1、第二节 向心力 课前自主预习 1向心力： （1）做匀速圆周运动的物体，会受到指向 的合外力作用 ，这个合力叫做向 心力。 （2）向心力总是指向 ，始终与线速度垂直，只改变速度的方向而不改变 。 （3）向心力是根据力的 命名，可以是各种性质的力，也可以是它们的 ，还可以是某个力的分力。 （4）如果物体做匀速圆周运动，向心力就是物体受到的 ；如果物体做非匀速 圆周运动（线速度大小时刻改变） ，向心力并非是物体受到的合外力。 （5）向心力的公式 或 。 2向心加速度： （1）定义: 做匀速圆周运动的物体,在向心力作用下必然产生一个 ,这个加速 度的方向与向心力的方向相同,我们称之为向心加速度。 （2
2、）向心加速度的大小： a = 或= 。 （3）方向：指向 ，匀速圆周运动是向心加速方向不断改变的 。 3 （单选）关于向心力的说法中正确的是（ ） A物体由于做圆周运动而产生向心力 B向心力不改变圆周运动物体的速度的大小 C做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的 D做圆周运动的物体所受到的合外力一定是向心力 4 （单选）关于向心加速度的意义，下列说法正确的是( ) A它描述的是线速度大小变化的快慢 B它描述的是线速度方向变化的快慢 C它描述的是向心力变化的快慢 D它描述的是角速度变化的快慢 课前自主预习答案： 1.（1）圆心.（2）圆心，大小.（3）效果，合力.（4）合外力.（5） ，rvmF
3、2 .rmF 2.（1）加速度.（2） ， .（3）圆心，变加速曲线运动.rv 2 3B4B 课堂互动探究 知识点 1：向心力的理解 新知探究 在图 221 的圆周运动中，感受 (1)小球做圆周运动时，你牵绳的手感觉到 。 (2)如果突然松手，将会发生的现象是 。 (3)在小球质量 m 和旋转半径 r 不变的条件下，角速度 越大，手的拉力 ； (4 在小球质量 m 和角速度 不变的条件下，旋转半径 r 越大，手的拉力 ； (5)在旋转半径 r 和角速度 不变的条件下，小球质量 m 越大，手的拉力 ； 图 221 答案：(1)受到绳的拉力；(2)球沿切线飞出去；(3)越大；(4)越大；(5)越大
4、。 重点归纳 1. 向心力公式： F ma m m 2r m r v2r 4 2T2 2向心力的性质 (1)向心力是效果力 向心力因其方向时刻指向圆心而得名，故它为效果力向心力的作用效果是只改变速 度的方向而不改变速度的大小它不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为 向心力，受力分析时不分析向心力 (2)向心力是变力 向心力的方向指向圆心，与线速度方向垂直，方向时刻在改变，故向心力是变力 3. 向心力的来源 (1)在匀速圆周运动中，合外力一定是向心力；非匀速圆周运动中，合外力沿半径方 向的分力提供向心力 (2)向心力是按力的作用效果来命名的，充当向心力的力可以是重力、弹力和摩擦力 等各
5、种力，也可以是各力的合力或某力的分力 4向心力与质量、角速度、线速度和半径的关系 (1)当质量和角速度一定时，向心力与半径成正比 (2)当质量和线速度一定时，向心力与半径成反比 (3)当质量和半径一定时，向心力与角速度(或线速度)的二次方成正比 (4)当角速度(或线速度)和半径一定时，向心力与质量成正比 【例 1】两个质量分别是 m1和 m2的光滑小球套在光滑水平杆上，用长为 L 的细线连接， 水平杆随框架以角速度 做匀速转动，两球在杆上相对静止，如图 222 所示求两球 离转动中心的距离 R1和 R2及细线的拉力 图 222 解：绳对 m1和 m2的拉力是它们做圆周运动的向心力，根据题意得
6、R1 R2 L， R2 L R1 对 m1有 F m1 2R1 对 m2有 F m2 2R2 m2 2(L R1) 所以 m1 2R1 m2 2(L R1) 解得 R1 ， R2 m2Lm1 m2 m1Lm1 m2 F . m1m2 2Lm1 m2 触类旁通 1图 223 甲为游乐场的悬空旋转椅，我们把这种情况抽象为图 224 乙的模 型：一质量 m40 kg 的球通过长 L12.5 m 的轻绳悬于竖直面内的直角杆上，水平杆长 L7.5 m整个装置绕竖直杆转动，绳子与竖直方向成 角当 37时，( g9.8 m/s2，sin 370.6，cos 370.8)求： (1)绳子的拉力大小； (2)该
7、装置转动的角速度 图 223 解：(1)对球受力分析如答图 221 所示，则 答图 221 F 拉 mgcos 37 代入数据得 F 拉 490 N (2)小球做圆周运动的向心力由绳拉力和重力的合力提供，有 mgtan 37 m 2(Lsin 37 L) 解得 gtan 37Lsin 37 L 代入数据得 0.7 rad/s. 知识点 2： 向心加速度的理解 新知探究 问题 1：什么是匀速圆周运动?“匀速”的含义是什么？ 问题 2：物体所受的外力有何特点？加速度又怎样呢？ 探究 1：变速曲线运动 运动状态改变 一定受到外力 一定存在加速度 探究 2：由牛顿第二定律知 F=ma， a 与 F 方
8、向一致，物体做匀速圆周运动时，有指向 圆心的向心力，所以匀速圆周运动物体的加速度方向指向 ；又由 F ma m 2r 这 个加速度的大小是 答案：圆心、 2r 重点归纳 1向心加速度的定义：做匀速圆周运动的物体具有沿半径指向圆心的加速度，叫做 向心加速度 2向心加速度的方向：时刻与物体的速度方向垂直且指向圆心 3向心加速度的大小： a 2r r4 2f2r v . v2r 4 2T2 4向心加速度与角速度、线速度和半径的关系 (1)当线速度大小一定时，向心加速度与轨道半径成反比 (2)当角速度一定时，向心加速度与轨道半径成正比 (3)当半径一定时，向心加速度与角速度的平方成正比，也与线速度的平
9、方成正比 5向心加速度的实质：向心加速度是描述线速度方向改变快慢的物理量，其方向时 刻发生变化，且总是沿着轨迹半径指向圆心的方向，所以匀速圆周运动是变加速运动 【例 2】如图 224 所示为一皮带传动装置，传动时不打滑， O1轮的半径为 O2轮半 径的两倍， O1轮缘和 O2轮缘上分别有 B 点和 C 点，在 O1轮上有一点 A，且 O1A O1B，在 12 匀速传动过程中 A、 B、 C 三点的向心加速度分别为 aA、 aB、 aC，则( B ) 图 224 A aA aB aC121 B aA aB aC124 C aA aB aC212 D aA aB aC122 解析：设 A、 B、
10、C 三点的线速度、角速度和半径分别为 vA、 vB、 vC， A、 B、 C， rA、 rB、 rC. 则 A B， vB vC， rA rC rB2 由 a 2r 得 v2r 当 一定时，有 a r，即 aA aB12 当 v 一定时，有 a ，即 aB aC12 1r 故 aA aB aC124. 答案：B 触类旁通 2关于质点的匀速圆周运动，下列说法正确的是（ ） A由 可知，a 与 r 成反比rv 2 B由 可知，a 与 r 成正比 C由 可知， 与 r 成反比，v 与 r 成正比 D由 可知， 与 T 成反比2 解析：由 ，当 v 一定时， a 与 r 成反比，当 一定时，v 与 r
11、 成正rva 比，所以 A、B 错误。对于 v=r,当 v 一定时， 与 r 成反比， 一定时，v 与 r 成正比。 答案：D 点评：本题考察学生对匀速圆周运动向心加速度表达式的全面理解应用。 知识点 3：生活中的向心力 新知探究 探究 1：汽车转弯 图 225 (1)汽车在水平路面上转弯:向心力的来源是 (2)汽车在倾斜路面上转弯:向心力的来源是 探究 2：火车转弯 (1)火车在水平轨道上转弯：向心力的来源是 (2)火车在倾斜轨道上转弯：向心力的来源是 图 226 探究 3：汽车过弧形桥 图 227 汽车通过桥的最高点时，向心力的来源是 。 答案：1.(1)地面对车产生指向内侧的静摩擦力；(
12、2)重力与支持力的合力。2.(1)外 轨作用在火车轮缘上的力 F；(2)重力与支持力的合力。3.重力与支持力的合力。 重点归纳 向心力的来源：向心力可以是某一个力（重力、弹力、摩擦力）或几个力的合力，也 可以是某个力的分力。向心力是按力的作用效果来命名的，受力分析时,不能多出一个向心 力。 【例 3】有一辆质量为 1.2t 的小汽车驶上半径为 50m 的圆弧形拱桥，如图 228 所 示求： (1)汽车到达桥顶的速度为 10 m/s 时对桥的压力有多大？ (2)汽车以多大的速度经过桥顶时恰好对桥没有压力作用而腾空？ (3)设想拱桥的半径增大到与地球半径一样，那么汽车要在这样的桥面上腾空，速度 要
13、多大？(重力加速度 g 取 10 m/s2，地球半径 R 取 6.4106 m) 图 228 解：(1)设汽车受到的支持力为 FN，根据牛顿第二定律有 mg FN m v21r 代入数据解得 FN mg m 9.610 3 N v21r 根据牛顿第三定律，可得汽车对桥的压力 F N FN9.610 3 N. (2)对桥没有压力，即 FN FN0 时，根据牛顿第二定律有 mg m v2r 代入数据解得 v2 10 m/s(或 22.4 m/s)gr 5 (3)当 r R 时，根据牛顿第二定律有 mg m v23R 代入数据解得 v3 810 3 m/s.gR 触类旁通 3在用高级沥青铺设的高速公
14、路上，汽车的设计时速是 108 km/h.汽车在这种路面上 行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的 0.6 倍如果汽车在这种高速路的水 平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？如果高速路上设计 了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？ (取 g10 m/s 2) 解：(1) v108 km/h30 m/s 由静摩擦力提供向心力得 f N mg m v2R 解得 R m150 m v2 g 3020.610 即弯道的最小半径为 150 m. (2)当仅由重力提供向心力时 mg m v2R 解得 R m90 m v2g 3021
15、0 即这个圆弧拱桥的半径至少是 90 m. 方法技巧易错易混实验透视 方法技巧 解决圆周运动问题的主要步骤： (1)审清题意，确定研究对象； (2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径 等 (3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源； (4)据牛顿运动定律及向心力公式列方程； (5)求解、讨论 【例 4】高速公路转弯处，其弯道半径 R 为 100 m，若路面向着圆心处是倾斜的，要 求汽车在该处转弯时沿倾斜路面没有上、下滑动的趋势，在车速 v15 m/s 的情况下，路 面的倾角应多大？( g 取 10 N/kg) 解：由于汽车在转弯时沿倾斜路面没
16、有上、下滑动的趋势所以路面的支持力和重力 的合力提供向心力，受力分析如答图 222 所示， 答图 222 由牛顿第二定律： mgtan m v2R 即 tan v2gR 将 R100 m， v15 m/s， g10 m/s 2代入，求得 13. 触类旁通 4长度为 L1.0 m 的绳，系一个小球在竖直面内做圆周运动，小球的质量为 m5 kg，小球半径不计，小球在通过最低点时的速度大小为 v20 m/s，试求： (1)小球在最低点时所受到绳的拉力； (2)小球在最低点时的向心加速度( g 取 9.8 m/s2) 解：(1)根据题意，在最低点时有 T mg m v2L 推导可得 T mg m 20
17、49N v2L (2)根据向心加速度公式得 a 400m/s 2. v2L 随堂练习 一、单项选择题 1关于向心加速度，以下说法正确的是( C ) A它描述了角速度变化的快慢 B它描述了线速度大小变化的快慢 C它描述了线速度方向变化的快慢 D公式 a 只适用于匀速圆周运动 v2r 解析：由于向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小，所以向心加速度是描 述线速度方向变化快慢的物理量，选项 C 正确；公式 a 不仅适用于匀速圆周运动，也 v2r 适用于变速圆周运动，选项 D 错误 2关于向心力的公式 F m 2r 和 F ，下列说法正确的是( C ) mv2r A对于一个做匀速圆周运动的物体，
18、线速度越大，向心力越大 B向心力公式只适用于匀速圆周运动 C由 F m 2r，可知当 m、 r 一定时， 越大，向心力越大 D由于向心力是物体所受到的合外力，因此 F 与 m、 、 r 均无关 解析：由 F m 2r m ，可知选项 C 对，A 错；不管做匀速圆周运动还是变速圆周 v2r 运动， F m 2r m 均可适用，选项 B 错；向心力由物体所受的合外力提供，物体做匀 v2r 速圆周运动时，合外力就是向心力，物体做变速圆周运动时，向心力为所受合外力指向圆 心方向的分力，且向心力 F 与 m、 、 r 均有关，选项 D 错 3如图 229 所示，小篮中放一小物块，用细绳挂于 O 点，现让
19、物块随小篮一起 绕 O 点在竖直平面内做圆周运动，设线的拉力为 F，物块对篮底的压力为 FN，小篮行至最 高点时，物块恰好不掉落，则下列说法正确的是( C ) 图 229 A此时 F0， FN0 B此时 F0， FN0 C此时 F0， FN0 D此时 F0， FN0 解析：由题意可知物块恰好不掉下来， v ，由 FN mg ， F Mg M ，可gr mv2r v2r 知 FN0， F0，由牛顿第三定律可知选项 C 对 二、双项选择题 4关于做匀速圆周运动的物体所受的合外力，下列说法正确的是( AD ) A合外力的大小不变，方向一定指向圆心 B合外力的大小和方向时刻改变 C合外力的作用效果既改
20、变速度的大小，又改变速度的方向 D合外力的作用效果只改变速度的方向，不改变速度的大小 解析：做匀速圆周运动的物体所受的合外力提供向心力，因此大小不变，方向总是指 向圆心，且只改变速度的方向，不改变速度大小，故选项 A、D 正确 5小球的质量为 m，绕半径为 R 的圆周轨道做匀速圆周运动，向心加速度为 a，则下 列的说法正确的是( AC ) A小球受到的合外力大小为 ma B小球的角速度为 aR C小球的线速度大小为 v aR D小球运动的周期为 T2 aR 解析：匀速圆周运动的加速度大小为向心加速度，故 F 合 ma，选项 A 对；由 a ， a 2R 及 a（2/T） 2R，可得选项 C 对
21、，B、D 错 v2R 6在光滑的水平面上，长为 L 的细线拴一质量为 m 的小球，以线速度 v 做匀速圆周 运动，下列说法正确的是( AC ) A当 L、 v 不变时， m 越大，线越容易拉断 B当 m、 v 不变时， L 越长，线越容易拉断 C当 m、 L 不变时， v 越大，线越容易拉断 D当 m 不变时， v 增大 1 倍， L 减半，线的拉力不变 解析：由 F ，可知选项 A、C 正确 mv2L 课后巩固提升 一、单项选择题 1如图 2-2-10 所示，小物体 m 与圆盘保持相对静止，随盘一 起做匀速圆周运动，则物体的受力情况是（C ） A受重力、支持力 B受重力、支持力、静摩擦力和向
22、心力的作用 C受重力、支持力、指向圆心的摩擦力 D以上均不正确 解析：物体 m 在平台上，其受到的重力竖直向下，支持力竖直向上，且两力是一对平 衡力。物体 m 是否受摩擦力，方向如何，由运动状态分析才知道。由于物体 m 随圆盘一起 做匀速圆周运动，其必受到向心力作用，重力和支持力不提供向心力，所以 m 必受到指向 圆心的静摩擦力作用，才能做匀速圆周运动。故 c 正确。 答案：C 点评：本题考察学生对匀速圆周运动产生的条件的理解，掌握匀速圆周运动的向心力 是来源于物体所受到的合外力。 2关于向心加速度的物理意义，下列说法正确的是( B ) A它描述线速度大小变化的快慢 B它描述线速度方向变化的快
23、慢 C它描述角速度变化的快慢 D它描述物体受力变化的快慢 解析：向心加速度与速度方向垂直只改变线速度的方向 3由于地球的自转，地球上的物体都有向心加速度，关于地球表面上各处向心加速 度的说法中，正确的是( D ) A都指向地心 B都指向南极 C都指向北极 D都垂直指向地轴 解析：地球绕地轴转动，则地球上各点都绕地轴做匀速圆周运动，半径垂直地轴 4如图 2211 所示，两轮用皮带传动，没有打滑， A、 B、 C 三点位置如图，若 r1r2， O1C r2，则这三点的向心加速度的关系是( A ) m 图 2-2-10 O 图 2211 A aCaB C aA aB aC D aB aCaA 解析：
24、因 A C， vB vA， r1r2 由 a 2r 得 v2r 当 一定时，有 a r，即 aCaA 当 v 一定时，有 a ，即 aAaB 1r 故 aCaA 时， b 处为拉力；当 0 vb 时， b 处杆对小球作用力为推力，而在 agr gr 处一定为拉力 13如图 2217 所示为 A、 B 两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图 象，其中 A 为双曲线的一分支，由图可知( AD ) 图 2217 A A 物体运动的线速度不变 B A 物体运动的角速度不变 C B 物体运动的线速度不变 D B 物体运动的角速度不变 解析：由图可知 A 物体 a ， B 物体的 a r，由 a
25、2r，可知选项 A、D 正 1r v2r 确 14如图 2218 所示，轻绳一端固定在 O 点，绳长为 L，另一端悬挂一质量为 m 的 小球，在水平面上做圆锥摆运动，圆锥角为 ，角速度为 ，绳的张力为 F，则下列表达 式正确的是( g 为重力加速度)( BC ) 图 2218 A F mgcos B F mg cos 2 C F m 2L D F m 2Lsin 2 解析：对小球受分析可知小球受重力和张力作用，在竖直方向合外力为 0，则有 Fcos mg，即 F ；在水平方向有 Fsin m 2Lsin ，则 F m 2L. 2 mgcos 2 2 2 三、非选择题 15儿童乐园中，一个质量为
26、 20 kg 的小孩骑在木马上随木马一起在水平面内匀速转 动已知转轴距木马 5 m 远，每 10 s 转 1 圈，把小孩的转动看做匀速圆周运动，求： (1)小孩转动的角速度； (2)小孩转动的线速度； (3)小孩转动的向心力 解：(1)小孩转动的角速度 rad/s0.628 rad/s 2T 210 (2)小孩转动的线速度 v r 0.6285 m/s3.14 m/s (3)小孩转动的向心力 F m 20 N39.4 N. v2r 3.1425 16质量相等的小球 A、 B 分别固定在轻杆的中点及端点，当棒在光滑的水平面上绕 O 点匀速转动，如图 2219 所示，求 A、 B 两球所受的拉力之
27、比 图 2219 解：对 B 有 FB mB rB，对 A 有 FA mA rA2B 2A 因为 mA mB， rB2 rA， A B 所以 FA FB12. 17如图 2220 所示，长度为 L1.0 m 的绳子，拴着一质量 m1 kg 的小球在竖 直面内做圆周运动，小球半径不计，已知绳子能够承受的最大张力为 74 N，圆心离地面高 度 H6 m，运动过程中绳子始终处于绷紧状态( g10 m/s 2)求： (1)分析绳子在何处最易断，求出绳子断时小球的线速度； (2)绳子断后，小球做平抛运动的时间及落地点与抛出点的水平距离 图 2220 解：(1)在最低点时绳子上的拉力最大，绳子最易断根据牛顿第二定律得 F mg m 解得 v8 m/s v2L (2)小球从最低点开始平抛， v0 v8 m/s.根据平抛运动的规律有 水平方向 x v0t 竖直方向 H L gt2 12 联立上述两式解得落地点与抛出点的水平距离 x8 m.
