1、2017-2018 学年四川省南充市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1方程5x 2=1 的一次项系数是（ ） A3 B1 C1 D0 2下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 3用配方法解方程 x28x+11=0，则方程可变形为（ ） A （x +4） 2=5 B （x 4） 2=5 C （x +8） 2=5 D （x 8） 2=5 4下列事件中必然发生的事件是（ ） A一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等 B不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式 C 200 件产品中有 5 件次品，从中任意抽
2、取 6 件，至少有一件是正品 D随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数 5已知圆锥的底面半径是 3，母线长为 6，则该圆锥侧面展开后所得扇形的圆心角为 （ ） A60 B90 C120 D180 6已知 m 是方程 x2x1=0 的一个根，则代数式 m2m 的值等于（ ） A 1 B0 C1 D2 7将数字“6”旋转 180，得到数字“9”；将数字“9” 旋转 180，得到数字“6”现将数字 “69”旋转 180，得到的数字是（ ） A96 B69 C66 D99 8对称轴是直线 x=2 的抛物线是（ ） Ay= x2+2 By=x 2+2 Cy= （x+2） 2 Dy=4 （x2） 2
3、9 “圆材埋壁” 是我国古代九章算术中的一个问题， “今有圆材，埋在壁中，不知大小， 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图， CD 为O 的直径，弦 ABCD ，垂足为 E，CE=1 寸，AB=10 寸，求直径 CD 的长” 依题意，CD 长为（ ） A 寸 B13 寸 C25 寸 D26 寸 10已知二次函数 y=ax2+bx+c（a、b、c 都是常数，且 a0）的图象与 x 轴交于点 （2，0） 、 （x 1，0） ，且 1x 12，与 y 轴的正半轴的交点在（ 0，2）的下方，下列 结论：4a2b+c=0 ； ab0；2a+c0； 2a b+10其中正
4、确结论的个数是 （ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11已知3 是一元二次方程 x24x+c=0 的一个根，则方程的另一个根是 12在一个不透明的盒子中装有 12 个白球，若干个黄球，这些球除颜色外都相同若 从中随机摸出一个球是白球的概率是 ，则黄球的个数为 个 13抛物线 y=x22x+m，若其顶点在 x 轴上，则 m= 14如图，正方形 ABCD 中，分别以 B、D 为圆心，以正方形的边长 a 为半径画弧，形 成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积为 15四边形 ABCD 为圆 O 的内接四边形，已知BOD=100 ，则BCD=
5、 16如图，在 RtABC 中，ABC=90，AB=BC= ，将ABC 绕点 C 逆时针旋转 60， 得到MNC，连接 BM，则 BM 的长是 三、解答题（共 9 小题，共 72 分） 17 （6 分）解方程：3（x 4） 2=2（x4） 18 （6 分）一个不透明的袋中中装有大小、质地完全相同的 3 只球，球上分别标有 2，3，5 三个数字从这个袋子中任意摸一只球，记下所标数字，不放回，再从这 个袋子中任意摸一只球，记下所标数字将第一次记下的数字作为十位数字，第二 次记下的数字作为个位数字，组成一个两位数求所组成的两位数是 5 的倍数的概 率 （请用”画树状图“或” 列表“的方法写出过程）
6、19 （8 分）关于 x 的方程 mx2+（m+2）x + =0 有两个不相等的实数根 （1）求 m 的取值范围 （2）是否存在实数 m，使方程的两个实数根的倒数和等于 0？若存在，求出 m 的值； 若不存在，说明理由 20 （8 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立直角 坐标系后，ABC 的顶点均在格点上，点 C 的坐标为（4，1） （1）把ABC 向上平移 5 个单位后得到对应的 A1B1C1，画出A 1B1C1，并写出点 B1 的坐标； （2）以原点 O 为对称中心，画出 A 1B1C1，关于原点 O 对称的A 2B2C2，并写出 B2 的 坐标 21 （
7、8 分）已知：如图，O 的直径 AB 与弦 CD（不是直径）交于点 F，若 FB=2， CF=FD=4，求 AC 的长 22 （8 分）我市 2015 年为做好“精准扶贫”，投入资金 1500 万元用于某镇的异地安置， 并规划投入资金逐年增加，2017 年在 2015 年的基础上增加投入资金 1875 万元 （1）从 2015 年到 2017 年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ （2）在 2017 年的具体实施中，该镇计划投入资金不低于 500 万元用于优先搬迁户的 奖励，规定前 100 户（含第 100 户）每户奖励 2 万元，100 户以后每户奖励 5000 元， 试求今年该镇
8、最多有多少户享受到优先搬迁奖励？ 23 （8 分）已知二次函数 y=x2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 4 y 5 2 1 2 n （1）表中 n 的值为 ； （2）当 x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？ （3）若 A（m 1，y 1） ，B（m +1，y 2）两点都在该函数的图象上，且 m2，试比较 y1 与 y2 的大小 24 （10 分）如图，AB 是 O 的直径，CD 与O 相切于点 C，与 AB 的延长线交于点 D，DE AD 且与 AC 的延长线交于点 E （1）求证：DC=DE； （2）若 ，AB=3，求 BD 的长 25
9、 （10 分）如图，顶点 M 在 y 轴上的抛物线与直线 y=x+1 相交于 A、B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 2，连结 AM、BM （1）求抛物线的函数关系式； （2）判断ABM 的形状，并说明理由； （3）把抛物线与直线 y=x 的交点称为抛物线的不动点若将（1）中抛物线平移，使 其顶点为（m，2m） ，当 m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有两个不动点 2017-2018 学年四川省南充市九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1方程5x 2=1 的一次项系数是（ ） A3 B1 C1 D0
10、 【分析】方程整理为一般形式，找出一次项系数即可 【解答】解：方程整理得：5x 21=0， 则一次项系数为 0， 故选：D 【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是： ax2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a0）特别要注意 a0 的条件这是在做题过程中 容易忽视的知识点在一般形式中 ax2 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项 2下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念即可解答 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错
11、误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误 故选：C 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻 找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 后两部分重合 3用配方法解方程 x28x+11=0，则方程可变形为（ ） A （x +4） 2=5 B （x 4） 2=5 C （x +8） 2=5 D （x 8） 2=5 【分析】把常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，把方程变化为左边是 完全平方的形式 【解答】解：
12、x 28x+11=0， x28x=11， x28x+16=11+16， （x4） 2=5 故选：B 【点评】本题考查的是用配方法解方程，把方程的左边配成完全平方的形式，右边是 非负数 4下列事件中必然发生的事件是（ ） A一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等 B不等式的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式 C 200 件产品中有 5 件次品，从中任意抽取 6 件，至少有一件是正品 D随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数 【分析】直接利用随机事件、必然事件、不可能事件分别分析得出答案 【解答】解：A、一个图形平移后所得的图形与原来的图形不全等，是不可能事件，故 此选项错误； B、不等式
13、的两边同时乘以一个数，结果仍是不等式，是随机事件，故此选项错误； C、 200 件产品中有 5 件次品，从中任意抽取 6 件，至少有一件是正品，是必然事件， 故此选项正确； D、随意翻到一本书的某页，这页的页码一定是偶数，是随机事件，故此选项错误； 故选：C 【点评】此题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件，正确把握相关定义是解 题关键 5已知圆锥的底面半径是 3，母线长为 6，则该圆锥侧面展开后所得扇形的圆心角为 （ ） A60 B90 C120 D180 【分析】求得圆锥的底面周长即为侧面扇形的弧长，利用弧长公式即可求得扇形的圆 心角 【解答】解：圆锥的底面周长为：23=6 ， 那么
14、=6， 解得 n=180 故选：D 【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于 底面周长 6已知 m 是方程 x2x1=0 的一个根，则代数式 m2m 的值等于（ ） A 1 B0 C1 D2 【分析】将 x=m 代入方程即可求出所求式子的值 【解答】解：将 x=m 代入方程得： m2m1=0， m2m=1 故选：C 【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知 数的值 7将数字“6”旋转 180，得到数字“9”；将数字“9” 旋转 180，得到数字“6”现将数字 “69”旋转 180，得到的数字是（ ） A96 B69 C66 D
15、99 【分析】直接利用中心对称图形的性质结合 69 的特点得出答案 【解答】解：现将数字“69”旋转 180，得到的数字是： 69 故选：B 【点评】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确想象出旋转后图形是解题关键 8对称轴是直线 x=2 的抛物线是（ ） Ay= x2+2 By=x 2+2 Cy= （x+2） 2 Dy=4 （x2） 2 【分析】由抛物线的顶点式可得出答案 【解答】解： 抛物线 y=ax2+c 的对称轴为 y 轴， A、B 不正确； 抛物线 y=a（xh） 2 的对称轴为 x=h， 抛物线 y= （x+2） 2 的对称轴为 x=2， 故选：C 【点评】本题主要考查二次函数的性质
16、，掌握不同的解析式所对称的抛物线的对称轴 是解题的关键 9 “圆材埋壁” 是我国古代九章算术中的一个问题， “今有圆材，埋在壁中，不知大小， 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的数学语言表示是：“如图， CD 为 O 的直径，弦 ABCD ，垂足为 E，CE=1 寸， AB=10 寸，求直径 CD 的长” 依题意，CD 长为（ ） A 寸 B13 寸 C25 寸 D26 寸 【分析】连接 OA设圆的半径是 x 尺，在直角OAE 中，OA=x ，OE=x1，在直角 OAE 中利用勾股定理即可列方程求得半径，进而求得直径 CD 的长 【解答】解：连接 OA设圆的半径是 x 尺，在直角
17、OAE 中，OA=x ，OE=x1， OA 2=OE2+AE2， 则 x2=（x1） 2+25， 解得：x=13 则 CD=213=26（cm ） 故选：D 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确作出辅助线是关键 10已知二次函数 y=ax2+bx+c（a、b、c 都是常数，且 a0）的图象与 x 轴交于点 （2，0） 、 （x 1，0） ，且 1x 12，与 y 轴的正半轴的交点在（ 0，2）的下方，下列 结论：4a2b+c=0 ； ab0；2a+c0； 2a b+10其中正确结论的个数是 （ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据待定系数法、方程根与系数的关系等知识和
18、数形结合能力仔细分析即可 解 【解答】解：由 y=ax2+bx+c 与 X 轴的交点坐标为（2，0）得： a（ 2） 2+b（2 ）+c=0，即 4a2b+c=0， 所以正确； 由图象开口向下知 a0， 由 y=ax2+bx+c 与 X 轴的另一个交点坐标为（ x1，0 ） ，且 1x 12， 则该抛物线的对称轴为 ，即 1， 由 a0，两边都乘以 a 得：ba， a 0 ，对称轴 x= 0， b0， a b 0 故正确； 由一元二次方程根与系数的关系知 ，结合 a0 得 2a+c0，所以结论正确， 由 4a2b+c=0 得 ，而 0c2， ， 1 2a b 02ab+10，所以结论正确 故填
19、正确结论的个数是 4 个 故选：D 【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与 X 轴的交点，二次 函数与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的符 号是解题的关键 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11已知3 是一元二次方程 x24x+c=0 的一个根，则方程的另一个根是 7 【分析】设另一根为 a，直接利用根与系数的关系可得到关于 a 的方程，则可求得答 案 【解答】解： 设方程的另一根为 a， 3 是一元二次方程 x24x+c=0 的一个根， 3 +a=4，解得 a=7， 故答案为：7 【点评】本题有要考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次
20、方程的两根之和等于 、 两根之积等于 是解题的关键 12在一个不透明的盒子中装有 12 个白球，若干个黄球，这些球除颜色外都相同若 从中随机摸出一个球是白球的概率是 ，则黄球的个数为 24 个 【分析】首先设黄球的个数为 x 个，根据题意得： = ，解此分式方程即可求得答 案 【解答】解：设黄球的个数为 x 个， 根据题意得： = ， 解得：x=24 ， 经检验：x=24 是原分式方程的解； 黄球的个数为 24 故答案为：24； 【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数 之比 13抛物线 y=x22x+m，若其顶点在 x 轴上，则 m= 1 【分析】根据抛物线
21、 y=x22x+m，若其顶点在 x 轴上可知其顶点纵坐标为 0，故可得出 关于 m 的方程，求出 m 的值即可 【解答】解：抛物线 y=x22x+m，若其顶点在 x 轴上， =0，解得 m=1 故答案为：1 【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意得出关于 m 的方程是解答此题的关 键 14如图，正方形 ABCD 中，分别以 B、D 为圆心，以正方形的边长 a 为半径画弧，形 成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的面积为 （ 1）a 2 【分析】由图可知，阴影部分的面积是两个圆心角为 90，且半径为 a 的扇形的面积与 正方形的面积的差，可据此求出阴影部分的面积 【解答】解：由题意可得出
22、：S 阴影 =2S 扇形 S 正方形 =2 a2=（ 1）a 2 故答案为：（ 1）a 2 【点评】本题利用了扇形的面积公式，正方形的面积公式求解，得出 S 阴影 =2S 扇形 S 正方 形 是解题关键 15四边形 ABCD 为圆 O 的内接四边形，已知BOD=100 ，则BCD= 130或 50 【分析】先根据圆心角的度数等于它所对弧的度数得到BOD=100，再根据圆周角定 理得BCD= BOD=50，然后根据圆内接四边形的性质求解 【解答】解：如图 弧 BAD 的度数为 100， BOD=100 ， BCD= BOD=50， BAD=180 ACD=130 同理，当点 A 是优弧上时，BA
23、D=50 故答案为：130或 50 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形 的对边和相等 16如图，在 RtABC 中，ABC=90，AB=BC= ，将ABC 绕点 C 逆时针旋转 60， 得到MNC，连接 BM，则 BM 的长是 +1 【分析】如图，连接 AM，由题意得：CA=CM ，ACM=60 ，得到ACM 为等边三角形 根据 AB=BC，CM=AM ，得出 BM 垂直平分 AC，于是求出 BO= AC=1，OM=CMsin60= ，最终得到答案 BM=BO+OM=1+ 【解答】解：如图，连接 AM， 由题意得：CA=CM ，ACM=60， ACM 为
24、等边三角形， AM=CM，MAC=MCA=AMC=60 ； ABC=90 ，AB=BC= ， AC=2=CM=2， AB=BC，CM=AM， BM 垂直平分 AC， BO= AC=1，OM=CMsin60= ， BM=BO+OM=1+ ， 故答案为：1+ 【点评】本题考查了图形的变换旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和 性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键 三、解答题（共 9 小题，共 72 分） 17 （6 分）解方程：3（x 4） 2=2（x4） 【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可 【解答】解：3（x4） 2=2（x 4）
25、， 3（x 4） 2+2（x4）=0， （x4）3（x4）+2=0， x4=0， 3（x 4）+2=0， x1=4，x 2= 【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的 关键，注意：解一元二次方程的方法有因式分解法、公式法、配方法、直接开平方 法 18 （6 分）一个不透明的袋中中装有大小、质地完全相同的 3 只球，球上分别标有 2，3，5 三个数字从这个袋子中任意摸一只球，记下所标数字，不放回，再从这 个袋子中任意摸一只球，记下所标数字将第一次记下的数字作为十位数字，第二 次记下的数字作为个位数字，组成一个两位数求所组成的两位数是 5 的倍数的概 率 （请用”
26、画树状图“或” 列表“的方法写出过程） 【分析】列表得出所有等可能的结果，找出组成的两位数是 5 的倍数的情况，即可求 出所求的概率 【解答】解：列表得： 2 3 5 2 32 52 3 23 53 5 25 35 所有等可能的情况有 6 种，其中组成两位数是 5 的倍数的情况有 2 种， 则所组成的两位数是 5 的倍数的概率为 = 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重 复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两 步或两步以上完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 19 （8 分）关于 x 的方程 mx2+（m
27、+2）x + =0 有两个不相等的实数根 （1）求 m 的取值范围 （2）是否存在实数 m，使方程的两个实数根的倒数和等于 0？若存在，求出 m 的值； 若不存在，说明理由 【分析】 （1）由二次项系数非零及根的判别式0，即可得出关于 m 的一元一次不 等式组，解之即可得出 m 的取值范围； （2）假设存在，设方程的两根分别为 x1、x 2，根据根与系数的关系结合 + =0，即 可得出关于 m 的方程，解之即可得出 m 的值，再根据（1）的结论即可得出不存在 实数 m，使方程的两个实数根的倒数和等于 0 【解答】解：（1）关于 x 的方程 mx2+（m+2）x+ =0 有两个不相等的实数根，
28、， 解得：m1 且 m0 （2）假设存在，设方程的两根分别为 x1、x 2，则 x1+x2= ，x 1x2= + = = =0， m=2 m1 且 m0， m=2 不符合题意，舍去 假设不成立，即不存在实数 m，使方程的两个实数根的倒数和等于 0 【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）根据二次 项系数非零结合根的判别式0，找出关于 m 的一元一次不等式组；（2）根据根 与系数的关系结合 + =0，列出关于 m 的方程 20 （8 分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，在建立直角 坐标系后，ABC 的顶点均在格点上，点 C 的坐标为（4，1）
29、 （1）把ABC 向上平移 5 个单位后得到对应的 A1B1C1，画出A 1B1C1，并写出点 B1 的坐标； （2）以原点 O 为对称中心，画出 A 1B1C1，关于原点 O 对称的A 2B2C2，并写出 B2 的 坐标 【分析】 （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用关于原点对称点的性质进而得出答案 【解答】解：（1）如图所示： A 1B1C1，即为所求，点 B1 的坐标为：（5，1） ； （2）如图所示： A 2B2C2，即为所求，点 B2 的坐标为：（5， 1） 【点评】此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键 21 （8 分）已知
30、：如图，O 的直径 AB 与弦 CD（不是直径）交于点 F，若 FB=2， CF=FD=4，求 AC 的长 【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求出答案 【解答】解：连接 BC， AB 是直径， CF=FD=4， ABCD， ACB=90 A=BCF ， BCF CAF， = ， CF 2=AFBF， 设 AF=x， 16=2x， x=8， 由勾股定理可知：AC=4 【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属 于中等题型 22 （8 分）我市 2015 年为做好“精准扶贫”，投入资金 1500 万元用于某镇的异地安置， 并规划投入资金逐年增加，2017 年在 2
31、015 年的基础上增加投入资金 1875 万元 （1）从 2015 年到 2017 年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ （2）在 2017 年的具体实施中，该镇计划投入资金不低于 500 万元用于优先搬迁户的 奖励，规定前 100 户（含第 100 户）每户奖励 2 万元，100 户以后每户奖励 5000 元， 试求今年该镇最多有多少户享受到优先搬迁奖励？ 【分析】 （1）设从 2015 年到 2017 年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为 x，根 据 2015 年及 2017 年投入的异地安置资金，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之 取其正值即可得出结论； （2）设今年该
32、镇有 y 户享受到优先搬迁奖励，根据 10020000+超出 100 户的数量 5000投入资金，即可得出关于 y 的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可 得出结论 【解答】解：（1）设从 2015 年到 2017 年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为 x， 根据题意得：1500（1+x） 2=1500+1875， 解得：x 1=0.5=50%，x 2=2.5（不合题意，舍去） 答：从 2015 年到 2017 年，该镇投入异地安置资金的年平均增长率为 50% （2）设今年该镇有 y 户享受到优先搬迁奖励， 根据题意得：10020000+（y 100）50005000000， 解得：y7
33、00 答：今年该镇最多有 700 户享受到优先搬迁奖励 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量间的关系，正确列出 一元一次不等式 23 （8 分）已知二次函数 y=x2+bx+c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表： x 0 1 2 3 4 y 5 2 1 2 n （1）表中 n 的值为 5 ； （2）当 x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？ （3）若 A（m 1，y 1） ，B（m +1，y 2）两点都在该函数的图象上，且 m2，试比较 y1 与 y2 的大小 【分析】 （1）根
34、据表中的数据得出对称轴是直线 x=2，根据对称点的特点得出即可； （2）根据表得出图象有最小值，根据顶点坐标得出即可； （3）根据二次函数的性质得出即可 【解答】解：（1）根据表可知：对称轴是直线 x=2， 点（0，5）和（4，n）关于直线 x=2 对称， n=5， 故答案为：5； （2）根据表可知：顶点坐标为（2，1） ， 即当 x=2 时，y 有最小值，最小值是 1； （3）函数的图象开口向上，顶点坐标为（2，1） ，对称轴是直线 x=2， 当 m2 时，点 A（m 1，y 1） ，B （m+1，y 2）都在对称轴的右侧， y 随 x 的增大而增 大， mm +1， y 1y 2 【点评】
35、本题考查了二次函数的图象和性质，能根据表中的熟记得出正确信息是解此 题的关键 24 （10 分）如图，AB 是 O 的直径，CD 与O 相切于点 C，与 AB 的延长线交于点 D，DE AD 且与 AC 的延长线交于点 E （1）求证：DC=DE； （2）若 ，AB=3，求 BD 的长 【分析】 （1）利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出DCE=E，进而得出答案； （2）设 BD=x，则 AD=AB+BD=3+x，OD=OB +BD=1.5+x，利用勾股定理得出 BD 的长 【解答】 （1）证明：连接 OC， CD 是O 的切线， OCD=90， ACO +DCE=90 ， 又EDAD，ED
36、A=90， EAD+E=90， OC=OA，ACO=EAD， 故DCE=E， DC=DE， （2）设 BD=x，则 AD=AB+BD=3+x，OD=OB +BD=1.5+x， 在 RtEAD 中， = ， ED= AD= （3+x） ， 由（1）知，DC= （3+x） ， 在 RtOCD 中，OC 2+CD2=DO2， 则 1.52+ （3+x） 2=（1.5+x） 2， 解得：x 1=3（舍去） ，x 2=1， 故 BD=1 【点评】此题主要考查了切线的性质以及以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识， 熟练应用切线的性质得出OCD=90 是解题关键 25 （10 分）如图，顶点 M 在 y 轴
37、上的抛物线与直线 y=x+1 相交于 A、B 两点，且点 A 在 x 轴上，点 B 的横坐标为 2，连结 AM、BM （1）求抛物线的函数关系式； （2）判断ABM 的形状，并说明理由； （3）把抛物线与直线 y=x 的交点称为抛物线的不动点若将（1）中抛物线平移，使 其顶点为（m，2m） ，当 m 满足什么条件时，平移后的抛物线总有两个不动点 【分析】 （1）由条件可分别求得 A、B 的坐标，设出抛物线解析式，利用待定系数法可 求得抛物线解析式； （2）结合（1）中 A、B、C 的坐标，根据勾股定理可分别求得 AB、AM、BM ，可得到 AB2+AM2=BM2，可判定ABM 为直角三角形；
38、（3）由条件可写出平移后的抛物线的解析式，联立 y=x，可得到关于 x 的一元二次方 程，根据根的判别式可求得 m 的范围 【解答】解：（1）A 点为直线 y=x+1 与 x 轴的交点， A（1 ，0） ， 又 B 点横坐标为 2，代入 y=x+1 可求得 y=3， B（2，3） ， 抛物线顶点在 y 轴上， 可设抛物线解析式为 y=ax2+c， 把 A、B 两点坐标代入可得 ， 解得 ， 抛物线解析式为 y=x21； （2）ABM 为直角三角形理由如： 由（1）抛物线解析式为 y=x21 可知 M 点坐标为（0，1） ， AM= ，AB= =3 ，BM= =2 ， AM 2+AB2=2+18
39、=20=BM2， ABM 为直角三角形； （3）当抛物线 y=x21 平移后顶点坐标为（m，2m）时，其解析式为 y=（xm） 2+2m， 即 y=x22mx+m2+2m， 联立 y=x，可得 ， 消去 y 整理可得 x2（2m+1）x+m 2+2m=0， 平移后的抛物线总有不动点， 方程 x2（2m+1）x+m 2+2m=0 有两个不等的实数根， 0，即（2m+1） 24（m 2+2m）0， 解得 m ， 即当 m 时，平移后的抛物线总有两个不动点 【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、勾 股定理及其逆定理、一元二次方程等知识点在（1）中确定出 A、B 两点的坐标是 解题的关键，在（2）中分别求得 AB、AM、BM 的长是解题的关键，在（3）中确定 出抛物线总有两个不动点的条件是解题的关键本题考查知识点较为基础，难度适 中
