1、实用文档 文案大全 2-2 已知真空中有三个点电荷，其 电量及位置分别为： )0,1( ,4 , ,33221PCq 试求位于 点的电场强度。0( 解 令 分别为三个电电荷的位置 到 点的距离，则321,r 321,P ， ， 。1r 利用点电荷的场强公式 ，其中 为点电荷 q 指向场点reE204qr 的单位矢量。那么，P 在 P 点的场强大小为 ，方向为1q 0210184rq 。zyree21 在 P 点的场强大小为 ，方向为2q 020214rqE 。zyxr ee312 在 P 点的场强大小为 ，方向为3q 0230341rqEyre3 则 点的合成电场强度为 zeeeEyx 312
2、8413281312 0 2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为 C，相距为 2cm， 如习题610 图 2-4 所示。试求：P 点的电位； 将电量为 C 的点电荷由无2 习题图 2-2 z x 1q23P E3 E2 E1 实用文档 文案大全 限远处缓慢地移至 P 点时，外力必须作的功。 解 根据叠加原理， 点的合成电位为PV105.2460rq 因此，将电量为 的点电荷由无限远处缓慢地移到 点，外力必C1026P 须做的功为 J5qW 2-6 已知分布在半径为 a 的半圆周上的电荷线密度 ，试求圆心处的电场强度。0,sin0l 解 建立直角坐标，令线电荷位于 xy 平面，且以 y 轴为对称
3、，如习题图 2- 6 所示。那么，点电荷 在圆心处产生的电场强度具有两个分量 Ex 和ld Ey。由于电荷分布以 y 轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的 分量，y 1cm P 1cmq q 1cm r 习题图 2-4 习题图 2-6 a y xo ld E 实用文档 文案大全 即 sin4dd20alEy 考虑到 ，代入上式求得合成电场强度为sin,d0lal yy aaee0028di4 2-12 若带电球的内外区域中的电场强度为 arq , ,2reE 试求球内外各点的电位。 解 在 区域中，电位为ar aqrqaarr 2ddrEE 在 区域中，r 2-13 已知圆球坐标系中空间电场分布
4、函数为 ar ,253reE 试求空间的电荷密度。 解 利用高斯定理的微分形式 ，得知在球坐标系中0rErr20d1 那么，在 区域中电荷密度为ar20520rr 在 区域中电荷密度为rd1520arr 2-17 若在一个电荷密度为 ，半径为 a 的均匀带电球中，存在一个半径 实用文档 文案大全 为 b 的球形空腔，空腔中心与带电球中心的间距为 d，试求空腔中的电场 强度。 解 此题可利用高斯定理和叠加原理求解。首先设半径为 的整个球内充a 满电荷密度为 的电荷，则球内 点的电场强度为PreErP03201 4r 式中 是由球心 o 点指向 点的位置矢量， r 再设半径为 的球腔内充满电荷密度
5、为 的电荷，则其在球内 点bP 的电场强度为 reErP 0320241r 式中 是由腔心 点指向 点的位置矢量。ro 那么，合成电场强度 即是原先空腔内任一点的电场强度，P21 即 drEPP 0021 33 式中 是由球心 o 点指向腔心 点的位置矢量。可见，空腔内的电场是均d 匀的。 2-19 已知内半径为 a，外半径为 b 的均匀介质球壳的介电常数为 ，若在 球心放置一个电量为 q 的点电荷，试求：介质壳内外表面上的束缚电荷； 各区域中的电场强度。 习题图 2-17 o b a Pr d r 实用文档 文案大全 解 先求各区域中的电场强度。根据介质中高斯定理 reDsD2244dqrq
6、 在 区域中，电场强度为ar0reE2004 在 区域中，电场强度为brareD2q 在 区域中，电场强度为rreE2004 再求介质壳内外表面上的束缚电荷。 由于 ，则介质壳内表面上束缚电荷面密度为P02020414aqaqs Penr 外表面上束缚电荷面密度为 2020414bqbqs Penr 2-20 将一块无限大的厚度为 d 的介质板放在均匀电场 中，周围媒质为E 真空。已知介质板的介电常数为 ，均匀电场 的方向与介质板法线的夹 角为 ，如习题图 2-20 所示。当介质板中的电场线方向 时，试求1 42 角度 及介质表面的束缚电荷面密度。 E d 1 1 2 2 0 0 E 习题图
7、2-20 E2 en2en1 实用文档 文案大全 解 根据两种介质的边界条件获知，边界上电场强度切向分量和电通密度 的法向分量连续。因此可得 ；21sinsiE21cossD 已知 ，那么由上式求得20 ,D 01020121 arctntanttan 已知介质表面的束缚电荷 ，)(0EDePnns 那么，介质左表面上束缚电荷面密度为 102102021 cosns eePnn1 介质右表面上束缚电荷面密度为 10202022 cos111 Ens Deenn 2-21 已知两个导体球的半径分别为 6cm 及 12cm，电量均为 C，相距很远。若以导线相连后，试求：电荷移动的方向及电6103
8、量；两球最终的电位及电量。 解 设两球相距为 d，考虑到 d a, d b，两个带电球的电位为 ；q21014dq1204 两球以导线相连后，两球电位相等，电荷重新分布，但总电荷量应该 守恒，即 及 ，21 C1621q 求得两球最终的电量分别为 02361 abdqC1422 q 可见，电荷由半径小的导体球转移到半径大的导体球，移动的电荷量为 实用文档 文案大全 。C106 两球最终电位分别为 V1034501aq5202b 3-4 一根无限长的线电荷平行放置在一块无限大的导体平面附近，如习 题图 3-4 所示。已知线电荷密度 ，离开平面的高度)C/m(10l m，空间媒质的相对介电常数 。
9、试求： 空间任一点场强及5h4r 能量密度； 导体表面的电荷密度； 当线电荷的高度增加一倍时，外 力对单位长度内的线电荷应作的功。 解 建立圆柱坐标，令导体表面位 于 xz 平面，导体上方场强应与变量 z 无关。根据镜像法，上半空间中任 一点 的场强为),(yxP yxyxyxeeerrE222 222 222221 )()( )()(hxhyxx hhrl rlll 电场能量密度为 222442 )()( )1 hyxhyxEwrlr 已知导体表面的电荷面密度 ，那么0ysnD)m/C(2200hxlyrys Dn r l h 导体 习题图 3-4 x y 实用文档 文案大全 单位长度内线电
10、荷受到的电场力可等效为其镜像线电荷对它的作用力， 即 yeF2)(hrl 可见，线电荷受到的是吸引力。所以，当线电荷的高度 增加一倍时，外h 力必须做的功为 （J） 。1 2222 08.16d)(d)( hyWrlhrlh lF 3-10 试证位于半径为 a 的导体球外的点电荷 q 受到的电场力大小为2302)(4afqF 式中 f 为点电荷至球心的距离。若将该球接地后，再计算点电荷 q 的受力。 证明 根据镜像法，必须在球内距球心 处引入的镜像电荷fad2 。由于球未接地，为了保持总电荷量为零，还必须引入另一个qfa 镜像电荷q ，且应位于球心，以保持球面为等电位。那么，点电荷 受到q 的
11、力可等效两个镜像电荷对它的作用力，即， （N ）rr eeF20201 )(4)(4afqdfq （N ）rr30202faf 合力为 （N ）reF23021 )(4fq 当导体球接地时，则仅需一个镜像电荷 ，故 所受到的电场力为q F1。 3-11 在半径为 a 的接地导体球附近，沿径向放置一根长度为 l 的线电荷， 实用文档 文案大全 如习题图 3-11(a)所示。已知线电荷密度为 ，近端离球心的距离为 D，l 试求镜像电荷及其位置。 解 采用镜像法，应在球内径向位置引入一个镜像线电荷 ，离球心最近l 的一端对应原先的线电荷 离球心的最远端，而 的最远端对应 的最lll 近端。设 上任一
12、点距离球心为 ， ， 上任一点距离lx)(Dl 球心为 ，则根据点电荷与导体球面的镜像规律，获知镜像线电荷的长度x 范围为 Daxl22 位置 x 与 x的关系为 。因此， ， 。a 2 2xaxd2 再根据电量关系 ，即可求得镜像电荷的分布函数xlld 为 lla 3-15 半径为 a 的不接地的 导体球中含有半径为 b 的球 形空腔，如习题图 3-15(a)所示。 l dx x minx 习题图 3-11(b) xmax xo q q d1 f a d2 习题图 3-15(a) lD la 习题图 3-11(a) 实用文档 文案大全 若在导体球外，离球心 f 处 放置一个电量为 q 的点电
13、荷， 在空腔中离腔心 d1 处放置另 一个电量为 的点电荷，腔心与球心间距为 ，且腔心、球心、点电荷 2d q 及 均在一条直线上。试求腔中、导体球内外任一点场强。 解 由于导体球的屏蔽作用，球外点电荷 以及球面上的感应电荷对于腔q 中的场强没有贡献。因此，计算腔中场强仅需考虑腔内的点电荷 以及空q 腔内壁上感应电荷的作用。为了考虑腔壁上感应电荷的影响，可以应用镜 像法，以一个腔外镜像电荷等效腔壁上感应电荷的影响。此时可以直接利 用点电荷与导体球的镜像关系，导出腔外镜像电荷的位置与电量。如图 3- 15(b)所示，球外镜像电荷 的位置及电量分别为q ；1 2dbDqbD 计算腔外场强也可应用镜
14、像法，此时导体球的半径为 a，如习题图 3- 15(b)所示。但是腔中必须引入两个镜像电荷 q0 和 q， 其 中 q0 位于球心，q 的位置和电量，以及 q0 的电量分别为 ； ；fad23f fa0 综上所述，腔内场强由两个点电荷 q和 q共同产生，腔外场强由三个 点电荷 q，q和 q 共同产生， 而导体内的场强为零。 5-4 已知无限长导体圆柱半径为 a，通过的电流为 I，且电流均匀分布， bqq D d1 qqq0 d3 d2 f a 习题图 3-15(b) 实用文档 文案大全 试求柱内外的磁感应强度。 解 建立圆柱坐标系，令圆柱的轴线为 Z 轴。那么，由安培环路定律得知， 在圆柱内线
15、积分仅包围的部分电流为 ，又 ，则IarI21drelIrl2dH2 即 20aeB 在圆柱外，线积分包围全部电流 ，那么IlHdr2 即 rI0eB 5-5 已知无限长导体圆柱的半径为 a，其内部存在的圆柱空腔半径为 b， 导体圆柱的轴线与空腔圆柱的轴线之间的间距为 c，如习题图 5-5（a ）所 示。若导体中均匀分布的电流密度为 ，试求空腔中的磁感应强度。0Jze 解 柱内空腔可以认为存在一个均匀分布的等值反向电流，抵消了原有的 电流而形成的。那么，利用叠加原理和安培环路定律即可求解。已知半径 为 ，电流密度为 的载流圆柱在柱内半径 r 处产生的磁场强度 H1 为a0J Y Xc a b
16、J Y 习题图 5-5(a) 习题图 5-5(b) Y X r 实用文档 文案大全 021dJrlH 求得 ，或写为矢量形式201rJ 1r 对应的磁感应强度为 20B 同理可得半径为 ，电流密度为 的载流圆柱在柱内产生的磁场强bJ 度为 2rH 对应的磁感应强度为 02JB 上式中 的方向及位置如习题图 5-5（b）示。因此，空腔内总的磁感应r, 强度为 21BrJ020cJxze20cJy 5-7 若在 处放置一根无限长线电流 ，在 y = a 处放置另一根ayIz 无限长线电流 ，如习题图 5-7 所示。试Ixe 求坐标原点处的磁感应强度。 解 根据无限长电流产生的磁场强度公式，求得位于
17、 处的无限长线ay 电流 在原点产生的磁场为IzeaIx21eH 位于 处的无限长线电流 产生的磁场为ay Y Z -a a I 0 I X 习题图 5-7 实用文档 文案大全 aIz22eH 因此，坐标原点处总磁感应强度为 210BxzIe0 5-8 已知宽度为 W 的带形电流的面密度 ，位于 z = 0 平面内，sxJs 如习题图 5-8 所示。试求 处的磁感应强度。),0(dP 习题图 5-8(a) 习题图 5-8(b) 解 宽度为 ，面密度为 的面电流可看作为线电流 ，其在 P 点产ydsJyJsd 生的磁场为 ydyzyseH2 由对称性可知，z 方向的分量相互抵消，如习题图 5-8
18、（b） 所示，则 ywsdJe202dwJs2arctn 因此，在 处的磁感应强度为P, dJsy2arctn00eHB 5-15 若无限长的半径为 a 的圆柱体中电流密度分布函数 ，试求圆柱内外的磁感应强度。rrz ),4(2eJ 解 取圆柱坐标系，如习题图 5-15 所示。当 时，通过半径为 r 的圆r 柱电流为 y z -w/2 w/2 I o d x Jx P dy y z y o B 实用文档 文案大全 2022 d4d4drszzsi rsrI eeJ34821r 由 lrI0dB 求得 23041e 当 时arrIo d4d0223481a 由 loI0dB 求得 341are
19、5-17 已知空间 y 0 区域为磁性媒质，其相对磁导率 区域为空气。试求：当空气中的磁感应强度0 ,5 yr 时，磁性媒质中的磁感应强度 B；当磁性媒质mT)1.(0yxeB 中的磁感应强度 时，空气中的磁感应强度 B0。)5.0(yxe 解 根据题意，建立的直角坐标如图 5-17 所示。 设磁性媒质中的磁感应强度为 yxBe 已知在此边界上磁感应强度的法向分 量连续，磁场强度的切向分量连续。 因此 ，10yB05.x o x y za2sJ 习题图 5-15 0 x y or 习题图 5-17 实用文档 文案大全 求得 ，250xB10y 即 mT)(e 设空气中的磁感应强度为 yxB00
20、 则由边界条件获知 ，0051xB5.y 求得 ，2.x.y 即 mT)5(0e 6-2 一个面积为 的矩形ba 线圈位于双导线之间，位置 如习题图 6-2 所示。两导线 中电流方向始终相反，其变 化规律为 ，A)102sin(921tI 试求线圈中感应电动势。 习题图 6-2 解 建立的坐标如图 6-2 所示。在 内，两导线产生的磁感应cbx 强度为 xdcbIxIzz 22010e 则穿过回路的磁通量为 smdxadcbxIzcbz1210eecdaIln210 则线圈中的感应电动势为 X I2 x a c db dx ds 0 Y I1 0 实用文档 文案大全 temdtIcdbaln2
21、10V0l1cos 190 t 6-3 设带有滑条 AB 的两根平行导 线的 终端并联电阻 2.0R ，导线间距为 0.2m，如习题图 6-3 所示。若正弦 电磁 场 tBz sin5e 垂直穿过该回路，当滑条 AB 的位置以 规律变化时，m) cos1(35.0tx 试求回路中的感应电流。 解 建立的坐标如图 6-3 所示。令并联电阻位于 处，在 t 时刻回路的0x 磁通量为 smdzzyxtd in5eWb sin co135.t 那么，回路中的感应电动势为 temdttd si c35.0Vo2s.t 因此回路中的感应电流为 o RB x y B A 0.2m 习题图 6-3 实用文档
22、文案大全 ReI2.0cos35. ttAs7.1tt 6-9 已知同轴线的内导体半径为 a，外导体的内外半径分别为 b 及 c，内外 导体之间为空气，当通过恒定电流 I 时，计算单位长度内同轴线中磁场储 能及电感。 解 由安培环路定律，求得内导体中的磁场感应强度为 raIB201ar 那么，内导体单位长度内的磁场能量为 VWmd21201202016dIraI 在内外导体之间单位长度内的磁感应强度及磁场能量分别为 rIB20bra2mWaIIba ln4d21200 在外导体中单位长度内的磁感应强度及磁场能量分别为 203bcrIBrrIWbmd1203 ccIcb432420 224201
23、lnbcI 因此，同轴线单位长度内的磁场能量为 321mmW 22420 3lnln416bcbcaI 那么，单位长度的自感 实用文档 文案大全 22402 3lnln418bcbcaIWLm 7-4 设真空中的磁感应强度为 )106sin()(83kzttyeB 试求空间位移电流密度的瞬时值。 解 由麦克斯韦方程知 ，而真空中传导电流 ，则tDJH0J 位移电流为 ，BJ1td 求得 )m/A(106sin(2i28403kzttxxdeJ 7-9 已知电磁波的合成电场的瞬时值为 ),(),(),(21tzttzEE 式中 。 )3 0cos(4.),(in3821 kzttzxe 试求合成
24、磁场的瞬时值及复值。 解 根据题意，电场分量 E1 的复值为 。电场分量 E2 的kzxej12. 瞬时值可写为 )6 10sin(4. )23 10sin(4.3 co.),(8 82 kzt kzttzx xeeE 对应的复值为 实用文档 文案大全 )6j(204.kzxeE 那么，合成电场的复值为 kzx ej6j)04.3(21e 由 ，得HEjzEyzExyxxy 1j1j1j ee 求得 kzy ej6j)04.3(21eH 对应的磁场分量的瞬时值分别为 ) 10sin(3.0),(81 kzttzye 3 10cos(4.0)6 i(4.),( 882 kzttt yy eH 7
25、-11 已知某真空区域中时变电磁场的时变磁场瞬时值为 ) sin(20co),( yktxtyxe 试求电场强度的复数形式、能量密度及能流密度矢量的平均值。 解 由 ，可得其复值为) si(),( tt yxHkxyeyj20co)( 因真空中传导电流为零， ，得EDJH0jyHyzxzxxy eeE000 j1j1j 即 kzyj2cos 能量密度的平均值 实用文档 文案大全 xyHyEwav 20cos14)(21)( 700 能流密度的平均值 ycav s)Re()( 2*eS 7-13 若真空中正弦电磁场的电场复矢量为 )3(05. j)j2j() zxzyx rE 试求电场强度的瞬时
26、值 E(r,t)，磁感应强度的复矢量 B(r)及复能流密度矢 量 Sc。 解 由 可知)3(05.je)j2j() zxzyx er kzyx .rk 求得 ， ，305.05z1.22zyxkk 则 （rad/s）704.9 那么电场强度的瞬时值为 )3(05.142.9sin)3j2j()( 7zxt,t zyx eerE 同上题，由麦克斯韦方程，求得磁感应强度为 )3(05.je)j(10)( zxzyx rB 复能流密度矢量为 。zxc eHES3520* 8-3 已知理想介质中均匀平面波的电场强度瞬时值为 (V/m)3108sin() ,(6xttxye 试求磁场强度瞬时值、平面波的
27、频率、波长、相速及能流密度。 解 已知电场强度瞬时值为 (V/m)xttxy3108sin, 6eE 实用文档 文案大全 可见这是向+x 方向传播的平面波。因此，磁场强度的瞬时值为 (A/m)xttxz 3108sinZ1, 6eH 式中 为媒质的波阻抗。Z 根据题意，获知平面波的角频率 ，波数 。由此610831k 求出 频率： ；波长：Hz10926f m2k 相速： (m/s)54vp 能流密度： ES )/W(3108sinZ262xtx e 8-4 设真空中平面波的磁场强度瞬时值为 (A/m)216cos(4.2) ,(8yttyzeH 试求该平面波的频率、波长、相位常数、相速、电场强度复矢量及能流密 度。 解 根据题意，获知平面波的角频率 ，相位常数 。由6102k 此求出 频率： ；波长：Hz10328f m2k 相速： (m/s)kvp 已知磁场强度瞬时值为 (A/m)yttyz 2106cos4.2, 8e 可见这是向-y 方向传播的平面波。因此，电场强度的瞬时值为 (V/m)tZtxs., 60E 式中 为真空的波阻抗。那么，电场强度的复矢量为0Z (V/m)yxZy2j0e4. 实用文档 文案大全 能流密度矢量： )W/m(6.34524. 20yyZeeHES
