1、1 静安区 2011学年第一学期期末教学质量检测 高三年级数学试卷（文） （本试卷满分 150分 考试时间 120分钟） 2012.1 考生注意： 1 本试卷包括试题纸和答题纸两部分 2 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题 3 可使用符合规定的计算器答题 一、填空题（本大题满分 56分）本大题共有 14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果， 每个空格填对得 4分，否则一律得零分 1. 底面半径为 5cm、高为 10cm的圆柱的体积为 cm 3. 2不等式 的解集为 .01x 3. 掷一颗六个面分别有点数 1、2、3、4、5、6 的均匀的正方体骰子，则出现的点数小
2、于 7的概率为 . 4.在 中， 、 、 分别为角 、 、 所对的三边长，若 ，则角ABCabcABCacBbca3tn)(22 的大小为 . 5已知向量 、向量 ，则 = .)23,1()1,3(b32 6若二项式 的展开式中， 的系数为 ，则常数 的值为 .9)(ax9xa 7若 ，则关于 的不等式组 的解集为 .0 02,2a 8已知正三棱锥的底面边长为 2cm，高为 1cm，则该三棱锥的侧面积为 cm 2. 9已知圆锥的体积为 cm3，底面积为 cm2，则该圆锥的母线长为 cm.129 10有 8 本互不相同的书，其中数学书 3 本，外文书 3 本，文学书 2 本.若将这些书排成一列放
3、在书架上， 则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有 种.（结果用数值表示） 11函数 在闭区间 上的最小值为 .xexf1)( 21, 12已知正数 ， ， 满足 ，则 的最小值为 .yz03zyxyz2 13已知函数 的图像关于直线 对称，则 的值是 .axxf1)( 1a 14方程 有 3个或者 3个以上解，则常数 的取值范围是 .k232 k 2 二、选择题（本大题满分 16分）本大题共有 4题，每题有且只有一个正确答案考生应在答题纸的相应 编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 4分，否则一律得零分 15. 对于闭区间 （常数 ）上的二次函数 ，下列说法正确的是（ ）2,
4、k2k1)(2xf A它一定是偶函数 B它一定是非奇非偶函数 C只有一个 值使它为偶函数 D只有当它为偶函数时，有最大值 16若空间有四个点，则“这四个点中三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上” 的（ ） A充要条件 B既非充分条件又非必要条件 C必要而非充分条件 D充分而非必要条件 17等比数列a n的首项a 11，前n项和为S n，若 ，则 等于( )8736SnSlim A B1 C- D不存在 2132 18在棱长为 1 的正方体 中， 为棱 的中点， 为1ADEBCF 棱 的中点.则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）DEF A B C D32324363 三、解答题（本大
5、题满分 78分）本大题共有 5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写 出必要的步骤. 19(本题满分 14分) 本题共有 2个小题，第 1小题满分 8分，第 2小题满分 6分. 已知 ， （其中 ）是实系数一元二次方程 的两个根. ai2bRba, 0qpx （1）求 ， ， ， 的值；pq （2）计算： .i A A1 B C C1 A D1 D B1 E F 3 20(本题满分 15分) 本题共有 2个小题，第 1小题满分 9分，第 2小题满分 6分. 我们知道，当两个矩阵 、 的行数与列数分别相等时，将它们对应位置上的元素相减，所得到的PQ 矩阵称为矩阵 与 的差，记作 .
6、已知矩阵 ，满足 . 137069,sin12,costan16icos 2aMAABP MQP 求下列三角比的值： （1） ， ；Asicos （2） .)n( 21(本题满分 15分) 本题共有 2个小题，第 1小题满分 6分，第 2小题满分 9分. 某市地铁连同站台等附属设施全部建成后，平均每 1 公里需投资人民币 1 亿元.全部投资都从银行贷 款.从投入营运那一年开始，地铁公司每年需归还银行相同数额的贷款本金 0.05 亿元.这笔贷款本金先用 地铁营运收入支付，不足部分由市政府从公用经费中补足. 地铁投入营运后，平均每公里年营运收入（扣 除日常管理费等支出后）第一年为 0.0124 亿
7、元，以后每年增长 20%，到第 20 年后不再增长. （1）地铁营运几年，当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金？ （2）截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年，市政府已累计为 1 公里地铁支付多少元费 用？（精确到元，1 亿= ）810 4 22 (本题满分 16分) 本题共有 2个小题，第 1小题满分 8分，第 2小题满分 8分. 已知 且 ，数列 是首项与公比均为 的等比数列，数列 满足 （0a1naanbnnalg ）.*Nn （1） 若 ，求数列 的前 项和 ；2nbnS （2） 若对于 ，总有 ，求 的取值范围.*1a 23(本题满分 18分) 本题共有 3个小题，第
8、1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 8分. 已知函数 .54(2xxf （1）画出函数 在闭区间 上的大致图像；)y, （2）解关于 的不等式 ；x7(xf （3）当 时，证明： 对 恒成立.2424k 74)(kxf Rx 5 静安区 2011 学年第一学期期末教学质量检测 高三年级数学试卷（文）答案与评分标准 1 ； 2x 或 ； 312501x 460或 120； 5 ； 627 7 ； 8 ； 95),(a3 10864； 11 ； 122421e 133； 14 , 1518 C D C B 19.（1） ， ； ， .（每一个值 2分）8 分2b1a4p5q （
9、2） .6分136)(54iiii 20 （1） ，2 分ABAQPsinco2tan1sico 因为 ，所以M 5 分 .12tan6,sico37,1690sincBaA 由解得 或 7分 .13cos,5iA.135cos,2in 由 ，所以 9分sinc .135cos,2in （2）由最后一个方程解得 ， 1 分4taB 6 由同角三角比基本关系式得 或 3分 .54cos,3inB.54cos,3in 当 时， ； 54cos,3inB 63sincsin)si(BAA 当 时， 6分 54cos,3in 653sincosin)si( B 21 （1）地铁营运第 年的收入 ， 2
10、 分n1)2.0(14.nna*N 根据题意有： ，4 分5)2.01(4. 解得 9 年. n （或者 ，解得 10 年）.).(021nn 答：地铁营运 9 年，当年营运收入开始超过当年归还银行贷款本金. 6 分 （2）市政府各年为 1 公里地铁支付费用 第 1 年： ；024.5 第 2 年： ；. 。 。 。 。 。 。 第 年： 。2 分n1n 年累计为： ，4 分.10.2.04.204.12.05. n 将 代入得， 亿. 8 分8n 95431)(85. 8 答：截至当年营运收入超过当年归还银行贷款本金的那一年，市政府累计为 1 公里地铁共支付 19541135 元费用. 9
11、分 22 （1）由已知有 ， .2 分na22lglnnab ，)1(32nS ，5 分l nn 7 所以 ，2lg)22( 113 nnnS . 8 分lg)1lg2n （2） 即 .由 且 得 .2 分nbaanl)1(01analg)1(l 所以 或 3 分0)1(la)(l 即 或 对任意 成立，5 分1 0nan*N 而 ，且 ，所以 或 . 8 分lim21210a 23 （1）坐标系正确 1 分； 大致图像 3 分.评分关键点：与 轴的两个交点 ，两个最高点 ，与 轴的交点x)0,5()9,2(y ，对称性. )5,0( （2）原不等式等价转化为下列不等式组： 或者 解得不等式的
12、解为 或 或 ;754,0x.754,02x 20x2x 或 .4 分2 （或者由 ，解得 或 ）0x2x2x 所以原不等式的解为： .6 分),()2,()2,( （3）证法 1：原不等式等价转化为下列不等式组： 8 （） 或者（） 2 分 2;041,02 kx4.043,02 kx （）不等式 2 中，判别式 ，因为 ，所以8)4(14 ， ，即 ；所以当 时， 恒成立. k2k01x7)(kxf 5 分 （）在不等式 4 中，判别式 ，因为 ，所以86)4(22k2424k ， ，22k0k 又 ，0316316 所以， .2 （或者 ）0136)8( 1362)4()2(842 kk 所以当 时， 恒成立.0x7(xf 综上讨论，得到：当 时， 对 恒成立. 2424k74)(kxf Rx 8 分 证法 2：设 （ ） ， （ ）)24()21 kxxg0x 24)(21 kxxg （ ） （ ）2 分4)(k4(2k 以下讨论关于 的最值函数的最值与 0 关系（略） 。8 分
