1、第二节 万有引力定律的应用 课前自主预习 1万有引力定律的表达式 ，其适用条件 2引力常量：表达式中的 为引力常量，其大小在数值上等于质量各为 1kg 的物体G 相距 1m 时的万有引力。 是卡文迪许首先利用扭秤实验装置测出的。 3分析天体运动的基本思路:把天体的运动看做是 ,所需的向心 力由 提供,即 = = 。2rMm 4万有引力定律具有普遍性、 、 、 。 5(单选)对于万有引力定律的表达式 ，下列说法中正确的是( )21rGF A公式中 G 为引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的 B当 r 趋于零时，万有引力趋于无限大 Cm 1、m 2相等时，两物体受到的引力大小才相等 D两物
2、体受到的引力总是大小相等、方向相反，是一对平衡力 课前自主预习答案: 1. ,两个质点间2rMF 2. m kg N1067. 2 3.匀速圆周运动,万有引力, , ,rv2rTm24 4.相互性,宏观性,特殊性 5.A 课堂互动探究 知识点 1：天体质量和密度的计算 新知探究 卡文迪许把他自己的实验说成是“称地球的质量” ，他是根据 “称”地球的质量的。天体质量不可能直接称量，但可以间接测量天体卫星做圆周运动 所需的向心力由万有引力提供，即 m m r，因此可得 M ，测出天 GMmr2 v2r 4 2T2 体卫星的环绕周期和环绕半径即可计算天体质量 图 321 答案：万有引力定律， 4 2
3、r3GT2 重点归纳 1基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有 引力提供 2解决天体圆周运动问题的两条思路 (1)在地面附近万有引力近似等于物体的重力， F 引 mg，即 G mg，整理得 GM gR2. MmR2 (2)天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，即 F 引 F 向 一般有以下几种表达形式： G m G m 2r G m r Mmr2 v2r Mmr2 Mmr2 4 2T2 3天体质量和密度的计算 (1)“g、 R”计算法：利用天体表面的物体所受重力约等于万有引力得： M ； . gR3G 3g4 RG (2)“T、 r”计
4、算法：利用绕天体运动的卫星所需向心力由万有引力提供，再结合匀 速圆周运动知识得： M ； (R 表示天体半径). 4 2r3GT2 3 r3GT2R3 【例 1】为了研究太阳演化进程，需知道目前太阳的质量 M.已知地球半径 R6.410 6 m，地球质量 m610 24 kg，日地中心的距离 r1.510 11 m，地球表面的 重力加速度 g10 m/s2,1 年约为 3.2107 s，试估算目前太阳的质量 M.(保留一位有效数 字，引力常数未知) 解：设 T 为地球绕太阳运动的周期，则由万有引力定律和动力学知识得 G m(2/T )2r Mmr2 对地球表面物体 m，有 m g G mmR2
5、 两式联立，得 M ，代入数据得 4 2mr3gR2T2 M210 30 kg. 触类旁通 1已知太阳光射到地面约需时间 497S，试估算太阳的质量。 解析：应用万有引力定律可以“称重”天体的质量，本题要求我们“称量”太阳的质 量，注意由光的传播速度得出日地间距。 地球绕太阳运行的轨道半径就是太阳和地球之间的距离，这个距离是 mctr1805.49703 地球绕太阳运行的周期为 1 年，即 S ST360245712. 设太阳和地球的质量分别为 M 和 m，由于 rTrG 故 kgGrTM 32430 点评：求解天体质量的两个主要数据，一是绕天体运行的行星或卫星的轨道半径（r） ， 二是运行周
6、期（T） 。注意本题中运行周期为隐含条件（地球公转周期为 1 年） 。 【例 2】假设在半径为 R 的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面 做匀速圆周运动的周期为 T1，已知引力常数为 G，则该天体的密度为多少？若这颗卫星距 该天体表面的高度为 h，测得在该处做匀速圆周运动的周期为 T2，则该天体的密度又可表 示为什么？ 解：设卫星的质量为 m，天体的质量为 M.卫星贴近天体表面运动时有 G m R， MmR2 4 2T21 则 M 4 2R3GT21 天体的体积为 V R3 43 故该天体的密度 MV 4 2R3GT2143 R3 3GT21 当卫星距天体表面距离为 h 时有
7、G m (R h)， M Mm R h 2 4 2T2 4 2 R h 3GT2 . MV 4 2 R h 3GT243 R3 3 R h 3GT2R3 触类旁通 2 “神舟六号”飞船在预定圆轨道上飞行，每绕地球一圈需要时间为 90 min，每圈飞 行路程为 L4.210 4 km.试根据以上数据估算地球的质量和密度(地球半径 R 约为 6.37103 km，引力常量 G 取 6.671011 Nm2/kg2，结果保留两位有效数字) 解：由 L2 r 得 r 6.6910 3 km L2 由 G m r，得 M 6.210 24 kg Mmr2 4 2T2 4 2r3GT2 L32 GT2 又
8、由 ， V R3 MV 43 得 5.610 3 kg/m3. 3 r3GT2R3 3L38 2GT2R3 知识点 2：人造地球卫星和宇宙速度 新知探究 美国有部电影叫光速侠 ，是说一个叫 Daniel Light 的家伙在一次事故后，发现自 己拥有了能以光速奔跑的能力 图 322 根据所学物理知识分析，如果光速侠要以光速从纽约跑到洛杉矶救人， 能实现 吗？ 答案：不可能实现因为当人或物体以大于第一宇宙速度的速度在地表运动时，会脱 离地表，到达外太空，即在地表运动的速度不能超过 7.9 km/s. 重点归纳 1人造地球卫星的轨道 卫星绕地球做匀速圆周运动时，由地球对它的万有引力充当向心力，地球
9、对卫星的万 有引力指向地心而做匀速圆周运动的物体的向心力时刻指向它所做圆周运动的圆心因 此卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合这样就存在三类人造地球卫星轨道(如 图 323 所示)： (1)赤道轨道，卫星轨道在赤道平面，卫星始终处于赤道上方； (2)极地轨道，卫星轨道平面与赤道平面垂直，卫星通过两极上空； (3)一般轨道，卫星轨道和赤道成一定角度 图 323 2人造卫星的线速度、角速度、周期、加速度与半径的关系 (1)由 G m 得 v .即 v ，说明卫星的运动轨道半径越大，其运行线速度 Mmr2 v2r GMr 1r 就越小 (2)由 G m 2r 得 ，即 ，说明卫星的运动轨道半径
10、越大，其角速 Mmr2 GMr3 1r3 度越小 (3)由 G m r 得 T2 ，即 T ，说明卫星的运动轨道半径越大，其运 Mmr2 4 2T2 r3GM r3 行周期越长 (4)由 G ma 得 a ，即 a ，说明卫星的运动轨道半径越大，其加速度越小 Mmr2 GMr2 1r2 3地球同步卫星 (1)周期、角速度与地球自转周期、角速度相同， T24 h. (2)轨道是确定的，地球同步卫星的运行轨道在赤道平面内 (3)在赤道上空距地面高度有确定的值 由万有引力提供向心力得 G m(2/T )2(R h)， Mm R h 2 解得 h R3.610 7 m. 3GMT24 2 4三种宇宙速
11、度 (1)第一宇宙速度(环绕速度)：v17.9 km/s，是人造地球卫星的最小发射速度，也 是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大速度 (2)第二宇宙速度(脱离速度)：v211.2 km/s，是使物体挣脱地球引力束缚的最小发 射速度 (3)第三宇宙速度(逃逸速度)：v316.7km/s，是使物体挣脱太阳引力束缚的最小发 射速度 (4)特别提醒： 三种宇宙速度均指发射速度，不要误认为是环绕速度 任何星体都有对应的宇宙速度以上三种宇宙速度是对地球而言的 【例 3】地球的半径为 R0，地球表面的重力加速度为 g，一个质量为 m 的人造卫星， 在离地面高度为 h R0的圆形轨道上绕地球运行，则( ) A
12、人造卫星的角速度 g8R0 B人造卫星的周期 T2 2R0g C人造卫星受到地球的引力 F mg 12 D人造卫星的线速度 v R0g 解析：离地面的高度为 R0时，离地心的高度为 r2 R0，由 和代换公式 GMr3 GM gR 知 ，选项 A 正确；同理，由 T2 可得 T2 4 ，B20 g8R0 4 2r3GM 8R30gR20 2R0g 错误；由万有引力公式 F G 得 F mg，C 错误；由 v 得 v ，D 错误 Mmr2 14 GMr gR202R0 gR02 答案：A 触类旁通 3(双选，汕头质检)如图 324 所示， T 代表“天宫一号”飞行器， S 代表“神舟 八号”飞船
13、，它们都绕地球做匀速圆周运动，其轨道如图中所示，则( AD ) 图 324 A.T 的周期大于 S 的周期 B.T 的线速度大于 S 的线速度 C.T 的向心加速度大于 S 的向心加速度 D.S 和 T 的速度都小于环绕速度 7.9 km/s 解析：由 G m r 得 T2 ，即 T ，说明卫星的运动轨道半径越大，其 Mmr2 4 2T2 r3GM r3 运行周期越长，故 T 的周期大于 S 的周期，A 对。由 G m 得 v .即 v ，说明 Mmr2 v2r GMr 1r 卫星的运动轨道半径越大，其运行线速度就越小，故 B 错，D 对。由 G ma 得 a ，即 Mmr2 GMr2 a ，
14、说明卫星的运动轨道半径越大，其加速度越小，故 C 错。 1r2 答案：AD 方法技巧易错易混实验透视 方法技巧 双星问题：天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星， 双星系统在银河系中很普遍利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质 量双星运动有以下几个特点： (1)角速度相同； (2)圆心相同，轨道半径之和等于两者间距 r； (3)彼此之间的万有引力提供向心力 【例 4】已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运 动，周期均为 T，两颗恒星之间的距离为 r，试计算这个双星系统的总质量(引力常量为 G) 解：设两颗恒星的质量分别为 m1、
15、m2，做圆周运动的半径分别为 r1、 r2，角速度分别 是 1、 2.根据题意有 1 2 r1 r2 r 根据万有引力定律和牛顿运动定律，有 G m1 r1 m1m2r2 21 G m2 r2 m1m2r2 2 联立以上各式解得 r1 m2rm1 m2 根据角速度与周期的关系知 1 2 2T 联立式解得 m1 m2 . 4 2r3GT2 触类旁通 4土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动其中有 两个岩石颗粒 A 和 B 与土星中心的距离分别为 rA8.010 4 km 和 rB1.210 5 km.忽略 所有岩石颗粒间的相互作用求：(结果可用根式表示) (1)岩石颗粒
16、A 和 B 的线速度之比； (2)岩石颗粒 A 和 B 的周期之比 解：(1)设土星质量为 M0，岩石颗粒质量为 m，岩石颗粒距土星中心距离为 r，线速度 为 v，根据牛顿第二定律和万有引力定律有 GM0mr2 mv2r 解得 v GM0r 对于 A、 B 两岩石颗粒分别有 vA ， vB GM0rA GM0rB 得 vAvB rBrA 62 (2)设岩石颗粒绕土星做圆周运动的周期为 T 则 T 2 rv 对于 A、 B 两岩石颗粒分别有 TA ， TB 2 rAvA 2 rBvB 则 . TATB rArB vBvA 2 69 随堂练习 一、单项选择题 1假设地球的质量不变，而地球的半径增大
17、到原来的 2 倍，则地球表面的重力加速 度为原来的( D ) A2 倍 B4 倍 C. 倍 D. 倍 12 14 解析：由 G mg， . MmR2 gg R2 2R 2 14 2下列说法正确的是( D ) A在某行星表面上的物体质量越大，加速度越大 B对于同一行星来说，不计行星的自转，在行星某一高度处的重力加速度与距行星 表面高度成正比 C对于同一行星来说，不考虑自转影响，在行星某一高度处的重力加速度与距行星 表面高度的平方成反比 D以上说法均不对 解析：由 G mg， g ，可知选项 A、B、C 均错 Mm R h 2 GM R h 2 3某宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星
18、的平均密度，只需测定( A ) A运动周期 B环绕半径 C行星的体积 D运行速度 解析：由 ，可知选项 A 对 3GT2 4关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是( ) A第一宇宙速度又叫环绕速度 B第一宇宙速度又叫脱离速度 C第一宇宙速度跟地球的质量无关 D第一宇宙速度跟地球的半径无关 解析：第一宇宙速度又叫环绕速度，A 对，B 错；万有引力提供向心力，由 G m mMR2 可知第一宇宙速度与地球的质量和半径有关，C、D 错 v2R 5下列关于地球同步卫星的说法正确的是( B ) A它的周期与地球自转周期相同，但高度和速度可以选择，高度越高，速度越小 B它的周期、高度、速度都是一定的 C我
19、国发射的同步卫星定点在北京上空 D我国发射的同步卫星周期不一定相同 解析：地球同步卫星相对地球是静止的，因此周期等于地球自转周期，等于 24h；由 G m(2/T )2r 和 v 可知选项 B 对 Mmr2 2 rT 二、双项选择题 6卫星绕行星做匀速圆周运动，若已知引力常量为 G，由以下物理量能求出行星质量 的是( BC ) A卫星的质量和轨道半径 B卫星的线速度和轨道半径 C卫星的运转周期和轨道半径 D卫星的密度和轨道半径 解析：由 G m r，可知选项 B、C 正确 Mmr2 mv2r 4 2T2 课后巩固提升 一、单项选择题 1人造卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星所受万有引力与轨道半径的
20、关系( D ) A F r B F C F r2 D F 1r 1r2 解析：卫星所受的万有引力 F G ，故选项 D 对 Mmr2 2火星的质量和半径分别约为地球的 和 ，地球的表面重力加速度为 g，则火星表 110 12 面的重力加速度约为( B ) A0.2 g B0.4 g C2.5 g D5 g 解析：由 G mg，则 ，得 g 火 0.4 g. MmR2 g火g地 M火M地 R2地R2火 3天文学家发现某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并列出了行星的轨道半 径和运动周期，由此可推算出( C ) A行星的质量 B行星的半径 C恒星的质量 D恒星的半径 解析：设行星轨道半径为 R，
21、周期为 T，恒星的质量为 M，行星质量为 m，由 G m MmR2 R 得 M ，选项 C 对 4 2T2 4 2R3GT2 4在绕地球做匀速圆周运动的飞船上，宇航员可以自由“漂浮” ，其原因是宇航员( B ) A不受地球重力作用 B受到的地球重力提供向心力 C受到地球的重力和浮力相抵消 D受到的地球重力和月球引力相抵消 解析：在绕地球做匀速圆周运动的飞船上，宇航员受到的地球重力（万有引力）恰好 提供向心力，飞船对他无力的作用，B 对。 5某质量分布均匀的球状行星的密度为 ，若在赤道随行星一起转动的物体对行星 表面的压力恰好为零，已知引力常数为 G，则该行星自转周期为( C ) A. B. 4
22、 G3 3 G4 C. D. 3 G G 解析：由 G m(2/T )2R 和 M R3得 T . MmR2 43 3 G 6由于地球的自转，使得静止在地面的物体绕地轴做匀速圆周运动对于这些做匀 速圆周运动的物体，以下说法正确的是( D ) A向心力都指向地心 B速度等于第一宇宙速度 C加速度等于重力加速度 D周期与地球自转的周期相等 解析：静止在地面上的物体饶地轴做匀速圆周运动，故向心力指向地轴，速度不等于 第一宇宙速度，加速度也不等于重力加速度，但是周期与地球自转周期相等，选项 D 正确。 答案：D 2、双项选择题 7已知万有引力常量 G、月球中心到地球中心的距离 R 和月球绕地球运行的周
23、期 T， 仅利用这三个数据，可估算出的物理量有( BD ) A月球的质量 B地球的质量 C地球的半径 D月球绕地球运行的速率 解析：由 M ， v ，知选项 B、D 对 4 2R3GT2 2 RT 8下列关于地球同步卫星的说法中正确的是( BD ) A为避免同步卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同的轨道上 B同步卫星定点在地球赤道上空某处，所有同步卫星的周期都是 24 h C不同国家发射同步卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面上 D不同同步卫星运行的线速度大小是相同的，加速度的大小也是相同的 解析：同步卫星的周期与地球自转周期相同， T24 h，通信卫星的运行轨道一定， 离地面的高度
24、也一定，地球对卫星的引力提供卫星做圆周运动的向心力，因此同步卫星只 能以地心为圆心做圆周运动，且轨道一定在赤道平面上方，故选项 B 对，C 错；不同的通 信卫星轨道半径相同，速度大小相等，无相对运动，不会相撞，选项 A 错；由 v 和 2 rT a 2r，知选项 D 对 9把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周，若已知火星和地球绕太阳运动的周期 之比，则可以求得( BD ) A火星和地球的质量之比 B火星和地球到太阳的距离之比 C火星和太阳的质量之比 D火星和地球绕太阳运行速度大小之比 解：我们研究火星和地球绕太阳做圆周运动，火星和地球作为环绕体，无法求得火星 和地球的质量之比，故 A 错误；根
25、据题目已知条件，不能求得火星和太阳的质量之比，故 B 错误；研究火星和地球绕太阳做圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式： G m r 得 T2 ，所以能求得火星和地球到太阳的距离之比，故 C 正确；由 Mmr2 4 2T2 r3GM G m 得 v .即 v ，所以能求得火星和地球绕太阳运行速度大小之比，故 D 正 Mmr2 v2r GMr 1r 确 故选 CD 点评：求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再根据 表达式进行比较向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取 应用 10宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动的周期为 T，离地面高度为 H，地
26、球半径为 R，则 根据 T、 H、 R 和万有引力恒量 G，能计算出的物理量是( AD ) A地球的质量 B宇宙飞船的质量 C飞船所需的向心力 D飞船线速度的大小 解析：选 AD.根据飞船绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力， 由（GMm）/(RH) 2m(RH)(2/T) 2， 得到：M4 2(RH) 3/(GT2) 由 v2(RH)/T，可以计算出线速度大小 答案：AD 11(双选)我国发射的“嫦娥二号”探月卫星简化后的路线示意图如图 325 所示， 卫星由地面发射后经过发射轨道进入停泊轨道，然后在停泊轨道经 过调速后进入地月转移图 325 轨道，经过几次制动后进入工作 轨道，卫星开始
27、对月球进行探测已知地球与月球的质量之比为 a，卫星的停泊轨道与工作轨道的半径之比为 b，卫星在停泊轨道和 工作轨道上均可视为做匀速圆周运动，则卫星 ( ) A在停泊轨道和工作轨道运行的速度之比为 ab B在停泊轨道和工作轨道运行的周期之比为 ba C在停泊轨道运行的速度大于地球的第一宇宙速度 D从停泊轨道进入地月转移轨道时，卫星必须加速 解析：由万有引力提供向心力可以判断不同轨道的速度、周期之间的关系卫星轨道 图 325 变大时，周期变大，速度(动能)减小，但机械能增大，即需要加速 由 G m ，得 v ， Mmr2 v2r GMr 所以 ，选项 A 正确 v1v2 M1r2M2r1 ab 由
28、 G m r 得 ，选项 B 错误由 v 可知，轨道半径 Mmr2 4 2T2 T1T2 r13r23M2M1 b3a GMr 越大，运行速度越小，所以选项 C 错误要使卫星从停泊轨道进入地月转移轨道，必须使 卫星做离心运动，即应增加卫星的动能，选项 D 正确 答案：AD 12(双选)在某行星表面以不太大的初速度 v0竖直上抛一物体，测得物体由抛出到返 回到抛出点所用的时间为 t，该行星的半径为 R，万有引力恒量为 G，则下列叙述正确的( BD ) A该行星表面的重力加速度 g v0t B该行星的质量为 M 2v0R2Gt C该行星的密度 3v08 GRt D该行星的第一宇宙速度 v 2v0R
29、t 解析：该行星表面的重力加速度为 g ，故选项 A 错；由 G mg，得 v01 2t 2v0t MmR2 M ，选项 B 对；由 ，选项 C 错；由 G mg，又 G m gR2G 2v0R2Gt M43 R3 3v02 GRt MmR2 MmR2 得 v ，选项 D 对 v2R 2v0Rt 13某国试图发射一颗人造地球卫星，下列设想中可以实现的是(已知地球半径 R6.410 6 m， g 取 9.8 m/s2)( BD ) A环绕速度为 9.7 km/s B环绕速度为 7.8 km/s C周期为 1 h D周期为 90 min 解析：由 G m 得 v .即 v ，说明卫星的运动轨道半径
30、越大，其运行线速 Mmr2 v2r GMr 1r 度就越小，第一宇宙速度是人造地球卫星环绕地球运动的最大速度为 7.9 km/s，故 A 错， B 对。由 G m r 得 T2 ，即 T ，说明卫星的运动轨道半径越大，其运行 Mmr2 4 2T2 r3GM r3 周期越长，而人造地球卫星的最小周期为 85min，故 C 错，D 对。 14已知引力常数为 G，地球半径为 R，月球和地球之间的距离为 r，同步卫星距地面 高度为 h，月球绕地球运转的周期为 T1，地球自转周期为 T2，地球表面的重力加速度为 g，则地球的质量表达式正确的是( AC ) A. B. C. D. 4 2r3GT21 4
31、2R3GT2 gR2G 4 2h2GT2 解析: 本题主要考查怎样利用万有引力定律来估算天体的质量。解决本题的关键在于对天体或卫 星的运动进行正确的分析。解决天体运动问题的一条主线就是利用万有引力等于向心力，向心力公式可根 据需要采用不同的表达式。再以黄金代换作为辅助。 方法一：对月球绕地球做圆周运动，由 ，得 ，故 A 对。 方法二：在地面重力近似等于万有引力，由 ，得 ，故 C 对。 15假如做圆周运动的人造卫星的轨道半径增大到原来的 2 倍，仍做圆周运动，则( CD ) A根据 v r ，可知卫星的线速度将增大到原来的 2 倍 B根据公式 F m ，可知卫星所需的向心力将减小到原来的 v
32、2r 12 C根据公式 F G ，可知地球提供的向心力将减小到原来的 Mmr2 14 D根据 F m 和 F G ，可知卫星运动的线速度将减小到原来的 v2r Mmr2 22 解析：根据 F m 和 F G ，得 v .即 v ，A 错、D 对。根据公式 F 向 =F 万 v2r Mmr2 GMr 1r G ，B 错、C 对。 Mmr2 三、非选择题 16宇航员站在某一星球表面上高 H 处，其中 HR，沿水平方向以某一初速度水平抛 出一个小球，经过时间 t，小球落到星球表面，已知该星球的半径为 R，万有引力常量为 G，求该星球的质量和密度 解：小球在星球上做平抛运动，则 H gt2， g 12
33、 2Ht2 由 G mg，得 M MmR2 gR2G 2HR2Gt2 又 . M4 3 R3 2HR2 Gt243 R3 3H2 RGt2 17已知某行星半径为 R，以其第一宇宙速度运行的卫星绕行星的周期为 T，该行星 上发射的同步卫星的运行速度为 v，则同步卫星距行星表面高度为多高？求该行星的自转 周期 解：对近地卫星有 G m1(2/T )2R Mm1R2 对同步卫星有 G m2 Mm2 R h 2 v2 R h 联立式求得 h R 4 2R3T2v2 同步卫星周期与自转周期相等，即 T 自 T 同 . 2 R h v 8 3R3T2v3 18宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三
34、颗星组成的三星系统，通常 可忽略其他星体对它们的引力作用已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式： 一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行另一 种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行设 每个星体的质量均为 m. (1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期 (2)假设两种形式的星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？ 解：(1)对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，根据牛顿第二定律和万 有引力定律有： F1 ， F2 ， F 合 F1 F2 Gm2R2 Gm2 2R 2 mv2R 运动星体的线速度 v 5GmR2R 设周期为 T，则有 T 2 Rv T4 R35Gm 答图 321 (2)设第二种形式星体之间的距离为 r ，则三个星体做圆周运动的半径为 R r2cos 30 由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其他两个星体的万有引力的合力提供，由力的 合成和牛顿运动定律有： F 合 2 cos 30 Gm2r2 F 合 m R 4 2T2 结合得： r R. 3125
