1、常微分方程的初等解法11常微分方程的基本概况11定义自变量未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程，通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。12研究对象常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理化学生物工程航空航天医学经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程。如牛顿运动规律、万有引力能量守恒人口发展规律生态总群竞争疾病传染遗传基因变异股票的涨伏趋势利率的浮动市场均衡价格的变化等。对这些规律的描述认识和分析就归结为对相应的常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科
2、学，而且越来越多的应用于社会科学各个领域。13特点常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。14应用现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些
3、问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。2一阶的常微分方程的初等解法常微分方程的初等解法2一阶常微分的初等解法包括变量分离方程与变量变换可以化为变量分离方程的类型线性微分方程与常数变易法恰当微分方程与积分因子，下面我们就具体分析一阶常微分方程的初等解法。21、变量分离方程法形如YXFDXDY，（21）的方程，称为变量分离方程，这里的XF，Y分别是X，Y的连续函数。如果0Y，我们可将（21）改写成DXXFYDY，这样变量就“分离”开来了。两边
4、积分得到CDXXFYDY，（22）。例1方程YXDXDY就可以用变量分离法求解方程解变量分离，得到XDXYDY，两边积分，即得22222CXY，因而，通解为CYX22，（C为任意常数）22、可化为变量分离方程的类型1形如XYGDXDY，（23）的方程，称为齐次微分方程，这里UG是U的连续函数。作变量变换XYU，（24）即UXY，于是UDXDUXDXDY，（25）将（24），（25）代入（23），则原方程变为UGUDXDUX，整理后，得到XUUGDXDU,26方程（26）是一个变量分离方程，这就所为的可以化为变量分离的方程。例2方程XYXYDXDYTAN就是一个可以化为变量分离的方程。常微分方程
5、的初等解法3解这是齐次微分方程，以UXY及UDXDUXDXDY代入，则原方程变为UUUDXDUXTAN。即XUDXDUTAN。将上式分离变量，既有XDXUDUCOT，两边积分，得到CXULNSINLN，（C为任意常数）整理，得到XEUCSIN，令CEC，得到CXUSIN将XYU代入上式，得到方程的通解为CXXYSIN2形如222111CYBXACYBXADXDY,27的方程也可以经变量变换化为变量分离方程，1A，2A，1B，2B，1C，2C均为常数。我们分三种情况来讨论KCCBBAA212121常数情形。这时方程化为KDXDY，有通解CKXY，其中C为任意常数。212121CCKBBAA情形。
6、令YBXAU22，这时有212222CUCKUBADXDYBADXDU是变量分离方程。2121BBAA情形。如果方程27中1C，2C不全为零，方程右端分子分母都是X，Y的一次多项式，因此00222111CYBXACYBXA（28）代表OXY平面上两条相交的直线，设交常微分方程的初等解法4点为。若令YYXX（29）。则（28）化为002211YBXAYBXA从而（27）变为2211YXGYBXAYBXADXDY，（210）。因此，求解上述变量分离方程，最后代回原变量即可得原方程（27）的解。如果方程（27）中021CC，可不必求解（28），直接取变换XYU即可。上述解题的方法和步骤也适用于比方程
7、（27）更一般的方程类型222111CYBXACYBXAFDXDY。例3方程31YXYXDXDY就可以用上述方法来求解。解解方程组0301YXYX得X1，Y2令21YYXX代入原方程，则有YXYXDXDY,再令XYU,即UXY,则上式化为DUUUUXDX2211，两边积分，得CUUX12LNLN22，因此CEUUX1222，记1CEC，并代回原变量，得1222CXXYY，把21YYXX代入上式得12212122CXYXY常微分方程的初等解法5整理，得CXYXXYY26222C为任意常数23、线性微分方程与常数变易法一阶线性微分方程XQYXPDXDY，（29）。其中P（X），Q（X）在考虑的区间
8、上是X的连续函数。若Q（X）0，（29）变为YXPDYDX，（210），210称为一阶其次线性微分方程。若0XQ，（29）称为一阶非其次线性微分方程。（210）是变量分离方程它的解为DXXPCEY，（211）这里的C为任意常数。现在讨论非奇次线性微分方程（29）通解的求法。不难看出，（210）是（29）的特殊情形，可以设想（211）中将常数C变易为X的待定函数CX令DXXPEXCY，（212）微分之，得到DXXPDXXPEXPXCEDXXDCDXDY，（213）将（212）,213代入（29），得到XQEXCXPEXPXCEDXXDCDXXPDXXPDXXP。即DXXPEXQDXXDC，积分后
9、得到CDXEXQXCDXXP，这里的C是任意常数。将上式代入（212），得到方程（29）的通解CDXEXQEYDXXPDXXP，（214）。这种将常数变易为待定函数的方法，我们通称为常数变易法。常数变易法实际上也是一种变量变换的方法，通过变换（212）可将方程（29）化为变量分离方程。若方程不能化为（29）形式，可将X看作Y的函数，再看是否为（29）形式。例4方程111NXXENYDXDYX（N为常数）就可以用常数变易法求解。解将方程改写为NXXEYXNDXDY11，首先，求齐次线性微分方程01YXNDXDY的通解常微分方程的初等解法6从DXXNYDY1，得到齐次线性微分方程的通解NXCY1其
10、次，应用常数变易法求非齐次线性微分方程的通解。为此，在上式中把C看成为X的待定函数C（X）,即NXXCY1，微分之，得到111XCXNXDXXDCDXDYNN，把，代入，得到XEDXXDC，积分之，求得CEXCX因此，以所求的C（X）代入，即得原方程的通解1CEXYXN，（C为任意常数）24、恰当微分方程与积分因子241恰当微分方程如果方程0YDYYDXXNXM，的左端恰好是某个二元函数YXU的全微分，即YDXXMYDYXNDYYUDXXDUXUY则称原式为恰当微分方程。容易验证恰当微分方程的通解就是CYXU,这里的C为任意常数。如果方程是恰当微分方程时，函数YNXYXM应该具有以下性质。MX
11、U和NYU分别对Y，X求偏导，得到YMXYU2，XMYXU2，由XNYM得连续性，可得YXUXYU22，故XNYM,这就是恰当微分方程的必要条件。如果是恰当微分方程我们可以利用“分项组合”的办法来求解。利用公式常微分方程的初等解法7LN21ARCTANXXDYYDXLNXDYYDXXDYYDX222222YXYXDYXXDYYDXYXDYYXDXYXDYYDXXYDXYXDYXYDXDYYDX（215）例5方程046633222DYYYXDXXYX就可以用“分项组合”方法来求解。解把方程重新“分项组合”得到066432232YDYXDXXYDYYDXX即033222243DYXDXYDYDX或
12、者写成032243YXYXD于是，方程的通解为CYXYX22433，（C为任意）242、积分因子如果存在连续可微的函数0YX，使得YMXYDXXYDYYNX,X0为一恰当微分方程，即存在函数，使DNDYMDX，则称YX为方程0YDYXNDXYXM的积分因子，而积分因子不是唯一的。这时CYX是方程DNDYMDX的通解，因而也就是0DYYXNDXYXM的通解。由（215）看到，同一方程0XDYYDX可以有不同的积分因子21X，21Y，XY1，常微分方程的初等解法8221YX。可以证明，只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的。因此，在具体解题过程中，由于求出的积分因子不同从而通解可能具
13、有不同的形式。根据上述可知，函数YX为方程的积分因子的充要条件是XNYM，即XNYMYMXN。对于方程0YDYXNDXYXM，如果存在只与X有关的积分因子X，则0Y，这时方程XNYMYMXN变成XNYMDXDN，即DXNXNYMD，由此可知，方程0YDYXNDXYXM有只与X有关的积分因子的充要条件是XNXNYM，这里X仅为X的函数。假如条件XNXNYM成立，则根据方程DXNXNYMD，可知求得方程0YDYXNDXYXM的一个积分因子是DXXE。同样，0YDYXNDXYXM有只与Y有关的积分因子的充要条件是YMXNYM，这里的Y仅为Y的函数。从而求得方程0YDYXNDXYXM的一个积分因子DY
14、YE。例6求解方程0DYXYYDX常微分方程的初等解法9解YM，XYN，1YM，1XN，方程不是恰当的因为YMXNYM2只与Y有关故方程有只与Y有关的积分因子2LN221YEEYDYY以21Y乘方程两边，得到0112YXDYDYYDXY或者写成02YDYYXDYYDX因而，通解为CYYXLNC为任意常数例7求方程02223YDYXDXYXX的通解。解经判断XYXNYYM2,2，所以该方程不是恰当方程。分组得02223DXYXYDYXDXX显然前两项具有积分因子21X，相应的全微分为2122YXDYDYXDX，要使得1122222XYXYXX成立。只需取22221YXYX，21XX即可，这样就找
15、到了一个积分因子1222YXX。常微分方程的初等解法10原方程两边同乘1222YXX，可得01LN22XDYXD，所以通解为CXYX1LN22。例8解方程08423423DYYXYXDXXYXY。解方程各项重新组合为08243243DYYDXXDYXYYDXXXDYYDX，03244332YXDDYYDXXXYXYD，03234343YXDYXXYDXYD，此时，可令XYVYXU,343，上方程化为02DUVDUDV，解之得CVU2LN，3常微分方程的多种解法在常微分方程中，每一道题都有多种解法，不同的解法答案是相同的，在社会中的应用大致也是相同的，下面就让我们看看一道常微分方程到底有多少种解
16、法。例1求046633222DYYYXDXXYX的通解。解解法1不定积分法。令2263,XYXYXM,3246,YYXYXN，则XYYNXYYM12,12，所以该方程为恰当方程。2263,XYXYXMXU，关于X积分，得常微分方程的初等解法113223YYXXU，32246,6YYXYXNYYXYU，34YY，4YY，所以通解为CYYXXYXU42233,。解法2公式法利用恰当方程求解方法3中公式得方程通积分为CYXXYDYYDXXYXYXUXY2234003223463,解法3分组法去括号重新分组可得066432232YDYXDXXYDYYDXX03222243DYXDXYYXD积分，得原方
17、程的通解为CYYXX42233。例2求方程0DYXYYDX的通解。解由于1,1XNYM，所以原方程不是恰当方程。解法1可将原方程改写为YDYXDYYDX，左端有积分因子21,XYX或,1,2YYX，但考虑到右端只与变量Y有关，故取21,YYX为方程的积分因子，因此有YDYYXDYYDX2，常微分方程的初等解法12两边积分可得通解CYYXLN，易见0Y也是原方程的解。解法2也可将原方程改写为YXYDXDY，这是齐次方程。令UXY，即可进行求解。解法3将X看作未知函数，原方程可化为线性方程11XYDYDX，从而可就X进行求解。解法4由于YMXNYM2，只与Y有关，所以存在关于Y的积分因子2LN22
18、1,YEEYXYDYY，以21,YYX乘以方程两端，得到0112DYYXDYYDXY，为恰当方程，即02YDYYXDYYDX，因而通解为CYYXLN，另外，易见0Y也是原方程的解。4二阶线性方程的幂级数解法常微分方程的初等解法13二阶变系数齐线性方程的求解问题归结为寻求它的一个非零解。由于方程的系数是自变量的函数，我们不能象常系数线性方程的解法那样利用代数方法去求解。但是，从微积分学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。因此，我们自然会想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢所以我们接下来就来讨论这一问题。例1求方程的满足初始条件的解。解设1是方程的解，这里是待定常数，由此我们有
19、将的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到，由，得，利用数学归纳法可以推得，一般地，代入1得这就是所求的解。事实上，方程是一阶线性的，容易求得它的通解为，而由条件可以确定常数，即得方程的解为。常微分方程的初等解法14例2求解方程，。解同例1一样，以1形式上代入方程并比较的同次幂的系数，这时将有，因为不可能找到有限的，故方程没有形如1的解，事实上，直接解方程，可得通解为。但若令，那么就将上述的初值问题化为，这时仿照例1的做法，就可求得，于是，这就是所求原方程的特解，相当于通解中取。5、高阶常微分方程的初等解法高阶常微分方程的初等解法主要包括齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程与常数变易法、常
20、系数线性微分方程的解法。这三种解法是主要的也是简单的初等解法。51齐次线性微分方程方程1111TFXTADTDXTADTXDTADTXDNNNNNN，（51）其中21NITAI及F（T）都是区间BTA上的连续函数。如果0TF则方程（51）变为01111XTADTDXTADTXDTADTXDNNNNNN，常微分方程的初等解法15（52）。我们称它为N阶齐次线性微分方程，简称齐次线性微分方程。例1求方程的通解解设代入原方程可得分离变量则有即得YC1LN|X|C2为原方程之通解C1,C2为任意实数例2求方程满足初始条件的特解解设则所以原方程可写成分离变量则有两边积分即由初始条件Y|X03得C13常微
21、分方程的初等解法16有Y3（X21）积分得YX33XC2再由初始条件Y|X01得C21故所求特解为YX33X152、非齐次线性微分方程与常数变易法考虑N阶非齐次线性微分方程1111TFXTADTDXTADTXDTADTXDNNNNNN，（51）易见方程（52）是它的特殊情形，我们指出两者之间解的性质和结构有着十分密切的联系。首先容易直接验证如下两个简单性质性质1如果TX是方程（51）的解，而XT是方程（52）的解，则TXTX也是方程（41）的解。即非齐非。性质2方程（51）的任意两个解之差必为方程（52）的解。例3方程TXXCOS1“的通解（COST，SINT是方程对应齐次线性微分方程的基本解
22、组）解应用常数变易法，令TTCTTCXSINCOS21将它代入方程，则可得决定1TC和2TC的两个方程0SINCOS21TTCTTC及TTTCTTCCOS1COSSIN21解得TTTCCOSSIN1，12TC由此11COSLNTTC，22TTC原方程的解TTTTTTXSINCOSLNCOSSINCOS21常微分方程的初等解法1753、常系数线性微分方程的解法531特征根是单根的情形设1，2，N是特征方程0111NNNNAAAF的N个彼此不相等的根，则相应的方程01111XADTDXADTXDADTXDXLNNNNNN有如下解TE1，TE2，TNE。我们指出这N个解在区间BTA上线性无关，从而组
23、成方程的基本解组。例4方程044XDTXD就是单根的情况解特征方程014的根为I32111，I4。有两个实根和两个复根，均是单根，故方程的通解为TCTCECECXTTSINCOS4321（1C，2C，3，4C为任意常数）。532特征根有重根的情行当特征根为重根实方程有如下解法。例5方程033XDTXD的通解。解特征方程013有根11，232132I因此，方程的通解为TCTCEECXTT23SIN23COS32211，其中1C，2C，3C为任意常数。以上这些就是我所了解的常微分方程的初等解法。6常微分在社会中的应用及模型常微分方程的初等解法18常微分方程在社会中的应用很广，例如RLC电路和数学摆
24、等等都利用了常微分方程的解法。61RLC电路包含电阻R电感L电容C及电源电路称为RLC电路，RLC电路是电子电路多的基础。根据电学知识，电流I经过R,L,C的电压降分别为RI,DTDIL和CQ，其中Q为电量，它与电流的关系为DTDQI,根据基尔霍夫（KIRCHHOFF）第二定律在闭合回路中，所有支路上的电压代数和等于零。设R,L及电源电压E为常数，当开关S和上后，存在关系式0RIDTDILE，即LEILRDTDI,11这便是RL电路的常微分方程。其中电流I是自变量T的函数TII，在方程（1）中是未知函数。当开关S刚合上即0T时有0I,即00I,12称此条件为方程（11）的初值条件。如果当0TT
25、时有0II，而电源突然短路，即E0且保持不变，此时方程（11）变为0ILRDTDI,13初值条件为00ITI（14）。假设R,L,C为常数，电源电压TE是时间T的已知函数。当开关S合上时有关系式CQRIDTDILTE,微分上式，代入DTDQI，便得到以时间T为自变量电流I为未知函数的常微分方程DTTDELLCIDTDILRDTID122，（15）当电源电压是常数ETE时，上述微分方程变为022LCIDTDILRDTID,16如还有R0，微分方程进一步化简为022LCIDTID62数学摆数学摆是系于一根长度为L的线上而质量为M的质点M，在重力作用下，他在垂直的地面的平面上沿圆周运动，我们来确定摆
26、的运动方程。设取反时针运动的方向作为计算摆与铅垂线所成的角的正方向。质（17）。这样，常微分方程的初等解法19就得到微小振动时摆的方程0DT22LGD，（18）如果我们假设摆在一个粘性的介质中摆动，那么，沿着摆的运动方向就存在一个与速度V成比例的阻力。如果阻力系数是，则摆的运动方程变为0DTMDT22LGDD，（19）。如果沿着摆的运动方向恒有一个外力F（T）作用于它，这是摆的运动称为强迫微小振动，其方程为ML1DTMDT22TFLGDD，（110）。当要确定摆的某一个特定的运动时，我们应该给出摆的初始状态当T0时，0，0DTD，（111）。这里的0代表摆的初始位置，0代表摆的初始角速度的大小
27、。参考文献常微分方程的初等解法201朱思铭，李尚廉，数学模型，广州中山大学出版社，19952姜启源，谢金星，叶俊，数学模型，第三版。北京高等教育出版社，20033陈兰荪，数学生态学模型与研究方法，北京科学出版社，19914胡建伟，汤怀民，微分方程数值法，北京科学出版社，19995丁同仁，李承治，常微分方程，北京高等教育出版社，19856丁同仁，常微分方程定性方法的应用，北京北京大学出版社，19877李文林数学史教程北京高等教育出版社，20028王树禾数学思想史北京国防工业出版社,2003致谢常微分方程的初等解法21三年的读书生活在这个季节即将划上一个句号，而于我的人生却只是一个逗号，我将面对又
28、一次征程的开始。三年的求学生涯在师长、亲友的大力支持下，走得辛苦却也收获满囊，在论文即将付梓之际，思绪万千，心情久久不能平静。伟人、名人为我所崇拜，可是我更急切地要把我的敬意和赞美献给一位平凡的人，我的导师。我不是您最出色的学生，而您却是我最尊敬的老师。您治学严谨，学识渊博，思想深邃，视野雄阔，为我营造了一种良好的精神氛围。授人以鱼不如授人以渔，置身其间，耳濡目染，潜移默化，使我不仅接受了全新的思想观念，树立了宏伟的学术目标，领会了基本的思考方式，从论文一次感谢所有在毕业设计中曾经帮助过我的良师益友和同学，以及在设计中被我引用或参考的论著的作者。题目的选定到论文写作的指导,经由您悉心的点拨,再经思考后的领悟,常常让我有“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”。感谢我的爸爸妈妈，焉得谖草，言树之背，养育之恩，无以回报，你们永远健康快乐是我最大的心愿。在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚谢意同时也感谢学院为我提供良好的做毕业设计的环境。最后再一次感谢所有在毕业设计中曾经帮助过我的良师益友和同学，以及在设计中被我引用或参考的论著的作者。
