1、2015-2016 学年安徽省合肥市高新区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）每小题都给出代号为 A、B、C、D 的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号 内，每一小题选对得 4 分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内） 一律得 0 分. 1下列四个图形中，不是中心对称图形的是( ) A B C D 2已知 = ，则代数式 的值为( ) A B C D 3二次函数 y=3（x+2） 2+1 的图象的顶点坐标是( ) A （2，1） B （ 2，1） C （ 2，1） D （2，1） 4如图，在A
2、BC 中，DE BC，若 AD：DB=1：3，则ADE 与ABC 的面积之比是( ) A1：3 B1：4 C1：9 D1：16 5在 RtABC 中， C=90， sinB= ，则 tanA 的值为( ) A B C D 6已知二次函数 y=kx27x7 的图象与 x 轴没有交点，则 k 的取值范围为( ) Ak Bk 且 k0 Ck Dk 且 k0 7AB 为O 的直径，点 C、D 在O 上若 ABD=42，则BCD 的度数是( ) A122 B128 C132 D138 8已知 A（3，y 1） 、B （2， y2） 、C（2，y 3）在二次函数 y=x2+2x+c 的图象上，比较 y1、
3、y 2、y 3 的大小( ) Ay 1y 2y 3 By 2y 3y 1 Cy 2y 1y 3 Dy 3y 1y 2 9如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=9，AD=6，ADC 的平分线交 AB 于点 E，交 CB 的延长线于点 F，AG DE，垂足为 G若 AG=4 ，则BEF 的面积是( ) A B2 C3 D4 10如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，动点 P 从 B 点出发以 3cm/s 的速度沿着边 BCCDDA 运动，到达 A 点停止运动；另一动点 Q 同时从 B 点出发，以 1cm/s 的速度沿着 边 BA 向 A 点运动，到达 A 点停止运动设 P 点运动时间为 x（
4、s） ，BPQ 的面积为 y（cm 2） ，则 y 关于 x 的函数图象是( ) A B C D 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11某同学沿坡比为 1： 的斜坡前进了 90 米，那么他上升的高度是_米 12AB 是O 的直径，弦 CD 垂直平分半径 OA，若 CD 长为 6，则O 的半径长为 _ 13如图，点 A 是反比例函数图象上一点，过点 A 作 ABy 轴于点 B，点 C、D 在 x 轴上， 且 BCAD，四边形 ABCD 的面积为 4，则这个反比例函数的解析式为_ 14如图，ABCD 中，M 、N 是 BD 的三等分点，连接 CM 并延长交 AB 于
5、点 E，连接 EN 并延长交 CD 于点 F，以下结论： E 为 AB 的中点； FC=4DF； SECF= ； 当 CEBD 时，DFN 是等腰三角形 其中一定正确的是_ 三.（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 15计算：tan 2602sin30 cos45 16如图，ABC 的顶点坐标分别为 A（1，3） 、B（4，2） 、C （2，1） （1）在图中以点 O 为位似中心在原点的另一侧画出 ABC 放大 2 倍后得到的A 1B1C1， 并写出 A1 的坐标； （2）请在图中画出ABC 绕点 O 逆时针旋转 90后得到的 A2B2C2 四、 （本大题共 2 小题，每小题
6、 8 分，满分 16 分） 17如图，一次函数 y1=x+2 的图象与反比例函数 y2= 的图象交于点 A（1，3） 、 B（n，1） （1）求反比例函数的解析式； （2）当 y1y 2 时，直接写出 x 的取值范围 18已知在直角坐标平面内，抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A（2，0） 、B（0，6） （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线向下平移几个单位后经过点（4，0）？请通过计算说明 五.（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19如图，两条互相平行的河岸，在河岸一边测得 AB 为 20 米，在另一边测得 CD 为 70 米，用测角器测得ACD=30，测得BDC=
7、45，求两条河岸之间的距离 （ 1.7，结果保留整数） 20如图，已知正方形 ABCD 中，BE 平分DBC 且交 CD 边于点 E，将BCE 绕点 C 顺 时针旋转到DCF 的位置，并延长 BE 交 DF 于点 G （1）求证：BDG DEG； （2）若 EGBG=4，求 BE 的长 六、 （本题满分 12 分） 21已知 P 是O 外一点，PO 交 O 于点 C，OC=CP=2 ，弦 ABOC，AOC 的度数为 60，连接 PB （1）求 BC 的长； （2）求证：PB 是O 的切线 七、 （本题满分 12 分） 22合肥某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件试营销阶段发现：当
8、销售单 价为 25 元/件时，每天的销售量是 150 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件 （1）求商场销售这种文具每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关 系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？ （3）现商场规定该文具每天销售量不少于 120 件，为使该文具每天的销售利润最大，该文 具定价多少元时，每天利润最大？ 八、 （本题满分 14 分） 23 （14 分）如图，在 RtABC 中， ACB=90，AC=8，BC=6，CDAB 于点 D点 P 从 点 D 出发，沿线段 DC 向点 C 运动，点 Q 从点 C 出发，沿线段 C
9、A 向点 A 运动，两点同 时出发，速度都为每秒 1 个单位长度，当点 P 运动到点 C 时，两点都停止设运动时间为 t 秒 （1）求线段 CD 的长； （2）当 t 取何值时 PQAB？ （3）是否存在某一时刻 t，使得 PCQ 为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的 t 的 值；若不存在，请说明理由 2015-2016 学年安徽省合肥市高新区九年级（上）期末 数学试卷 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）每小题都给出代号为 A、B、C、D 的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号 内，每一小题选对得 4 分，不选、选错或选出的代号超
10、过一个的（不论是否写在括号内） 一律得 0 分. 1下列四个图形中，不是中心对称图形的是( ) A B C D 【考点】中心对称图形 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是中心对称图形故错误； B、是中心对称图形故错误； C、不是中心对称图形故正确； D、是中心对称图形故错误 故选 C 【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度 后与原图重合 2已知 = ，则代数式 的值为( ) A B C D 【考点】比例的性质 【分析】用 b 表示出 a，然后代入比例式进行计算即可得解 【解答】解：由 = 得到：a= b，则 = = 故选：B 【点
11、评】本题考查了比例的性质，用 b 表示出 a 是解题的关键 3二次函数 y=3（x+2） 2+1 的图象的顶点坐标是( ) A （2，1） B （ 2，1） C （ 2，1） D （2，1） 【考点】二次函数的性质 【分析】根据顶点式 y=（x h） 2+k，知顶点坐标是（h， k） ，求出顶点坐标即可 【解答】解：y= 3（x+2） 2+1， 顶点坐标是（ 2，1） 故选 B 【点评】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口方向， 顶点坐标（对称轴） ，最大（最小）值，增减性等 4如图，在ABC 中，DE BC，若 AD：DB=1：3，则ADE 与ABC 的面积之比是
12、( ) A1：3 B1：4 C1：9 D1：16 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】由 DE 与 BC 平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用两对角相 等的三角形相似得到三角形 ADE 与三角形 ABC 相似，利用相似三角形的面积之比等于相 似比的平方即可得到结果 【解答】解：DEBC， ADEABC， AD：DB=1：3， AD：AB=1：4 SADE：S ABC=AD2：AB 2=1：16， 故选 D 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本 题的关键 5在 RtABC 中， C=90， sinB= ，则 tanA 的值为( ) A
13、B C D 【考点】互余两角三角函数的关系 【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得A 的余弦，根据同角三角函数的关 系，可得A 的正弦， A 的正切 【解答】解：由 RtABC 中， C=90，sinB= ，得 cosA=sinB= 由 sin2A+cos2A=1，得 sinA= = ， tanA= = = 故选：D 【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，利用一个角的余弦等于它余角的正弦得出 A 的余弦是解题关键 6已知二次函数 y=kx27x7 的图象与 x 轴没有交点，则 k 的取值范围为( ) Ak Bk 且 k0 Ck Dk 且 k0 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析
14、】y=kx 27x7 的图象与 x 轴无交点，当图象在 x 轴上方时， ，当图象在 x 轴 下方时， ，由此能够求出 k 的取值范围 【解答】解：y=kx 27x7 的图象与 x 轴无交点， 当图象在 x 轴上方时， ， ，解为空集 当图象在 x 轴下方时， ， ， k k 的取值范围是k|k ， 故选 C 【点评】本题主要考查抛物线与 x 轴的交点的知识，熟练掌握二次函数的图象和性质，解 题时要抓住二次函数与 x 轴无交点的特点进行求解 7AB 为O 的直径，点 C、D 在O 上若 ABD=42，则BCD 的度数是( ) A122 B128 C132 D138 【考点】圆周角定理；圆内接四边
15、形的性质 【分析】首先连接 AD，由直径所对的圆周角是直角，可得 ADB=90，继而求得 A 的度 数，然后由圆的内接四边形的性质，求得答案 【解答】解：连接 AD， AB 为O 的直径， ADB=90， ABD=42， A=90ABD=48， BCD=180A=132 故选 C 【点评】此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质注意准确作出辅助线是解此 题的关键 8已知 A（3，y 1） 、B （2， y2） 、C（2，y 3）在二次函数 y=x2+2x+c 的图象上，比较 y1、y 2、y 3 的大小( ) Ay 1y 2y 3 By 2y 3y 1 Cy 2y 1y 3 Dy 3y 1
16、y 2 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】先得到抛物线的对称轴为直线 x=2，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距 离的远近来比较函数值的大小 【解答】解：由抛物线 y=x24xm 可知对称轴 x= =1， 抛物线开口向上，B （2，y 2）到对称轴的距离最近，C （2，y 3）到对称轴的距离最远， y3 y1y 2 故选 D 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析 式 9如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=9，AD=6，ADC 的平分线交 AB 于点 E，交 CB 的延长线于点 F，AG DE，垂足为 G若 AG=4 ，则BEF 的面积
17、是( ) A B2 C3 D4 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【分析】首先利用已知条件可证明ADE 是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一” 的性 质得出 DE=2DG，而在 RtADG 中，由勾股定理可求得 DG 的值，即可求得 DE 的长；然 后，证明ADEBFE ，再分别求出ADE 的面积，然后根据面积比等于相似比的平方即 可得到答案 【解答】解：DE 平分ADC ， ADE=CDE； 又 四边形 ABCD 是平行四边形， ABDC， ADE=CDF=AED， AD=AE=6， AGDE，垂足为 G， DE=2DG 在 RtADG 中，AGD=90，AD=6 ，AG=
18、4 ， DG= =2， DE=2DG=4； SADE= DEAG= 44 =8 AE=6，AB=DC=9， BE=ABAE=96=3， AE：BE=6 ： 3=2：1 ADFC， ADEBFE， SADE：S BFE=（AE：BE） 2=4：1， 则 SBEF= SADE=2 故选 B 【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌 握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中 10如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，动点 P 从 B 点出发以 3cm/s 的速度沿着边 BCCDDA 运动，到达 A 点停止运动；另一动点 Q 同
19、时从 B 点出发，以 1cm/s 的速度沿着 边 BA 向 A 点运动，到达 A 点停止运动设 P 点运动时间为 x（s） ，BPQ 的面积为 y（cm 2） ，则 y 关于 x 的函数图象是( ) A B C D 【考点】动点问题的函数图象 【专题】压轴题 【分析】首先根据正方形的边长与动点 P、Q 的速度可知动点 Q 始终在 AB 边上，而动点 P 可以在 BC 边、CD 边、AD 边上，再分三种情况进行讨论： 0x1；1x 2；2x3；分别求出 y 关于 x 的函数解析式，然后根据函数的图象 与性质即可求解 【解答】解：由题意可得 BQ=x 0x1 时，P 点在 BC 边上，BP=3x，
20、 则BPQ 的面积= BPBQ， 解 y= 3xx= x2；故 A 选项错误； 1x2 时， P 点在 CD 边上， 则BPQ 的面积= BQBC， 解 y= x3= x；故 B 选项错误； 2x3 时， P 点在 AD 边上，AP=9 3x， 则BPQ 的面积= APBQ， 解 y= （93x ） x= x x2；故 D 选项错误 故选：C 【点评】本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，三角形的面积，利用数形结合、 分类讨论是解题的关键 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11某同学沿坡比为 1： 的斜坡前进了 90 米，那么他上升的高度是 45 米 【考
21、点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【分析】首先利用坡比得出A 的度数，再利用直角三角形的性质得出答案 【解答】解：如图：坡比为 1： ， tanA= = ， A=30， AB=90 米， BH=45 米 故答案为：45 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟知“坡度是坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比，叫做坡比 ”是解答此题的关键 12AB 是O 的直径，弦 CD 垂直平分半径 OA，若 CD 长为 6，则O 的半径长为 2 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】连接 OD，先根据垂径定理求出 DE 的长，设 OD=r，则 OE= r，根据勾股定理求 出 r 的值即可
22、【解答】解：连接 OD， AB 是O 的直径，弦 CD 垂直平分半径 OA，CD 长为 6， DE= CD=3 弦 CD 垂直平分半径 OA， 设 OD=r，则 OE= r， 在 RtODE 中， OE2+DE2=OD2， （ r） 2+32=r2，解得 r=2 故答案为：2 【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的 关键 13如图，点 A 是反比例函数图象上一点，过点 A 作 ABy 轴于点 B，点 C、D 在 x 轴上， 且 BCAD，四边形 ABCD 的面积为 4，则这个反比例函数的解析式为 y= 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义 【分析】过
23、A 点向 x 轴作垂线，与坐标轴围成的四边形的面积是定值|k| ，由此可得出答 案 【解答】解：过 A 点向 x 轴作垂线，如图： 根据反比例函数的几何意义可得：四边形 ABCD 的面积为 4，即|k|=4， 又 函数图象在二、四象限， k=4， 即函数解析式为：y= 故答案为：y= 【点评】本题考查了反比例函数的几何意义，解答本题关键是掌握在反比例函数中 k 所代 表的几何意义，属于基础题，难度一般 14如图，ABCD 中，M 、N 是 BD 的三等分点，连接 CM 并延长交 AB 于点 E，连接 EN 并延长交 CD 于点 F，以下结论： E 为 AB 的中点； FC=4DF； SECF=
24、 ； 当 CEBD 时，DFN 是等腰三角形 其中一定正确的是 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【分析】由 M、N 是 BD 的三等分点，得到 DN=NM=BM，根据平行四边形的性质得到 AB=CD，ABCD，推出BEM CDM，根据相似三角形的性质得到 ，于是得 到 BE= AB，故正确；根据相似三角形的性质得到 = ，求得 DF= BE，于是得 到 DF= AB= CD，求得 CF=3DF，故错误；根据已知条件得到 SBEM=SEMN= S CBE，求得 = ，于是得到 SECF= ，故正确；根据线段垂直平分线的性质 得到 EB=EN，根据等腰三角
25、形的性质得到 ENB=EBN，等量代换得到 CDN=DNF，求 得DFN 是等腰三角形，故正确 【解答】解： M、N 是 BD 的三等分点， DN=NM=BM， 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD，ABCD， BEMCDM， ， BE= CD， BE= AB，故正确； ABCD， DFNBEN， = ， DF= BE， DF= AB= CD， CF=3DF，故错误； BM=MN，CM=2EM ， BEM=SEMN= SCBE， BE= CD，CF= CD， = ， SEFC= SCBE= SMNE， SECF= ，故正确； BM=NM，EM BD， EB=EN， ENB=EBN， C
26、DAB， ABN=CDB， DNF=BNE， CDN=DNF， DFN 是等腰三角形，故正确； 故答案为： 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定， 平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键 三.（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 15计算：tan 2602sin30 cos45 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】将特殊角的三角函数值代入求解 【解答】解：原式=（ ） 22 =311 =1 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数 值 16如图，ABC 的顶点坐标分别为 A（1，3
27、） 、B（4，2） 、C （2，1） （1）在图中以点 O 为位似中心在原点的另一侧画出 ABC 放大 2 倍后得到的A 1B1C1， 并写出 A1 的坐标； （2）请在图中画出ABC 绕点 O 逆时针旋转 90后得到的 A2B2C2 【考点】作图-位似变换；作图 -旋转变换 【专题】作图题 【分析】 （1）把 A、B、C 点的横纵坐标都乘以 2 得到 A1、B 1、C 1 的坐标，然后描点即可 得到A 1B1C1； （2）利用网格特点和旋转的性质，画出点 A、B、C 的对应点 A2、B 2、C 2 即可得到 A2B2C2 【解答】解：（1）如图，A 1B1C1 为所作，A （ 2，6） ；
28、（2）如图，A 2B2C2 为所作 【点评】本题考查了作图位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代 表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接 上述各点，得到放大或缩小的图形也考查了旋转变换 四、 （本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 17如图，一次函数 y1=x+2 的图象与反比例函数 y2= 的图象交于点 A（1，3） 、 B（n，1） （1）求反比例函数的解析式； （2）当 y1y 2 时，直接写出 x 的取值范围 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【专题】计算题 【分析】 （1）把 A 点坐标代入 可求出 m
29、的值，从而得到反比例函数解析式； （2）利用反比例函数解析式确定 B 点坐标，然后观察函数图象，写出一次函数图象在反 比例函数图象上方所对应的自变量的取值范围即可 【解答】解：（1）把 A（1，3）代入 可得 m=13=3， 所以反比例函数解析式为 y= ； （2）把 B（n， 1）代入 y= 得n=3，解得 n=3，则 B（3，1） ， 所以当 x1 或 0x3，y 1y 2 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点 坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解， 则两者无交点 18已知在直角坐标平面内，抛物线 y=x2+
30、bx+c 经过点 A（2，0） 、B（0，6） （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线向下平移几个单位后经过点（4，0）？请通过计算说明 【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式 【分析】 （1）代入 A、B 两点的坐标，根据待定系数法即可求得； （2）根据图象上下平移，只改变纵坐标，然后把经过的点的横坐标坐标代入函数解析式求 得纵坐标，对比（4，0）即可求得 【解答】解：（1）把 A（2， 0） ，B（0，6）代入 y=x2+bx+c 得 解得 b=5，c=6 ， 抛物线的表达式为 y=x25x+6 （2）把 x=4 代入 y=x25x+6 得 y=1620+6=2 20=
31、2 故抛物线向下平移 2 个单位后经过点（4，0） 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数图象与几何变换，解决 本题的关键是抓住坐标系里点的平移的特点 五.（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19如图，两条互相平行的河岸，在河岸一边测得 AB 为 20 米，在另一边测得 CD 为 70 米，用测角器测得ACD=30，测得BDC=45，求两条河岸之间的距离 （ 1.7，结果保留整数） 【考点】解直角三角形的应用 【分析】分别过点 A、B 作 CD 的垂线交 CD 于点 E、F，令两条河岸之间的距离为 h则 AE=BF=h，EF=AB=20解 RtACE，
32、得出 CE= h，解 RtBDF，求出 DF=BF=h，根据 CD=CE+EF+FD=70 列出方程，求解即可 【解答】解：如图，分别过点 A、B 作 CD 的垂线交 CD 于点 E、F，令两条河岸之间的距 离为 h AECD，BF CD，ABCD，AB=20， AE=BF=h，EF=AB=20 在 RtACE 中，AEC=90，ACE=30 ， tanACE= ，即 tan30= ， CE= h 在 RtBDF 中，BFD=90，BDF=45， DF=BF=h CD=70， CE+EF+FD=70， h+20+h=70， h=25（ 1） 18 答：两条河岸之间的距离约为 18 米 【点评】
33、本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，用含 h 的代数 式分别表示出 CE 与 FD 是解题的关键 20如图，已知正方形 ABCD 中，BE 平分DBC 且交 CD 边于点 E，将BCE 绕点 C 顺 时针旋转到DCF 的位置，并延长 BE 交 DF 于点 G （1）求证：BDG DEG； （2）若 EGBG=4，求 BE 的长 【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质 【专题】证明题；几何综合题 【分析】 （1）根据旋转性质求出EDG= EBC=DBE，根据相似三角形的判定推出即可； （2）先求出 BD=BF，BG DF，求出 BE=DF=2DG，根据相似
34、求出 DG 的长，即可求出答 案 【解答】 （1）证明：将BCE 绕点 C 顺时针旋转到DCF 的位置， BCEDCF， FDC=EBC， BE 平分DBC， DBE=EBC， FDC=EBD， DGE=DGE， BDGDEG （2）解：BCEDCF ， F=BEC，EBC= FDC， 四边形 ABCD 是正方形， DCB=90，DBC= BDC=45， BE 平分DBC， DBE=EBC=22.5=FDC， BEC=67.5=DEG， DGE=18022.567.5=90， 即 BGDF， BDF=45+22.5=67.5，F=9022.5=67.5， BDF=F， BD=BF， DF=2D
35、G， BDGDEG，BGEG=4， = ， BGEG=DGDG=4， DG2=4， DG=2， BE=DF=2DG=4 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质的应用，主要 考查学生运用定理进行推理的能力，本题综合性比较强，有一定的难度 六、 （本题满分 12 分） 21已知 P 是O 外一点，PO 交 O 于点 C，OC=CP=2 ，弦 ABOC，AOC 的度数为 60，连接 PB （1）求 BC 的长； （2）求证：PB 是O 的切线 【考点】切线的判定 【分析】 （1）连接 OB，根据已知条件判定OBC 的等边三角形，则 BC=OC=2； （2）欲证明 PB 是
36、O 的切线，只需证得 OBPB 即可 【解答】 （1）解：如图，连接 OB ABOC，AOC=60， OAB=30， OB=OA， OBA=OAB=30， BOC=60， OB=OC， OBC 的等边三角形， BC=OC 又 OC=2， BC=2； （2）证明：由（1）知，OBC 的等边三角形，则COB=60，BC=OC OC=CP， BC=PC， P=CBP 又OCB=60，OCB=2 P， P=30， OBP=90，即 OBPB 又 OB 是半径， PB 是O 的切线 【点评】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定与性质要证某线是圆的切线，已知 此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径）
37、，再证垂直即可 七、 （本题满分 12 分） 22合肥某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20 元/件试营销阶段发现：当销售单 价为 25 元/件时，每天的销售量是 150 件；销售单价每上涨 1 元，每天的销售量就减少 10 件 （1）求商场销售这种文具每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关 系式； （2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？ （3）现商场规定该文具每天销售量不少于 120 件，为使该文具每天的销售利润最大，该文 具定价多少元时，每天利润最大？ 【考点】二次函数的应用 【分析】 （1）根据利润=（单价进价）销售量，列出函数关系式即可； （2
38、）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值； （3）利用二次函数增减性直接求出最值即可 【解答】解：（1）由题意得，销售量=15010（x25）= 10x+400， 则 w=（ x20） （10x+400 ） =10x2+600x8000； （2）w= 10x2+600x8000=10（x 30） 2+1000 100 ， 函数图象开口向下，w 有最大值， 当 x=30 时，w max=10000， 故当单价为 30 元时，该文具每天的利润最大； （3）40010x120， 解得 x28， 对称轴：直线 x=30， 开口向下， 当 x30 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x=28
39、时，w 最大 =960 元 【点评】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利函数的增减性 来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，其中要注意应该在自变量的取 值范围内求最大值（或最小值） ，也就是说二次函数的最值不一定在 x= 时取得 八、 （本题满分 14 分） 23 （14 分）如图，在 RtABC 中， ACB=90，AC=8，BC=6，CDAB 于点 D点 P 从 点 D 出发，沿线段 DC 向点 C 运动，点 Q 从点 C 出发，沿线段 CA 向点 A 运动，两点同 时出发，速度都为每秒 1 个单位长度，当点 P 运动到点 C 时，两点都停止设运动时间为
40、 t 秒 （1）求线段 CD 的长； （2）当 t 取何值时 PQAB？ （3）是否存在某一时刻 t，使得 PCQ 为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的 t 的 值；若不存在，请说明理由 【考点】相似形综合题 【分析】 （1）先根据勾股定理求出 AB 的长，再由三角形的面积公式即可得出结论； （2）先用 t 表示出 DP，CQ，CP 的长，再根据 PQAB，得到QCPABC，根据相似三 角形的性质列方程即可得到结论； （3）根据题意画出图形，分 CQ=CP，PQ=PC，QC=QP 三种情况进行讨论 【解答】解：（1）ACB=90 ，AC=8 ，BC=6， AB=10 CDAB， SABC=
41、 BCAC= ABCD CD= = =4.8 线段 CD 的长为 4.8 （2）设 DP=t，CQ=t 则 CP=4.8t PQAB， QCPABC ，即 ， t=3， 当 t=3 时，PQAB； （3）若 CQ=CP，如图 1， 则 t=4.8t 解得：t=2.4 若 PQ=PC，如图 2 所示 PQ=PC，PH QC， QH=CH= QC= CHPBCA ， = ，解得 t= ； 若 QC=QP， 过点 Q 作 QECP，垂足为 E，如图 3 所示 同理可得：t= 综上所述：当 t 为 2.4 秒或 秒或 秒时， CPQ 为等腰三角形 【点评】本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判 定和性质，三角形的面积的计算，在解答此题时要注意进行分类讨论
