1、习题解答 习题一 1-1 与 有无不同? 和 有无不同? 和 有无不同?其不同在哪里?rtdrtdv 试举例说明 解：（1） 是位移的模， 是位矢的模的增量，即 ， ；rrr1212r （2） 是速度的模，即 .tdtdvts 只是速度在径向上的分量.tr 有 （式中 叫做单位矢） ，则r trtddr 式中 就是速度径向上的分量，trd 不同如题 1-1 图所示. trd与 题 1-1 图 (3) 表示加速度的模，即 ， 是加速度 在切向上的分量.tdvtvada 有 表轨道节线方向单位矢） ，所以(tvtdd 式中 就是加速度的切向分量.dtv ( 的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)
2、tr 与 1-2 设质点的运动方程为 = ( )， = ( )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求xtyt 出 r ，然后根据 = ，及 而求得结果；又有人先计算速度和加速2yxvtrda2tr 度的分量，再合成求得结果，即 = 及 = 你认为两种方法哪一种v22tytx 22dtytx 正确？为什么？两者差别何在？ 解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有 ，jyixrjtyitxrav22dd 故它们的模即为 222222dtytxattvyxyx 而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作 2dtratrv 其二，可能是将 误
3、作速度与加速度的模。在 1-1 题中已说明 不是速度的模，2dtr与 trd 而只是速度在径向上的分量，同样， 也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中2dtr 的一部分 。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢 在径向 22dtrta径 r （即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢 及速度 的方向随间的变化率对速度、rv 加速度的贡献。 1-3 一质点在 平面上运动，运动方程为xOy =3 +5, = 2+3 -4.xty1t 式中 以 s计， , 以m计(1)以时间 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t =1 s 时刻和 2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)
4、计算 0 s时刻到t t 4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算 4 s 时质点的速度；(5)t 计算 0s 到 4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算 4s t t 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都 表示成直角坐标系中的矢量式) 解：（1） jtitr)4321()53(m (2)将 , 代入上式即有t2 jir5.081m42jr.31 (3) ijr67,540 14 sm5320jijtv (4) 1sm)3(djitrv 则 jiv741s (5) ji3,40 24sm1jvta (6) 2
5、djta 这说明该点只有 方向的加速度，且为恒量。y 1-4 在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示当人以 (m )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小0v1s 图1-4 解： 设人到船之间绳的长度为 ，此时绳与水面成 角，由图可知l 22sh 将上式对时间 求导，得t 题 1-4 图tstld2 根据速度的定义，并注意到 , 是随 减少的， tsvtlvd,0船绳 即 cosd0ltst船 或 vhlv0 2/120)(船 将 再对 求导，即得船的加速度船vt 32020 020)(ddsvhsl vsltsltva船船 1-5 质点沿 轴运动，其加
6、速度和位置的关系为 2+6 ， 的单位为 ， 的单xa2x2smx 位为 m. 质点在 0处，速度为10 ,试求质点在任何坐标处的速度值1sm 解： xvttvadd 分离变量： )62( 两边积分得 cxv321 由题知， 时， ,0xv50c 13sm2x 1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 4+3 ，开始运动时， 5 m，at2x =0，求该质点在 10s 时的速度和位置vt 解： ttv34d 分离变量，得 tvd)34( 积分，得 12ct 由题知， , ,0tv01c 故 234tv 又因为 dtx 分离变量， tx)234(d 积分得 2321ctx 由题知 , ,0t5x
7、2c 故 523tx 所以 时s1t m705120s93410 12xv 1-7 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 =2+3 ， 式中以弧度计， 以秒3tt 计，求：(1) 2 s 时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45t 角时，其角位移是多少? 解： tt18d,9d2 (1) 时， s2t 2sm3618Ra2229)(n (2)当加速度方向与半径成 角时，有451tann 即 R2 亦即 tt18)9( 则解得 923t 于是角位移为 rad67.23t 1-8 质点沿半径为 的圆周按 的规律运动，式中 为质点离圆周上某点的Rs201btvs 弧长,
8、， 都是常量，求：(1) 时刻质点的加速度；(2) 为何值时，加速度在数值上等0vbt t 于 解：（1） btvts0d Rtvatn202)( 则 2 4022)(btn 加速度与半径的夹角为 20)(arctbtvRn (2)由题意应有 2402)(Rtba 即 )(,)(402402 btvtv 当 时，bvt0a 1-9 半径为 的轮子，以匀速 沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点 的运动方程R0v B 为 ， ，式中 / 是轮子滚动的角速度，当x)sin(ttyR)cos1(t0vR 与水平线接触的瞬间开始计时此时 所在的位置为原点，轮子前进方向为 轴正方向；BBx (2)求
9、点速度和加速度的分量表示式 解：依题意作出下图，由图可知 )sin(2coi0tRtvtx题 1-9 图(1) )cos1()cos1(2ty (2)sindco1(tRtyvxtvRatyyxxdcosi2 1-10 以初速度 20 抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60的夹角，01m 求：(1)球轨道最高点的曲率半径 ；(2)落地处的曲率半径 1R2R (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系) 解：设小球所作抛物线轨道如题 1-10 图所示 题 1-10 图 (1)在最高点， o016csvx2mgan 又 1 2van m10 )60cos(22nv (2)在落地点， ,202v1s
10、而 o6c2gan m80s10)(222nv 1-11 飞轮半径为0.4 m，自静止启动，其角加速度为 =0.2 rad ，求 2s时边缘2st 上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度 解：当 时， s2t 4.02.t1srad 则 16.04.Rv1s 064.).(22Ran 2sm840 2222 s1.).()6.( n 1-12 如题 1-12 图，物体 以相对 的速度 沿斜面滑动， 为纵坐标，开始ABvgyy 时 在斜面顶端高为 处， 物体以 匀速向右运动，求 物滑到地面时的速度AhuA 解：当滑至斜面底时， ，则 , 物运动过程中又受到 的牵连运动影响，yhvA2 B
11、 因此， 对地的速度为 jghighuA )sin2()cos2( 地 题 1-12 图 1-13 一船以速率 30kmh -1沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率 40kmh -11v 2v 沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何? 解：(1)大船看小艇，则有 ，依题意作速度矢量图如题 1-13 图(a)121v 题 1-13 图 由图可知 1212 hkm50vv 方向北偏西 87.364arctnrt2 (2)小船看大船，则有 ，依题意作出速度矢量图如题 1-13 图(b)，同上法，得12v50121hkm 方向南偏东 o87.36 1-14 当一轮船在雨中航
12、行时，它的雨篷遮着篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷高4 m 但当 轮船停航时，甲板上干湿两部分的分界线却在篷前3 m ，如雨滴的速度大小为8 ms -1， 求轮船的速率 解： 依题意作出矢量图如题 1-14 所示 题 1-14 图 船雨雨 船 vv 船雨 船雨 由图中比例关系可知 1sm8雨船 v 习题二 2-1 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为 的物体，另一边穿在质量为 的圆1m2m 柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于 绳子以匀加速度 下滑，求 ， 相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩a1m2 擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与
13、轴间的摩擦不计) 解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为 ，其对于 则为牵连加速度，又知1a2m 对绳子的相对加速度为 ，故 对地加速度，由图(b)可知，为2ma2m 1 又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力 在数值上等于绳的张力 ，由牛顿定律，f T 有 11amTg 22 联立、式，得 211212)()magTfaag 讨论 (1)若 ，则 表示柱体与绳之间无相对滑动0a21a (2)若 ，则 ，表示柱体与绳之间无任何作用力，此时 , 均作自由g2fT 1m2 落体运动 题 2-1 图 2-2 一个质量为 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为 ）上以初速度 运动， 的方向P0v0
14、与斜面底边的水平线 平行，如图所示，求这质点的运动轨道AB 解: 物体置于斜面上受到重力 ，斜面支持力 .建立坐标：取 方向为 轴，平行斜mgN0X 面与 轴垂直方向为 轴.如图 2-2.XY 题 2-2 图 方向： X0xFtvx0 方向： Y yymagsin 时 0t v2si1ty 由、式消去 ，得t 220sinxgv 2-3 质量为16 kg 的质点在 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为 6 xOy xf N， -7 N，当 0时， 0， -2 ms -1， 0求yftxvyv 当 2 s 时质点的 (1)位矢；(2)速度t 解： 2sm8316fax27fy (1) 20 1s
15、m87216453dtavyyxx 于是质点在 时的速度s2 1s45ji (2) m874134)167(2)42(1220ji jijtattvryx 2-4 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力 ( 为常数)作用， =0时质点的kvt 速度为 ，证明(1) 时刻的速度为 ；(2) 由0到 的时间内经过的距离为0vtvtmke)(0t ( )1- ；(3)停止运动前经过的距离为 ；(4)证明当 时速xkmv0tmke)( )(0kmvkt 度减至 的 ，式中 m为质点的质量01 答: (1) tvkad 分离变量，得 mv 即 tk0mktevlnl0 tm k (2) t tt
16、m kkevevx00)1(d (3)质点停止运动时速度为零，即 t， 故有 00kvtevxm k (4)当 t= 时，其速度为kmevevkm0100 即速度减至 的 .0ve1 2-5 升降机内有两物体，质量分别为 ， ，且 2 用细绳连接，跨过滑轮,绳121 子不可伸长，滑轮质量及一切摩擦都忽略不计，当升降机以匀加速 g上升时，求：a2 (1) 和 相对升降机的加速度(2)在地面上观察 ， 的加速度各为多少?1m2 1m2 解: 分别以 , 为研究对象，其受力图如图(b)所示 (1)设 相对滑轮(即升降机)的加速度为 ，则 对地加速度 ；因绳不可伸2 a2a2 长，故 对滑轮的加速度亦
17、为 ，又 在水平方向上没有受牵连运动的影响，所以 在1m1m1m 水平方向对地加速度亦为 ，由牛顿定律，有a )(22amTg1 题 2-5 图 联立，解得 方向向下ga (2) 对地加速度为2m 方向向上 在水面方向有相对加速度，竖直方向有牵连加速度，即1 牵相绝 a gga254221 ，左偏上arctno6.rt 2-6一质量为 的质点以与地的仰角 =30的初速 从地面抛出，若忽略空气阻力，求质m0v 点落地时相对抛射时的动量的增量 解: 依题意作出示意图如题 2-6 图 题 2-6 图 在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大小相同，与轨道相切斜向 下, 而抛物线具有对
18、 轴对称性，故末速度与 轴夹角亦为 ，则动量的增量为yxo30vmp 由矢量图知，动量增量大小为 ，方向竖直向下0v 2-7 一质量为 的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面上发生弹性碰撞并在抛m 出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也与抛出时相等求小球与桌面碰撞 过程中，桌面给予小球的冲量的大小和方向并回答在碰撞过程中，小球的动量是否守恒? 解: 由题知，小球落地时间为 因小球为平抛运动，故小球落地的瞬时向下的速度大s5.0 小为 ，小球上跳速度的大小亦为 设向上为 轴正向，则动量gtv5.01gv5.02y 的增量 方向竖直向上，12mp 大小 mgvp)(12 碰撞过程中
19、动量不守恒这是因为在碰撞过程中，小球受到地面给予的冲力作用另外， 碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量方向斜向上，这也说明动量不守恒 2-8 作用在质量为10 kg的物体上的力为 N，式中 的单位是s，(1)求4s后，itF)0(t 这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量(2)为了使这力的冲量为200 Ns， 该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度 ms-1的物体,回j6 答这两个问题 解: (1)若物体原来静止，则 ,沿 轴正向，ititFp 10401 smkg56d)21(d xipIv11s6. 若物体原来具有 初速，则61s 于是tt FvmFvmp00
20、00 d)d(, ,tpp012 同理， ,1v2I 这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大， 那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理 (2)同上理，两种情况中的作用时间相同，即 t ttI0210d)2( 亦即 t 解得 ，( 舍去)s10ts2t 2-9 一质量为 的质点在 平面上运动，其位置矢量为mxOyjtbitarsnco 求质点的动量及 0 到 时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量t2t 解: 质点的动量为 )cossin(jtbtamvp 将 和 分别代入上式，得0t2t , ,jb1ip2 则动量的增量亦即
21、质点所受外力的冲量为 )(12jbiamI 2-10 一颗子弹由枪口射出时速率为 ，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为 0sv F =( )N( 为常数)，其中 以秒为单位：(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，bta,t 试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量(3)求子弹的质量 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有 ,得0)(btaFbat (2)子弹所受的冲量 t ttI021d)( 将 代入，得batbaI2 (3)由动量定理可求得子弹的质量 020vIm 2-11 一炮弹质量为 ，以速率 飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药v 使弹片增加的动能为 ，
22、且一块的质量为另一块质量的 倍，如两者仍沿原方向飞行，试Tk 证其速率分别为 + , -vmk2vT 证明: 设一块为 ，则另一块为 ，12 及21km21 于是得 , 又设 的速度为 , 的速度为 ，则有1m1v22v 211mvT 21v 联立、解得 12)(kv 将代入，并整理得 21)(kmT 于是有 v1 将其代入式，有 mkTv22 又，题述爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，故只能取 kvkv,21 证毕 2-12 设 (1) 当一质点从原点运动到 时，求 所N67jiF合 m1643kjirF 作的功(2)如果质点到 处时需0.6s，试求平均功率(3)如果质点的质量为1kg，试求动r
23、 能的变化 解: (1)由题知， 为恒力，合 )1643()67(kjijirFA合 J5241 (2) w6.0tP (3)由动能定理， JAEk 2-13 以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在 铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打 击铁钉时的速度相同 解: 以木板上界面为坐标原点，向内为 坐标正向，如题 2-13 图，则铁钉所受阻力为y 题 2-13 图 kyf 第一锤外力的功为 1A ss ykfyf102dd 式中 是铁锤作用于钉上的力， 是木板作用于钉上的力，在 时， f 0tf 设第二锤外力的功为
24、，则同理，有2A 212dykyk 由题意，有 )(212mv 即 ky 所以， 2 于是钉子第二次能进入的深度为 cm41.012y 2-14 设已知一质点(质量为 )在其保守力场中位矢为 点的势能为 , 试求mrnPrkE/)( 质点所受保守力的大小和方向 解: 1d)(nrkErF 方向与位矢 的方向相反，即指向力心r 2-15 一根劲度系数为 的轻弹簧 的下端，挂一根劲度系数为 的轻弹簧 ， 的下1kA2kB 端 一重物 ， 的质量为 ，如题2-15图求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性CM 势 能之比 解: 弹簧 及重物 受力如题 2-15 图所示平衡时，有BA、 题 2-15
25、图 MgFBA 又 1xk2B 所以静止时两弹簧伸长量之比为 12kx 弹性势能之比为 12212kxEp 2-16 (1)试计算月球和地球对 物体的引力相抵消的一点 ，距月球表面的距离是多少?地mP 球质量5.9810 24 kg，地球中心到月球中心的距离3.8410 8m，月球质量7.3510 22kg， 月球半径1.7410 6m(2)如果一个1kg的物体在距月球和地球均为无限远处的势能为零， 那么它在 点的势能为多少?P 解: (1)设在距月球中心为 处 ，由万有引力定律，有r地 引月 引 F22rRMG地月 经整理，得 r月地 月 = 2241035.71098.5.8104. m3
26、6 则 点处至月球表面的距离为P m106.3)74.1328( 7月rh (2)质量为 的物体在 点的引力势能为kg1PrRMGrEP地月 7241721 1083.9506.83.5067. J2. 2-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为 和1m 的滑块组成如题2-17图所示装置，弹簧的劲度系数为 ，自然长度等于水平距离 ，2mkBC 与桌面间的摩擦系数为 ，最初 静止于 点， ，绳已拉直，现令滑1mABCh 块落下 ,求它下落到 处时的速率1B 解: 取 点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则由功能原理，有 )(21)(212lkghvgh 式
27、中 为弹簧在 点时比原长的伸长量，则lABCAl )( 联立上述两式，得 212112mkhgv 题 2-17 图 2-18 如题2-18图所示，一物体质量为 2kg，以初速度 3ms -1从斜面 点处下滑，它与0vA 斜面的摩擦力为8N，到达 点后压缩弹簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数B 和物体最后能回到的高度 解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有 37sin21mgvkxsfr 21ikxfr 式中 ， ，再代入有关数据，解得m52.084s2.0x-1mN39k 题 2-18 图 再次运用功能原理，求木块弹回的高度
28、 h2o137sinkxmgfr 代入有关数据，得 ,4.1s 则木块弹回高度 84.037sinoh 题 2-19 图 2-19 质量为 的大木块具有半径为 的四分之一弧形槽，如题2-19图所示质量为MR 的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而m 且都从静止开始，求小木块脱离大木块时的速度 解: 从 上下滑的过程中，机械能守恒，以 ， ，地球为系统，以最低点为重力mM 势能零点，则有 221VvgR 又下滑过程，动量守恒，以 , 为系统则在 脱离 瞬间，水平方向有mM0 联立，以上两式，得 gRv2 2-20 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性
29、碰撞，试证碰后两小球的运动方 向互相垂直 证: 两小球碰撞过程中，机械能守恒，有 221201mvv 即 2 题 2-20 图(a) 题 2-20 图(b) 又碰撞过程中，动量守恒，即有 210vmv 亦即 由可作出矢量三角形如图(b)，又由式可知三矢量之间满足勾股定理，且以 为斜边，0v 故知 与 是互相垂直的1v2 2-21 一质量为 的质点位于 ( )处，速度为 , 质点受到一个沿 负方m1,yxjviyxx 向的力 的作用，求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩f 解: 由题知，质点的位矢为 jyixr1 作用在质点上的力为 if 所以，质点对原点的角动量为 vmrL0 )
30、()(1jviiyxyxkvy 作用在质点上的力的力矩为 kfyifjixfrM110 )( 2-22 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆它离太阳最近距离为 8.7510 10m 时的r 速率是 5.4610 4ms -1，它离太阳最远时的速率是 9.0810 2ms-1 这时它离1v 2v 太阳的距离 多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)2r 解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力即有心力的作用，所以角动量守恒；又由 于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有 21mvr m106.508.94752221 vr 2-23 物体质量为3kg， =0时位于 , ，如一恒力 作用t
31、irsjivN5jf 在物体上,求3秒后，(1)物体动量的变化；(2)相对 轴角动量的变化z 解: (1) 301smkg15djtjtfp (2)解(一) 7340tvxjaty 5.2620 即 ,ir1ji5.10xv36aty 即 ,jiv1jiv2 kmrL7)(41 jijiv 5.1435.7(22 21sg8k 解(二) dtzM tttFrL00d)(d30 12smkg5.8d)4(5d53162tktji 题 2-24 图 2-24 平板中央开一小孔，质量为 的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为 的m1M 重物小球作匀速圆周运动，当半径为 时重物达到平衡今在 的下方
32、再挂一质量为0r1 的物体，如题2-24图试问这时小球作匀速圆周运动的角速度 和半径 为多少?2Mr 解: 在只挂重物时 ，小球作圆周运动的向心力为 ，即1 gM1 201mrg 挂上 后，则有2M 221)(rgM 重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒 即 vm0 22r 联立、得 0212132101010)(rMgmrrg 2-25 飞轮的质量 60kg，半径 0.25m，绕其水平中心轴 转动，转速为RO 900revmin-1现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端加一竖直方向的制动力 ，可使飞轮F 减速已知闸杆的尺寸如题2-25图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数 =0.4，飞轮的转动
33、 惯量可按匀质圆盘计算试求： (1)设 100 N，问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转?F (2)如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力 ?F 解: (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b)图中 、 是正压力， 、 是摩NrF 擦力， 和 是杆在 点转轴处所受支承力， 是轮的重力， 是轮在 轴处所受支承xFyARPO 力 题 2-25 图（a） 题 2-25 图(b) 杆处于静止状态，所以对 点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计，则有AFlNllF121210)( 对飞轮，按转动定律有 ，式中负号表示 与角速度 方向相反IRr/ r FlNFr12 又 ,2mRI l
34、Ir12)( 以 等代入上式，得N10F 2srad34050.26)7(4.0 由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为 s6.4690t 这段时间内飞轮的角位移为 rad21.53 )49(3021496020t 可知在这段时间里，飞轮转了 转 (2) ，要求飞轮转速在 内减少一半，可知10srad629ts200rad152tt 用上面式(1)所示的关系，可求出所需的制动力为 NlmRF172)75.0.(4.021621 2-26 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴 转动设大小圆柱O 体的半径分别为 和 ，质量分别为 和 绕在两柱体上的细绳分别与物体 和RrM
35、m1m 相连， 和 则挂在圆柱体的两侧，如题2-26图所示设 0.20m, 0.10m，2m12 Rr 4 kg， 10 kg， 2 kg，且开始时 ， 离地均为 2m求：M1 12h (1)柱体转动时的角加速度； (2)两侧细绳的张力 解: 设 , 和 分别为 , 和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图 b)1a21m2 题 2-26(a)图 题 2-26(b)图 (1) , 和柱体的运动方程如下：1m2 22amgT 11amTg IrR2 式中 aT 1221, 而 22mrMI 由上式求得 2 22221srad13.6 8.91001.40. grmRI (2)由式 8.20.91
36、3.6022 gmrTN 由式 1.7.8.911 R 2-27 计算题2-27图所示系统中物体的加速度设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为 ，半径为 ，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设Mr 50kg ， 200 kg,M15 kg, 0.1 m1m2r 解: 分别以 , 滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示对 , 运用牛顿定律，有1 12 aTg22 m1 对滑轮运用转动定律，有 )2(12MrTr 又， a 联立以上 4 个方程，得 221 sm6.721508.9mga 题 2-27(a)图 题 2-27(b)图 题 2-28 图 2-28 如题2-28图所示，
37、一匀质细杆质量为 ，长为 ，可绕过一端 的水平轴自由转动，mlO 杆于水平位置由静止开始摆下求： (1)初始时刻的角加速度； (2)杆转过 角时的角速度. 解: (1)由转动定律，有 )31(22lg l (2)由机械能守恒定律，有 2)31(sin2mlg li 题 2-29 图 2-29 如题2-29图所示，质量为 ，长为 的均匀直棒，可绕垂直于棒一端的水平轴 无Ml O 摩擦地转动，它原来静止在平衡位置上现有一质量为 的弹性小球飞来，正好在棒的下m 端与棒垂直地相撞相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度 30处 (1)设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速 的值；0v (2)相撞时小球受到多
38、大的冲量? 解: (1)设小球的初速度为 ，棒经小球碰撞后得到的初角速度为 ，而小球的速度变为0v ，按题意，小球和棒作弹性碰撞，所以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，v 可列式： mvlIlv0 222 11 上两式中 ，碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角位移；碰撞后，棒从竖231MlI 直位置上摆到最大角度 ，按机械能守恒定律可列式：o0 )30cos1(22lgI 由式得 2121)()30cos( lgIMl 由式 mlIv0 由式 I 202 所以 22001)(mvlIv 求得 glMlIl312(6)()20 (2)相碰时小球受到的冲量为 0dmvtF 由式求得 ll
39、Ivt 310gM6)2( 负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反 题 2-30 图 2-30 一个质量为M、半径为 并以角速度 转动着的飞轮(可看作匀质圆盘)，在某一瞬R 时突然有一片质量为 的碎片从轮的边缘上飞出，见题2-30图假定碎片脱离飞轮时的瞬m 时速度方向正好竖直向上 (1)问它能升高多少? (2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能 解: (1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度 Rv0 设碎片上升高度 时的速度为 ，则有hgh202 令 ，可求出上升最大高度为0v 2201RvH (2)圆盘的转动惯量 ，碎片抛出后圆盘的转动惯量 ，碎片脱21MRI 21mRMI 离前，盘的
40、角动量为 ，碎片刚脱离后，碎片与破盘之间的内力变为零，但内力不影响 系统的总角动量，碎片与破盘的总角动量应守恒，即 RmvI0 式中 为破盘的角速度于是 MR022)1()( 2R 得 (角速度不变) 圆盘余下部分的角动量为 )21(2mR 转动动能为 题 2-31 图 22)1(mRMEk 2-31 一质量为 、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮缘上，可绕轴自由转m 动另一质量为 的子弹以速度 射入轮缘(如题2-31图所示方向)00v (1)开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值? (2)用 , 和 表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比0 解: (1)射入的过程对 轴的
41、角动量守恒O200)(sinRmvR )(sin0 (2) 0 2202sin1)(i20 mvmREk 2-32 弹簧、定滑轮和物体的连接如题2-32图所示，弹簧的劲度系数为2.0 Nm -1；定滑轮 的转动惯量是0.5kgm 2，半径为0.30m ，问当6.0 kg质量的物体落下0.40m 时，它的速率 为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长 解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统，重物下落的过程中，机械能守恒，以最低点为 重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，则有 22211khImvgh 又 R/ 故有 I2)(122sm0.25.03.63.)489.( 题 2-32 图 题 2-
42、33 图 2-33 空心圆环可绕竖直轴 自由转动，如题2-33图所示，其转动惯量为 ，环半径为AC0I ，初始角速度为 质量为 的小球，原来静置于 点，由于微小的干扰，小球向下R0mA 滑动设圆环内壁是光滑的，问小球滑到 点与 点时，小球相对于环的速率各为多少?BC 解: (1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒，当小球滑至 点时，有B )(200RI 该系统在转动过程中，机械能守恒，设小球相对于圆环的速率为 ，以 点为重力势能零Bv 点，则有 22020 1)(11BmImgI 联立、两式，得 20RIvB (2)当小球滑至 点时， C0Icc 故由机械能守恒，有 21)(cmvg Rc 请读者求出上述两种情况下，小球对地速度 习题三 3-1 惯性系S相对惯性系 以速度
