1、2016-2017 学年甘肃省武威市凉州区四校联考九年级（上）期末 数学试卷 一选择题（共 10 小题，每题 3 分，共 30 分） 1如果方程（m3） x+3=0 是关于 x 的一元二次方程，那么 m 的值为（ ） A3 B3 C3 D都不对 2下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（ ） A（x+1） 2=2（x+1） B Cax 2+bx+c=0 Dx 2+2x=x21 3有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 45 场，每两队之间都比赛一场，则下 列方程中符合题意的是（ ） A x（x 1）=45 B x（x +1）=45 Cx（x1）=45 Dx（x +1）=45 4抛物线 y=2（x
2、3） 2+1 的顶点坐标是（ ） A（3，1 ） B（3， 1） C（ 3，1） D（3，1） 5一次函数 y=ax+c（a0）与二次函数 y=ax2+bx+c（a0）在同一平面直角坐 标系中的图象可能是（ ） A B C D 6下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 7如图，四边形 ABCD 内接于O，若四边形 ABCO 是平行四边形，则ADC 的大小为（ ） A45 B50 C60 D75 8一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽 0.8 米，最深处水深 0.2 米，则此输水管道的直径是（ ） A0.5 B1 C2 D4 9下列事件中，必然发生的事件是
3、（ ） A明天会下雨 B小明数学考试得 99 分 C今天是星期一，明天就是星期二 D明年有 370 天 10如图，过反比例函数 y= （x0）的图象上一点 A 作 ABx 轴于点 B，连 接 AO，若 SAOB =2，则 k 的值为（ ） A2 B3 C4 D5 二填空题（共 10 小题，每题 3 分，共 30 分） 11已知关于 x 的方程 x24x+a=0 有两个相同的实数根，则 a 的值是 12抛物线 y=2x26x+10 的顶点坐标是 13抛物线的图象如图，则它的函数表达式是 当 x 时，y0 14如图，将 RtABC 绕直角顶点 A 顺时针旋转 90，得到ABC ，连结 BB， 若1
4、=25，则C 的度数是 15如图，点 O 是ABC 的内切圆的圆心，若BAC=80，则BOC= （填 度数） 16如图，半圆 O 的直径 AB=2，弦 CDAB，COD=90，则图中阴影部分的 面积为 17小燕抛一枚硬币 10 次，有 7 次正面朝上，当她抛第 11 次时，正面向上的 概率为 18一个不透明的盒子中装有 3 个红球，2 个黄球和 1 个绿球，这些球除了颜 色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为 19反比例函数 的图象在第二、四象限，则 n 的取值范围为 20反比例函数 y= 的图象过点 P（2，6），那么 k 的值是 三解答题（共 60 分） 21解方程：x
5、2+4x1=0 22解方程：2（x3） 2=x29 23（8 分）我市“利民快餐店”试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐 的成本为 5 元，该店每天固定支出费用为 600 元（不含套餐成本）若每份售 价不超过 10 元，每天可销售 400 份；若每份售价超过 10 元，每提高 1 元，每 天的销售量就减少 40 份为了便于结算，每份套餐的售价 x（元）取整数，用 y（元）表示该店日纯收入（日纯收入= 每天的销售额套餐成本每天固定支出） （1）若每份套餐售价不超过 10 元 试写出 y 与 x 的函数关系式； 若要使该店每天的纯收入不少于 800 元，则每份套餐的售价应不低于多少元？ （2
6、）该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日纯收入按此要 求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日纯收入为多少元？ 24（6 分）ABC 在平面直角坐标系中的位置如图，其中每个小正方形的边 长为 1 个单位长度 （1）按要求作图： 画出ABC 关于原点 O 的中心对称图形A 1B1C1； 画出将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到A 2B2C2 （2）回答下列问题： A 1B1C1 中顶点 A1 坐标为 ； 若 P（a ，b）为ABC 边上一点，则按照（1）中作图，点 P 对应的点 P1 的 坐标为 25（12 分）如图，已知 MN 是O 的直径，直线 PQ 与O 相切于 P 点，NP
7、 平分MNQ （1）求证：NQPQ； （2）若O 的半径 R=2，NP= ，求 NQ 的长 26（6 分）杭州某网站调查，2014 年网民们最关注的热点话题分别有：消费、 教育、环保、反腐及其它共五类根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表 如下： 根据以上信息解答下列问题： （1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据； （2）若杭州市约有 900 万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？ （3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备 从这四人中随机抽取两人进行座谈，则抽取的两人恰好是甲和乙的概率为 27（8 分）如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函
8、数 y= 的图象交于点 A2，5C5，n，交 y 轴于点 B，交 x 轴于点 D （1）求反比例函数 y= 和一次函数 y=kx+b 的表达式； （2）连接 OA，OC求AOC 的面积 28（12 分）如图，已知抛物线 y= x2 x+2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交 于点 C （1）求点 A，B，C 的坐标； （2）点 E 是此抛物线上的点，点 F 是其对称轴上的点，求以 A，B ，E，F 为顶 点的平行四边形的面积； （3）此抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得 ACM 是等腰三角形？若存在， 请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 2016-2017 学年甘肃省武威市凉
9、州区四校联考九年级 （上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一选择题（共 10 小题，每题 3 分，共 30 分） 1如果方程（m3） x+3=0 是关于 x 的一元二次方程，那么 m 的值为（ ） A3 B3 C3 D都不对 【考点】一元二次方程的定义 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是 2； （2）二次项系数不为 0； （3）是整式方程； （4）含有一个未知数据此即可得到 m27=2，m 30，即可求得 m 的范围 【解答】解：由一元二次方程的定义可知 ， 解得 m=3 故选 C 【点评】要特别注意二次项系数 m30 这一条件，
10、当 m3=0 时，上面的方程就 是一元一次方程了 2下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（ ） A（x+1） 2=2（x+1） B Cax 2+bx+c=0 Dx 2+2x=x21 【考点】一元二次方程的定义 【分析】利用一元二次方程的定义判断即可 【解答】解：下列方程中，关于 x 的一元二次方程是（ x+1） 2=2（x+1）， 故选 A 【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解 本题的关键 3有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 45 场，每两队之间都比赛一场，则下 列方程中符合题意的是（ ） A x（x 1）=45 B x（x +1）=45 Cx（x1）=4
11、5 Dx（x +1）=45 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】先列出 x 支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛 x（x 1）场， 再根据题意列出方程为 x（x1）=45 【解答】解：有 x 支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， 共比赛场数为 x（x 1）， 共比赛了 45 场， x（x1）=45 ， 故选 A 【点评】此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽 象出相等关系 4抛物线 y=2（x3） 2+1 的顶点坐标是（ ） A（3，1 ） B（3， 1） C（ 3，1） D（3，1） 【考点】二次函数的性质 【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶
12、点坐标 【解答】解：由 y=2（x3 ） 2+1，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为 （3，1） 故选：A 【点评】此题考查二次函数的性质，解析式化为顶点式 y=a（xh） 2+k，顶点坐 标是（h，k ），对称轴是 x=h 5一次函数 y=ax+c（a0）与二次函数 y=ax2+bx+c（a0）在同一平面直角坐 标系中的图象可能是（ ） A B C D 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象 【分析】本题可先由一次函数 y=ax+c 图象得到字母系数的正负，再与二次函数 y=ax2+bx+c 的图象相比较看是否一致 【解答】解：A、一次函数 y=ax+c 与 y 轴交点应为（ 0，c），二
13、次函数 y=ax2+bx+c 与 y 轴交点也应为（ 0，c），图象不符合，故本选项错误； B、由抛物线可知，a0，由直线可知，a0，a 的取值矛盾，故本选项错误； C、由抛物线可知，a0 ，由直线可知，a0，a 的取值矛盾，故本选项错误； D、由抛物线可知，a 0，由直线可知，a0，且抛物线与直线与 y 轴的交点相 同，故本选项正确 故选 D 【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一 种很好的方法 6下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形 【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断 【解答】解：A、是中心对称图形，故本
14、选项正确； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、不是中心对称图形，故本选项错误； 故选：A 【点评】本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的 关键是旋转 180后能够重合 7如图，四边形 ABCD 内接于O，若四边形 ABCO 是平行四边形，则ADC 的大小为（ ） A45 B50 C60 D75 【考点】圆内接四边形的性质；平行四边形的性质；圆周角定理 【分析】设ADC 的度数= ，ABC 的度数=，由题意可得 ，求 出 即可解决问题 【解答】解：设ADC 的度数= ，ABC 的度数=； 四边形 ABCO 是平行四边形， ABC
15、=AOC； ADC= ，AOC=；而 +=180， ， 解得：=120，=60，ADC=60， 故选 C 【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵 活运用 8一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽 0.8 米，最深处水深 0.2 米，则此输水管道的直径是（ ） A0.5 B1 C2 D4 【考点】垂径定理的应用 【分析】根据题意知，已知弦长和弓形高，求半径（直径）根据垂径定理和 勾股定理求解 【解答】解：设半径为 r，过 O 作 OEAB 交 AB 于点 D，连接 OA、OB， 则 AD= AB= 0.8=0.4 米， 设 OA=r，则 OD
16、=rDE=r0.2， 在 RtOAD 中， OA2=AD2+OD2，即 r2=0.42+（r 0.2） 2，解得 r=0.5 米， 故此输水管道的直径=2r=20.5=1 米 故选 B 【点评】本题考查的是垂径定理，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算 的问题，常把半弦长，半圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然 后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线 9下列事件中，必然发生的事件是（ ） A明天会下雨 B小明数学考试得 99 分 C今天是星期一，明天就是星期二 D明年有 370 天 【考点】随机事件 【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是 1 的事件 【
17、解答】解：A、B、D 选项为不确定事件，即随机事件，故错误； 一定发生的事件只有第三个答案 C、今天是星期一，明天就是星期二 故选 C 【点评】关键是理解必然事件就是一定发生的事件；解决此类问题，要学会关 注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的 数学素养 10如图，过反比例函数 y= （x0）的图象上一点 A 作 ABx 轴于点 B，连 接 AO，若 SAOB =2，则 k 的值为（ ） A2 B3 C4 D5 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义；反比例函数的性质 【分析】根据点 A 在反比例函数图象上结合反比例函数系数 k 的几何意义，即 可得出关于 k 的
18、含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出 k 值，再结合反比 例函数在第一象限内有图象即可确定 k 值 【解答】解：点 A 是反比例函数 y= 图象上一点，且 ABx 轴于点 B， S AOB = |k|=2， 解得：k=4 反比例函数在第一象限有图象， k=4 故选 C 【点评】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数 k 的几何意义，解 题的关键是找出关于 k 的含绝对值符号的一元一次方程本题属于基础题，难 度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数系数 k 的几何意义找出关于 k 的 含绝对值符号的一元一次方程是关键 二填空题（共 10 小题，每题 3 分，共 30 分） 11已知关于
19、x 的方程 x24x+a=0 有两个相同的实数根，则 a 的值是 4 【考点】根的判别式 【分析】若一元二次方程有两个相等实数根，则根的判别式=b 24ac=0，建立 关于 a 的方程，求出 a 的值 【解答】解：由题意得：=0， 则：（4） 241a=0， 解得：a=4， 故答案为：4 【点评】此题主要考查了利用一元二次方程根的判别式（=b 24ac）判断方程 的根的情况关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）=0 方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 12抛物线 y=2x26x+10 的顶点坐标是 （ ， ） 【考点】二次函数的
20、性质 【分析】用配方法将抛物线的一般式转化为顶点式，直接写出顶点坐标 【解答】解：y=2x 26x+10=2（x ） 2+ ， 顶点坐标为（ ， ） 故本题答案为：（ ， ） 【点评】本题考查了抛物线解析式的变形及性质顶点式 y=a（xh） 2+k，当 a 0 时，抛物线开口向上，当 a0 时，抛物线开口向下；顶点坐标为 （h，k ），对称轴为 x=h 13抛物线的图象如图，则它的函数表达式是 y=x 24x+3 当 x 1，或 x3 时，y0 【考点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3），可设交 点式用待定系数法得到二次函数的解析式
21、y0 时，求 x 的取值范围，即求抛物线落在 x 轴上方时所对应的 x 的值 【解答】解：观察可知抛物线的图象经过（1，0），（3，0），（0，3）， 由“交点式”，得抛物线解析式为 y=a（x1）（x3）， 将（0，3）代入， 3=a（01）（03）， 解得 a=1 故函数表达式为 y=x24x+3 由图可知当 x1，或 x3 时，y0 【点评】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选 择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点 时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的 顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知
22、抛物线与 x 轴有两个 交点时，可选择设其解析式为交点式来求解 14如图，将 RtABC 绕直角顶点 A 顺时针旋转 90，得到ABC ，连结 BB， 若1=25，则C 的度数是 70 【考点】旋转的性质 【分析】根据旋转的性质可得 AB=AB，然后判断出 ABB是等腰直角三角形， 根据等腰直角三角形的性质可得ABB=45，再根据三角形的一个外角等于与 它不相邻的两个内角的和求出BCA，然后根据旋转的性质可得 C=BCA 【解答】解：RtABC 绕直角顶点 A 顺时针旋转 90得到ABC ， AB=AB， ABB是等腰直角三角形， ABB=45 ， ACB= 1+ABB=25+45=70， 由
23、旋转的性质得C=ACB=70 故答案为：70 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一 个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题 的关键 15如图，点 O 是ABC 的内切圆的圆心，若BAC=80，则BOC= 130 （填度数） 【考点】三角形的内切圆与内心 【分析】运用三角形内角和定理得出ABC+ACB 的度数，再根据点 O 是 ABC 的内切圆的圆心，得出OBC+OCB=50 ，从而得出答案 【解答】解：BAC=80， ABC+ACB=18080=100， 点 O 是ABC 的内切圆的圆心， BO，CO 分别为ABC ，BCA 的角平
24、分线， OBC +OCB=50， BOC=130 故答案为：130 【点评】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的内切圆与内心等知识 点的理解和掌握，能求出OBC+OCB 的度数是解此题的关键 16如图，半圆 O 的直径 AB=2，弦 CDAB，COD=90，则图中阴影部分的 面积为 【考点】扇形面积的计算 【分析】由 CDAB 可知，点 A、O 到直线 CD 的距离相等，结合同底等高的三 角形面积相等即可得出 SACD =SOCD ，进而得出 S 阴影 =S 扇形 COD，根据扇形的面积 公式即可得出结论 【解答】解：弦 CDAB， S ACD =SOCD ， S 阴影 =S 扇形 CO
25、D= = = 故答案为： 【点评】本题考查了扇形面积的计算以及平行线的性质，解题的关键是找出 S 阴影 =S 扇形 COD本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过分割图形 找出面积之间的关系是关键 17小燕抛一枚硬币 10 次，有 7 次正面朝上，当她抛第 11 次时，正面向上的 概率为 【考点】概率的意义 【分析】求出一次抛一枚硬币正面朝上的概率即可 【解答】解：抛硬币正反出现的概率是相同的，不论抛多少次出现正面或反 面的概率是一致的， 正面向上的概率为 故答案为： 【点评】本题考查的是概率的意义，注意抛硬币只有两种情况，每次抛出的概 率都是一致的，与次数无关 18一个不透明的盒子中
26、装有 3 个红球，2 个黄球和 1 个绿球，这些球除了颜 色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为 【考点】概率公式 【分析】由一个不透明的盒子中装有 3 个红球，2 个黄球和 1 个绿球，直接利 用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：一个不透明的盒子中装有 3 个红球，2 个黄球和 1 个绿球，这 些球除了颜色外无其他差别， 从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为： = 故答案为： 【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总 情况数之比 19反比例函数 的图象在第二、四象限，则 n 的取值范围为 n1 【考点】反比例函数的性质 【分析】由于反比例
27、函数 的图象在二、四象限内，则 n10，解得 n 的 取值范围即可 【解答】解：由题意得，反比例函数 的图象在二、四象限内， 则 n10 ， 解得 n1 故答案为 n1 【点评】本题考查了反比例函数的性质，重点是注意 y= （k 0）中 k 的取值， 当 k0 时，反比例函数的图象位于一、三象限；当 k0 时，反比例函数 的图象位于二、四象限 20反比例函数 y= 的图象过点 P（2，6），那么 k 的值是 12 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征：图象上的点（x，y）的横纵坐 标的积是定值 k，即 xy=k 即可算出 k 的值 【解答】解：反比例函
28、数 y= 的图象过点 P（2，6）， k=26=12， 故答案为：12 【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上 的点的横纵坐标的积应等于比例系数 三解答题（共 60 分） 21解方程：x 2+4x1=0 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】首先进行移项，得到 x2+4x=1，方程左右两边同时加上 4，则方程左边 就是完全平方式，右边是常数的形式，再利用直接开平方法即可求解 【解答】解：x 2+4x1=0 x 2+4x=1 x 2+4x+4=1+4 （x+2） 2=5 x=2 x 1=2+ ，x 2=2 【点评】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边；
29、 （2）把二次项的系数化为 1； （3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的 系数是 2 的倍数 22解方程：2（x3） 2=x29 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为 0， 两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程来求解 【解答】解：方程变形得：2（x3） 2（x+3 ）（x 3）=0 ， 分解因式得：（x3）（2x6x 3）=0， 解得：x 1=3， x2=9 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本 题的关键 23我
30、市“利民快餐店” 试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本 为 5 元，该店每天固定支出费用为 600 元（不含套餐成本）若每份售价不超 过 10 元，每天可销售 400 份；若每份售价超过 10 元，每提高 1 元，每天的销 售量就减少 40 份为了便于结算，每份套餐的售价 x（元）取整数，用 y（元） 表示该店日纯收入（日纯收入=每天的销售额套餐成本每天固定支出） （1）若每份套餐售价不超过 10 元 试写出 y 与 x 的函数关系式； 若要使该店每天的纯收入不少于 800 元，则每份套餐的售价应不低于多少元？ （2）该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日纯收入按此要
31、求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日纯收入为多少元？ 【考点】二次函数的应用 【分析】（1）利用每份套餐的成本为 5 元，该店每天固定支出费用为 600 元 （不含套餐成本），以及每份套餐售价不超过 10 元，每天可销售 400 份得出等 式求出即可； 由题意得 400（x5）600800，解出 x 的取值范围即可 （2）由题意可得 y 与 x 的函数关系式，由二次函数的性质即可得到每份套餐的 售价应定为多少元，并且此时日纯收入的钱数可计算得出 【解答】解：（1）y=400（x 5）600 依题意得：400（x5）600800，解得：x8.5， 5x10，且每份套餐的售价 x（元）取整数，
32、每份套餐的售价应不低于 9 元 （2）当 5x10 时，销量为 400（份），x=10， 日净收入最大为 y=400102600=1400 （元） 当 x10 时，y=（x 5） 400（x10）40 600=40（x 12.5） 2+1650， 又x 只能为整数，当 x=12 或 13 时，日销售利润最大， 但为了吸引顾客，提高销量，取 x=12， 此时的日利润为：40（12 12.5） 2+1650=1640 元； 答：每份套餐的售价为 12 元时，日纯收入为 1640 元 【点评】本题考查的是一次函数的实际应用和二次函数的应用以及分段函数的 有关知识，解题的关键是根据题目中的等量关系列出
33、函数关系 24ABC 在平面直角坐标系中的位置如图，其中每个小正方形的边长为 1 个 单位长度 （1）按要求作图： 画出ABC 关于原点 O 的中心对称图形A 1B1C1； 画出将ABC 绕点 C 顺时针旋转 90得到A 2B2C2 （2）回答下列问题： A 1B1C1 中顶点 A1 坐标为 （2，4） ； 若 P（a ，b）为ABC 边上一点，则按照（1）中作图，点 P 对应的点 P1 的 坐标为 （a，b） 【考点】作图-旋转变换 【分析】（1）首先找出对应点的位置，再顺次连接即可； （2）根据图形可直接写出坐标；根据关于原点对称点的坐标特点可得答 案 【解答】解：（1）如图所示： （2）
34、根据图形可得 A1 坐标为（2，4）； 点 P1 的坐标为（a，b） 故答案为：（2，4）；（a， b） 【点评】此题主要考查了作图，旋转变换，关键是正确找出对应点的位置 25（12 分）（2014东台市二模）如图，已知 MN 是O 的直径，直线 PQ 与 O 相切于 P 点，NP 平分 MNQ （1）求证：NQPQ； （2）若O 的半径 R=2，NP= ，求 NQ 的长 【考点】切线的性质 【分析】（1）连结 OP，根据切线的性质由直线 PQ 与O 相切得 OPPQ，再 由 OP=ON 得到ONP=OPN，由 NP 平分MNQ 得到ONP=QNP，利用等 量代换得OPN= QNP ，根据平行
35、线的判定得 OPNQ ，所以 NQPQ； （2）连结 PM，根据圆周角定理由 MN 是O 的直径得到MPN=90，易证得 RtNMP RtNPQ，然后利用相似比可计算出 NQ 的长 【解答】（1）证明：连结 OP，如图， 直线 PQ 与 O 相切， OPPQ， OP=ON， ONP=OPN， NP 平分MNQ， ONP=QNP， OPN=QNP， OPNQ， NQPQ； （2）解：连结 PM，如图， MN 是O 的直径， MPN=90， NQPQ， PQN=90 ， 而MNP=QNP ， RtNMP RtNPQ， = ，即 = ， NQ=3 【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点
36、的半径也考查了 圆周角定理和相似三角形的判定与性质 26杭州某网站调查，2014 年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、 环保、反腐及其它共五类根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下： 根据以上信息解答下列问题： （1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据； （2）若杭州市约有 900 万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？ （3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备 从这四人中随机抽取两人进行座谈，则抽取的两人恰好是甲和乙的概率为 【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图 【分析】（1）根据关注消费的人数是 420 人
37、，所占的比例式是 30%，即可求得 总人数，然后利用总人数乘以关注教育的比例求得关注教育的人数； （2）利用总人数乘以对应的百分比即可； （3）利用列举法即可求解即可 【解答】解：（1）调查的总人数是：42030%=1400（人）， 关注教育的人数是：140025%=350（人） ； （2）900 10%=90 万人； （3）画树形图得： 则 P（抽取的两人恰好是甲和乙）= = 故答案为： 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从 不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示 出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小 27如图
38、，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= 的图象交于点 A2， 5 C5，n，交 y 轴于点 B，交 x 轴于点 D （1）求反比例函数 y= 和一次函数 y=kx+b 的表达式； （2）连接 OA，OC求AOC 的面积 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】（1）把 A（2，5）代入 y= 求得 m 的值，然后求得 C 的坐标，利用 待定系数法求得直线的解析式； （2）首先求得 C 的坐标，根据 SAOC =SAOB +SBOC 即可求解 【解答】解：（1）把 A（ 2，5）代入 y= 得：5= ， 解得：m=10 ， 则反比例函数的解析式是：y= ， 把 x=5 代入，
39、得：y= =2， 则 C 的坐标是（5，2 ） 根据题意得： ， 解得： ， 则一次函数的解析式是：y=x 3 （2）在 y=x3 中，令 x=0，解得：y=3 则 B 的坐标是（0，3） OB=3， 点 A 的横坐标是2，C 的横坐标是 5 S AOC =SAOB +SBOC = OB25+ OB5= 37= 【点评】本题综合考查一次函数与反比例函数的图象与性质，利用反比例函数 和一次函数的知识求三角形的面积，体现了数形结合的思想 28（12 分）（2016滨州）如图，已知抛物线 y= x2 x+2 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C （1）求点 A，B，C 的坐标； （2）
40、点 E 是此抛物线上的点，点 F 是其对称轴上的点，求以 A，B ，E，F 为顶 点的平行四边形的面积； （3）此抛物线的对称轴上是否存在点 M，使得 ACM 是等腰三角形？若存在， 请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】二次函数综合题 【分析】（1）分别令 y=0，x=0，即可解决问题 （2）由图象可知 AB 只能为平行四边形的边，分 E 点为抛物线上的普通点和顶 点 2 种情况讨论，即可求出平行四边形的面积 （3）分 A、C 、M 为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题 【解答】解：（1）令 y=0 得 x2 x+2=0， x 2+2x8=0， x=4 或 2， 点 A 坐
41、标（2，0），点 B 坐标（4，0）， 令 x=0，得 y=2，点 C 坐标（0，2） （2）由图象AB 为平行四边形的边时， AB=EF=6，对称轴 x=1， 点 E 的横坐标为7 或 5， 点 E 坐标（7， ）或（5， ），此时点 F（1， ）， 以 A，B，E，F 为顶点的平行四边形的面积=6 = 当点 E 在抛物线顶点时，点 E（1， ），设对称轴与 x 轴交点为 M，令 EM 与 FM 相等，则四边形 AEBF 是菱形，此时以 A，B，E，F 为顶点的平行四边形 的面积= 6 = （3）如图所示，当 C 为等腰三角形的顶角的顶点时，CM 1=CA，CM 2=CA，作 M1NOC 于 N， 在 RTCM 1N 中，CN= = ， 点 M1 坐标（1，2 + ），点 M2 坐标（1，2 ） 当 M3 为等腰三角形的顶角的顶点时，直线 AC 解析式为 y=x+2， 线段 AC 的垂直平分线为 y=x， 点 M3 坐标为（1， 1） 当点 A 为等腰三角形的顶角的顶点的三角形不存在
