1、第 1 页（共 22 页） 福建省福州市时代中学 2014-2015 学年八年级（下）期末数学试卷 一选择题（每题 2 分，满分 20 分） 1 （2014 春 福州校级期末）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A等边三角形 B 矩形 C 等腰梯形 D 平行四边形 考点： 中心对称图形；轴对称图形 分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解 解答： 解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形故选项错误； B、是轴对称图形，又是中心对称图形故选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形故选项错误； D、不是轴对称图形，是中心对称图形故选项错误 故选 B 点评： 本题考查了中心
2、对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部 分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 2 （2014 春 福州校级期末）菱形和矩形一定具备的性质是（ ） A对角线互相平分 B 对角线互相垂直 C对角线相等 D 每条对角线平分一组对角 考点： 菱形的性质；矩形的性质 分析： 根据菱形和矩形的性质对各选项分别进行判断 解答： 解：A、菱形和矩形的对角线都互相平分，所以 A 选项正确； B、菱形的对角线互相垂直平分，而矩形的对角线互相平分且相等，所以 B 选项错误； C、菱形的对角线互相垂直平分，而矩形的对角线互相平分且相等，所以 C
3、 选项错误； D、菱形的对角线互相垂直平分且平分没组对角，而矩形的对角线互相平分且相等，所以 D 选项错 误 故选 A 点评： 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两 条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角也考查了矩形的性质 3 （2007眉山）一元二次方程 x2+x+2=0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的正根 B 有两个不相等的负根 C没有实数根 D 有两个相等的实数根 考点： 根的判别式 分析： 判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式=b 24ac 的值的符号就可以了 解答： 解：a=1，b=1，c=2， =b 24ac=1 24
4、12=70， 方程没有实数根 故选 C 点评： 总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； 第 2 页（共 22 页） （2）=0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 4 （2014 春 福州校级期末）某班体育委员记录第一组七位同学定点投篮（每人投十个） ，投进 篮筐的个数情况依次是：5，6，5，3，6，8，9则这组数据的平均数和中位数分别是（ ） A 6，6 B 6，8 C 7，6 D 7，8 考点： 中位数；加权平均数 分析： 利用中位数及平均数的定义求解即可 解答： 解：3，5，5，6，6，8，9 中平均数为 =6， 中位数是 6， 故选：
5、A 点评： 本题主要考查了中位数及平均数，解题的关键是熟记求中位数的方法 5 （2012甘谷县模拟）将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形 AECF若 AB=6，则 BC 的长为（ ） A 1 B 2 C 2 D 12 考点： 翻折变换（折叠问题） ；勾股定理的应用；菱形的性质；矩形的性质 专题： 几何图形问题 分析： 根据菱形 AECF，得FCO=ECO，再利用ECO=ECB，可通过折叠的性质，结合直角 三角形勾股定理求解 解答： 解：菱形 AECF，AB=6 ， 假设 BE=x， AE=6x， CE=6x， 四边形 AECF 是菱形， FCO=ECO， ECO=ECB， EC
6、O=ECB=FCO=30 ， 2BE=CE， CE=2x， 2x=6x， 解得：x=2， CE=4，利用勾股定理得出： BC2+BE2=EC2， BC= = =2 ， 第 3 页（共 22 页） 故选：C 点评： 此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它 属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等 6 （2007绍兴）如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（ ） A 向右平移 7 格 B 以 AB 的垂直平分线为对称轴作轴对称变换，再以 AB 为对称轴作轴对称变换 C 绕 AB 的中点旋转 180，再以 AB
7、为对称轴作轴对称 D 以 AB 为对称轴作轴对称，再向右平移 7 格 考点： 生活中的轴对称现象；生活中的平移现象 专题： 压轴题；网格型 分析： 认真观察图形，找准特点，根据轴对称的性质及平移变化得出 解答： 解：观察可得：要使左边图形变化到右边图形，首先以 AB 为对称轴作轴对称，再向右平 移 7 格 故选 D 点评： 主要考查了轴对称的性质及平移变化 轴对称图形具有以下的性质： （1）轴对称图形的两部分是全等的； （2）对称轴是连接两个对称点的线段的垂直平分线 7 （2012 春 黄山期末）下列各命题都成立，而它们的逆命题不能成立的是（ ） A 两直线平行，同位角相等 B 全等三角形的对
8、应角相等 C 四边相等的四边形是菱形 D 直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和 考点： 命题与定理 分析： 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题再分析逆命题是否为真命题，需要分别分 析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案 解答： 解：A、逆命题是同位角相等，两直线平行，成立； B、逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，不成立； C、逆命题是菱形是四边相等的四边形，成立； 第 4 页（共 22 页） D、逆命题是一条边的平方等于另外两条边的平方和的三角形是直角三角形，成立 故选 B 点评： 本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而
9、第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题其中一个命题称为另一 个命题的逆命题 8 （2013日照）如图是某学校全体教职工年龄的频数分布直方图（统计中采用“ 上限不在内”的 原则，如年龄为 36 岁统计在 36x38 小组，而不在 34x36 小组） ，根据图形提供的信息，下列 说法中错误的是（ ） A 该学校教职工总人数是 50 人 B 年龄在 40x42 小组的教职工人数占学校教职工人数的 20% C 教职工年龄的中位数一定落在 40x42 这一组 D 教职工年龄的众数一定在 38x40 这一组 考点： 频数（率）分布直方图；中位数；众数 分析： 各组的频数的和就是总
10、人数，然后根据百分比、众数、中位数的定义即可作出判断 解答： 解：A、该学校教职工总人数是 4+6+11+10+9+6+4=50（人） ，故正确； B、在 40x42 小组的教职工人数占该学校全体教职工总人数的比例是： 100%=20%，故正确； C、教职工年龄的中位数一定落在 40x42 这一组，正确； D、教职工年龄的众数一定在 38x40 这一组错误 故选：D 点评： 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力利用统计图获取信息时， 必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 9 （2014福州模拟）如图， ABC 的中线 BD、CE 交于点 O，连接 O
11、A，点 G、F 分别为 OC、OB 的中点，BC=4，AO=3，则四边形 DEFG 的周长为（ ） A 6 B 7 C 8 D 12 第 5 页（共 22 页） 考点： 三角形中位线定理 分析： 根据平行四边形的判定以及三角形中位线的运用，由中位线定理，可得 EFAO，FGBC ，且都等于边长 BC 的一半，由此可得问题答案 解答： 解：BD，CE 是ABC 的中线， EDBC 且 ED= BC， F 是 BO 的中点， G 是 CO 的中点， FGBC 且 FG= BC， ED=FG= BC=2， 同理 GD=EF= AO=1.5， 四边形 DEFG 的周长为 1.5+1.5+2+2=7 故
12、选：B 点评： 本题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理，三角形的中位线的性质定理，为证明 线段相等和平行提供了依据 10 （2014福州模拟）如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，顶点坐标为 C（1，k） ，与 y 轴的交点在（ 0，2） 、 （0，3）之间（不包含端点） ，则 k 的取值范围是（ ） A 2k3 B k4 C k4 D 3k4 考点： 抛物线与 x 轴的交点 分析： 首先把顶点坐标代入函数解析式得到 k=a+b+c= c，利用 c 的取值范围可以求得 k 的取值范 围 解答： 解抛物线与 x 轴的两个交点坐标分别是（1，0） ， （3，
13、0） ， 13=3， =3，则 a= 抛物线与 y 轴的交点在（0，2） 、 （0，3）之间（不包含端点） ， 2c3， 1 第 6 页（共 22 页） b=2a= ， k=a+b+c= c 2c3， c4，即 k4 故选 C 点评： 本题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、 对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定 二填空题（每题 2 分，共 20 分） 11 （2013 春 东丰县期末）已知某一组数据 x1，x 2，x 3，x 20，其中样本方差 S2= （x 15） 2+（x 25） 2+（x 205） 2，则这 2
14、0 个数据的总和是 100 考点： 方差；算术平均数 分析： 先根据方差的计算公式：s 2= （x 1 ） 2+（x 2 ） 2+（x n ） 2，其中 n 是样本容量， 表示平均数，得出本题中 20 个数据的平均数为 5，再根据平均数的定义求解 解答： 解：一组数据 x1，x 2，x 3，x 20，其中样本方差 S2= （x 15） 2+（x 25） 2+（x 205） 2， 这 20 个数据的平均数为 5， 这 20 个数据的总和是 520=100 故答案为 100 点评： 本题考查方差及平均数的意义，一般地，设 n 个数据，x 1、x 2、x n 的平均数为 ，则方差 s2= （ x1
15、） 2+（x 2 ） 2+（x n ） 2，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据 的个数 12 （2014 春 福州校级期末）矩形的一条较短边长是 5cm，两条对角线的夹角是 60，则这个矩 形的周长是 10+10 cm 考点： 矩形的性质 分析： 由矩形的性质得出 OA=OB，证明 AOB 是等边三角形，得出 OA=AB=5cm， AC=2OA=10cm，由勾股定理求出 BC，即可得出矩形 ABCD 的周长 解答： 解：如图所示： 四边形 ABCD 是矩形， AB=CD，AD=BC，ABC=90，OA= AC，OB= BD，AC=BD ， OA=OB， AOB=60， AOB 是等边
16、三角形， 第 7 页（共 22 页） OA=AB=5cm ， AC=2OA=10cm， BC= = =5 ， 矩形 ABCD 的周长=2 （AB+BC ）=10+10 （cm） ， 故答案为：10+10 点评： 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能 进行推理计算是解决问题的关键 13 （2009大冶市校级模拟）如图，将三角尺 ABC（其中ABC=60 ，C=90）绕点 B 按顺时 针转动一个角度到 A1BCl 的位置，使得点 A，B，C 1 在同一条直线上，那么这个角度等于 120 度 考点： 旋转的性质 专题： 计算题 分析： 利用旋转的性质计算
17、解答： 解：三角板中ABC=60，旋转角是CBC 1， 则CBC 1=18060=120 这个旋转角度等于 120 度 故填 120 点评： 正确记忆三角板的角的度数，理解旋转角的概念，是解决本题的关键 14 （2009遂宁）如图，已知 ABC 中，AB=5cm ，BC=12cm，AC=13cm，那么 AC 边上的中线 BD 的长为 cm 考点： 勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线 分析： 由勾股定理的逆定理，判断三角形为直角三角形，再根据直角三角形的性质直接求解 解答： 解：AB=5cm，BC=12cm，AC=13cm，由勾股定理的逆定理得，ABC 是直角三角形， BD= AC= cm
18、 第 8 页（共 22 页） 点评： 解决此题的关键是熟练运用勾股定理的逆定理判定直角三角形，明确了直角三角形斜边上的 中线等于斜边上的一半之后此题就不难了 15 （2012 秋 太原期末）某商品原售价 400 元，连续两次降价后售价为 324 元，该商品平均降 价的百分率为 10% 考点： 一元二次方程的应用 专题： 增长率问题 分析： 等量关系为：原来的售价（1降低的百分率） 2=324，把相关数值代入计算即可 解答： 解：设该商品平均降价的百分率为 x，根据题意得出： 400（1x） 2=324， 解得：x=0.1， 该商品平均降价的百分率为：10% 故答案为：10% 点评： 此题主要考
19、查了一元二次方程的应用；求平均变化率的方法为：若设变化前的量为 a，变化 后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量关系为 a（1x） 2=b 16 （2014 春 福州校级期末）某校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的 180 名同学中任 选 10 名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，如下表所示： 节约水量（吨） 0.5 1 1.5 2 同学数（人） 2 3 4 1 这 10 名同学的家庭一个月的平均节水量是 1.2 吨；估计这 180 名同学的家庭一个月大约能节 水 216 吨 考点： 用样本估计总体；加权平均数 分析： 首先计算平均数，然后用样本的平均数估计总体的平均
20、数即可； 解答： 解：10 名同学的家庭一个月的平均节水量是 =1.2 吨； 180 名同学的家庭一个月大约能节水 1801.2=216 吨， 故答案为：1.2，216 点评： 本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大” 为总体即可 17 （2015开封二模）已知关于 x 的一元二次方程 kx2+2x1=0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 k1 且 k0 考点： 根的判别式 专题： 计算题 分析： 根据一元二次方程的定义以及根的判别式得到 k0，且0，然后解两个不等式即可得到实 数 k 的取值范围 解答： 解：根据题意得，k0，且 0，即 224k（1）0，解得
21、 k1， 实数 k 的取值范围为 k1 且 k0 故答案为 k1 且 k0 第 9 页（共 22 页） 点评： 本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）根的判别式=b 24ac：当0，方程有两个 不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根；也考查了一元二 次方程的定义 18 （2013钦州）如图，在正方形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，BE=2，AE=3BE ，P 是 AC 上一 动点，则 PB+PE 的最小值是 10 考点： 轴对称-最短路线问题；正方形的性质 分析： 由正方形性质的得出 B、D 关于 AC 对称，根据两点之间线段最短可知，连接
22、 DE，交 AC 于 P，连接 BP，则此时 PB+PE 的值最小，进而利用勾股定理求出即可 解答： 解：如图，连接 DE，交 AC 于 P，连接 BP，则此时 PB+PE 的值最小 四边形 ABCD 是正方形， B、D 关于 AC 对称， PB=PD， PB+PE=PD+PE=DE BE=2，AE=3BE ， AE=6，AB=8 ， DE= =10， 故 PB+PE 的最小值是 10 故答案为：10 点评： 本题考查了轴对称最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短 的性质得出 19 （2014 春 福州校级期末）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，
23、给出以下结论： b24ac； abc0； 2ab=0 ； 8a+c0； 9a+3b+c0 其中结论正确的是 （填正确结论的序号） （根据对称轴判断，根据韦达定理的两根积判断） 第 10 页（共 22 页） 考点： 二次函数图象与系数的关系 分析： 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根 据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断即可 解答： 解：抛物线与 x 轴有两个交点， b 24ac0，即 b24ac，正确； 抛物线开口向上，a0， 对称轴在 y 轴的右侧，b0， 抛物线与 y 轴交于负半轴，c0， ab
24、c0，正确； =1，2a+b=0 ，错误； x=2 时，y0， 4a2b+c0 ，即 8a+c0， 错误； 根据抛物线的对称性可知，当 x=3 时，y0， 9a+3b+c0，正确， 故答案为： 点评： 本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号与抛物线开 口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数的关系是解题的关键 20 （2014 春 福州校级期末）如图，平面直角坐标系中，已知点 A（3，0） ，B（0，4） ，对 AOB 连续作旋转变换，依次得到三角形 ， ，那么第 2 个三角形的直角顶点坐标是（ ， ） ，第 100 个三角
25、形的直角顶点坐标 （396，0） 考点： 坐标与图形变化-旋转 专题： 规律型 分析： 先计算出 AB，然后根据旋转的性质观察OAB 连续作旋转变换，得到OAB 每三次旋转后 回到原来的状态，并且每三次向前移动了 3+4+5=12 个单位，于是判断 100 个三角形和三角形 的 状态一样，然后可计算出它的直角顶点的横坐标，从而得到 100 个三角形的直角顶点的坐标 解答： 解：点 A（3， 0） ，B（0，4） ， OB=4，OA=3， AB =5， 对OAB 连续作如图所示的旋转变换， OAB 每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了 3+4+5=12 个单位， 而 100=333+
26、1， 第 100 个三角形 Rt100 和三角形 的状态一样， 第 11 页（共 22 页） 所以第 100 个三角形的直角顶点的横坐标为 3312=396，纵坐标为 0 故答案为：（396，0） 点评： 本题考查了图形旋转后的坐标问题：先要理解所旋转图形的性质，然后根据旋转的性质理解 每次旋转后图形各个点的坐标变化，从中找出变化的规律，再根据规律确定某种状态下的位置及坐 标 三解答题（共 60 分） 21 （8 分） （2014 春 福州校级期末）解下列方程： （1）x 23x=2（x3） ； （2）2x 22x5=0（配方法） 考点： 解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程 -配方法
27、分析： （1）首先去掉括号得到 25x+6=0，然后分解因式得到（ x2） （x3）=0 ，即可得出两 个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）首先将常数项移到等号的右侧，然后把二次项系数化为 1，再配方，最后开方即可 解答： 解：（1）x 23x=2（x3） ， x 25x+6=0， （x2） （x3）=0， x 1=2，x 2=3； （2）2x 22x5=0， 2（x 2x+ ）= ， （x ） 2= ， x = ， x 1= ，x 2= 点评： 本题考查了因式分解法和配方法解一元二次方程的知识，解此题的关键是能把一元二次方程 转化成一元一次方程以及要掌握配方法的步骤，难度适中 22 （
28、5 分） （2014 春 福州校级期末）为了从甲，乙两名学生中选拔一人参加竞赛，学校每个月对 他们的学习进行了一次测验，如图是两人赛前 5 次测验成绩的折线统计图 （每次测试的成绩均为 5 的倍数） （1）分别求出甲，乙两名学生测验成绩的平均数和方差； （2）如果你是他们的辅导教师，应选派哪一名学生参加这次竞赛，请结合所学习的统计知识说明 理由 第 12 页（共 22 页） 考点： 方差；算术平均数 分析： （1）根据平均数、方差的计算方法，结合折线图读出数据可得答案； （2）根据折线图，由于两人的平均数相等，即总体水平相同，再比较方差，选方差小的参加 解答： 解：（1）由折线图可得：甲的 5
29、 个数据依次为：65，80，80，85，90；乙的 5 个数据依 次为：75，90，80，75，80； 故甲的平均数为 （65+80+80+85+90 ）=80； 方差为 （225+25+100）=70； 乙的平均数为 （75+90+80+75+80 ）=80； 方差为 （25+100+25）=30； （2）根据（1）的计算结果，可得甲乙的平均数相等；但甲的方差比乙的方差大，即乙的成绩比甲 的稳定；故应选乙参加这次竞赛 点评： 本题考查了平均数和方差的计算以及读折线图的能力和利用统计图获取信息的能力 23 （6 分） （2014 春 福州校级期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位 1，
30、ABC 的 三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： （1）画出ABC 关于原点对称的 A1B1C1； （2）将ABC 绕点 C 逆时针旋转 90，画出旋转后的A 2B2C，求线段 BC 旋转过程中扫过的面积 （结果保留 ） 第 13 页（共 22 页） 考点： 作图-旋转变换；扇形面积的计算 专题： 计算题 分析： （1）先根据关于原点对称的点的坐标特征写出 A1、B 1、C 1 的坐标，然后描点，再连结 A1B1、A 1C1 和 B1C1 即可； （2）通过构造直角三角形旋转，画出ABC 绕点 C 逆时针旋转 90后 CA 的对应线段 CA2，CB 的 对应线段 CB2，
31、这样可得到 A2B2C，再利用勾股定理计算出 BC，然后根据扇形面积公式计算线段 BC 旋转过程中扫过的面积 解答： 解：（1）如图 1， （2）如图 2， BC= = ， 所以 BC 扫过的面积 S 扇形 = = 点评： 本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段 也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得 出旋转后的图形也考查了扇形面积的计算 24 （6 分） （2013 贺州）如图，D 是ABC 的边 AB 上一点，CNAB，DN 交 AC 于点 M，若 MA=MC （1）求证：CD=AN ； （2）若 AC
32、DN，CAN=30，MN=1，求四边形 ADCN 的面积 第 14 页（共 22 页） 考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理 分析： （1）利用“平行四边形 ADCN 的对边相等”的性质可以证得 CD=AN； （2）根据“直角AMN 中的 30 度角所对的直角边是斜边的一半 ”求得 AN=2MN=2，然后由勾股定 理得到 AM= ，则 S 四边形 ADCN=4SAMN=2 解答： （1）证明：CNAB， 1=2 在AMD 和 CMN 中， ， AMDCMN （ASA） ， AD=CN 又 ADCN， 四边形 ADCN 是平行四边形， CD=AN； （2）解：ACDN
33、，CAN=30，MN=1， AN=2MN=2， AM= = ， S AMN= AMMN= 1= 四边形 ADCN 是平行四边形， S 四边形 ADCN=4SAMN=2 点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质解题时，还 利用了直角三角形的性质：在直角三角形中，30角所对的直角边是斜边的一半 25 （7 分） （2014 春 福州校级期末）已知： ABC 的两边 AB，AC 的长关于 x 的方程 x2（2k+3）x+k 2+3k+2=0 的两个实数根，第三边 BC 的长为 5试问：当 k 取何值时，ABC 是 等腰三角形？ 第 15 页（共 22 页） 考点：
34、 解一元二次方程-因式分解法；等腰三角形的判定 分析： 先求出方程的解，根据两解得出只能 BC 为腰，分为两种情况，求出即可 解答： 解：x 2（2k+3）x+k 2+3k+2=0， （xk1） （xk2）=0， x1=k+1， x2=k+2 所以 x1 不等于 x2， 所以 BC 为腰， 当 x1=k+1=5 时，k=4， x2=k+2=6； 当 x2=k+2=5 时，k=3， x1=k+1=4， 所以 k=4 或 3 点评： 本题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程的应用，能求出符合条件的所有情况是解此 题的关键，用了分类讨论思想 26 （9 分） （2014 春 福州校级期末）某商场经
35、营某种品牌的玩具，购进时的单价是 30 元，根据市 场调研发现：该品牌玩具每天的销售量 y 件与售价 x 元之间存在着如下表所示的一次函数关系 售价 x（元） 70 90 销售量 y（件） 300 100 （1）求销售量 y（件）与售价 x（元）之间的函数关系式； （2）设销售该品牌玩具获得的利润为 W 元，求出 W 与 x 之间的函数关系式；当商场获得了 10000 元销售利润，求该玩具销售单价 x 应定为多少元？ （3）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于 44 元，且商场要完成不少于 540 件的销售任务，求 商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 考点： 二次函数的应用 分析： （1
36、）设销售量 y（件）与售价 x（元）之间的函数关系式为：y=kx+b，列方程组求解即可； （2）根据销售利润=单件利润销售量，列出函数表达式，出 W 与 x 之间的函数关系式；由利润为 10000 元列一元二次方程求解即可玩具销售单价； （3）根据题意列不等式组求出 x 的取值范围，根据二次函数性质求出此范围内的函数最大值即 可 解答： 解：（1）设销售量 y（件）与售价 x（元）之间的函数关系式为：y=kx+b， 代入（70，300） （90，100）得： ， 解得： y=10x+1000； （2）根据题意得：W=（x30） （10x+1000）=10x 2+1300x30000； 当 W=
37、10000 时，10x 2+1300x30000=10000 解得：x 1=50，x 2=80， 答：玩具销售单价为 50 元或 80 元时，可获得 10000 元的销售利润； 第 16 页（共 22 页） （3）根据题意得： 解得：44x46， W=10x 2+1300x30000= 10（x65） 2+12250 100，对称轴 x=65， 当 44x46 时，W 随 x 的增大而增大， 当 x=46 时，最大利润为 8640， 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为 8640 元 点评： 此题主要考查了二次函数的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽 象出二次函数模型是
38、解答本题的重点和难点 27 （8 分） （2014 昌平区一模）如图 1，正方形 ABCD 与正方形 AEFG 的边 AB、AE（ABAE ） 在一条直线上，正方形 AEFG 以点 A 为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为 在旋转过程中，两个 正方形只有点 A 重合，其它顶点均不重合，连接 BE、DG （1）当正方形 AEFG 旋转至如图 2 所示的位置时，求证：BE=DG； （2）当点 C 在直线 BE 上时，连接 FC，直接写出FCD 的度数； （3）如图 3，如果 =45，AB=2，AE= ，求点 G 到 BE 的距离 考点： 几何变换综合题 分析： （1）根据正方形的性质可得 AB=AD，
39、AE=AG ，BAD=EAG=90，再根据余角的性质， 可得BAE=DAG，然后利用“SAS ”证明 ABEADG ，根据全等三角形对应边相等证明即可； （2）分两种情况：E 在 BC 的右边，连接 AC，AF，CF ，利用点 A，C ，E，F 四点共圆求解， E 在 BC 的左边，连接 AC，AF，FG ，CG，首先确定 DG 和 CG 在同一条直线上，再利用点 A，C，G，F 四点共圆求解 （3）根据平行线的判定，可得 AB 与 GE 的关系，根据平行线间的距离相等，可得BEG 与AEG 的关系，根据根据勾股定理，可得 AH 与 BE 的关系，再根据勾股定理，可得 BE 的长，根据三角 形
40、的面积公式，可得 G 到 BE 的距离 解答： （1）证明：如图 2， 第 17 页（共 22 页） 四边形 ABCD 是正方形， AB=AD， BAE+EAD=90 ， 又四边形 AEFG 是正方形， AE=AG，EAD+DAG=90， BAE=DAG 在ABE 与ADG 中， ， ABEADG（SAS） ， BE=DG； （2）解：如图 3，连接 AC，AF，CF， 四边形 ABCD 与 AEFG 是正方形， ACD=AFE=45， DCE=90 点 A，C，E，F 四点共圆， AEF 是直角， AF 是直径， ACF=90， ACD=45， FCD=45 如图 4，连接 AC，AF ，F
41、G，CG 第 18 页（共 22 页） 由（1）知ABEADG， ABE=ADG=90 ， DG 和 CG 在同一条直线上， AGD=AGC=BAG， 四边形 ABCD 与 AEFG 是正方形， BAC=FAG=45， BAG+GAC=45，BAG+BAF=45， AGD+GAC=45， BAG+BAF+AGD+GAC+AGF=180， 点 A，C，G，F 四点共圆， AGF 是直角， AF 是直径， ACF=90， FCD=90+45 =135 （3）解：如图 5，连接 GB、GE， 由已知 =45，可知BAE=45 又GE 为正方形 AEFG 的对角线， AEG=45 ABGE ，AB 与
42、 GE 间的距离相等， GE=8， 过点 B 作 BH AE 于点 H， AB=2， 第 19 页（共 22 页） 设点 G 到 BE 的距离为 h 即点 G 到 BE 的距离为 点评： 本题主要考查了几何变换综合题涉及正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等积式及 四点共圆周的知识，综合性强解题的关键是运用等积式及四点共圆周判定及性质求解 28 （11 分） （2013 钦州）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 y= x2+2x 与 x 轴 相交于 O、B，顶点为 A，连接 OA （1）求点 A 的坐标和AOB 的度数； （2）若将抛物线 y= x2+2x 向右平移 4 个单位
43、，再向下平移 2 个单位，得到抛物线 m，其顶点为 点 C连接 OC 和 AC，把AOC 沿 OA 翻折得到四边形 ACOC试判断其形状，并说明理由； （3）在（2）的情况下，判断点 C是否在抛物线 y= x2+2x 上，请说明理由 （4）若点 P 为 x 轴上的一个动点，试探究在抛物线 m 上是否存在点 Q，使以点 O、P、C、Q 为顶 点的四边形是平行四边形，且 OC 为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点 Q 的坐标；若不存 在，请说明理由 （参考公式：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）图象的顶点坐标为（ ， ） ，对称轴是直线 x= ） 考点： 二次函数综合题 专题： 压轴题；探
44、究型 分析： （1）由 y= x2+2x 得，y= （x+2） 22，故可得出抛物线的顶点 A 的坐标，令 x2+2x=0 得出点 B 的坐标过点 A 作 ADx 轴，垂足为 D，由ADO=90 可知点 D 的坐标，故可得出 OD=AD，由此即可得出结论； 第 20 页（共 22 页） （2）由题意可知抛物线 m 的二次项系数为 ，由此可得抛物线 m 的解析式过点 C 作 CEx 轴， 垂足为 E；过点 A 作 AFCE，垂足为 F，与 y 轴交与点 H，根据勾股定理可求出 OC 的长，同理 可得 AC 的长，OC=AC，由翻折不变性的性质可知，OC=AC=OC =AC，由此即可得出结论； （
45、3）过点 C作 CGx 轴，垂足为 G，由于 OC 和 OC关于 OA 对称，AOB=AOH=45，故可 得出COH=COG，再根据 CEOH 可知OCE=C OG，根据全等三角形的判定定理可知 CEOCGO，故可得出点 C的坐标把 x=4 代入抛物线 y= x2+2x 进行检验即可得出结论； （4）由于点 P 为 x 轴上的一个动点，点 Q 在抛物线 m 上，故设 Q（a， （a2） 24） ，由于 OC 为该四边形的一条边，故 OP 为对角线，由于点 P 在 x 轴上，根据中点坐标的定义即可得出 a 的值， 故可得出结论 解答： 解：（1）由 y= x2+2x 得，y= （x+2） 22，
46、 抛物线的顶点 A 的坐标为（ 2，2） ， 令 x2+2x=0，解得 x1=0，x 2=4， 点 B 的坐标为（4，0） ， 过点 A 作 ADx 轴，垂足为 D， ADO=90 ， 点 A 的坐标为（2，2 ） ，点 D 的坐标为（2，0） ， OD=AD=2， AOB=45； （2）四边形 ACOC为菱形 由题意可知抛物线 m 的二次项系数为 ，且过顶点 C 的坐标是（ 2，4） ， 抛物线的解析式为：y= （x2） 24，即 y= x22x2， 过点 C 作 CEx 轴，垂足为 E；过点 A 作 AFCE ，垂足为 F，与 y 轴交与点 H， OE=2，CE=4，AF=4 ，CF=CE EF=2 ， OC= = =2 ， 同理，AC=2 ，OC=AC ， 由翻折不变性的性质可知，OC=AC=OC=AC， 故四边形 ACOC为菱形 （3）如图 1，点 C不在抛物线 y= x2+2x 上 理由如下： 过点 C作 CGx 轴，垂足为 G， OC 和 OC关于 OA 对称，AOB=AOH=45， COH=COG， CEOH， 第 21 页（共 22 页） OCE=C OG， 又CEO=C GO=90，OC
