1、山东省日照市莒县 2015-2016 学年八年级（下）期末数学试卷 （解析版） 一、选择题（本大题共 12 小题，第 1-8 小题选对每小题得 3 分，第 9-12 小题选对每小题 得 4 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分） 1下面五组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（ ） A1 组 B2 组 C3 组 D4 组 2下列函数中，是一次函数的有（ ） Ay=x 2+1 Bx 22x+1=0 Cy=3（x+1） Dy= 3已知一元二次方程 3x22x+1=0，则它的二次项系数为（ ） A1 B2 C3 D3x 2 4在演讲比赛中，5 为评委给一位歌手打分如下：8.2 分、8.
2、3 分、7.8 分、7.7 分、8.0 分， 则这位歌手平均得分（ ） A7.8 B8.0 C8.2 D8.3 5一次函数 y=3x2 的图象经过哪几个象限（ ） A一、二、三象限 B一、二、四象限 C一、三、四象限 D二、三、四象限 6某射击队要从四名运动员中选拔一名运动员参加比赛，选拔赛中每名队员的平均成绩与 方差 S2 如下表所示，如果要选择一个成绩高且发挥稳定的人参赛，则这个人应是（ ） 甲 乙 丙 丁 8 9 9 8 S2 1 1 1.2 1.3 A甲 B乙 C丙 D丁 7如图，PQR 是ABC 经过某种变换后得到的图形，如果ABC 中任意一点 M 的坐 标为（a，b），那么它的对应
3、点 N 的坐标为（ ） A（a，b） B（a ，b） C（ a，b） D（b，a） 8某市测得一周 PM2.5 的日均值（单位：微克/立方米）如下： 31，30，34，35，36，34，31，对这组数据下列说法正确的是（ ） A众数是 35B中位数是 34 C平均数是 35 D方差是 6 9若点 A（2，0）、B （1， a）、C（0，4）在同一条直线上，则 a 的值是（ ） A2 B1 C 2 D4 10如果关于 x 的方程 ax2+x1=0 有实数根，则 a 的取值范围是（ ） Aa Ba 且 a0 Ca Da 且 a0 11某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间
4、对全县学校 的设施和设备进行全面改造，2014 年县政府已投资 5 亿元人民币，若每年投资的增长率相 同，预计 2016 年投资 7.2 亿元人民币，那么每年投资的增长率为（ ） A20% B40% C 220% D30% 12如图是抛物线 y1=ax2+bx+c（a 0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标 A（1，3），与 x 轴的一个交点 B（4，0），直线 y2=mx+n（m0）与抛物线交于 A，B 两点，下列结论： 2a+b=0； abc0； 方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根； 抛物线与 x 轴的另一个交点是（ 1，0）； 当 1x4 时，有 y2y 1， 其中正确的是（ ）
5、 A B C D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13已知一次函数 y=x+3，当函数值 y0 时，自变量 x 的取值范围是_ 14将抛物线 y=5x2 向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位，得到的抛物线的解析式为 _ 15如图，将ABC 绕点 C（0，1）旋转 180得到A BC，设点 A的坐标为（a，b）， 则点 A 的坐标为_ 16如果 m，n 是两个不相等的实数，且满足 m2m=3，n 2n=3，那么代数式 2n2mn+2m+2015=_ 三、解答题(本大题共 6 小题，共 64 分) 17（10 分）（2015 春 莒县期末）用适当的方法解下列
6、方程： （1）（3x2） 2=（2x3） 2 （2）已知 x1 和 x2 是方程 x2 =0 的两个解，则 的值为_ 18如图，在正方形网格上有一个ABC （1）作出ABC 关于点 O 的中心对称图形A BC（不写作法，但要标出字母）； （2）若网格上的最小正方形边长为 1，求出ABC 的面积 19（10 分）（2015 日照）如图 1 所示，某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地，列 车匀速行驶，图 2 为列车离乙地路程 y（千米）与行驶时间 x（小时）时间的函数关系图 象 （1）填空：甲、丙两地距离_千米 （2）求高速列车离乙地的路程 y 与行驶时间 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值
7、范围 20（12 分）（2015 春 莒县期末）某商场新进一种童装，进价为 20 元/件，试营销阶段 发现：当销售单价是 30 元/件时，每天的销售量为 200 件；销售单价每上涨 1 元，每天的 销售量就减少 10 件 （1）写出商场销售这种童装，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函 数关系式； （2）求销售单价为多少元时，该童装每天的销售利润最大？ （3）商场的营销部结合上述情况，提出了 A、B 两种营销方案：方案 A：该童装的销售单 价高于进价且不超过 30 元；方案 B：每天销售量不少于 20 件，且每件童装的利润至少为 25 元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说
8、明理由 21（10 分）（2015 春 莒县期末）已知关于 x 的方程 x2axa3=0， （1）若该方程的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一根； （2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 22（14 分）（2015 春 莒县期末）如图，抛物线的顶点在原点 O，且过（2，1）点；直 线 BCx 轴交 y 轴于点 C， C（0，1），A（0，1） （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是（1）中抛物线上一点，过点 P 作 BC 的垂线，垂足为点 B，求证：AB 平分 OAP； （3）当PAB 是等边三角形时，求 P 点的坐标 2015-2016 学年山东省日照市莒县八
9、年级（下）期末数 学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，第 1-8 小题选对每小题得 3 分，第 9-12 小题选对每小题 得 4 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分） 1下面五组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有（ ） A1 组 B2 组 C3 组 D4 组 【考点】中心对称图形 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：（2）、（3）都只是中心对称图形； （1）、（5）都只是轴对称图形； （4）、两种都不是 故选 B 【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转 180 度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么
10、这个图形就叫做中心对称图形 2下列函数中，是一次函数的有（ ） Ay=x 2+1 Bx 22x+1=0 Cy=3（x+1） Dy= 【考点】一次函数的定义 【分析】根据一次函数的定义进行判断即可 【解答】解：Ay=x 2+1 是二次函数； Bx 22x+1=0 是一元二次方程； Cy=3 （x+1）是一次函数； Dy= 是反比例函数， 故选：C 【点评】本题考查的是反比例函数的定义，一般地，形如 y=kx+b（k0，k、b 是常数） 的函数，叫做一次函数 3已知一元二次方程 3x22x+1=0，则它的二次项系数为（ ） A1 B2 C3 D3x 2 【考点】一元二次方程的一般形式 【分析】根据
11、一元二次方程的一般形式解答即可 【解答】解：一元二次方程 3x22x+1=0 的二次项系数是 3， 故选：C 【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，任何一个关于 x 的一元二次方程经过整 理，都能化成如下形式 ax2+bx+c=0（a 0），其中 ax2 叫做二次项，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，c 叫做常数项 4在演讲比赛中，5 为评委给一位歌手打分如下：8.2 分、8.3 分、7.8 分、7.7 分、8.0 分， 则这位歌手平均得分（ ） A7.8 B8.0 C8.2 D8.3 【考点】算术平均数 【分析】根据算术平均数的计算公式，先求出这 5 个数的和，再除以 5 即可 【
12、解答】解：根据题意得： （8.2+8.3+7.8+7.7+8.0）5=8（分） 故选（B） 【点评】此题主要考查了算术平均数，用到的知识点是算术平均数的计算公式，熟记公式 是解决本题的关键 5一次函数 y=3x2 的图象经过哪几个象限（ ） A一、二、三象限 B一、二、四象限 C一、三、四象限 D二、三、四象限 【考点】一次函数的性质 【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论 【解答】解：次函数 y=3x2 中，k= 30，b= 20， 此函数的图象经过二三四象限 故选 D 【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的 关键 6某射击队要从四名运
13、动员中选拔一名运动员参加比赛，选拔赛中每名队员的平均成绩与 方差 S2 如下表所示，如果要选择一个成绩高且发挥稳定的人参赛，则这个人应是（ ） 甲 乙 丙 丁 8 9 9 8 S2 1 1 1.2 1.3 A甲 B乙 C丙 D丁 【考点】方差；算术平均数 【分析】看图识图，先计算平均数、方差，选择平均数大，方差小的人参赛即可 【解答】解：观察图形可知甲、乙方差相等，但都小于丙、丁， 只要比较甲、乙就可得出正确结果， 甲的平均数小于乙的平均数， 乙的成绩高且发挥稳定 故选：B 【点评】本题考查方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明 这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越
14、不稳定；反之，方差越小，表明这组数据 分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 7如图，PQR 是ABC 经过某种变换后得到的图形，如果ABC 中任意一点 M 的坐 标为（a，b），那么它的对应点 N 的坐标为（ ） A（a，b） B（a ，b） C（ a，b） D（b，a） 【考点】几何变换的类型；坐标与图形性质 【分析】观察图形可知，PQR 是ABC 绕点 O 旋转 180后得到的图形，即它们关于原 点成中心对称，所以 N 点坐标与 M 点坐标互为相反数 【解答】解：观察图形可知，PQR 是ABC 绕点 O 旋转 180后得到的图形 即它们关于原点成中心对称 M（a ，b
15、）， N（a， b） 故选 C 【点评】关于原点对称的两个点的横坐标和纵坐标都互为相反数 8某市测得一周 PM2.5 的日均值（单位：微克/立方米）如下： 31，30，34，35，36，34，31，对这组数据下列说法正确的是（ ） A众数是 35B中位数是 34 C平均数是 35 D方差是 6 【考点】方差；加权平均数；中位数；众数 【分析】根据众数、平均数、中位数和方差的计算公式分别进行计算即可得出答案 【解答】解：A、31 和 34 出现了 2 次，出现的次数最多，则众数是 31 和 34，故本选项错 误； B、把这组数据从小到大排列，最中间的数是 34，则中位数是 34，故本选项错正确；
16、 C、这组数据的平均数是：（31+30+34+35+36+34+31）7=33，故本选项错误； D、这组数据的方差是： 2（3133） 2+（30 33） 2+2（3433） 2+（3533） 2+（36 33） 2 = ，故本选项错误； 故选 B 【点评】本题考查了众数、平均数和中位数的定义用到的知识点：一组数据中出现次数 最多的数据叫做这组数据的众数将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列， 如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个 数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数平均数是指在一组数据中所 有数据之和再除以数据的个数一般地设
17、n 个数据，x 1，x 2，x n 的平均数为 ，则方差 S2= （x 1 ） 2+（x 2 ） 2+（x n ） 2 9若点 A（2，0）、B （1， a）、C（0，4）在同一条直线上，则 a 的值是（ ） A2 B1 C 2 D4 【考点】一次函数图象上点的坐标特征 【分析】先利用待定系数法求出直线 AC 的解析式，再把 B（ 1，a）代入求出 a 的值即 可 【解答】解：设直线 AC 的解析式为 y=kx+b（k0）， 点 A（2，0）、C （0，4）， ，解得 ， 直线 AC 的解析式为 y=2x+4 B（1，a）， 2 +4=a，即 a=2 故选 A 【点评】本题考查的是一次函数图象
18、上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一 定适合此函数的解析式是解答此题的关键 10如果关于 x 的方程 ax2+x1=0 有实数根，则 a 的取值范围是（ ） Aa Ba 且 a0 Ca Da 且 a0 【考点】根的判别式 【分析】分方程为一元一次方程和一元二次方程考虑：当 a=0 时，一元一次方程 x1=0 有 实数根；当 a0 时，根据根的判别式0，即可得出关于 a 的一元一次不等式，解不等 式即可求出 a 的取值范围综上即可得出结论 【解答】解：当 a=0 时，原方程为 x1=0， 解得：x=1； 当 a0 时，有=1 24a（1）=1+4a0， 解得：a 且 a0 综上可知：若
19、关于 x 的方程 ax2+x1=0 有实数根，则 a 的取值范围为 a 故选 A 【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是分 a=0 与 a0 两种情况考虑本题属于基 础题，难度不大，解决该题型题目时，分方程为一元一次方程与一元二次方程两种情况考 虑根的情况是关键 11某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校 的设施和设备进行全面改造，2014 年县政府已投资 5 亿元人民币，若每年投资的增长率相 同，预计 2016 年投资 7.2 亿元人民币，那么每年投资的增长率为（ ） A20% B40% C 220% D30% 【考点】一元二次方程的应用 【分析】首先
20、设每年投资的增长率为 x根据 2014 年县政府已投资 5 亿元人民币，若每年 投资的增长率相同，预计 2016 年投资 7.2 亿元人民币，列方程求解 【解答】解：设每年投资的增长率为 x， 根据题意，得：5（1+x） 2=7.2， 解得：x 1=0.2=20%，x 2=2.2（舍去）， 故每年投资的增长率为为 20% 故选：A 【点评】此题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一 般公式为 a（1+x） n，其中 n 为共增长了几年，a 为第一年的原始数据，x 是增长率 12如图是抛物线 y1=ax2+bx+c（a 0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标 A（1，3）
21、，与 x 轴的一个交点 B（4，0），直线 y2=mx+n（m0）与抛物线交于 A，B 两点，下列结论： 2a+b=0； abc0； 方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根； 抛物线与 x 轴的另一个交点是（ 1，0）； 当 1x4 时，有 y2y 1， 其中正确的是（ ） A B C D 【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与 x 轴的交点 【分析】根据抛物线对称轴方程对进行判断；由抛物线开口方向得到 a0，由对称轴位 置可得 b0，由抛物线与 y 轴的交点位置可得 c0，于是可对进行判断；根据顶点坐 标对进行判断；根据抛物线的对称性对 进行判断；根据函数图象得当 1x4 时，
22、一次函数图象在抛物线下方，则可对进行判断 【解答】解：抛物线的顶点坐标 A（1，3）， 抛物线的对称轴为直线 x= =1， 2a+b=0，所以正确； 抛物线开口向下， a0， b=2a0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c0， abc0，所以错误； 抛物线的顶点坐标 A（1， 3）， x=1 时，二次函数有最大值， 方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根，所以 正确； 抛物线与 x 轴的一个交点为（4，0） 而抛物线的对称轴为直线 x=1， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（2，0），所以错误； 抛物线 y1=ax2+bx+c 与直线 y2=mx+n（m 0）交于 A（1，3）
23、，B 点（4，0） 当 1x4 时，y 2y 1，所以正确 故选：C 【点评】本题考查了二次项系数与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a0），二次 项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a0 时，抛物线向上开口；当 a0 时，抛物 线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab0 ），对称轴在 y 轴右（简称： 左同右异）；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点：抛物线与 y 轴交于（0，c）；抛物线与 x 轴交点个数由决定：=b 24ac0 时，抛物线与 x 轴
24、有 2 个交点；=b 24ac=0 时，抛物 线与 x 轴有 1 个交点；=b 24ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分） 13已知一次函数 y=x+3，当函数值 y0 时，自变量 x 的取值范围是 x3 【考点】一次函数的性质 【分析】根据题意列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可 【解答】解：一次函数 y=x+3 中 y0， x+30，解得 x3 故答案为：x3 【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键 14将抛物线 y=5x2 向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位，得到的抛物线
25、的解析式为 y=5（x+2） 2+3 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进行解题 【解答】解：将抛物线 y=5x2 向上平移 3 个单位，再向左平移 2 个单位得到函数解析式是： y=5（x+2） 2+3 故答案是：y=5（x+2） 2+3 【点评】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减 15如图，将ABC 绕点 C（0，1）旋转 180得到A BC，设点 A的坐标为（a，b）， 则点 A 的坐标为 （a，b 2） 【考点】坐标与图形变化-旋转 【分析】设 A 的坐标为（m，n），由于 A、B 关于 C 点对称，则 =0， =
26、1 【解答】解：设 A 的坐标为（ m，n）， A 和 A关于点 C（0，1）对称 =0， =1， 解得 m=a，n=b2 点 A 的坐标（a，b 2） 故答案为：（a ，b 2） 【点评】本题实际就是一个关于原点成中心对称的问题，要根据中心对称的定义，且弄清 中心对称的点的坐标特征 16如果 m，n 是两个不相等的实数，且满足 m2m=3，n 2n=3，那么代数式 2n2mn+2m+2015= 2026 【考点】根与系数的关系 【分析】由于 m，n 是两个不相等的实数，且满足 m2m=3，n 2n=3，可知 m，n 是 x2x3=0 的两个不相等的实数根则根据根与系数的关系可知：m+n=1，
27、mn= 3，又 n2=n+3，利用 它们可以化简 2n2mn+2m+2015=2（n+3）mn +2m+2015=2n+6mn+2m+2015=2（m+n） mn+2021，然后就可以求出所求的代数式的值 【解答】解：由题意可知：m ，n 是两个不相等的实数，且满足 m2m=3，n 2n=3， 所以 m，n 是 x2x3=0 的两个不相等的实数根， 则根据根与系数的关系可知：m +n=1，mn= 3， 又 n2=n+3， 则 2n2mn+2m+2015 =2（n+3） mn+2m+2015 =2n+6mn+2m+2015 =2（m+n）mn+2021 =21（ 3）+2021 =2+3+202
28、1 =2026 故答案为：2026 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是把所求代数式化成两根之和、 两根之积的系数，然后利用根与系数的关系式求值 三、解答题(本大题共 6 小题，共 64 分) 17（10 分）（2015 春 莒县期末）用适当的方法解下列方程： （1）（3x2） 2=（2x3） 2 （2）已知 x1 和 x2 是方程 x2 =0 的两个解，则 的值为 【考点】根与系数的关系 【分析】（1）利用直接开平方法解方程即可； （2）先由根与系数的关系得出 x1+x2= ，x 1x2= ，再将 变形为两根之积或两 根之和的形式，代入数值计算即可 【解答】解：（1）（3x
29、2） 2=（2x3） 2， 3x2=2x3 或 3x2=2x+3， 解得：x 1=1，x 2=1； （2）由根与系数的关系得：x 1+x2= ，x 1x2= ， 所以， = = = 故答案为 【点评】此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种 经常使用的解题方法也考查了利用直接开平方法解方程 18如图，在正方形网格上有一个ABC （1）作出ABC 关于点 O 的中心对称图形A BC（不写作法，但要标出字母）； （2）若网格上的最小正方形边长为 1，求出ABC 的面积 【考点】作图-旋转变换 【分析】（1）将ABC 的三点与点 O 连线并延长相同长度找对应点，然后顺次
30、连接得中 心对称图形ABC； （2）观察此图三角形的底和高都不太明显，那么就由图中的面积关系来求，比如， ABC 在一个矩形内，那么“ 矩形的面积 ”“三个三角形的面积”就是ABC 的面积 【解答】解：（1）如图： （2）S ABC=S 矩形 （S DBA+SBEC+SACF）， S ABC=23 21 21 31=62 = 【点评】（1）题考查旋转变换作图，是基础题，不难（2）题就要求学生仔细观察图形， 找出图中的面积关系，而不是直接利用三角形的面积公式求 19（10 分）（2015 日照）如图 1 所示，某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地，列 车匀速行驶，图 2 为列车离乙地路程 y（千
31、米）与行驶时间 x（小时）时间的函数关系图 象 （1）填空：甲、丙两地距离 1050 千米 （2）求高速列车离乙地的路程 y 与行驶时间 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围 【考点】一次函数的应用 【分析】（1）根据函数图形可得，甲、丙两地距离为：900+150=1050（千米）； （2）分两种情况：当 0x3 时，设高速列车离乙地的路程 y 与行驶时间 x 之间的函数关 系式为：y=kx+b，把（0，900），（3，0）代入得到方程组，即可解答；根据确定高速列 出的速度为 300（千米/小时），从而确定点 A 的坐标为（3.5，150），当 3x3.5 时， 设高速列车离乙地的路程
32、 y 与行驶时间 x 之间的函数关系式为：y=k 1x+b1，把（3，0）， （3.5，150）代入得到方程组，即可解答 【解答】解：（1）根据函数图形可得，甲、丙两地距离为：900+150=1050（千米），故 答案为：1050 （2）当 0x3 时，设高速列车离乙地的路程 y 与行驶时间 x 之间的函数关系式为： y=kx+b， 把（0，900），（3，0）代入得： ， 解得： ， y=300x +900， 高速列出的速度为：9003=300（千米/小时）， 150300=0.5（小时），3+0.5=3.5（小时） 如图 2，点 A 的坐标为（3.5 ，150） 当 3x3.5 时，设高速
33、列车离乙地的路程 y 与行驶时间 x 之间的函数关系式为： y=k1x+b1， 把（3，0），（3.5，150）代入得： ， 解得： ， y=300x 900， y= 【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂图象，获取相关信息，用待 定系数法求函数解析式 20（12 分）（2015 春 莒县期末）某商场新进一种童装，进价为 20 元/件，试营销阶段 发现：当销售单价是 30 元/件时，每天的销售量为 200 件；销售单价每上涨 1 元，每天的 销售量就减少 10 件 （1）写出商场销售这种童装，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函 数关系式； （2）求销售单价
34、为多少元时，该童装每天的销售利润最大？ （3）商场的营销部结合上述情况，提出了 A、B 两种营销方案：方案 A：该童装的销售单 价高于进价且不超过 30 元；方案 B：每天销售量不少于 20 件，且每件童装的利润至少为 25 元 请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由 【考点】二次函数的应用 【分析】（1）先计算涨了（x30）元，则销量减少 10（x 30）件，所以销售利润 w=（x 20）销售量； （2）求顶点坐标的纵坐标就是最大利润； （3）先计算方案 A：根据当 x35 时，y 随 x 的增大而增大，把 x=30 代入就是最大利润； 方案 B：两个条件每天销售量不少于 20 件，列式：
35、20010（x 30）20， 每件童装的 利润至少为 25 元， 售价不少于 25+20=45，则 45x48，根据 x35 时，y 随 x 的增大而减小，把 x=35 代入 即可，对比并回答问题 【解答】解：（1）w=（x 20）200 10（x30）， =10（x 20）（x50）， =10x2+700x10000（20x50）； （2）w= 10x2+700x10000=10（x35） 2+2250， 当 x=35 时，w 取到最大值， 即销售单价为 35 元时，每天销售利润最大； （3）3035，且 x35 时，y 随 x 的增大而增大， 方案 A 的最大利润 w=10（3035） 2
36、+2250=2000 元， 每天销售量不少于 20 件， 20010 （x 30）20， 解得：x48， 每件童装的利润至少为 25 元， 售价不少于 25+20=45， 45x48， x35 时，y 随 x 的增大而减小， 方案 B 的最大利润 w=10（ 4535） 2+2250=1250， 20001250， 所以方案 A 的最大利润更高 【点评】本题考查了二次函数的应用，属于销售利润问题；要明确销售利润=每件的利润 销售的数量，解这类题的一般步骤是：根据题意列出函数表达式，求出取值范围； 在自变量的取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 21（10 分）（2015
37、春 莒县期末）已知关于 x 的方程 x2axa3=0， （1）若该方程的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一根； （2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 【考点】根与系数的关系；根的判别式 【分析】（1）将 x=1 代入方程 x2axa3=0 得到 a 的值，再根据根与系数的关系求出另一根； （2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答 【解答】（1）解：将 x=1 代入方程 x2axa3=0， 得 1aa3=0，解得 a=1； 方程为 x2+x2=0， 设另一根为 x1，则 1x1=2， 解答 x1=2， 即另一个根为2； （2）证明：=（ a） 24（ a
38、3） =a2+4a+12 =a2+4a+4+8 =（a+2） 2+80， 不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根 【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与 =b 24ac 有如下关系：当 0 时，方程有两个不相等的两个实数根； 当=0 时， 方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方程无实数根也考查了根与系数的关 系 22（14 分）（2015 春 莒县期末）如图，抛物线的顶点在原点 O，且过（2，1）点；直 线 BCx 轴交 y 轴于点 C， C（0，1），A（0，1） （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是（1）中抛物线上一点，
39、过点 P 作 BC 的垂线，垂足为点 B，求证：AB 平分 OAP； （3）当PAB 是等边三角形时，求 P 点的坐标 【考点】二次函数综合题 【分析】（1）由抛物线过顶点在原点可设出抛物线解析式，再由点（2，1）可利用待定系 数法可求得抛物线解析式； （2）可设出 P 点坐标，过 P 作 PHy 轴于点 H，则可表示出 PA 的长，再利用条件表示 出 PB，可证得 PA=PB，再结合平行线的性质证明PAB=OAB ，可证得结论； （3）由等边三角形的性质可求得ABC=30，则可求得 AB 的长，结合（2）中 PA=PB=AB，则可求得 P 点的坐标， 【解答】解： （1）抛物线的顶点在原点
40、O，且过（2，1）点， 可设抛物线解析式为为 y=ax2， a= ， 二次函数的解析式为 y= x2； （2）证明： 点 P 在抛物线 y= x2 上， 可设点 P 的坐标为（x， x2）， 如图，过点 P 作 PHy 轴于点 H， 则 HA= x21， PH=x， RtPHA 中， PA= = x2+1， PB BC 于 B， PB= x2+1， PA=PB， PAB=PBA， 又PB x 轴， OAB=PBA， OAB=PAB， AB 平分OAP ； （3）解：当PAB 是等边三角形时，PBA=60， ABC=30， 在 Rt ABC 中，AB=2AC=2 2=4， PA=PB=AB， x2+1=4，解得：x= 2 ， x2= 12=3， 满足条件的点 P 的坐标为（2 ，3）或（ 2 ，3） 【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、勾股定理、平行 线的性质、角平分线的判定及等边三角形的性质等在（1）中需要注意待定系数法的应用 步骤，在（2）中用 P 点表示出 PA 和 PB 的长是解题的关键，在（ 3）中利用等边三角形 的性质列出方程是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中
