1、第 1 页（共 29 页） 2015-2016 学年辽宁省大连市中山区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1已知四条线段满足 ，将它改写成为比例式，下面正确的是（ ） A B C D 2二次函数 y=2（x1） 2+3 的图象的顶点坐标是（ ） A（1，3） B（1，3） C（1，3） D（1，3） 3下列事件中，必然事件是（ ） A抛出一枚硬币，落地后正面向上 B打开电视，正在播放广告 C篮球队员在罚球线投篮一次，未投中 D实心铁球投入水中会沉入水底 4如图，点 A，B，C，D 都在O 上，AC，BD 相交于点 E，则ABD=（ ） AACD
2、 BADB CAED DACB 5用配方法解一元二次方程 x24x=5 时，此方程可变形为（ ） A（x+2） 2=1 B（x2） 2=1 C（x+2） 2=9 D（x2） 2=9 6若ABCABC，相似比为 1：2，则ABC 与ABC的面积的比为（ ） A1：2 B2：1 C1：4 D4：1 7已知函数 y=x2+2x3，当 x=m 时，y0，则 m 的值可能是（ ） A4 B0 C2 D3 8一个圆锥的高为 4cm，底面圆的半径为 3cm，则这个圆锥的侧面积为（ ） A12cm 2 B15cm 2 C20cm 2 D30cm 2 二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30
3、 分） 第 2 页（共 29 页） 9方程 x24x+c=0 有两个不相等的实数根，则 c 的取值范围是 10在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时测得一根旗杆的影长为 25m，那么 这根旗杆的高度为 m 11如图，在直角OAB 中，AOB=30，将OAB 绕点 O 逆时针旋转 100得到OA 1B1，则 A 1OB= 12抽屉里放着黑白两种颜色的袜子各 1 双（除颜色外其余都相同），在看不见的情况下随机摸出 两只袜子，它们恰好同色的概率是 13一元二次方程 x2+px2=0 的一个根为 2，则 p 的值 14如图，在O 中，已知半径为 5，弦 AB 的长为 8，那么圆
4、心 O 到 AB 的距离为 15如图，要使ABC 与DBA 相似，则只需添加一个适当的条件是 （填一个即可） 16二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，其对称轴与 x 轴交于点（1，0），图象上有三个点 分别为（2，y 1），（3，y 2），（0，y 3），则 y1、y 2、y 3的大小关系是 （用“”“” 或“=”连接） 第 3 页（共 29 页） 三、解答题（本大题共有 4 小题，共 39 分） 17解方程： （1）x 24x+1=0； （2）x（x2）+x2=0 18如图，ABC 的三个顶点都在格点上，每个小方格边长均为 1 个单位长度 （1）请你作出ABC 关于点 O 成中心
5、对称的A 1B1C1（其中 A 的对称点是 A1，B 的对称点是 B1，C 的对称点是 C1）； （2）直接写出点 B1、C 1的坐标 19如图，四边形 ABCD 内接于O，E 为 AB 延长线上一点，若AOC=140求EBC 的度数 第 4 页（共 29 页） 20一只不透明的箱子里共有 3 个球，把它们的分别编号为 1，2，3，这些球除编号不同外其余都 相同，从箱子中随机摸出一个球，记录下编号后将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球并记录下编 号 （1）用树状图或列表法举出所有可能出现的结果； （2）求两次摸出的球都是编号为 3 的球的概率 四、解答题（本大题共有 4 小题，共 39 分） 21
6、如图，RtABC 中，C=90，AB=10，AC=8，E 是 AC 上一点，AE=5，EDAB 于 D （1）求证：ACBADE； （2）求 AD 的长度 22如图，进行绿地的长、宽各增加 xm （1）写出扩充后的绿地的面积 y（m 2）与 x（m）之间的函数关系式； （2）若扩充后的绿地面积 y 是原矩形面积的 2 倍，求 x 的值 23如图，AB 是O 的直径，点 C、D 在O 上，且 AC 平分BAD，点 E 为 AB 的延长线上一点，且 ECB=CAD （1）填空：ACB= ，理由是 ； 求证：CE 与O 相切； （2）若 AB=6，CE=4，求 AD 的长 第 5 页（共 29 页）
7、 五、解答题（本大题共有 3 小题，共 35 分） 24如图 1，在ABC 中，A=120，AB=AC，点 P、Q 同时从点 B 出发，以相同的速度分别沿折线 BAC、射线 BC 运动，连接 PQ当点 P 到达点 C 时，点 P、Q 同时停止运动设 BQ=x，BPQ 与 ABC 重叠部分的面积为 S如图 2 是 S 关于 x 的函数图象（其中 0x8，8xm，mx16 时， 函数的解析式不同） （1）填空：m 的值为 ； （2）求 S 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）请直接写出PCQ 为等腰三角形时 x 的值 25如图（1），将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 2（09
8、0）至 AC，P 是过 A，B，C 的三 点圆上任意一点 （1）当 =30时，如图（1），求证：PC=PA+PB； （2）当 =45时，如图（2），PA，PB，PC 三条线段间是否还具有上述数量关系？若有，请说明 理由；若不具有，请探索它们的数量关系 第 6 页（共 29 页） 26如图，抛物线 y=a（x m） 2m（其中 m1）与其对称轴 l 相交于点 P，与 y 轴相交于点 A（0，m）点 A 关于直线 l 的对称点为 B，作 BCx 轴于点 C，连接 PC、PB，与抛物线、x 轴分别 相交于点 D、E，连接 DE将PBC 沿直线 PB 翻折，得到PBC （1）该抛物线的解析式为 （用含
9、 m 的式子表示）； （2）探究线段 DE、BC 的关系，并证明你的结论； （3）直接写出 C点的坐标（用含 m 的式子表示） 第 7 页（共 29 页） 2015-2016 学年辽宁省大连市中山区九年级（上）期末数学 试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1已知四条线段满足 ，将它改写成为比例式，下面正确的是（ ） A B C D 【考点】比例线段 【分析】根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积对选项一一分析，选出正确答案 【解答】解：根据四条线段满足 ，可得 ab=cd， A、如果 = ，那么 ad=cb，故此选项错误； B、如果 =
10、，那么 ad=bc，故此选项错误； C、如果 = ，那么 ab=cd，故此选项正确； D、如果 = ，那么 ac=bd，故此选项错误 故选：C 【点评】此题主要考查了比例线段，掌握比例的基本性质，根据比例的基本性质实现比例式和等积 式的互相转换是解题关键 2二次函数 y=2（x1） 2+3 的图象的顶点坐标是（ ） A（1，3） B（1，3） C（1，3） D（1，3） 【考点】二次函数的性质 【分析】根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可 【解答】解：二次函数 y=2（x1） 2+3 的图象的顶点坐标为（1，3） 故选 A 第 8 页（共 29 页） 【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练
11、掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关 键 3下列事件中，必然事件是（ ） A抛出一枚硬币，落地后正面向上 B打开电视，正在播放广告 C篮球队员在罚球线投篮一次，未投中 D实心铁球投入水中会沉入水底 【考点】随机事件 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可 【解答】解：抛出一枚硬币，落地后正面向上是随机事件，A 不正确； 打开电视，正在播放广告是随机事件，B 不正确； 篮球队员在罚球线投篮一次，未投中是随机事件，C 不正确； 实心铁球投入水中会沉入水底是必然事件，D 正确 故选：D 【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下一
12、定发 生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件不确定事件即随机事件是指在一定 条件下，可能发生也可能不发生的事件 4如图，点 A，B，C，D 都在O 上，AC，BD 相交于点 E，则ABD=（ ） AACD BADB CAED DACB 【考点】圆周角定理 【专题】几何图形问题 【分析】根据圆周角定理即可判断 A、B、D，根据三角形外角性质即可判断 C 【解答】解：A、ABD 对的弧是弧 AD，ACD 对的弧也是 AD， 第 9 页（共 29 页） ABD=ACD，故 A 选项正确； B、ABD 对的弧是弧 AD，ADB 对的弧也是 AB，而已知没有说 = ， ABD 和ACD 不
13、相等，故 B 选项错误； C、AEDABD，故 C 选项错误； D、ABD 对的弧是弧 AD，ACB 对的弧也是 AB，而已知没有说 = ， ABD 和ACB 不相等，故 D 选项错误； 故选：A 【点评】本题考查了圆周角定理和三角形外角性质的应用，注意：在同圆或等圆中，同弧或等弧所 对的圆周角相等 5用配方法解一元二次方程 x24x=5 时，此方程可变形为（ ） A（x+2） 2=1 B（x2） 2=1 C（x+2） 2=9 D（x2） 2=9 【考点】解一元二次方程-配方法 【专题】配方法 【分析】配方法的一般步骤： （1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为 1； （3）等
14、式两边同时加上一次项系数一半的平方 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2 的倍数 【解答】解：x 24x=5，x 24x+4=5+4，（x2） 2=9故选 D 【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用 6若ABCABC，相似比为 1：2，则ABC 与ABC的面积的比为（ ） A1：2 B2：1 C1：4 D4：1 第 10 页（共 29 页） 【考点】相似三角形的性质 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可得解 【解答】解：ABCABC，相似比为 1：2， ABC 与ABC的面积的比为 1：4 故选：C
15、【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关 键 7已知函数 y=x2+2x3，当 x=m 时，y0，则 m 的值可能是（ ） A4 B0 C2 D3 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【专题】计算题 【分析】根据函数图象得到3x1 时，y0，即可作出判断 【解答】解：令 y=0，得到 x2+2x3=0，即（x1）（x+3）=0， 解得：x=1 或 x=3， 由函数图象得：当3x1 时，y0， 则 m 的值可能是 0 故选 B 【点评】此题考查了抛物线与 x 轴的交点，利用了数形结合的思想，求出 x 的范围是解本题的关 键 8一个圆锥的高为 4cm，底面圆
16、的半径为 3cm，则这个圆锥的侧面积为（ ） A12cm 2 B15cm 2 C20cm 2 D30cm 2 【考点】圆锥的计算 【专题】计算题 【分析】首先根据圆锥的高和底面半径求得圆锥的母线长，然后计算侧面积即可 【解答】解：圆锥的高是 4cm，底面半径是 3cm， 根据勾股定理得：圆锥的母线长为 =5cm， 则底面周长=6， 第 11 页（共 29 页） 侧面面积= 65=15cm 2 故选：B 【点评】考查了圆锥的计算，首先利用勾股定理求得圆锥的母线长是解决此题的关键 二、填空题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 9方程 x24x+c=0 有两个不相等的实数根，则
17、 c 的取值范围是 c4 【考点】根的判别式 【分析】利用方程有两个不相等的实数根时0，建立关于 c 的不等式，求出 c 的取值范围即 可 【解答】解：由题意得=b 24ac=164c0， 解得 c4， 故答案为 c4 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b 24ac 有如下关 系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）=0方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根 10在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时测得一根旗杆的影长为 25m，那么 这根旗杆的高度为 15 m 【考点】相似三角形的应用 【分析】根据同时同
18、地物高与影长成正比列式计算即可得解 【解答】解：设旗杆高度为 x 米， 由题意得， = ， 解得 x=15 故答案为：15 【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记 第 12 页（共 29 页） 11如图，在直角OAB 中，AOB=30，将OAB 绕点 O 逆时针旋转 100得到OA 1B1，则 A 1OB= 70 【考点】旋转的性质 【专题】探究型 【分析】直接根据图形旋转的性质进行解答即可 【解答】解：将OAB 绕点 O 逆时针旋转 100得到OA 1B1，AOB=30， OABOA 1B1， A 1OB1=AOB=30 A 1OB=A 1OAAOB=
19、70 故答案为：70 【点评】本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转前后对应边、对应角均相等的性质是解答此题的 关键 12抽屉里放着黑白两种颜色的袜子各 1 双（除颜色外其余都相同），在看不见的情况下随机摸出 两只袜子，它们恰好同色的概率是 【考点】列表法与树状图法 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与它们恰好同色的情况， 再利用概率公式即可求得答案 【解答】解：画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，它们恰好同色的有 4 种情况， 它们恰好同色的概率是： = 第 13 页（共 29 页） 故答案为： 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率注意列表法或画树
20、状图法可以不重复不遗漏 地列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 13一元二次方程 x2+px2=0 的一个根为 2，则 p 的值 1 【考点】一元二次方程的解 【分析】根据一元二次方程的解的定义把 x=2 代入方程 x2+px2=0 得到关于 P 的一元一次方程， 然后解此方程即可 【解答】解：把 x=2 代入方程 x2+px2=0 得 4+2p2=0，解得 p=1 故答案为：1 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元 二次方程的解 14如图，在O 中，已知半径为 5，弦 AB 的长为 8，那么圆心 O 到 AB 的
21、距离为 3 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】作 OCAB 于 C，连接 OA，根据垂径定理得到 AC=BC= AB=4，然后在 RtAOC 中利用勾股 定理计算 OC 即可 【解答】解：作 OCAB 于 C，连结 OA，如图， OCAB， AC=BC= AB= 8=4， 在 RtAOC 中，OA=5， OC= = =3， 即圆心 O 到 AB 的距离为 3 故答案为：3 第 14 页（共 29 页） 【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧也考查了勾 股定理 15如图，要使ABC 与DBA 相似，则只需添加一个适当的条件是 C=BAD （填一个即可） 【考
22、点】相似三角形的判定 【专题】开放型 【分析】根据相似三角形的判定： （1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似， 进行添加即可 【解答】解：B=B（公共角）， 可添加：C=BAD 此时可利用两角法证明ABC 与DBA 相似 故答案可为：C=BAD 【点评】本题考查了相似三角形的判定，注意掌握相似三角形判定的三种方法，本题答案不唯一 16二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，其对称轴与 x 轴交于点（1，0），图象上有三个点 分别为（2，y 1），（3，y
23、 2），（0，y 3），则 y1、y 2、y 3的大小关系是 y 3y 2y 1 （用 “”“”或“=”连接） 第 15 页（共 29 页） 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【专题】数形结合 【分析】先确定抛物线对称轴为直线 x=1，然后二次函数的性质，通过比较三个点到直线 x=1 的距离的大小得到 y1、y 2、y 3的大小关系 【解答】解：抛物线的对称轴与 x 轴交于点（1，0）， 抛物线的对称轴为直线 x=1， 点（2，y 1）到直线 x=1 的距离最大，点（0，y 3）到直线 x=1 的距离最小， y 3y 2y 1 故答案为 y3y 2y 1 【点评】本题考查了二次函数图象上点的
24、坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式运用 二次函数的性质是解决本题的关键 三、解答题（本大题共有 4 小题，共 39 分） 17解方程： （1）x 24x+1=0； （2）x（x2）+x2=0 【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法 【分析】（1）方程常数项移到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式， 右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解； （2）分解因式后得出（x+1）（x2）=0，推出 x+1=0，x2=0，求出方程的解即可 【解答】解：（1）方程变形得：x 24x=1， 配方得：x 24x+4=3，即（x2） 2=3， 开方得：x2=
25、， 则 x1=2+ ，x 2=2 ； 第 16 页（共 29 页） （2）（x+1）（x2）=0， （x+1）（x2）=0， 解得 x1=1，x 2=2 【点评】本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程的应用，解（1）小题的关键是正确配方， 解（2）小题的关键是将一元二次方程转化成一元一次方程，题目比较典型，难度也适中 18如图，ABC 的三个顶点都在格点上，每个小方格边长均为 1 个单位长度 （1）请你作出ABC 关于点 O 成中心对称的A 1B1C1（其中 A 的对称点是 A1，B 的对称点是 B1，C 的对称点是 C1）； （2）直接写出点 B1、C 1的坐标 【考点】作图-旋转变换 【
26、分析】（1）作出点 A、B、C 关于坐标原点 O 成中心对称的点，顺次连接即可 （2）根据图形直接写出点 B1、C 1的坐标 【解答】解：（1）如图所示： 第 17 页（共 29 页） （2）根据上图可知，B 1（2，2），C 1（5，1） 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应点的连线段的夹角都等于旋转角， 对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺 次连接得出旋转后的图形 19如图，四边形 ABCD 内接于O，E 为 AB 延长线上一点，若AOC=140求EBC 的度数 【考点】圆内接四边形的性质 【分析】根据圆周角定理得到D=
27、 AOC=70，根据圆内接四边形的性质得到答案 【解答】解：由圆周角定理得，D= AOC=70， 由圆内接四边形的性质得，EBC=D=70 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的任意一个外 角等于它的内对角是解题的关键 20一只不透明的箱子里共有 3 个球，把它们的分别编号为 1，2，3，这些球除编号不同外其余都 相同，从箱子中随机摸出一个球，记录下编号后将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球并记录下编 号 （1）用树状图或列表法举出所有可能出现的结果； （2）求两次摸出的球都是编号为 3 的球的概率 【考点】列表法与树状图法 【分析】（1）直接画树状图或列表法
28、举出所有可能出现的结果即可； （2）由（1）中的树状图，找到两次摸出的球都是编号为 3 的球的情况数，然后利用概率公式求解 即可 【解答】解： 第 18 页（共 29 页） （1）画树状图如下： 由树状图可知所有可能出现的结果共 9 种； （2）由（1）中考共有 9 种等可能的结果，两次摸出的球都是编号为 3 的球的情况数是 1 种，所以 其概率为 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结 果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回 实验还是不放回实验用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 四、解答
29、题（本大题共有 4 小题，共 39 分） 21如图，RtABC 中，C=90，AB=10，AC=8，E 是 AC 上一点，AE=5，EDAB 于 D （1）求证：ACBADE； （2）求 AD 的长度 【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】（1）求出EDA=C=90，根据相似三角形的判定得出相似即可； （2）根据相似得出比例式，代入求出即可 【解答】（1）证明：DEAB，C=90， EDA=C=90， A=A， ACBADE； （2）解：ACBADE， = ， 第 19 页（共 29 页） = ， AD=4 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，能推出ACBADE 是解此题的关键
30、22如图，进行绿地的长、宽各增加 xm （1）写出扩充后的绿地的面积 y（m 2）与 x（m）之间的函数关系式； （2）若扩充后的绿地面积 y 是原矩形面积的 2 倍，求 x 的值 【考点】二次函数的应用 【专题】几何图形问题 【分析】（1）由图可以直接得到扩充后的绿地的面积 y（m 2）与 x（m）之间的函数关系式，然后 写出关系，化简即可； （2）根据扩充后的绿地面积 y 是原矩形面积的 2 倍，可以得到相应的关系式，从而得到 x 的值 【解答】解：（1）由图可得， 扩充后的绿地的面积 y（m 2）与 x（m）之间的函数关系式是：y=（30xm+m）（20xm+m） =600x2m2+50
31、xm2+m2， 即扩充后的绿地的面积 y（m 2）与 x（m）之间的函数关系式是：y=600x 2m2+50xm2+m2； （2）扩充后的绿地面积 y 是原矩形面积的 2 倍， 600x 2m2+50xm2+m2=230xm20xm， 解得 （舍去）， 即扩充后的绿地面积 y 是原矩形面积的 2 倍，x 的值是 【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出题目中的数量关系，利用数形结 合的思想解答问题 第 20 页（共 29 页） 23如图，AB 是O 的直径，点 C、D 在O 上，且 AC 平分BAD，点 E 为 AB 的延长线上一点，且 ECB=CAD （1）填空：ACB=
32、90 ，理由是 直径所对的圆周角是直角 ； 求证：CE 与O 相切； （2）若 AB=6，CE=4，求 AD 的长 【考点】切线的判定 【分析】（1）根据圆周角定理即可求得； 连接 OC欲证明 CE 是O 的切线，只需证明 CEOC 即可； （2）根据弦切角定理求得 BE，进一步求得 AC=4，得出ACE 和BCE 是等腰三角形，得出 BC=BE=2，进一步证得DAB=ABC，从而证得 AD=BC=2 【解答】解：AB 为O 的直径， ACB=90， 故答案为 90，直径所对的圆周角是直角； 连接 OC，则CAO=ACO， AC 平分BAB， BAC=CAD， ECB=CAD BAC=ECB
33、ECB=ACO， ACO+OCB=90， ECB+OCB=90，即 CEOC CE 与O 相切； （2）CE 与O 相切， CE 2=BEAE， AB=6，CE=4， 第 21 页（共 29 页） 4 2=BE（BE+6）， BE=2， AE=6+2=8， ACECBE， = ，即 = ， AC=4， AC=CE=4， CAB=E， ECB=E， ABC=2ECB=2BAC，BC=BE=2， DAB=ABC， AD=BC=2 【点评】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质等；证明某 一线段是圆的切线时，一般情况下是连接切点与圆心，通过证明该半径垂直于这一线段来判定
34、切 线 五、解答题（本大题共有 3 小题，共 35 分） 24如图 1，在ABC 中，A=120，AB=AC，点 P、Q 同时从点 B 出发，以相同的速度分别沿折线 BAC、射线 BC 运动，连接 PQ当点 P 到达点 C 时，点 P、Q 同时停止运动设 BQ=x，BPQ 与 ABC 重叠部分的面积为 S如图 2 是 S 关于 x 的函数图象（其中 0x8，8xm，mx16 时， 函数的解析式不同） （1）填空：m 的值为 8 ； （2）求 S 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）请直接写出PCQ 为等腰三角形时 x 的值 第 22 页（共 29 页） 【考点】动点问题的函
35、数图象 【分析】（1）根据题意求出 BC 的长即可 （2）分三种情形0m8，8 x16，8 x16，分别求出APQ 面积即可 （3）分三种情形讨论当点 P 在 AB 上，点 Q 在 BC 上，PQC 不可能为等腰三角形当点 P 在 AC 上，点 Q 在 BC 上，根据 PQ=QC 列出方程即可当点 P 在 AC 上，点 Q 在 BC 的延长线，根据 CP=CQ 列出方程即可 【解答】解：（1）如图 1 中，作 AMBC，PNBC，垂足分别为 M，N 由题意 AB=AC=8，A=120， BAM=CAM=60，B=C=30， AM= AB=4，BM=CM=4 ， BC=8 ， m=BC=8 ，
36、故答案为 8 （2）当 0m8 时，如图 1 中， 在 RTPBN 中，PNB=90，B=30，PB=x， PN= x s= BQPN= x x= x2 当 8 x16，如图 2 中， 在 RTPBN 中，PC=16x，PNC=90，C=30， PN= PC=8 x， s= BQPN= x（8 x）= x2+4x 第 23 页（共 29 页） 当 8 x16 时， s= 8 （8 x）=2 x+32 （3）当点 P 在 AB 上，点 Q 在 BC 上时，PQC 不可能是等腰三角形 当点 P 在 AC 上，点 Q 在 BC 上时，PQ=QC， PC= QC， 16x= （8 x）， x=4 +4
37、 当点 P 在 AC 上，点 Q 在 BC 的延长线时，PC=CQ， 即 16x=x8 ， x=8+4 PCQ 为等腰三角形时 x 的值为 4 +4 或 8+4 【点评】本题考查动点问题、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是读懂 图象信息，学会分类讨论的思想，属于中考常考题型 25如图（1），将线段 AB 绕点 A 逆时针旋转 2（090）至 AC，P 是过 A，B，C 的三 点圆上任意一点 （1）当 =30时，如图（1），求证：PC=PA+PB； （2）当 =45时，如图（2），PA，PB，PC 三条线段间是否还具有上述数量关系？若有，请说明 理由；若不具有，请探索它们的
38、数量关系 第 24 页（共 29 页） 【考点】全等三角形的判定与性质；圆周角定理 【分析】（1）首先在 PC 上截取 PD=PA，易知ABC 是等边三角形，可得PAD 是等边三角形，继 而可证明ACDBAP，则 CD=PB，从而得出 PC=PB+PA； （2）PC= PA+PB，作 ADAP 与 PC 交于一点 D，易证ACDABP，则 CD=PB，AD=AP，根据勾股 定理 PD= PA，所以 PC= PA+PB 【解答】证明：（1）如图（1），在 PA 上截取 PD=PA， AB=AC，CAB=60， ABC 为等边三角形， APC=CPB=60， APD 为等边三角形， AP=AD=P
39、D， ADC=APB=120， 在ACD 和ABP 中， ， ACDABP（AAS）， CD=PB， PC=PD+DC， PC=PA+PB； （2）PC= PA+PB， 如图（2），作 ADAP 与 PC 交于一点 D， BAC=90， CAD=BAP， 在ACD 和ABP 中， 第 25 页（共 29 页） ， ACDABP， CD=PB，AD=AP， 根据勾股定理 PD= PA， PC=PD+CD= PA+PB 【点评】此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质掌握辅 助线的作法以及熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键 26如图，抛物线 y=a（x m
40、） 2m（其中 m1）与其对称轴 l 相交于点 P，与 y 轴相交于点 A（0，m）点 A 关于直线 l 的对称点为 B，作 BCx 轴于点 C，连接 PC、PB，与抛物线、x 轴分别 相交于点 D、E，连接 DE将PBC 沿直线 PB 翻折，得到PBC （1）该抛物线的解析式为 y= ； （用含 m 的式子表示）； （2）探究线段 DE、BC 的关系，并证明你的结论； （3）直接写出 C点的坐标（用含 m 的式子表示） 【考点】二次函数综合题 【分析】（1）将点 A 的坐标代入抛物线解析式，即可求出 a 的值； 第 26 页（共 29 页） （2）根据抛物线的解析式，求出顶点 P 的坐标，根
41、据对称轴，求出点 B，C 的坐标，根据待定系数 法求出直线 BP、CP 的解析式，求出点 D、E 的坐标，进而求出 DE，BC 的长度，即可解得； （3）连接 CC交直线 BP 于点 F，则 CCBP，且 CF=CF，求出 CC的解析式，进而求得点 F 的坐标，根据 CF=CF，即可解答 【解答】解：（1）把点 A（0，m）代入 y= ， 得：2am 2m=m， am1=0， am1， a= ， y= ， 故答案为：y= ； （2）DE= BC 理由：又抛物线 y= ，可得抛物线的顶点坐标 P（ m，m）， 由 l：x= m，可得：点 B（2 m，m）， 点 C（2 m，0） 设直线 BP 的
42、解析式为 y=kx+b，点 P（ m，m）和点 B（2 m，m）在这条直线上， 得： ，解得： ， 直线 BP 的解析式为：y= x3m， 令 y=0， x3m=0，解得：x= ， 点 D（ ，0）； 设直线 CP 的解析式为 y=k1x+b1，点 P（ m，m）和点 C（2 m，0）在这条直线上， 得： ，解得： ， 直线 CP 的解析式为：y= x2m； 第 27 页（共 29 页） 抛物线与直线 CP 相交于点 E，可得： ，解得： ， （舍去）， 点 E（ ， ）； x D=xE， DEx 轴， DE=y Dy E= ，BC=y By C=m=2DE， 即 DE= BC； （3）C（
43、， ） 连接 CC，交直线 BP 于点 F， BC=BC，CBF=CBF， CCBP，CF=CF， 设直线 BP 的解析式为 y=kx+b，点 B（2 m，m），P（ m，m）在直线上， ，解得： ， 直线 BP 的解析式为：y= x3m， CCBP， 设直线 CC的解析式为：y= x+b1， ，解得：b 1=2m， 联立，得： ，解得： ， 点 F（ ， ）， CF= = ， 第 28 页（共 29 页） 设点 C的坐标为（a， ）， CF= = ，解得：a= ， ， C（ ， ） 【点评】本题主要考查二次函数与一次函数的综合运用，能够熟练求出直线的解析式和各点的坐标 是解决此题的关键 第 29 页（共 29 页）
