始接触极限这一概念了，在大学的学习中，我们更加深入的了解了何为极限以及如何求解极限。极限大体上可分为函数极限和数列极限，因此极限的求法也就分为函数极限的求法与数列极限的求法。以下我们就分情况具体地探讨极限求解的一些方法。21函数极限的求法我们都知道在高等数学里很多关于函数的性质概念都是可以用极限来表述的，如导数的定义，连续的定义等等。所以，我们就可以用导数、连续等性质反过来求函数极限。经过整理和总结，本文给出了函数极限的十四种方法。211利用定义求极限设F为定义在A,）上的函数，A为定
22、数。若对人给的0，存在正数MA，使得当XM时有AXF，则称函数F当X趋于时，以A为极限，记作XLIMAXFAXFX或此方法一般用于证明极限或者那些可以看出极限的计算题，根据已知或者可以看出的答案取合适的和，从而得出结果。例1求证7LIM221,2,YXYXYX证明722YXYX12422YXYX1112222YYYYXXX2X2YX31YY，4先限制在点（2，1）的1的方域（X,Y）|2X1，1Y1内讨论，于是有413YY1Y452YX512YX2X1Y57,227XXYY72X51Y7（2X1Y）设为任给的正数，取MIN1，14，则当2X，1Y，,YX2,1时，就有722YXYX7214用极
23、限的定义时，只需要证明存在，故求解的关键在于不等式的建立，在求解过程中往往采用放大、缩小等技巧。但是不能把含有的因子移到不等式的另一边再放大，而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大，有时还需要加入一些限制条件。限制条件必须和所求的一致，最后结合在一起考虑。212利用极限的四则运算性质求极限极限的四则运算法则叙述如下若AXFXXLIM0，BXGXXLIM0，1LIM0XGXFXXLIM0XFXXBAXGXXLIM0；2BAXGXFXGXFXXXXXXLIMLIMLIM000；3若0B，则BAXGXFXGXFXXXXXXLIMLIMLIM000；4CAXFCXFCXXXXLIMLIM00（C为
24、常数）上述性质对于XXX,时也同样成立。总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。5例2求极限124LIM22XXX2已知NNXN11321211，求NNXLIM解124LIM22XXX222LIM2XXXX2LIM2XX42因为NNXN11321211111111111122334411NNN11N所以NNXLIM11LIMNN1通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形，例如分子，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。213利用两个重要极限
25、公式求极限两个极限公式1SINLIM0XXAX；EXBXX11LIM但我们经常使用的是它们的变形,11LIM0,1SINLIMXEXBXXXAX在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。例3求2COS2COS2COS2COSLIMLIM320NNXXXXX的极限6解NXXXX2COS2COS2COS2COS32NNNXXXXXX2SIN2COS2COS2COS2COS2SIN132XXNNSIN2SIN2123LIMCOSCOSCOSCOS2222NNXXXXXXNNNSIN2SIN21LIMSINLIM2SIN2NNNXXXXSIN2COS2COS2COS
26、2COSLIMLIM320NNXXXXXXXXSINLIM01214换元法求极限当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。例4求XXXXXLN1LIM1解令1XXT，则1LNLNTX，XXXXXLN1LIM11LNLIM0TTTTTT1LN1LIM01换元的好处在于化繁琐为简单。但是，在换元的时候要特别注意趋近量。也就是说，当我们把关于X的一个整体XF用T来替换时，这时候，T趋于的某个数并不是X趋于的那个数，而是关于X的整体XF趋于的那个数。215利用单侧极限求极限7这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限
27、都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。例50,10,1SIN2XXXXXXF求XF在0X的左右极限。解XXX1SINLIM01，1LIM20XX100LIMLIM1XXFXFX0LIM1XFX216利用导数的定义求极限导数的定义函数XF在0X附近有定义，X，00XFXXFY，如果XXFXXFXYXXLIMLIM0000存在，则此极限值就称函数XF在点0X的导数记为0XF，即XXFXXFXF000在这种方法的运用过程中，首先要选好XF，然后把所求极限表示成XF在定点0X的导数的形式。此时，所求极限就是XF在定点0X处的导数。例6求XXX2COT2LIM2解取XXF2TAN，则
28、XXX2COT2LIM222TANLIM12XXX222TAN2TANLIM12XXX822LIM2XFXFX21F2|2SEC212XX21217利用函数的连续性求极限若函数F在0X点处连续,则F在点0X有极限,且极限值等于函数值0FX可以用连续性的一种推广定理设复合函数XFY是由函数UFY，XU复合形成的，并且AXXXLIM0，LIMAFUFAU，则XFY在0XX处的极限存在且LIM0XFXXLIM0XFXXAF这种方法适用于求复合函数的极限。如果XGU在点0X连续且00UXG，而UFY在点0X连续，那么复合函数XGFY在点0X连续，即LIMLIM00XGFXGFXGFOXXXX。也就是说
29、极限符号0LIMXX可以与符号F互换顺序。例7求XXX11LNLIM解令UYLN，XXU11，因为ULN在点EXUXX11LIM0处连续,所以XXX11LNLIM11LIMLNXXXELN1218利用无穷小量的性质求极限1无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）如果0LIM0XFXX,XG在某区间0000,XXXX有界，那么0LIM0XGXFXX这种方法可以处理一个函数不存在但有界，和另一9个函数的极限是零的极限的乘积的问题。2当0X时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有XXSINXTANXARCSINXARCTAN1LNX1XE当上面每个函数中的自变量X换成XG时（0
30、XG），仍有上面的等价关系成立，例如当0X时，13XEX3；1LN2X2X（3）如果函数,11XGXFXGXF都是0XX时的无穷小，且XF1XF，XG1XG，则当LIM110XGXFXX存在时，LIM0XGXFXX也存在且等于LIM110XGXFXX，即LIM0XGXFXXLIM110XGXFXX例8求下列极限1XXXSINLIM230TANSINLIMSINXXXX解1因为1|SIN|X,XX1LIM0，所以XXXSINLIM02由于SINTANSIN1COSCOSXXXXX,0X时，XXSIN,2COS12XX，33SINXX,故有30TANSINLIMSINXXXX230112LIMCO
31、S2XXXXX219利用中值定理求极限微分中值定理若函数XF在A,B连续且在A,B可导，则在A,B内至少存在一点，使ABAFBFF例9求3SIN022LIMXXXX的极限。10解3SIN3SINSINSIN2222XXXXXXXXXX由微分中值定理得，2LN2SIN22SINXXXX（介于X与XSIN之间）3SIN022LIMXXXX30SIN0SINLIMSIN22LIMXXXXXXXXX2003COS1LIM2LN2LIMXXX62LN积分中值定理设函数XF在闭区间A,B上连续；XG在A,B上不变号且可积，则在A,B上至少有一点使得BBAAFXGXFGXDXAB。例10求XDXNX40SI
32、NLIM解XDXNX40SINLIMNXSINLIM0440NXSINLIM40运用微分中值定理和积分中值定理做题时可以使题目变的更加简单易懂，但是在用微分中值定理和积分中值定理求函数极限的时候一定要注意这两个中值定理使用的条件。微分中值定理的条件是函数XF在闭区间A,B内连续且在开区间A,B内可导，一定要注意区间的开与闭。如果一个函数XF只是在开区间A,B内连续且可导，这时候仍然不能使用微分中值定理。同样的，在使用积分中值定理的时候也要注意一个函数在闭区间A,B内是连续的，而另一个函数在同样的区间A,B内是不变号且可积的。这时候，我们把某点的函数值代替这个函数提到积分符号前面的11那个函数一
33、定是在区间A,B内是连续的那个函数，而不是那个在区间A,B内不变号且可积的那个函数。2110洛必达法则求极限若10LIM0XFXX,0LIM0XGXX2F与G在0X的某空心邻域0XUO内可导，且0XG3AXGXFXXLIM0（A可为实数，也可为），则LIM0XGXFXXLIM0XGXFXXA此定理是对00,型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注运用洛必达法则求极限应注意以下几点1要注意条件，也就是说，在没有化为,00时不可求导。2应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3当LIMXGXFAX不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方
34、法。例111求XXX0LIM2求SINLIMXXXX解1XXX0LIM为0型N由对数恒等式可得LNXXXXEXXX0LIM0LIMLNXXXE1200LNLIMLNLIM01XXXXXXXXX0LIM01E2SINLIMXXXXSINLIM11XXX,但用洛必达法则时SIN1COSLIMLIM1XXXXXX，极限不存在。2111利用泰勒展开式求极限若XF在0X点有直到1N阶连续导数，那么020002XRXNFXFXFFXFNNN111NNNXNFXR其中在0与1之间例12求极限4202COSLIMXEXXX解泰勒展开式421COS442XOXXX22121422222XOXXEX于是121CO
35、S4422XOXEXX所以4202COSLIMXEXXX4440121LIMXXOXX121利用泰勒展开式，可以求那些含有XSIN、XCOS、XE、1LNX等型式而结构又比较复杂的函数极限。这类题目一般都比较复杂，用其他的方法都不好求。这时候，我们可以把题目里面的XSIN、XCOS、XE、1LNX等这些函数结构用泰勒展开式展开到适当的阶数和此阶数的13高阶无穷小的型式，利用高阶无穷小的极限是0这一性质，可以方便的计算出最终的结果。因为高阶的无穷小的极限是0，可以先放在一边，我们只需对那些已展开的式子进行整理，整理所得出的式子的极限就是最终所要求的极限。2112利用海涅定理（归结原理）求极限设函
36、数F在,00XU内有定义，0LIMXXFX存在的充要条件是对任何含于,00XU且以0X为极限的数列NX，极限LIMNXFX都存在且相等。此定理的意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理，通常利用此定理的逆否命题来判断极限不存在。例13求极限01LIMSINXX解设1NXN,11,2,22NXNN,显然有0NX,0NXN,则1SIN00NX,1SIN11NXN,所以,11LIMSINLIMSINXXNNXX，则由归结原理可得该极限不存在。22数列极限的求法数列极限的求法比较难找，本人翻阅了大量的资料，到目前为止也只找到了四种方法。主要就是夹逼法则和单调有界必有极限两个准则，数列收敛通项趋于零，
37、在这基础上再加上数列的变形，也就是把数列和化成定积分和STOLTZ公式。221利用两个准则求极限14函数极限的迫敛性（夹逼法则）若一正整数N，当NN时，有NNNZYX且AZXNNNNLIMLIM，则有AYNNLIM利用夹逼准则求极限关键在于从NY的表达式中，通常通过放大缩小的方法找出两个有相同极限值的数列NX和NZ，使得NNNZYX，然后由迫敛性就可以得出所求数列的极限。例14求极限1321LIM242NNN解因为2224412121212121NNNNNNNN，所以13211332121102421335212121NNNNNNN因1LIM021NN，再由迫敛性知1321LIM0242NNN
38、单调有界准则单调有界数列必有极限，而且极限唯一。这种求数列极限的方法，关键在于唯一性。当我们判断出一个数列是单调并且有界的时候，我们就知道这个数列极限是存在的而且是唯一的。正因为有了这唯一性，我们立马就可以设所求数列的极限为常数A，然后对关于这个数列的等式两边求极限，这个数列的等式就会变成关于常数A的等式，然后就可以很容易的求出这个常数A，也就是所求数列的极限。例15求极限LIM333N（N个根号）解设3331NA，又由133A，设3NA，则13333NNAA15因13NNNAAA，故NA单调递增。综上知NA单增有上界，所以NA收敛。令LIM13NNAAA，由13NNAA，对两边求极限得3AA
39、，故3A222利用级数收敛的必要条件求极限利用级数收敛的必要条件若级数1NNU收敛,则0NUN运用这个方法首先判定级数1NNU收敛，然后就可以求出它的通项的极限，这时候所求极限就是0例16求极限222111LIM12NNNN解因级数211NN收敛，由级数收敛的柯西准则知，对0，存在0N，使得当NN时，212211NNKKKK，此即22211112NNN，所以222111LIM012NNNN223利用定积分求和式的极限利用定积分求和式的数列极限时首先选好恰当的可积函数XF把所求数列极限的和式表示成函数XF在某区间A,B上的待定分法（一般是等分）的积分和式的型式，这时候，所求的数列极限就是函数XF
40、在对应区间A,B上的定积分值。16例17求1211LIM222222NNNNNNNNN解由于2222221211NNNNNNNN111121111111222NNNNN可取函数211XXF，区间0,1，上述和式恰好是211XXF在0,1上N等分的积分和。所以1211LIM222222NNNNNNNNNNLIM111121111111222NNNNNDXX102114224利用STOLTZ公式法求极限STOLTZ公式对于给定的数列NX、NY，若1NNX发散，则11LIMLIMNNNNNNNNYYYAXXXSTOLTZ公式在求数列1NNKKYA极限时特别有效。例18求112LIMKKKKNNN解1
41、1112LIMLIM1KKKKKKKNNNNNNN（STOLTZ公式）112111LIM1KKKKNKKNCNCN（二项式定理）11111KCK17结束语以上求极限的方法各有条件、各具特色，它们所采用的技巧方法都不尽相同，我们必须根据其条件来判断极限的类型，进而根据类型来找到解决问题的方法。本文归纳了求极限的一些方法，或许并不全面。数学知识博大精深，我们应不停的接受新知识，这样我们才能掌握更多的方法，在做题时得心应手。18参考文献1陈传璋，金福临编，数学分析（上下册）第二版M，高等教育出版社2毛钢源，高等数学解题方法技巧归纳M，华中科技大学出版社3郝涌，卢士堂等，数学考研精解M，华中理工大学出
42、版社4陈纪修，数学分析习题全解指南M，高等教育出版社5李小光，求极限的若干技巧J，西安航空技术高等专科学校学报，1，20023，20216冯丽珠，变形法求极限的变法技巧J，武汉职业技术学院学报，1，20033，35367范钦杰，关于极限求法的进一步探讨J，松辽学刊，3，19902，24278MARKJSCHERVISH，LIMITCYCLEOFLIENARDEQUATIONJ，JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITION，1，19902，172419致谢经过几个月的忙碌，我的毕业论文已经逐渐成型。作为一个本科生，由于经验的匮乏，在写作过程中难免有许多烤炉
43、不周全的地方。如果不是老师的细心地指导和帮助，我想完成这篇论文应该是很难的。在这里，我要衷心地感谢李老师。李老师待人和蔼，治学严谨，是我们学习的楷模。同时，我还要感谢所有我的授业老师，他们不仅教给我书本知识，也教会了我如何处世，如何做人。没有这三年半只是的积淀，我没有那么大的动力和信心完成这篇论文。我还要感谢那些可爱的同学们，尤其是我的6位室友。将近4年的同处，我从他们身上学会了很多很多。没有他们的支持和帮助，我的论文不会写的如此顺利。我们互相帮助找资料，互相交流学习所得，互相探讨如何写好毕业论文没有他们，我的大学生涯将不会如此丰富多彩。最后，我还要感谢给予我平静与温暖的家人。如果不是他们一直
44、源源不断的支持和鼓励，我不会有今天这样的成绩。正是他们的关怀，我的生活才能安稳而踏实。感恩之余，诚恳地请各位老师对我的论文多加批评指正，使我及时完善论文的不足之处。谢谢1英文原文ANINTUITIVEINTRODUCTIONTOLIMITSLIMITSISONEOFTHEMOSTFUNDAMENTALCONCEPTSOFCALCULUSTHECONCEPTOFCALCULUSWASNOTTHATCLEARDURINGTHETIMEOFLEIBNIZANDNEWTON,BUTLATERDEVELOPMENTSONTHECONCEPT,PARTICULARLYTHEDEFINITIONBYCAUCHY,
