1、第 1 页（共 17 页） 2015-2016 学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 8 小题，共 32 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1若集合 A=x|1x2，B=x|x1，则 AB=（ ） A（1，2） B1，2 C1，1 D1 ，2） 2sin（ ）的值为（ ） A1 B1 C0 D 3若 是第二象限的角，P （x，6）为其终边上的一点，且 sin= ，则 x=（ ） A4 B 4 C 8 D8 4化简 =（ ） Acos20 B cos20 C cos20 D|cos20| 5已知 A（1，2），B（3，7）， =（x，1）， ，则（
2、 ） Ax= ，且 与 方向相同 Bx= ，且 与 方向相同 Cx= ，且 与 方向相反 Dx= ，且 与 方向相反 6已知函数：y=tanx，y=sin|x|， y=|sinx|， y=|cosx|，其中周期为 ，且在（0， ）上 单调递增的是（ ） A B C D 第 2 页（共 17 页） 7先把函数 y=cosx 的图象上所有点向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍 （纵坐标不变），得到的函数图象的解析式为（ ） Ay=cos（2x+ ） By=cos （2x ） Cy=cos（ x+ ） Dy=cos（ x ） 8若 m 是函数 f（x）= 2x+2 的一个零点，且
3、x1（0 ，m），x 2（m ，+），则 f（x 1）， f（x 2），f （m ）的大小关系为（ ） Af（x 1）f（m）f （x 2） Bf（m ）f（x 2）f（x 1） Cf（m）f（x 1）f（x 2） Df（x 2）f（m）f（x 1） 二填空题：本大题共 6 小题，每空 4 分，共 24 分.把答案填写在题中横线上. 9若 y=log2x 1，则 x 的取值范围是 10若函数 f（x）=x 2+3x4 在 x1，3上的最大值和最小值分别为 M，N ，则 M+N= 11若向量 =（2，1）， =（1，2），且 m +n =（5，5）（m ，nR），则 mn 的值为 12如图，在平
4、面四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，E 为线段 AO 的中点，若 （，R），则 += 13若函数 f（x）=sin（ x+）（其中 0）在（0， ）上单调递增，且 f（ ）+f（ ） =0，f（0）=1，则 = 第 3 页（共 17 页） 14已知函数 y=f（x），若对于任意 xR，f （2x）=2f（x）恒成立，则称函数 y=f（x）具有性质 P， （1）若函数 f（x）具有性质 P，且 f（4）=8，则 f（1）= ； （2）若函数 f（x）具有性质 P，且在（1，2上的解析式为 y=cosx，那么 y=f（x）在（1，8上有 且仅有 个零点 三解答题：本大题共 4 小题，
5、共 44 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15已知二次函数 f（x）=x 2+mx3 的两个零点为1 和 n， （）求 m，n 的值； （）若 f（3）=f（2a 3），求 a 的值 16已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，函数 f（x）=2 x1 （）求当 x0 时，f（x）的解析式； （）若 f（a）3，求 a 的取值范围 17已知函数 f（x）=2sin（2x ） （）求函数 f（x）的单调递增区间与对称轴方程； （）当 x0， 时，求函数 f（x）的最大值与最小值 18如果 f（x）是定义在 R 上的函数，且对任意的 xR，均有 f（ x） f（x）
6、，则称该函数是“X 函数” （）分别判断下列函数：y=2 x； y=x+1； y=x2+2x3 是否为“X函数”？（直接写出结论） （）若函数 f（x）=sinx+cosx+a 是“X 函数”，求实数 a 的取值范围； 第 4 页（共 17 页） （）已知 f（x）= 是“X函数”，且在 R 上单调递增，求所有可能的集合 A 与 B 第 5 页（共 17 页） 2015-2016 学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 8 小题，共 32 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1若集合 A=x|1x2，B=x|x1，则 AB=（ ）
7、 A（1，2） B1，2 C1，1 D1 ，2） 【考点】交集及其运算 【专题】计算题；方程思想；综合法；集合 【分析】利用交集定义求解 【解答】解：集合 A=x|1x2，B=x|x1， AB=x|1x2=1，2） 故选：D 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用 2sin（ ）的值为（ ） A1 B1 C0 D 【考点】运用诱导公式化简求值 【专题】计算题；三角函数的求值 【分析】根据正弦函数为奇函数，利用奇函数的性质化简原式，变形后利用诱导公式及特殊角的三 角函数值计算即可得到结果 【解答】解：sin（ ）=sin =sin（4+ ）= sin =1
8、， 故选：B 【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键 3若 是第二象限的角，P （x，6）为其终边上的一点，且 sin= ，则 x=（ ） 第 6 页（共 17 页） A4 B 4 C 8 D8 【考点】任意角的三角函数的定义 【专题】方程思想；转化思想；三角函数的求值 【分析】由题意与三角函数的定义可得： = ，x0，解出即可得出 【解答】解： 是第二象限的角， P（x，6）为其终边上的一点，且 sin= ， = ，x0， 解得 x=8 故选：C 【点评】本题考查了三角函数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 4化简 =（ ） Acos20 B cos
9、20 C cos20 D|cos20| 【考点】同角三角函数基本关系的运用 【专题】计算题；三角函数的求值 【分析】被开方数第二项利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系变形，利用二次根 式的性质化简即可得到结果 【解答】解：cos200， 原式 = = =|cos20|=cos20， 故选：A 【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键 5已知 A（1，2），B（3，7）， =（x，1）， ，则（ ） Ax= ，且 与 方向相同 Bx= ，且 与 方向相同 Cx= ，且 与 方向相反 Dx= ，且 与 方向相反 【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示
10、 第 7 页（共 17 页） 【专题】计算题；规律型；函数思想；平面向量及应用 【分析】求出 AB 向量，利用斜率平行求出 x，然后判断两个向量的方向即可 【解答】解：A（1，2），B（3，7）， 可得 =（2，5） =（x， 1）， ， 可得 5x=2，解得 x= =（ ，1），与 方向相反 故选：D 【点评】本题考查斜率共线，向量的坐标运算，是基础题 6已知函数：y=tanx，y=sin|x|， y=|sinx|， y=|cosx|，其中周期为 ，且在（0， ）上 单调递增的是（ ） A B C D 【考点】三角函数的周期性及其求法 【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性
11、质 【分析】利用三角函数的周期性，和三角函数的图象和性质对选项逐个分析即可 【解答】解：函数 y=tanx 中 =1，故周期 T= =；因为利用正切函数的图象可得在（0， ） 上单调递增，所以 A 正确； y=sin|x|为偶函数，根据图象判断它不是周期函数，所以 B 不正确； 由于函数 y=|sinx|周期为 2=，利用正弦函数的图象可得在（0， ）上单调递增，故正确； y=|cosx|是周期为 的三角函数，利用余弦函数的图象可得在（0， ）上单调递减，故不正确； 故选：B 【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，考查了三角函数的图象和性质，熟练掌握各类三角 函数的周期情况及求法是解决问题
12、的关键，属于中档题 第 8 页（共 17 页） 7先把函数 y=cosx 的图象上所有点向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍 （纵坐标不变），得到的函数图象的解析式为（ ） Ay=cos（2x+ ） By=cos （2x ） Cy=cos（ x+ ） Dy=cos（ x ） 【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换 【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质 【分析】利用导公式以及函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，可以求得变换后的函数的解析 式 【解答】解：将函数 y=cosx 的图象向右平移 个单位长度， 可得函数 y=2cos（x ）的图象； 再将
13、所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）， 可得到的函数 y=2cos（2x ）的图象， 故选：B 【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，属于中档题 8若 m 是函数 f（x）= 2x+2 的一个零点，且 x1（0 ，m），x 2（m ，+），则 f（x 1）， f（x 2），f （m ）的大小关系为（ ） Af（x 1）f（m）f （x 2） Bf（m ）f（x 2）f（x 1） Cf（m）f（x 1）f（x 2） Df（x 2）f（m）f（x 1） 【考点】函数零点的判定定理 【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用 【分
14、析】由已知得 m 是函数 g（x）= 与 h（x）=2 x2 图象的一个交点的横坐标，由此利用数形结 合思想能比较 f（x 1），f（x 2），f（m ）的大小关系 【解答】解：m 是 f（x）= 2x+2 的一个零点， m 是方程 的一个解， 即 m 是方程 的一个解， m 是函数 g（ x）= 与 h（x）=2 x2 图象的一个交点的横坐标， 第 9 页（共 17 页） 如图所示，若 x1（0，m），x 2（m，+）， 则 f（x 2）=g （x 2） h（x 2）0=f（m ）， f（x 1）=g （x 1） h（x 1）0=f （m ）， f（ x2）f（m）f（x 1） 故选：D 【
15、点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运 用 二填空题：本大题共 6 小题，每空 4 分，共 24 分.把答案填写在题中横线上. 9若 y=log2x 1，则 x 的取值范围是 （2，+） 【考点】指、对数不等式的解法 【专题】计算题；函数思想；数学模型法；不等式的解法及应用 【分析】直接利用对数函数的单调性求得 x 的取值范围 【解答】解：由 y=log2x1=log 22，得 x2 x 的取值范围是（2，+ ） 故答案为：（2，+） 【点评】本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的单调性，是基础题 10若函数 f（x）=x 2+3x4 在 x1，
16、3上的最大值和最小值分别为 M，N ，则 M+N= 8 【考点】二次函数的性质 【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用 【分析】求出 f（x）的对称轴，可得区间 1，3 为增区间，可得最值，即可得到 M+m 的值 第 10 页（共 17 页） 【解答】解：函数 f（x）=x 2+3x4 的对称轴为 x= ， 区间 1，3 在对称轴的右边， 即有 f（x）在区间1，3递增， 可得最小值 m=f（1）= 6； 最大 M=f（3）=14 ， 可得 M+m=8 故答案为：8 【点评】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于基 础题 11若向量 =（2，1）， =
17、（1，2），且 m +n =（5，5）（m ，nR），则 mn 的值为 2 【考点】平面向量的坐标运算 【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用 【分析】由已知得（2m，m）+（n，2n）=（2m+n，m 2n）=（5，5），由此能求出 mn 的值 【解答】解：向量 =（2， 1）， =（1， 2），且 m +n =（5，5）（m，nR ）， （ 2m，m）+（n，2n）= （ 2m+n，m2n）=（5，5）， ，解得 m=1，n=3， mn=2 故答案为：2 【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量的坐标运算法则的 合理运用 12如图，在平面四边形 AB
18、CD 中，AC，BD 相交于点 O，E 为线段 AO 的中点，若 （，R），则 += 第 11 页（共 17 页） 【考点】平面向量的基本定理及其意义 【专题】平面向量及应用 【分析】 ， ，可得 由 E 为线段 AO 的中点，可得 ，再利用平面向量基本定理即可得出 【解答】解： ， ， ， E 为线段 AO 的中点， ， ，2= ， 解得 = ， += 故答案为： 【点评】本题考查了平面向量基本定理、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题 13若函数 f（x）=sin（ x+）（其中 0）在（0， ）上单调递增，且 f（ ）+f（ ） =0，f（0）=1，则 = 2 【考点】y
19、=Asin （x+ ）中参数的物理意义；三角函数的化简求值 【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的图像与性质 【分析】由题意可得： ， + ，由 f（0）=1，解得 = ，3，由 f（ ） +f（ ）=0，解得：cos（ ）=cos ，即可解得 的值 第 12 页（共 17 页） 【解答】解：由函数 f（x）=sin（x+）（ 0）在区间（0， ）上单调递增，可得： ， + ， f（ 0）=1，解得：sin =1，可得： =2k ，kZ， = ，3， 由 f（ ）+f（ ）=0 ， 可得：sin （ ）+sin（ ）=0 ， 解得：cos（ ）=cos ， = ，或 =2 ，解得：=2
20、或 6（舍去） 故答案为：2 【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，由函数 y=Asin（x+）的部分图象求解析式，属于中 档题 14已知函数 y=f（x），若对于任意 xR，f （2x）=2f（x）恒成立，则称函数 y=f（x）具有性质 P， （1）若函数 f（x）具有性质 P，且 f（4）=8，则 f（1）= 2 ； （2）若函数 f（x）具有性质 P，且在（1，2上的解析式为 y=cosx，那么 y=f（x）在（1，8上有 且仅有 3 个零点 【考点】抽象函数及其应用 【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用 【分析】（1）根据性质 P 的条件，利用方程关系进行递推即可 （2）根据性质
21、 P 的条件，分别求出函数的解析式，利用函数零点的定义解方程即可 【解答】解：（1）因为函数 y=f（x），具有性质 P， 所以对于任意 xR，f（2x） =2f（x）恒成立， 所以 f（4）=f（22）=2f（2）=2f（21）=4f（1）=8， 所以 f（1）=2 （2）若函数 y=f（x）具有性质 P，且在（1，2 上的解析式为 y=cosx， 第 13 页（共 17 页） 由 y=cosx=0，则 x= ， 由 f（2x）=2f（x）得 f（x）=2f（ ）， 若 2x4，则 1 2，则 f（x）=2f（ ）=2cos ， 则函数 f（x）在（2，4 上的解析式为 y=2cos ， 由
22、 2cos =0，得 x=， 若 4x8，则 2 4，则 f（x）=2f（ ）=4cos ， 在（4，8上的解析式为 y=4cos ， 由 y=4cos =0 得 x=2， 所以 y=f（x）在（1，8上有且仅有 3 个零点，分别是 ， ，2 故 y=f（x）在（1，8上有且仅有 3 个零点， 故答案为：2，3 【点评】本题主要考查抽象函数的应用，利用定义进行递推以及求出函数的解析式是解决本题的关 键考查学生的运算和推理能力 三解答题：本大题共 4 小题，共 44 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15已知二次函数 f（x）=x 2+mx3 的两个零点为1 和 n， （）求 m，n
23、 的值； （）若 f（3）=f（2a 3），求 a 的值 【考点】二次函数的性质；函数的零点与方程根的关系 【专题】计算题；规律型；函数思想；方程思想；函数的性质及应用 【分析】（）利用函数的零点与方程根的关系，列出方程求解即可得到 m，n 的值； （）通过 f（3）=f（2a 3），利用二次函数的对称性即可求 a 的值 【解答】解：（）因为二次函数二次函数 f（x）=x 2+mx3 的两个零点为 1 和 n， 所以，1 和 n 是方程 x2+mx3=0 的两个根 则1+n=m，1n= 3， 第 14 页（共 17 页） 所以 m=2，n=3 （）因为函数 f（x）=x 22x3 的对称轴为
24、x=1 若 f（3）=f（2a 3）， 则 =1 或 2a3=3 得 a=1 或 a=3 综上，a=1 或 a=3 【点评】本题考查二次函数的性质的应用，考查计算能力 16已知函数 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，函数 f（x）=2 x1 （）求当 x0 时，f（x）的解析式； （）若 f（a）3，求 a 的取值范围 【考点】奇偶性与单调性的综合；函数解析式的求解及常用方法 【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】（）当 x0 时，x0，利用条件，即可 f（x）的解析式； （）若 f（a）3，f（2）=3 ，根据 f（x）在 R 上是单调递增函数求 a 的取
25、值范围 【解答】解：（）当 x0 时，x0，则 f（x）=2 x1 因为 f（x）是奇函数，所以 f（ x）= f（x） 所以当 x0 时，f（x）= f（ x）= 2x+1 （）因为 f（a）3，f（2）=3， 所以 f（x）f （2） 又因为 f（x）在 R 上是单调递增函数， 所以 a2 【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生的计算能力，属于中档题 第 15 页（共 17 页） 17已知函数 f（x）=2sin（2x ） （）求函数 f（x）的单调递增区间与对称轴方程； （）当 x0， 时，求函数 f（x）的最大值与最小值 【考点】三角函数的最值；正弦函数的奇偶性；正弦函数的对称
26、性 【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】（） 解 2k 2x 2k+ 可得单调递增区间，解 2x =2k+ 可得对称轴方程； （） 由 x 的范围可得 2x ，可得三角函数的最值 【解答】解：（）f（x） =2sin（2x ）， 由 2k 2x 2k+ 可得 k xk+ ， 函数 f（x）的单调递增区间为 k ，k+ ，kZ ， 由 2x =2k+ 可得 x=k+ ，kZ， f（ x）的对称轴方程为 x=k+ ，kZ； （）0x ， 2x ， sin（2x ） 1， 当 2x = 即 x=0 时，f（x）的最小值为1， 当 2x = 即 x= 时，f（x）的最大值为 2 【
27、点评】本题考查三角函数的最值，涉及三角函数的单调性和对称性，属基础题 18如果 f（x）是定义在 R 上的函数，且对任意的 xR，均有 f（ x） f（x），则称该函数是“X 函数” （）分别判断下列函数：y=2 x； y=x+1； y=x2+2x3 是否为“X函数”？（直接写出结论） （）若函数 f（x）=sinx+cosx+a 是“X 函数”，求实数 a 的取值范围； 第 16 页（共 17 页） （）已知 f（x）= 是“X函数”，且在 R 上单调递增，求所有可能的集合 A 与 B 【考点】函数单调性的判断与证明 【专题】新定义；分类讨论；反证法；函数的性质及应用 【分析】（）根据“X
28、函数 ”的定义即可判断所给的 3 个函数是否为 “X函数”； （）由题意，对任意 xR，f （ x）f（x），利用不等式求出 a 的取值范围； （）（1）根据题意，判断对任意的 x0，x 与 x 恰有一个属于 A，另一个属于 B； （2）用反证法说明（，0） B，（0，+）A； （3）用反证法说明 0A，即得 A、B 【解答】解：（）、是“X 函数” ， 不是“X 函数”； （说明：判断正确一个或两个函数给 1 分） （）由题意，对任意的 xR，f （ x）f（x），即 f（ x）+f（x） 0； 因为 f（x）=sinx+cosx+a， 所以 f（ x）=sinx+cosx+a， 故 f（x
29、）+f（x）=2cosx+2a； 由题意，对任意的 xR，2cosx+2a0，即 acosx； 又 cosx1，1， 所以实数 a 的取值范围为（，1） （1，+）； （）（1）对任意的 x0， （i）若 xA 且xA，则 xx，f（x）=f（x）， 这与 y=f（x）在 R 上单调递增矛盾，（舍去）， （ii）若 xB 且 xB，则 f（ x）=x=f（x）， 这与 y=f（x）是“X 函数”矛盾，（舍去）； 此时，由 y=f（x）的定义域为 R， 故对任意的 x0，x 与 x 恰有一个属于 A，另一个属于 B； 第 17 页（共 17 页） （2）假设存在 x00，使得 x0A，则由 x0 ，故 f（x 0）f （ ）； （i）若 A，则 f（ ）= +1 +1=f（x 0），矛盾， （ii）若 B，则 f（ ）= 0 +1=f（x 0），矛盾； 综上，对任意的 x0，xA，故 xB，即（，0）B，则（0，+）A； （3）假设 0B，则 f（0）=f（0）=0 ，矛盾，故 0A； 故 A=0，+）， B=（，0； 经检验 A=0，+），B=（，0），符合题意 【点评】本题考查了新定义的函数的应用问题，也考查了反证法与分类讨论思想的应用问题，是综 合性题目
