1、河南省南阳市唐河县 2016-2017 学年九年级（上）期末数学试 卷(解析版) 一、选择题 1与 是同类二次根式的是（ ） A B C D 2方程 x2=2x 的解是（ ） Ax=0 Bx=2 Cx=0 或 x=2 Dx= 3从 1，2 ，3，4 这四个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则 这个两位数能被 3 整除的概率是（ ） A B C D 4在ABC 中，C=90，a、b、c 分别为A 、B、C 的对边，下列各式成 立的是（ ） Ab=asinB Ba=bcosB Ca=btanB Db=atanB 5如图：抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴的一个交点是（2
2、，0），顶 点是（1，3）下列说法中不正确的是（ ） A抛物线的对称轴是 x=1 B抛物线的开口向下 C抛物线与 x 轴的另一个交点是（2，0） D当 x=1 时，y 有最大值是 3 6已知关于 x 的方程 kx2+（1 k）x 1=0，下列说法正确的是（ ） A当 k=0 时，方程无解 B当 k=1 时，方程有一个实数解 C当 k=1 时，方程有两个相等的实数解 D当 k0 时，方程总有两个不相等的实数解 7如图，菱形 ABCD 的周长为 40cm，DE AB ，垂足为 E，sinA= ，则下列结 论正确的有（ ） DE=6cm；BE=2cm ； 菱形面积为 60cm2；BD= cm A1
3、个 B2 个 C3 个 D4 个 8如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为 6、8，按如图那样折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为 DE，则 SBCE ：S BDE 等于（ ） A2 ：5 B14：25 C16：25 D4：21 二、填空题 9当 x 时， 在实数范围内有意义 10已知四条线段 a，b， c，d 成比例，并且 a=2，b= ，c= ，则 d= 11在一个陡坡上前进 5 米，水平高度升高了 3 米，则坡度 i= 12如图，A、B、C 三点在正方形网格线的交点处，若将 ABC 绕着点 A 逆时 针旋转得到ACB，则 tanB的值为 13两个相似三角形对应的中线长分别是 6cm 和
4、 18cm，若较大三角形的周长 是 42cm，面积是 12cm2，则较小三角形的周长为 cm，面积为 cm 2 14共青团县委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长 30cm、宽 20cm 的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与 原画面面积相等（如图所示），若设彩纸的宽度为 xcm，则列方程整理成一般 形式为 15如图，在 RtABC 中，ACB=90，B=30 ，BC=3点 D 是 BC 边上的一 动点（不与点 B、C 重合），过点 D 作 DEBC 交 AB 于点 E，将B 沿直线 DE 翻折，点 B 落在射线 BC 上的点 F 处当AEF 为直角三角形时， B
5、D 的长为 三、解答题（共 75 分） 16（7 分）计算：4cos30| 2|+（ ） 0 +（ ） 2 17（7 分）用配方法解方程：x 2+4x1=0 18（9 分）如图，梯形 ABCD 中，ABCD，点 F 在 BC 上，连 DF 与 AB 的延长 线交于点 G （1）求证：CDFBGF； （2）当点 F 是 BC 的中点时，过 F 作 EFCD 交 AD 于点 E，若 AB=6cm，EF=4cm，求 CD 的长 19（10 分）如图，一条抛物线经过（2，5），（ 0， 3）和（1，4）三点 （1）求此抛物线的函数解析式 （2）假如这条抛物线与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点
6、C，试判断OCB 的形 状 20（10 分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡 AB 的坡比 i=1： ， 且 AB=30m，李亮同学在大堤上 A 点处用高 1.5m 的测量仪测出高压电线杆 CD 顶端 D 的仰角为 30，己知地面 BC 宽 30m，求高压电线杆 CD 的高度（结果保 留三个有效数字， 1.732） 21（10 分）为迎接“五一”节的到来，某食品连锁店对某种商品进行了跟踪调 查，发现每天它的销售价与销售量之间有如下关系： 每千克售价（元） 25 24 23 15 每天销售量（千克） 30 32 34 50 如果单价从最高 25 元/千克下调到 x 元/千克时，销售量为 y
7、千克，已知 y 与 x 之间的函数关系是一次函数： （1）求 y 与 x 之间的函数解析式；（不写定义域） （2）若该种商品成本价是 15 元/千克，为使“五一 ”节这天该商品的销售总利润 是 200 元，那么这一天每千克的销售价应定为多少元？ 22（11 分）阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图 1，在ABC 中， 点 D 在线段 BC 上，BAD=75，CAD=30，AD=2，BD=2DC，求 AC 的长 小腾发现，过点 C 作 CEAB，交 AD 的延长线于点 E，通过构造ACE，经过推 理和计算能够使问题得到解决（如图 2） 请回答：ACE 的度数为 ，AC 的长为 参考小腾思考问
8、题的方法，解决问题： 如图 3，在四边形 ABCD 中，BAC=90，CAD=30，ADC=75，AC 与 BD 交于点 E，AE=2，BE=2ED，求 BC 的长 23（11 分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（0，2），点 P（t，0 ）在 x 轴上，B 是线段 PA 的中点将线段 PB 绕着点 P 顺时针方向旋转 90，得到线段 PC，连结 OB、BC （1）判断PBC 的形状，并简要说明理由； （2）当 t0 时，试问：以 P、O、B、C 为顶点的四边形能否为平行四边形？若 能，求出相应的 t 的值？若不能，请说明理由； （3）当 t 为何值时， AOP 与APC 相似？
9、2016-2017 学年河南省南阳市唐河县九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1与 是同类二次根式的是（ ） A B C D 【考点】同类二次根式 【分析】根据同类二次根式的定义进行选择即可 【解答】解：A、 与 不是同类二次根式，故错误； B、 =3 与 不是同类二次根式，故错误； C、 =3 与 不是同类二次根式，故错误； D、 = 与 是同类二次根式，故正确； 故选 D 【点评】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键 2方程 x2=2x 的解是（ ） Ax=0 Bx=2 Cx=0 或 x=2 Dx= 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【分析】
10、方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为 0， 两因式中至少有一个为 0 转化为两个一元一次方程来求解 【解答】解：方程变形得：x 22x=0， 分解因式得：x（x2）=0， 解得：x 1=0， x2=2 故选 C 【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是 解本题的关键 3从 1，2 ，3，4 这四个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则 这个两位数能被 3 整除的概率是（ ） A B C D 【考点】概率公式 【分析】列举出所有情况，看能被 3 整除的数的情况占总情况的多少即可 【解答】解：第一个数字有 4 种选择，第二个数字有 3 种选择
11、，易得共有 43=12 种可能，而被 3 整除的有 4 种可能（12、21、24、42），所以任意抽 取两个数字组成两位数，则这个两位数被 3 整除的概率为 = ，故选 A 【点评】如果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现 m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A ）= 4在ABC 中，C=90，a、b、c 分别为A 、B、C 的对边，下列各式成 立的是（ ） Ab=asinB Ba=bcosB Ca=btanB Db=atanB 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据三角函数的定义即可判断 【解答】解：A、sinB= ，b=csinB，故选项错误； B、co
12、sB= ，a=ccosB，故选项错误； C、 tanB= ，a= ，故选项错误； D、tanB= ，b=atanB，故选项正确 故选 D 【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦 为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 5如图：抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴的一个交点是（2，0），顶 点是（1，3）下列说法中不正确的是（ ） A抛物线的对称轴是 x=1 B抛物线的开口向下 C抛物线与 x 轴的另一个交点是（2，0） D当 x=1 时，y 有最大值是 3 【考点】二次函数的性质 【分析】根据二次函数的性质，结合图象，逐一判断 【解答】解
13、：观察图象可知： A、顶点坐标是（1，3）， 抛物线的对称轴是 x=1，正确； B、从图形可以看出，抛物线的开口向下，正确； C、 图象与 x 轴的一个交点是（2，0），顶点是（1，3）， 1 （2 ）=3，1+3=4， 即抛物线与 x 轴的另一个交点是（ 4，0 ），错误； D、当 x=1 时，y 有最大值是 3，正确 故选 C 【点评】主要考查了二次函数的性质，要会根据 a 的值判断开口方向，根据顶 点坐标确定对称轴，掌握二次函数图象的对称性 6已知关于 x 的方程 kx2+（1 k）x 1=0，下列说法正确的是（ ） A当 k=0 时，方程无解 B当 k=1 时，方程有一个实数解 C当
14、k=1 时，方程有两个相等的实数解 D当 k0 时，方程总有两个不相等的实数解 【考点】根的判别式；一元一次方程的解 【分析】利用 k 的值，分别代入求出方程的根的情况即可 【解答】解：关于 x 的方程 kx2+（1 k）x 1=0， A、当 k=0 时，x1=0，则 x=1，故此选项错误； B、当 k=1 时，x 21=0 方程有两个实数解，故此选项错误； C、当 k=1 时， x2+2x1=0，则（x 1） 2=0，此时方程有两个相等的实数解，故此 选项正确； D、由 C 得此选项错误 故选：C 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，代入 k 的值判断方程根的情况是 解题关键 7如图，菱
15、形 ABCD 的周长为 40cm，DE AB ，垂足为 E，sinA= ，则下列结 论正确的有（ ） DE=6cm；BE=2cm ； 菱形面积为 60cm2；BD= cm A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】解直角三角形 【分析】根据角的正弦值与三角形边的关系，可求出各边的长，运用验证法， 逐个验证从而确定答案 【解答】解：菱形 ABCD 的周长为 40cm， AD=AB=BC=CD=10 DEAB，垂足为 E， sinA= = = ， DE=6cm，AE=8cm ，BE=2cm 菱形的面积为：ABDE=106=60cm 2 在三角形 BED 中， BE=2cm，DE=6cm ，B
16、D=2 cm，正确， 错误； =2 结论正确的有三个 故选 C 【点评】此题看上去这是一道选择题实则是一道综合题，此题考查直角三角形 的性质，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解 8如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为 6、8，按如图那样折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为 DE，则 SBCE ：S BDE 等于（ ） A2 ：5 B14：25 C16：25 D4：21 【考点】翻折变换（折叠问题） 【分析】在 RtBEC 中利用勾股定理计算出 AB=10，根据折叠的性质得到 AD=BD=5，EA=EB，设 AE=x，则 BE=x，EC=8x，在 RtBEC 中根据勾股定理计算 出
17、x= ，则 EC=8 = ， 利用三角形面积公式计算出 SBCE = BCCE= 6 = ，在 RtBED 中利用 勾股定理计算出 ED= = ，利用三角形面积公式计算出 S BDE= BDDE= 5 = ，然后求出两面积的比 【解答】解：在 RtBAC 中，BC=6，AC=8， AB= =10， 把ABC 沿 DE 使 A 与 B 重合， AD=BD，EA=EB， BD= AB=5， 设 AE=x，则 BE=x，EC=8 x， 在 RtBEC 中，BE 2=EC2+BC2，即 x2=（8x） 2+62， x= ， EC=8 x=8 = ， S BCE = BCCE= 6 = ， 在 RtBE
18、D 中，BE 2=ED2+BD2， ED= = ， S BDE = BDDE= 5 = ， S BCE ：S BDE = ： =14：25 故选 B 【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应 角相等也考查了勾股定理 二、填空题 9当 x 时， 在实数范围内有意义 【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件 【分析】本题考查了代数式有意义的 x 的取值范围一般地从两个角度考虑： 分式的分母不为 0；偶次根式被开方数大于或等于 0；当一个式子中同时出现这 两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分 【解答】解：由分式的分母不为 0，得 2x30，即 x ， 又因为二
19、次根式的被开方数不能是负数，所以有 2x30，得 x ， 所以，x 的取值范围是 x 故当 x 时， 在实数范围内有意义 【点评】判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能 使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数易错易混点：学 生易对二次根式的非负性和分母的不等于 0 混淆 10已知四条线段 a，b， c，d 成比例，并且 a=2，b= ，c= ，则 d= 【考点】比例线段 【分析】根据题意列出比例式，再根据比例的基本性质，易求 d 的值 【解答】解：四条线段 a，b，c，d 成比例，并且 a=2，b= ，c= ， a ：b=c ：d，即 2： = ：d， 解得
20、 d= ， 故答案为 【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是利用了两内项之积等于两外项之 积 11在一个陡坡上前进 5 米，水平高度升高了 3 米，则坡度 i= 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【分析】先求出水平方向上前进的距离，然后根据山坡的坡度=竖直方向上升的 距离：水平方向前进的距离，即可解题 【解答】解：如图所示：AC=5 米，BC=3 米， 则 AB= = =4（米）， 则坡度 i= = 故答案为：3：4 【点评】本题考查了坡度的概念，坡度是坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比， 又叫做坡比 12如图，A、B、C 三点在正方形网格线的交点处，若将 ABC 绕着点 A
21、逆时 针旋转得到ACB，则 tanB的值为 【考点】旋转的性质；解直角三角形 【分析】过 C 点作 CDAB，垂足为 D，根据旋转性质可知， B=B，把求 tanB的问题，转化为在 RtBCD 中求 tanB 【解答】解：过 C 点作 CDAB，垂足为 D 根据旋转性质可知，B= B 在 RtBCD 中，tanB= = ， tanB=tanB= 故答案为 【点评】本题考查了旋转的性质，旋转后对应角相等；三角函数的定义及三角 函数值的求法 13两个相似三角形对应的中线长分别是 6cm 和 18cm，若较大三角形的周长 是 42cm，面积是 12cm2，则较小三角形的周长为 14 cm，面积为 c
22、m2 【考点】相似三角形的性质 【分析】由两个相似三角形对应的中线长分别是 6cm 和 18cm，可得此相似三 角形的相似比为：6：18=1：3；即可得此相似三角形的周长比为：1：3，面积 比为：1：9，又由较大三角形的周长是 42cm，面积是 12cm2，即可求得答案 【解答】解：两个相似三角形对应的中线长分别是 6cm 和 18cm， 此相似三角形的相似比为：6：18=1：3； 此相似三角形的周长比为：1：3，面积比为：1：9， 较大三角形的周长是 42cm，面积是 12cm2， 较小三角形的周长为：42 =14（cm），面积为：12 = （cm 2） 故答案为：14， 【点评】此题考查了
23、相似三角形的性质此题比较简单，注意掌握相似三角形 （多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应 角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比相似三角形的面积的比等于相 似比的平方 14共青团县委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长 30cm、宽 20cm 的矩形画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与 原画面面积相等（如图所示），若设彩纸的宽度为 xcm，则列方程整理成一般 形式为 x 2+25x150=0 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】设彩纸的宽度为 xcm，则镶上宽度相等的彩纸后长度为 30+2x，宽为 20+2x，它的面积等于原来
24、面积的 2 倍，由此列出方程 【解答】解：设彩纸的宽度为 xcm， 则由题意列出方程为：（30+2x ）（20+2x）=23020 整理得：x 2+25x150=0， 故答案为：x 2+25x150=0 【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，变形后的面积是原来的 2 倍，列 出方程即可 15如图，在 RtABC 中，ACB=90，B=30 ，BC=3点 D 是 BC 边上的一 动点（不与点 B、C 重合），过点 D 作 DEBC 交 AB 于点 E，将B 沿直线 DE 翻折，点 B 落在射线 BC 上的点 F 处当AEF 为直角三角形时， BD 的长为 1 或 2 【考点】翻折变换（折叠问题
25、）；含 30 度角的直角三角形；勾股定理 【分析】首先由在 RtABC 中，ACB=90 ，B=30，BC=3，即可求得 AC 的 长、AEF 与BAC 的度数，然后分别从从AFE=90与EAF=90 去分析求解， 又由折叠的性质与三角函数的知识，即可求得 CF 的长，继而求得答案 【解答】解：根据题意得：EFB=B=30，DF=BD ，EF=EB， DEBC， FED=90EFD=60，BEF=2FED=120， AEF=180 BEF=60， 在 RtABC 中，ACB=90，B=30 ，BC=3， AC=BCtanB=3 = ，BAC=60， 如图若AFE=90 ， 在 RtABC 中，
26、ACB=90， EFD+AFC=FAC +AFC=90 ， FAC=EFD=30， CF=ACtanFAC= =1， BD=DF= =1； 如图若EAF=90 ， 则FAC=90BAC=30 ， CF=ACtanFAC= =1， BD=DF= =2， AEF 为直角三角形时， BD 的长为：1 或 2 【点评】此题考查了直角三角形的性质、折叠的性质以及特殊角的三角函数问 题此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用 三、解答题（共 75 分） 16计算：4cos30 | 2|+（ ） 0 +（ ） 2 【考点】特殊角的三角函数值；绝对值；零指数幂；负整数指数幂；二次根式 的性质与化简
27、【分析】按照实数的运算法则依次计算：cos30= ，| 2|= ，（ ） 0=1， =3 ，（ ） 2=9 【解答】解：4cos30 | 2|+（ ） 0 +（ ） 2 = = （5 分） =8（6 分） 【点评】本题重点考查了实数的基本运算能力涉及知识：负指数为正指数的 倒数；任何非 0 数的 0 次幂等于 1；绝对值的化简；二次根式的化简 17用配方法解方程：x 2+4x1=0 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】方程变形后，利用配方法求出解即可 【解答】解：方程变形得：x 2+4x=1， 配方得：x 2+4x+4=5，即（x+2） 2=5， 开方得：x+2= ， 解得：x 1=2+
28、，x 2=2 【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题 的关键 18如图，梯形 ABCD 中，ABCD，点 F 在 BC 上，连 DF 与 AB 的延长线交于 点 G （1）求证：CDFBGF； （2）当点 F 是 BC 的中点时，过 F 作 EFCD 交 AD 于点 E，若 AB=6cm，EF=4cm，求 CD 的长 【考点】相似三角形的判定；三角形中位线定理；梯形 【分析】（1）利用平行线的性质可证明CDFBGF （2）根据点 F 是 BC 的中点这一已知条件，可得CDF BGF ，则 CD=BG，只 要求出 BG 的长即可解题 【解答】（1）证明：梯形 ABC
29、D，ABCD， CDF=G，DCF=GBF ，（2 分） CDFBGF （2）解：由（1）CDFBGF， 又F 是 BC 的中点，BF=FC， CDFBGF， DF=GF，CD=BG，（6 分） ABDCEF，F 为 BC 中点， E 为 AD 中点， EF 是DAG 的中位线， 2EF=AG=AB +BG BG=2EFAB=246=2， CD=BG=2cm （8 分） 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定定理及性质，全等三角形的判定及 线段的等量代换，比较复杂 19（10 分）（2016 秋唐河县期末）如图，一条抛物线经过（2，5）， （0，3）和（1，4）三点 （1）求此抛物线的函数解析
30、式 （2）假如这条抛物线与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，试判断OCB 的形 状 【考点】抛物线与 x 轴的交点；待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）待定系数法求解可得； （2）分别求出抛物线与坐标轴的交点即可得出答案 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c， 将（2，5），（0，3）和（1，4）三点代入， 得： ， 解得： ， 抛物线的解析式为 y=x22x3； （2）令 y=0，即 x22x3=0， 解得：x=1 或 x=3， 抛物线与 x 轴的两个交点为（ 1，0）、（3，0）， c= 3， 抛物线与 y 轴的交点为（0，3）， OB=OC， OC
31、B 是等腰直角三角形 【点评】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，在利用待定系数法求 二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从 而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系 数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析 式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为 交点式来求解 20（10 分）（2012苏州模拟）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡 AB 的坡比 i=1： ，且 AB=30m，李亮同学在大堤上 A 点处用高 1.5m 的测量仪测 出高压电线杆 CD 顶端 D 的仰角为
32、30，己知地面 BC 宽 30m，求高压电线杆 CD 的高度（结果保留三个有效数字， 1.732） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】由 i 的值求得大堤的高度 AE，点 A 到点 B 的水平距离 BE，从而求得 MN 的长度，由仰角求得 DN 的高度，从而由 DN，AM，h 求得高度 CD 【解答】解：延长 MA 交直线 BC 于点 E， AB=30，i=1 ： ， AE=15，BE=15 ， MN=BC+BE=30+15 ， 又仰角为 30， DN= = =10 +15， CD=DN+NC=DN+MA+AE=10 +15+15+1.517.32+31.548.8（m） 【点
33、评】本题考查了直角三角形在坡度上的应用，由 i 的值求得大堤的高度和 点 A 到点 B 的水平距离，求得 MN，由仰角求得 DN 高度，进而求得总高度 21（10 分）（2013闸北区二模）为迎接“ 五一” 节的到来，某食品连锁店对 某种商品进行了跟踪调查，发现每天它的销售价与销售量之间有如下关系： 每千克售价（元） 25 24 23 15 每天销售量（千克） 30 32 34 50 如果单价从最高 25 元/千克下调到 x 元/千克时，销售量为 y 千克，已知 y 与 x 之间的函数关系是一次函数： （1）求 y 与 x 之间的函数解析式；（不写定义域） （2）若该种商品成本价是 15 元/
34、千克，为使“五一 ”节这天该商品的销售总利润 是 200 元，那么这一天每千克的销售价应定为多少元？ 【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用 【分析】（1）利用表格中的数据得到两个变量的对应值，然后利用待定系数法 确定一次函数的解析式即可； （2）设这一天每千克的销售价应定为 x 元，利用总利润是 200 元得到一元二次 方程求解即可 【解答】解：（1）设 y=kx+b （k0），将（ 25，30 ）（24，32）代入得： （1 分） 解得： ， y= 2x+80 （2）设这一天每千克的销售价应定为 x 元，根据题意得： （x15）（2x+80）=200， x255x+700=0， x 1
35、=20，x 2=35 （其中，x=35 不合题意，舍去） 答：这一天每千克的销售价应定为 20 元 【点评】本题考查了一元二次方程及一次函数的应用，列方程及函数关系式的 关键是找到等量关系 22（11 分）（2014北京）阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图 1， 在ABC 中，点 D 在线段 BC 上，BAD=75，CAD=30，AD=2，BD=2DC，求 AC 的长 小腾发现，过点 C 作 CEAB，交 AD 的延长线于点 E，通过构造ACE，经过推 理和计算能够使问题得到解决（如图 2） 请回答：ACE 的度数为 75 ，AC 的长为 3 参考小腾思考问题的方法，解决问题： 如图 3
36、，在四边形 ABCD 中，BAC=90，CAD=30，ADC=75，AC 与 BD 交于点 E，AE=2，BE=2ED，求 BC 的长 【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形 【分析】根据相似的三角形的判定与性质，可得 =2，根据等腰三角 形的判定，可得 AE=AC，根据正切函数，可得 DF 的长，根据直角三角形的性质， 可得 AB 与 DF 的关系，根据勾股定理，可得答案 【解答】解：ABC+ACB=ECD+ACB=ACE=1807530=75， E=75，BD=2DC， AD=2DE， AE=AD+DE=3， AC=AE=3， ACE=75， AC 的长为 3 过点 D 作
37、 DFAC 于点 F BAC=90=DFA ， ABDF， ABEFDE， =2， EF=1，AB=2DF 在ACD 中，CAD=30，ADC=75 ， ACD=75，AC=AD DFAC， AFD=90， 在AFD 中，AF=2 +1=3， FAD=30 ， DF=AFtan30= ，AD=2DF=2 AC=AD=2 ，AB=2DF=2 BC= =2 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了相似三角形的判定与性 质，直角三角形的性质，勾股定理 23（11 分）（2016 秋唐河县期末）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐 标为（0，2），点 P（t ，0）在 x 轴上，B 是线段
38、PA 的中点将线段 PB 绕着点 P 顺时针方向旋转 90，得到线段 PC，连结 OB、BC （1）判断PBC 的形状，并简要说明理由； （2）当 t0 时，试问：以 P、O、B、C 为顶点的四边形能否为平行四边形？若 能，求出相应的 t 的值？若不能，请说明理由； （3）当 t 为何值时， AOP 与APC 相似？ 【考点】相似形综合题 【分析】（1）根据旋转的现在得出 PB=PC，再根据 B 是线段 PA 的中点，得出 BPC=90，从而得出PBC 是等腰直角三角形 （2）根据OBP=BPC=90 ，得出 OBPC，再根据 B 是 PA 的中点，得出四边 形 POBC 是平行四边形，当 O
39、BBP 时，得出 OP2=2OB2，即 t2=2（ t2+1），求 出符合题意的 t 的值，即可得出答案； （3）根据题意得出AOP=APC=90，再分两种情况讨论，当 = = 时和 = = 时，得出AOPAPC 和AOPCPA，分别求出 t 的值即可 【解答】解：（1）PBC 是等腰直角三角形，理由如下： 线段 PB 绕着点 P 顺时针方向旋转 90，得到线段 PC， PB=PC ， B 是线段 PA 的中点， BPC=90， PBC 是等腰直角三角形 （2）当 OBBP 时，以 P、O 、B 、C 为顶点的四边形为平行四边形 OBP= BPC=90 ， OBPC， B 是 PA 的中点，
40、OB= AP=BP=PC， 四边形 POBC 是平行四边形， 当 OBBP 时，有 OP= OB，即 OP2=2OB2， t 2=2（ t2+1）， t 1=2，t 2=2（不合题意）， 当 t=2 时，以 P、O、B、C 为顶点的四边形为平行四边形 （3）由题意可知，AOP=APC=90， 当 = = 时， AOP APC， 此时 OP= OA=1， t= 1， 当 = = 时， AOP CPA， 此时 OP=2OA=4， t= 4， 当 t=1 或4 时，AOP 与CPA 相似 【点评】此题考查了相似形的综合，用到的知识点是旋转的性质、平行四边形 的判定，相似三角形的判定与性质，注意分情况讨论，不要漏解
