1、安徽省阜阳市 2016 届九年级上学期期末数学试卷 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1方程 x（x+3）=x+3 的解是（ ） Ax=0 Bx 1=0，x 2=3 Cx 1=1，x 2=3 Dx 1=1，x 2=3 2观察下列图形，是中心对称图形的是（ ） A B C D 3把抛物线 y= x2 先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位长度后，所得的函数表达式为（ ） Ay= （x+1） 2+2 By= （x+1 ） 22 Cy= （ x1） 2+2 Dy= （x 1） 22 4如图，点 B、D、C 是 O 上的点，BDC=130，则BOC 是（ ） A1
2、00 B110 C120 D130 5下列事件是必然事件的是（ ） A打开电视机正在播放广告 B投掷一枚质地均匀的硬币 100 次，正面向上的次数为 50 次 C任意一个一元二次方程都有实数根 D在平面上任意画一个三角形，其内角和是 180 6某机械厂七月份生产零件 50 万个，计划八、九月份共生产零件 146 万个，设八、九月份平均每 月的增长率为 x，那么 x 满足的方程是（ ） A50（1+x） 2=146 B50+50（1+x）+50（1+x） 2=146 C50（1+x）+50（1+x） 2=146 D50+50 （1+x）+50（1+2x）=146 710 名学生的身高如下（单位：
3、cm）159、169、163、170、166、165、156、172、165、162，从 中任选一名学生，其身高超过 165cm 的概率是（ ） A B C D 8若二次函数 y=x2+bx+5 配方后为 y=（x2） 2+k，则 b、k 的值分别为（ ） A0，5 B0，1 C 4，5 D4，1 9如图，ABC 是一张三角形纸片， O 是它的内切圆，点 D、E 是其中的两个切点，已知 CD=6cm，小明准备用剪刀沿着与 O 相切的一条直线 MN 剪下一块三角形（CMN） ，则剪下的 CMN 的周长是（ ） A9cm B12cm C15cm D18cm 10如图，在 RtABC 中， C=90
4、，ABC=30，AC=2，将 RtABC 绕点 A 逆时针旋转 45后得 到ABC ，点 B 经过的路径为 ，图中阴影部分面积是（ ） A2 B2 C4 D4 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11点 A（a，3）与点 B（4 ，b）关于原点对称，则 a+b= 12若圆锥的高是 8cm，母线长是 10cm，则这个圆锥的侧面积是 cm 2（结果保留 ） 13如图，在O 的内接五边形 ABCDE 中， CAD=30，则 B+E= 14如图，是抛物线 y=ax2+bx+c（a0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴是直线 x=2，与 x 轴 的一个交点是（1，0） ，有下列结
5、论： abc0，4a+b=0， 抛物线与 x 轴的另一个交点是（5，0） ，若点（2，y 1） ， （5，y 2）都 在抛物线上，则有 y1y 2， 请将正确选项的序号都填在横线上 三、 （本题共两小题，每小题 8 分，共 16 分） 15用适当的方法解方程：x 2=2x+35 16如图，AB 是 O 的直径，AB弦 CD，垂足为 E，A=27，CD=8cm，BE=2cm （1）求O 的半径， （2）求 的长度（结果保留 ） 四、 （本题共两小题，每小题 8 分，共 16 分） 17已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点（0，2）和（1， 1） ，求图象的顶点坐标和对称轴 18已知关于
6、 x 的方程 x24x+3k1=0 有两个不相等的实数根 （1）求实数 k 的取值范围； （2）根据（1）中的结论，若 k 为正整数，求方程的两根之积 五、 （本题共两小题，每小题 10 分，共 20 分） 19如图在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出格点ABC（顶点是网格线的交点） （1）请画出以 A 为旋转中心，将 ABC 按逆时针方向旋转 90得到图形A 1B1C1，并写出各顶点 坐标 （2）请画出ABC 向右平移 4 个单位长度后的图形 A2B2C2，并指出由A 1B1C1 通过怎样的一次 变换得到A 2B2C2？ 20在一个不透明的口袋中装有红、白、黑三种颜色的小球若
7、干个，它们只有颜色不同，其中有白 球 2 个，黑球 1 个，已知从中任意摸出一个球是白球的概率为 （1）口袋中有多少个红球？ （2）从口袋中一次摸出 2 个球，求摸得一红一白的概率（要求画出树状图或列表） 六、 （本题满分 12 分） 21如图，已知 AB 是 的直径，AC 是弦，点 P 是 BA 延长线上一点，连接 PC，BCPCA= B （1）求证：PC 是O 的切线； （2）若 PC=6，PA=4，求直径 AB 的长 七、 （本题满分 12 分） 22工人师傅用 8 米长的铝合金材料制作一个如图所示的矩形窗框，图中的、 区域都是 矩形，且 BE=2AE，M，N 分别是 AD、EF 的中点
8、 （说明：图中黑线部分均需要使用铝合金材料 制作，铝合金材料宽度忽略不计） （1）当矩形窗框 ABCD 的透光面积是 2.25 平方米时，求 AE 的长度 （2）当 AE 为多长时，矩形窗框 ABCD 的透光面积最大？最大面积是多少？ 八、 （本题满分 14 分） 23如图 1，在水平地面点 A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在 地面上落点为 B，有人在直线 AB 上点 C（靠点 B 一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网 球落入桶内已知 AB=4 米，AC=3 米，网球飞行最大高度 OM=4 米，每个圆柱形桶的直径为 0.5 米，高为 0.4 米（网球的体积和
9、圆柱形桶的厚度忽略不计） （1）在如图 2 建立的坐标下，求网球飞行路线的抛物线解析式； （2）若竖直摆放 4 个圆柱形桶时，则网球能落入桶内吗？说明理由； （3）若要网球能落入桶内，求竖直摆放的圆柱形桶的个数 安徽省阜阳市 2016 届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1方程 x（x+3）=x+3 的解是（ ） Ax=0 Bx 1=0，x 2=3 Cx 1=1，x 2=3 Dx 1=1，x 2=3 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】先移项，使方程右边为 0，再提公因式（x+3） ，然后根据“两式相乘值为 0
10、，这两式中至少 有一式值为 0 ”进行求解 【解答】解：原方程可化为：x（x+3）（x+3）=0 即（x1 ） （x+3）=0 解得 x1=1，x 2=3 故选 D 【点评】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法， 公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法本题运用的是因式分解法 2观察下列图形，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，也是中
11、心对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误， 故选：C 【点评】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图 形沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转 180后与原图重合 3把抛物线 y= x2 先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位长度后，所得的函数表达式为（ ） Ay= （x+1） 2+2 By= （x+1 ） 22 Cy= （ x1） 2+2 Dy= （x 1） 22 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】直接根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可 【解答】解：由“左加右减，
12、上加下减”的原则可知，将抛物线 y= x2 先向左平移 1 个单位，再向下 平移 2 个单位长度，所得函数解析式为：y= （x+1） 22 故选 B 【点评】本题考查的是函数图象平移的法则，根据“上加下减，左加右减 ”得出是解题关键 4如图，点 B、D、C 是 O 上的点，BDC=130，则BOC 是（ ） A100 B110 C120 D130 【考点】圆周角定理；圆内接四边形的性质 【分析】首先在优弧 上取点 E，连接 BE，CE ，由点 B、D、C 是O 上的点，BDC=130 ，即 可求得E 的度数，然后由圆周角定理，即可求得答案 【解答】解：在优弧 上取点 E，连接 BE，CE ，如
13、图所示： BDC=130， E=180BDC=50， BOC=2E=100 故选：A 【点评】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质此题难度不大，注意掌握辅助线的作 法，注意掌握数形结合思想的应用 5下列事件是必然事件的是（ ） A打开电视机正在播放广告 B投掷一枚质地均匀的硬币 100 次，正面向上的次数为 50 次 C任意一个一元二次方程都有实数根 D在平面上任意画一个三角形，其内角和是 180 【考点】随机事件 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可 【解答】解：打开电视机正在播放广告是随机事件，A 不正确； 投掷一枚质地均匀的硬币 100 次，正面向上的次数
14、为 50 次是随机事件，B 不正确； 任意一个一元二次方程都有实数根是随机事件，C 不正确； 在平面上任意画一个三角形，其内角和是 180是必然事件， D 正确； 故选：D 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下一定发 生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定 条件下，可能发生也可能不发生的事件 6某机械厂七月份生产零件 50 万个，计划八、九月份共生产零件 146 万个，设八、九月份平均每 月的增长率为 x，那么 x 满足的方程是（ ） A50（1+x） 2=146 B50+50（1+x）+50（1+x） 2=
15、146 C50（1+x）+50（1+x） 2=146 D50+50 （1+x）+50（1+2x）=146 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】应用题；增长率问题 【分析】根据八、九月份平均每月的增长率相同，分别表示出八、九月份生产零件的个数列出方程， 即可作出判断 【解答】解：根据题意得：八月份生产零件为 50（1+x） （万个） ；九月份生产零件为 50（1+x） 2（万个） ， 则 x 满足的方程是 50（1+x）+50（1+x ） 2=146， 故选 C 【点评】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平 均变化率为 x，则经过两次变化后
16、的数量关系为 a（1x） 2=b 710 名学生的身高如下（单位：cm）159、169、163、170、166、165、156、172、165、162，从 中任选一名学生，其身高超过 165cm 的概率是（ ） A B C D 【考点】概率公式 【分析】根据概率公式知，共有 10 人，身高超过 165cm 的有 4 人，故选一名学生，其身高超过 165cm 的概率是 【解答】解：10 名学生中，其身高超过 165cm 的有 4 人，所以从中任选一名学生，其身高超过 165cm 的概率是 故选 B 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出
17、现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A ）= 8若二次函数 y=x2+bx+5 配方后为 y=（x2） 2+k，则 b、k 的值分别为（ ） A0，5 B0，1 C 4，5 D4，1 【考点】二次函数的三种形式 【分析】可将 y=（x 2） 2+k 的右边运用完全平方公式展开，再与 y=x2+bx+5 比较，即可得出 b、k 的值 【解答】解：y= （x2） 2+k=x24x+4+k=x24x+（4+k ） ， 又 y=x2+bx+5， x24x+（4+k）=x 2+bx+5， b=4，k=1 故选 D 【点评】本题实际上考查了两个多项式相等的条件：它们同类项的系数对应相等 9如图，AB
18、C 是一张三角形纸片， O 是它的内切圆，点 D、E 是其中的两个切点，已知 CD=6cm，小明准备用剪刀沿着与 O 相切的一条直线 MN 剪下一块三角形（CMN） ，则剪下的 CMN 的周长是（ ） A9cm B12cm C15cm D18cm 【考点】三角形的内切圆与内心 【分析】利用切线长定理得出 DM=MF，FN=EN ，AD=AE ，进而得出答案 【解答】解：如图所示： ABC 是一张三角形的纸片，O 是它的内切圆，点 D 是其中的一个切点，AD=6cm， 设 E、F 分别是 O 的切点， 故 DM=MF，FN=EN ，AD=AE ， AMN 的周长=AM+AN+MN=AD+AE=6
19、+6=12（cm ） 故选：B 【点评】此题主要考查了三角形的内切圆、切线长定理；由切线长定理得出 AM+AN+MN=AD+AE 是解题关键 10如图，在 RtABC 中， C=90，ABC=30，AC=2，将 RtABC 绕点 A 逆时针旋转 45后得 到ABC ，点 B 经过的路径为 ，图中阴影部分面积是（ ） A2 B2 C4 D4 【考点】扇形面积的计算 【分析】在 RtABC 中，解直角三角形得到 BC=ACtan60=2 =2 ，AB=4，根据三角形的面积 公式得到 SABC= ACBC=2 ，根据旋转的性质知ABCAB C，于是得到 SABC=SABC，即 可得到结论 【解答】解
20、：在 RtABC 中， ACB=90，BAC=60，AC=1， BC=ACtan60=2 =2 ，AB=4， SABC= ACBC=2 ， 根据旋转的性质知ABCABC ，则 SABC=SABC，AB=AB S 阴影 =S 扇形 ABB+SABCSABC = =2 故选：A 【点评】本题考查了扇形面积的计算、旋转的性质求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则 图形的面积的和或差来求 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 11点 A（a，3）与点 B（4 ，b）关于原点对称，则 a+b= 1 【考点】关于原点对称的点的坐标 【专题】应用题 【分析】根据平面内两点关于关于原
21、点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，则 a+（4）=0 且 3+b=0，从而得出 a，b，推理得出结论 【解答】解：根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数， a+（4）=0，3+b=0， 即：a=4 且 b=3， a+b=1 【点评】本题主要考查了平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，该题 比较简单 12若圆锥的高是 8cm，母线长是 10cm，则这个圆锥的侧面积是 60 cm 2（结果保留 ） 【考点】圆锥的计算 【专题】计算题 【分析】先利用勾股定理计算出圆锥的底面圆的半径，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个 扇形的弧长等于圆锥底面的周
22、长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算这个圆锥的 侧面积 【解答】解：圆锥的底面圆的半径= =6， 所以这个圆锥的侧面积= 2610=60（cm 2） 故答案为 60 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周 长，扇形的半径等于圆锥的母线长 13如图，在O 的内接五边形 ABCDE 中， CAD=30，则 B+E= 210 【考点】圆周角定理 【分析】连接 CE，根据圆内接四边形对角互补可得 B+AEC=180，再根据同弧所对的圆周角相 等可得CED=CAD，然后求解即可 【解答】解：如图，连接 CE， 五边形 ABCDE 是圆内接五边
23、形， 四边形 ABCE 是圆内接四边形， B+AEC=180， CED=CAD=30， B+E=180+30=210 故答案为：210 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，同弧所对的圆周角相等的性质，熟记性质并作辅助线构 造出圆内接四边形是解题的关键 14如图，是抛物线 y=ax2+bx+c（a0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴是直线 x=2，与 x 轴 的一个交点是（1，0） ，有下列结论： abc0，4a+b=0， 抛物线与 x 轴的另一个交点是（5，0） ，若点（2，y 1） ， （5，y 2）都 在抛物线上，则有 y1y 2， 请将正确选项的序号都填在横线上 【考点】二次函数图象与
24、系数的关系 【分析】根据抛物线的图象，数形结合，逐一解析判断，即可解决问题 【解答】解：抛物线开口向上， a0，b0；由图象知 c 0， abc0，故错误； 抛物线的对称轴为 x=2， =2，b=4a ， 4a+b=0，故正确； 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个交点，对称轴是 x=2，与 x 轴的一个交点是（1，0） ， 抛物线与 x 轴的另一个交点是（5，0） ；故 正确； 对称轴方程为 x=2， （ 2， y1）可得（6，y 1） （ 5， y2）在抛物线上， 由抛物线的对称性及单调性知：y 1y 2，故 错误； 综上所述正确 故答案为： 【点评】此题考查了二次函数的图象与系
25、数的关系，抛物线的单调性、对称性及其应用问题；灵活 运用有关知识来分析是解题关键 三、 （本题共两小题，每小题 8 分，共 16 分） 15用适当的方法解方程：x 2=2x+35 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解：移项得：x 22x35=0， （x7） （ x+5）=0， x7=0， x+5=0， x1=7，x 2=5 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关 键 16如图，AB 是 O 的直径，AB弦 CD，垂足为 E，A=27，CD=8cm，BE=2cm （1）求
26、O 的半径， （2）求 的长度（结果保留 ） 【考点】垂径定理；勾股定理；弧长的计算 【分析】 （1）连接 OC，由圆周角定理得出COE=45 ，根据垂径定理可得 CE=DE=4cm，证出 COE 为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答案； （2）根据圆周角定理得到BOC=54，于是得到 的长度 = = ，由于 ，即可得 到结论 【解答】解：连接 OC，如图所示： AB 是O 的直径，弦 CDAB， CE=DE= CD=4cm， BE=2cm， OE=OC2， OC2=42+（OC2） 2， OC=COE 为等腰直角三角形， OC=5， 即 O 的半径为 5cm； （2）A=27， BO
27、C=54， 的长度 = = ， ， 的长度 = 【点评】此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、以及三角函数的应用；关键是掌握圆周角定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 四、 （本题共两小题，每小题 8 分，共 16 分） 17已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点（0，2）和（1， 1） ，求图象的顶点坐标和对称轴 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质 【分析】利用待定系数法确定二次函数的解析式，然后配成顶点式，然后根据二次函数的性质确定 顶点坐标和对称轴 【解答】解：把点（0，2）和（1，1）代入 y=x2+bx+c 得 ，
28、解这个方程组得 ， 所以所求二次函数的解析式是 y=x24x+2； 因为 y=x24x+2=（x 2） 22， 所以顶点坐标是（2，2） ，对称轴是直线 x=2 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式在利用待定系数法求二次函数关系式时， 要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线 上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴 时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点 式来求解 18已知关于 x 的方程 x24x+3k1=0 有两个不相等的实数根 （1）
29、求实数 k 的取值范围； （2）根据（1）中的结论，若 k 为正整数，求方程的两根之积 【考点】根的判别式；根与系数的关系 【分析】 （1）根据方程 x24x+3k1=0 有两个不相等的实数根得到 b24ac=164（3k 1）0，求出 k 的 取值范围即可； （2）根据 k 的取值范围以及 k 为正整数得到 k=1，根据根与系数关系求出答案 【解答】解：（1）方程 x24x+3k1=0 有两个不相等的实数根， =b24ac=164（3k1）0， k ； （2）k 且 k 为正整数， k=1， 原方程变为 x24x+2=0， 方程的两根之积为 =2 【点评】本题主要考查了根的判别式以及根与系数
30、的关系的知识，解答本题的关键是求出 k 的取值 范围，此题难度不大 五、 （本题共两小题，每小题 10 分，共 20 分） 19如图在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出格点ABC（顶点是网格线的交点） （1）请画出以 A 为旋转中心，将 ABC 按逆时针方向旋转 90得到图形A 1B1C1，并写出各顶点 坐标 （2）请画出ABC 向右平移 4 个单位长度后的图形 A2B2C2，并指出由A 1B1C1 通过怎样的一次 变换得到A 2B2C2？ 【考点】作图-旋转变换；作图 -平移变换 【分析】 （1）根据图形旋转的性质画出A 1B1C1，并写出各顶点坐标即可； （2）根据图形平移
31、的性质画出A 2B2C2，并由两三角形的位置关系得出结论 【解答】解：如图所示，由图可知，A 1（0，4） 、B 1（2，2） 、C 1（3，3） ； 如图所示，以点 B1 为圆心，顺时针旋转 90，得到A 2B2C2 【点评】本题考查的是作图旋转变换，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键 20在一个不透明的口袋中装有红、白、黑三种颜色的小球若干个，它们只有颜色不同，其中有白 球 2 个，黑球 1 个，已知从中任意摸出一个球是白球的概率为 （1）口袋中有多少个红球？ （2）从口袋中一次摸出 2 个球，求摸得一红一白的概率（要求画出树状图或列表） 【考点】列表法与树状图法；概率公式 【分析】根据概
32、率的求法，找准两点： 全部情况的总数； 符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率 使用树状图分析时，一定要做到不重不漏 【解答】解：（1）设袋中有 x 个红球，据题意得 = ， 解得 x=1， 袋中有红球 1 个 （2）画树状图如下： 共有 12 种等可能的结果，其中一红一白的情况有 4 种， P（摸得一红一白）= = 【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A ）= 六、 （本题满分 12 分） 21如图，已知 AB 是 的直径，AC 是弦，点 P 是 BA 延长线上一点，连接 PC，B
33、CPCA= B （1）求证：PC 是O 的切线； （2）若 PC=6，PA=4，求直径 AB 的长 【考点】切线的判定 【分析】 （1）连接 OC，由圆周角定理得出ACB=90，得出 1+2=90，由等腰三角形的性质得出 PCA=2，因此1+PCA=90 ，即 PCOC，即可得出结论； （2）由切割线定理得出 PC2=PAPB，求出 PB，即可得出直径 AB 的长 【解答】 （1）证明：连接 OC，如图所示： AB 是的直径， ACB=90， 即1+2=90， OB=OC， 2=B， 又PCA=B ， PCA=2， 1+PCA=90， 即 PCOC， PC 是O 的切线； （2）解：PC 是O
34、 的切线， PC2=PAPB， 62=4PB， 解得：PB=9， AB=PBPA=94=5 【点评】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、切割线定理；熟练掌握 切线的判定方法，由切割线定理求出 PB 是解决问题（2）的关键 七、 （本题满分 12 分） 22工人师傅用 8 米长的铝合金材料制作一个如图所示的矩形窗框，图中的、 区域都是 矩形，且 BE=2AE，M，N 分别是 AD、EF 的中点 （说明：图中黑线部分均需要使用铝合金材料 制作，铝合金材料宽度忽略不计） （1）当矩形窗框 ABCD 的透光面积是 2.25 平方米时，求 AE 的长度 （2）当 AE 为多长时，矩
35、形窗框 ABCD 的透光面积最大？最大面积是多少？ 【考点】二次函数的应用；由实际问题抽象出一元二次方程；二次函数的最值；根据实际问题列二 次函数关系式 【专题】应用题；函数思想；方程思想；二次函数的应用 【分析】 （1）设 AE=x 米，根据已知条件表示出 BC 和 AB 的长，根据 ABBC=矩形面积 2.25 列出 方程，解方程可得； （2）先由长宽 =矩形面积得到函数关系式，根据公式可得函数最大值 【解答】解：（1）、号区域都是矩形，且 BE=2AE，设 AE=x 米， AE=MN=DF=x 米，BE=CF=2x 米， BC= ， 3x=2.25，解得：x 1= ，x 2= ， AE
36、的长度是 米或 米； （2）设矩形 ABCD 的面积是 y 平方米， 则 y=3x =7x2+8x， 当 x= = 时，y 最大 = 4= ， 答：当 AE 为 时，矩形窗框 ABCD 的透光面积最大，最大面积是 【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，表示出所需长度是解题基础，列出方程和函数关系式 是关键 八、 （本题满分 14 分） 23如图 1，在水平地面点 A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在 地面上落点为 B，有人在直线 AB 上点 C（靠点 B 一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网 球落入桶内已知 AB=4 米，AC=3 米，网球飞行最大高度 OM
37、=4 米，每个圆柱形桶的直径为 0.5 米，高为 0.4 米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计） （1）在如图 2 建立的坐标下，求网球飞行路线的抛物线解析式； （2）若竖直摆放 4 个圆柱形桶时，则网球能落入桶内吗？说明理由； （3）若要网球能落入桶内，求竖直摆放的圆柱形桶的个数 【考点】二次函数的应用；待定系数法求二次函数解析式 【专题】计算题；数形结合；函数思想；二次函数的应用 【分析】 （1）根据题意顶点 M（0，4） 、点 A（ 2，0） ，利用待定系数法可求出函数解析式； （2）当桶的左侧（x=1）最高点位于抛物线以下，右侧（x=1.5）最高点位于抛物线以上时，球才 能落入桶内，
38、 据此可分别计算 x=1 和 x=1.5 时 y 的值，与桶高 40.4 比较可知； （3）可设桶的个数为 m，根据（ 2）中关系列出不等式，即可求出 m 的范围 【解答】解：（1）网球飞行的最大高度 OM=4m， OM 所在直线是抛物线的对称轴， AB=4m， AO=BO=2m， A（ 2， 0） ，顶点 M（0，4） ， 故可设网球飞行路线的抛物线解析式为：y=ax 2+4， 把 A（2，0）代入得：4a+4=0，解得：a=1， 网球飞行路线的抛物线解析式为：y=x 2+4； （2）CD=0.5，AC=3 且 AO=2， OC=1，OD=1.5，即点 Q 的横坐标是 1.5，点 P 的横坐标是 1， 当 x=1 时，y=3 ；当 x=1.5 时，y=1.75； 若竖直摆放 4 个圆柱形桶，则桶高为 40.4=1.6m， 而 40.41.75 ，且 40.43 ， 若竖直摆放 4 个圆柱形桶时，网球不能落入桶内； （3）设竖直摆放的圆柱形桶有 m 个时，网球能落入桶内， 则 1.750.4m3， 解得：4.375m7.5， m 为整数， m 的值为 5 或 6 或 7， 答：当竖直摆放 5 个或 6 个或 7 个圆形桶时，网球能落入桶内 【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的实际应用，求能否落入桶内时高 度的比较关系是解题关键
