1、第 1 页（共 33 页） 2016-2017 学年北京市通州区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）第 1-10 题均有四个选项，符合题意 的选项只有一个. 1已知 2a=3b，则 的值为（ ） A B C D 2函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax 1 Bx0 Cx0 D全体实数 3下列图形中有可能与图相似的是（ ） A B C D 4如图，在 RtABC 中，C=90 ，AC=4，BC=3 ，则 sinB 的值为（ ） A B C D 5如图，A，B，C ，D 是 O 上的四个点，ADBC那么 与 的数量关系是 （ ） A = B C D无
2、法确定 6如图，图象对应的函数表达式为（ ） 第 2 页（共 33 页） Ay=5x B C D 7在抛物线 y=2（x1） 2 上的一个点是（ ） A （2 ，3 ） B （2，3） C （1， 5） D （0， 2） 8如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵 树 A 和 B 之间的距离，在垂直 AB 的方向 AC 上确定点 C，如果测得 AC=75 米， ACB=55，那么 A 和 B 之间的距离是（ ）米 A75sin55 B75cos55 C75tan55 D 9在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx 的图象经过点 A，B ，C，则 对系数
3、 a 和 b 判断正确的是（ ） Aa 0 ，b0 Ba0，b 0 Ca0，b 0 Da 0，b0 10如图，在O 中，直径 ABCD 于点 E，AB=8，BE=1.5，将 沿着 AD 对折， 对折之后的弧称为 M，则点 O 与 M 所在圆的位置关系为（ ） 第 3 页（共 33 页） A点在圆上 B点在圆内 C点在圆外 D无法确定 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11计算 cos60= 12把二次函数 y=x22x+3 化成 y=a（xh ） 2+k 的形式为 13如图，A，B，C ，D 分别是 边上的四个点，且 CA，DB 均垂直于 的 一条边，如果 CA=AB=2， BD
4、=3，那么 tan= 14如图，在ABC 中，点 O 是ABC 的内心，BOC=118，A= 15二次函数 y= x2x2 的图象如图所示，那么关于 x 的方程 x2x2=0 的近似解 为 （精确到 0.1） 16数学课上，老师介绍了利用尺规确定残缺纸片圆心的方法小华对数学老 第 4 页（共 33 页） 师说：“我可以用拆叠纸片的方法确定圆心” 小华的作法如下： 第一步：如图 1，将残缺的纸片对折，使 的端点 A 与端点 B 重合，得到图 2； 第二步：将图 2 继续对折，使 的端点 C 与端点 B 重合，得到图 3； 第三步：将对折后的图 3 打开如图 4，两条折痕所在直线的交点即为圆心 O
5、 老师肯定了他的作法那么他确定圆心的依据是 三、解答题（本题共 72 分，第 17-26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17计算：3tan30 +cos245sin60 18计算：（ 3） 0+4sin45 +|1 | 19已知ABC ，求作 ABC 的内切圆 20如图，四边形 ABCD四边形 EFGH，连接对角线 AC，EG求证ACD EGH 第 5 页（共 33 页） 21二次函数 y=x2+（2m+1）x +m21 与 x 轴交于 A，B 两个不同的点 （1）求 m 的取值范围； （2）写出
6、一个满足条件的 m 的值，并求此时 A，B 两点的坐标 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x+1 与双曲线 y= 相交于点 A（m ，2） （1）求反比例函数的表达式； （2）画出直线和双曲线的示意图； （3）过动点 P（n，0）且垂于 x 轴的直线与 y=x+1 及双曲线 y= 的交点分别为 B 和 C，当点 B 位于点 C 上方时，根据图形，直接写出 n 的取值范围 23如图，O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 E，AB=8，A=22.5，求 CD 的长 24在数学活动课上，老师带领学生去测量操场上树立的旗杆的高度，老师为 同学们准备了如下工具：高为 m 米的测角仪，长为 n
7、米的竹竿，足够长 的皮尺请你选用以上的工具，设计一个可以通过测量，求出国旗杆高度的方 案（不用计算和说明，画出图形并标记可以测量的长度或者角度即可，可测量 的角度选用 ， 标记，可测量的长度选用 a，b ，c ，d 标记，测角仪和竹竿 可以用线段表示） （1）你选用的工具为： ；（填序号即可） （2）画出图形 第 6 页（共 33 页） 25如图，在ABC 中， F 是 AB 上一点，以 AF 为直径的O 切 BC 于点 D，交 AC 于点 G，ACOD，OD 与 GF 交于点 E （1）求证：BCGF； （2）如果 tanA= ，AO=a，请你写出求四边形 CGED 面积的思路 26有这样一
8、个问题：探究函数 y= x 的图象与性质 小东根据学习函数的经验，对函数 y= x 的图象与性质进行了探究 下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）函数 y= x 的自变量 x 的取值范围是 ； （2）下表是 y 与 x 的几组对应值，求 m 的值； x 4 3 2 1 1 2 3 4 y m （3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的 点根据描出的点，画出该函数的图象； （4）进一步探究发现，该函数图象在第三象限内的最高点的坐标是（2， ） ， 结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） 第 7 页（共 33 页） 27已知：过点 A（3，0）直线 l
9、1：y=x+b 与直线 l2：y=2x 交于点 B抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 B （1）求点 B 的坐标； （2）如果抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A，求抛物线的表达式； （3）直线 x=1 分别与直线 l1，l 2 交于 C，D 两点，当抛物线 y=ax2+bx+c 与线段 CD 有交点时，求 a 的取值范围 28在等边ABC 中，E 是边 BC 上的一个动点（不与点 B，C 重合） ， AEF=60， EF 交ABC 外角平分线 CD 于点 F （1）如图 1，当点 E 是 BC 的中点时，请你补全图形，直接写出 的值，并判 断 AE 与 EF 的数量关系； （2）当点
10、 E 不是 BC 的中点时，请你在图（2）中补全图形，判断此时 AE 与 EF 的数量关系，并证明你的结论 29在平面直角坐标系 xOy 中，若 P 和 Q 两点关于原点对称，则称点 P 与点 Q 是一个“和谐点对 ”，表示为 P，Q，比如P（1 ，2） ，Q（ 1，2）是一个“和谐 点对” 第 8 页（共 33 页） （1）写出反比例函数 y= 图象上的一个“和谐点对” ； （2）已知二次函数 y=x2+mx+n， 若此函数图象上存在一个和谐点对A，B ，其中点 A 的坐标为（2，4） ，求 m，n 的值； 在的条件下，在 y 轴上取一点 M（0，b） ，当 AMB 为锐角时，求 b 的取
11、值范围 第 9 页（共 33 页） 2016-2017 学年北京市通州区九年级（上）期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）第 1-10 题均有四个选项，符合题意 的选项只有一个. 1已知 2a=3b，则 的值为（ ） A B C D 【考点】S1：比例的性质 【分析】根据等式的性质，可得答案 【解答】解：两边都除以 2b，得 = ， 故选：B 2函数 y= 中自变量 x 的取值范围是（ ） Ax 1 Bx0 Cx0 D全体实数 【考点】G4：反比例函数的性质 【分析】根据分式有意义，分母不等于 0 解答 【解答】解：函数 y= 中自变量 x 的取值范
12、围是 x0 故答案为：x0 3下列图形中有可能与图相似的是（ ） 第 10 页（共 33 页） A B C D 【考点】S5：相似图形 【分析】根据相似图形的定义直接判断即可 【解答】解：观察图形知该图象是一个四边形且有一个角为直角，只有 C 符合， 故选 C 4如图，在 RtABC 中，C=90 ，AC=4，BC=3 ，则 sinB 的值为（ ） A B C D 【考点】T1：锐角三角函数的定义 【分析】利用勾股定理求出 AB 的长度，然后根据 sinB= 代入数据进行计算即 可得解 【解答】解：C=Rt，AC=4，BC=3 ， AB= = =5， sinB= = 故选 D 5如图，A，B，
13、C ，D 是 O 上的四个点，ADBC那么 与 的数量关系是 （ ） A = B C D无法确定 第 11 页（共 33 页） 【考点】M4 ：圆心角、弧、弦的关系 【分析】根据平行线的性质得DAC=ACB，根据圆周角定理得 = 【解答】证明：连接 AC， ADBC， DAC=ACB， = 故选：A 6如图，图象对应的函数表达式为（ ） Ay=5x B C D 【考点】G2：反比例函数的图象 【分析】根据函数的图象的形状及位置确定函数的表达式即可 【解答】解：函数的图象为双曲线， 为反比例函数， 反比例函数的图象位于二、四象限， k0， 只有 D 符合， 故选 D 第 12 页（共 33 页）
14、 7在抛物线 y=2（x1） 2 上的一个点是（ ） A （2 ，3 ） B （2，3） C （1， 5） D （0， 2） 【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征 【分析】把各点的横坐标代入函数式，比较纵坐标是否相符，逐一检验 【解答】解：A、x=2 时，y= 2（x 1） 2=23，点（2，3）不在抛物线上， B、x=2 时，y= 2（x1） 2=183，点（2，3）不在抛物线上， C、 x=1 时，y=2（x1） 2=05，点（1， 5）不在抛物线上， D、x=0 时，y=2（x1） 2=2，点（0， 2）在抛物线上， 故选 D 8如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖
15、泊两岸的两棵 树 A 和 B 之间的距离，在垂直 AB 的方向 AC 上确定点 C，如果测得 AC=75 米， ACB=55，那么 A 和 B 之间的距离是（ ）米 A75sin55 B75cos55 C75tan55 D 【考点】T8：解直角三角形的应用 【分析】根据题意，可得 RtABC，同时可知 AC 与ACB根据三角函数的定 义解答 【解答】解：根据题意，在 RtABC，有 AC=75，ACB=55 ，且 tan= ， 则 AB=ACtan55=75tan55， 故选 C 9在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx 的图象经过点 A，B ，C，则 第 13 页（共 33
16、 页） 对系数 a 和 b 判断正确的是（ ） Aa 0 ，b0 Ba0，b 0 Ca0，b 0 Da 0，b0 【考点】H4：二次函数图象与系数的关系 【分析】根据二次函数 y=ax2+bx 的图象经过点 A，B，C ，画出函数图象的草图， 根据开口方向和对称轴即可判断 【解答】解：由题意知，二次函数 y=ax2+bx 的图象经过点 A，B，C ， 则函数图象如图所示， a 0 ， 0， b0， 故选：A 10如图，在O 中，直径 ABCD 于点 E，AB=8，BE=1.5，将 沿着 AD 对折， 对折之后的弧称为 M，则点 O 与 M 所在圆的位置关系为（ ） A点在圆上 B点在圆内 C点
17、在圆外 D无法确定 【考点】M8 ：点与圆的位置关系； M2：垂径定理； PB：翻折变换（折叠问题） 第 14 页（共 33 页） 【分析】作辅助线，根据垂径定理得：AF=FD= AD，根据直径得出半径的长为 4，根据勾股定理计算得出 ED 和 AD 的长，接着计算 OF 和 FH 的长，做比较， O 与新圆心的距离小于半径的长，得出结论 【解答】解：过 O 作 OF AD，交O 于 G，交 M 于 H，连接 OD， AB 为O 的直径，AB=8， OA=OB=OG=OD=4， BE=1.5， OE=41.5=2.5， 在 RtOED 中，由勾股定理得： DE= = = ， 在 RtAED 中
18、，AD= = = =2 ， OFAD， AF= AD= ， 由勾股定理得：OF= = = ， 由折叠得：M 所在圆与圆 O 是等圆， M 所在圆的半径为 4， FH=FG=4 ， 4 ， FH OF， O 在 M 所在圆内， 故选 B 第 15 页（共 33 页） 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11计算 cos60= 【考点】T5：特殊角的三角函数值 【分析】根据记忆的内容，cos60= 即可得出答案 【解答】解：cos60= 故答案为： 12把二次函数 y=x22x+3 化成 y=a（xh ） 2+k 的形式为 y=（x1） 2+2 【考点】H9：二次函数的三种形式 【分析
19、】根据配方法的操作整理即可得解 【解答】解：y=x 22x+3， =x22x+1+2， =（ x1） 2+2， 所以，y=（x1 ） 2+2 故答案为：y=（x 1） 2+2 13如图，A，B，C ，D 分别是 边上的四个点，且 CA，DB 均垂直于 的 一条边，如果 CA=AB=2， BD=3，那么 tan= 第 16 页（共 33 页） 【考点】T7：解直角三角形 【分析】根据三角函数的定义即可得到结论 【解答】解：ACOB，BDOB， OAC=OBD=90 ， tan= ， CA=AB=2，BD=3， ， OA=4， tan= = ； 故答案为： 14如图，在ABC 中，点 O 是ABC
20、 的内心，BOC=118，A= 56 【考点】MI：三角形的内切圆与内心 【分析】先根据BOC=118求出OBC+OCB 的度数，再由角平分线的性质求 出ABC+ACB 的度数，由三角形内角和定理即可得出结论 【解答】解：BOC=118， 第 17 页（共 33 页） OBC +OCB=180118=62 点 O 是ABC 的ABC 与ACB 两个角的角平分线的交点， ABC+ACB=2（OBC+OCB）=124， A=180124=56 故答案为：56 15二次函数 y= x2x2 的图象如图所示，那么关于 x 的方程 x2x2=0 的近似解 为 x 1=1.3， x2=4.3 （精确到 0
21、.1） 【考点】HB ：图象法求一元二次方程的近似根 【分析】根据二次函数图象与 x 轴交点的横坐标是相应的一元二次方程的解， 可得一元二次方程的近似根 【解答】解：抛物线 y= x2x2 与 x 轴的两个交点分别是（1.3，0） 、 （4.3，0） ， 又抛物线 y= x2x2 与 x 轴的两个交点，就是方程 x2x2=0 的两个根， 方程 x2x2=0 的两个近似根是 4.3 或1.3 故答案为 x1=1.3，x 2=4.3 16数学课上，老师介绍了利用尺规确定残缺纸片圆心的方法小华对数学老 第 18 页（共 33 页） 师说：“我可以用拆叠纸片的方法确定圆心” 小华的作法如下： 第一步：
22、如图 1，将残缺的纸片对折，使 的端点 A 与端点 B 重合，得到图 2； 第二步：将图 2 继续对折，使 的端点 C 与端点 B 重合，得到图 3； 第三步：将对折后的图 3 打开如图 4，两条折痕所在直线的交点即为圆心 O 老师肯定了他的作法那么他确定圆心的依据是 轴对称图形的性质及圆心到 圆上各点的距离相等 【考点】N3：作图复杂作图； M2：垂径定理； PB：翻折变换（折叠问题） 【分析】由圆心到圆上各点的距离相等知圆心在 AB 和 BC 的中垂线上，再结合 轴对称图形的性质知两条折痕即为 AB、BC 的中垂线，从而得出答案 【解答】解：如图， 第一步对折由轴对称图形可知 OC 是 A
23、B 的中垂线，点 O 在 AB 中垂线上； 第二步对折由轴对称图形可知 OD 是 BC 的中垂线，点 O 在 BC 中垂线上； 从而得出点 O 在 AB、BC 中垂线交点上， 故答案为：轴对称图形的性质及圆心到圆上各点的距离相等 三、解答题（本题共 72 分，第 17-26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 第 19 页（共 33 页） 题 7 分，第 29 题 8 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17计算：3tan30 +cos245sin60 【考点】T5：特殊角的三角函数值 【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案 【解答】解：3tan30 +cos245s
24、in60 = = 18计算：（ 3） 0+4sin45 +|1 | 【考点】2C：实数的运算；6E ：零指数幂；T5 ：特殊角的三角函数值 【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简 4 个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法 则求得计算结果 【解答】解： = =1+2 2 + 1 = 19已知ABC ，求作 ABC 的内切圆 【考点】N3：作图复杂作图； MI：三角形的内切圆与内心 【分析】圆心到各边的距离相等所以要作各角的角平分线的交点，交点就是圆 的圆心，圆的半径是圆心到各边的距离 【解答】解： 第 20 页（共 33 页） 20如图，
25、四边形 ABCD四边形 EFGH，连接对角线 AC，EG求证ACD EGH 【考点】S8：相似三角形的判定； S6：相似多边形的性质 【分析】根据四边形 ABCD四边形 EFGH 相似的性质，得出对应边的必相等， 对应角相等，从而得出ACDEGH 【解答】证明：四边形 ABCD四边形 EFGH， ， ADCEHG 21二次函数 y=x2+（2m+1）x +m21 与 x 轴交于 A，B 两个不同的点 （1）求 m 的取值范围； （2）写出一个满足条件的 m 的值，并求此时 A，B 两点的坐标 【考点】HA：抛物线与 x 轴的交点 【分析】 （1）根据二次函数与 x 轴有两个不同的交点结合根的判
26、别式即可得出 关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出结论； （2）将 m=1 代入原函数解析式，令 y=0 求出 x 值，进而即可找出点 A、B 的坐 标，此题得解 【解答】解：（1）二次函数 y=x2+（2m+1）x +m21 与 x 轴交于 A，B 两个不 同的点， 一元二次方程 x2+（2m+1）x+m 21=0 有两个不相等的实数根， 第 21 页（共 33 页） = （ 2m+1） 24（m 21）=4m +50， 解得：m （2）当 m=1 时，原二次函数解析式为 y=x2+3x， 令 y=x2+3x=0， 解得：x 1=3，x 2=0， 当 m=1 时， A、B 两点的坐标为（
27、 3，0） 、 （0，0） 22在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=x+1 与双曲线 y= 相交于点 A（m ，2） （1）求反比例函数的表达式； （2）画出直线和双曲线的示意图； （3）过动点 P（n，0）且垂于 x 轴的直线与 y=x+1 及双曲线 y= 的交点分别为 B 和 C，当点 B 位于点 C 上方时，根据图形，直接写出 n 的取值范围 0n 2，n 1 【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 （1）根据直线上点的坐标特征求出 m，把点 A 的坐标代入反比例函数 解析式，计算即可； （2）根据题意画出图象； （3）结合图象解答 【解答】解（1）点 A（m，2）在
28、直线 y=x+1 上， m+1=2， 解得，m=1， A（1 ，2） ， 第 22 页（共 33 页） 点 A（1 ，2）在双曲线 y= 上， k=2， 反比例函数的表达式为：y= ； （2）直线和双曲线的示意图如图所示： （3）由图象可知， 当 0n2，n1 时，点 B 位于点 C 上方 23如图，O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 E，AB=8，A=22.5，求 CD 的长 【考点】M2 ：垂径定理 【分析】根据圆周角定理得出COE 的度数，在 RtACE 中，由三角函数的定 义得出 CE，再由垂径定理得出 CD 即可 【解答】解：AB=8， OC=OA=4， A=22.5， COE=2
29、A=45， 第 23 页（共 33 页） 直径 AB 垂直弦 CD 于 E， ， 24在数学活动课上，老师带领学生去测量操场上树立的旗杆的高度，老师为 同学们准备了如下工具：高为 m 米的测角仪，长为 n 米的竹竿，足够长 的皮尺请你选用以上的工具，设计一个可以通过测量，求出国旗杆高度的方 案（不用计算和说明，画出图形并标记可以测量的长度或者角度即可，可测量 的角度选用 ， 标记，可测量的长度选用 a，b ，c ，d 标记，测角仪和竹竿 可以用线段表示） （1）你选用的工具为： ；（填序号即可） （2）画出图形 【考点】T8：解直角三角形的应用；SA：相似三角形的应用 【分析】 （1）利用测角
30、仪以及足够长的皮尺即可解决问题； （2）根据仰角的知识，确定测量方案，进而得出答案 【解答】解：（1）选用的工具为：； 故答案为：； （2）如图所示：可以量出 AM，AC，AB 的长，以及 ， 的度数，即可得出 DC，NC 的长 第 24 页（共 33 页） 25如图，在ABC 中， F 是 AB 上一点，以 AF 为直径的O 切 BC 于点 D，交 AC 于点 G，ACOD，OD 与 GF 交于点 E （1）求证：BCGF； （2）如果 tanA= ，AO=a，请你写出求四边形 CGED 面积的思路 【考点】MC ：切线的性质； T7：解直角三角形 【分析】 （1）根据切线的性质，可得 OD
31、BC，利用平行线的性质可证得 C=90，由 AF 为直径，可得AGF=90 ，进而可得 BCGF ； （2）先证明四边形 CGED 为矩形，再根据锐角三角函数、勾股定理求 GF，OE，DE 的长，进而可求四边形 CGED 的面积 【解答】证明：（1）O 切 BC 于点 D， ODBC ， ACOD， C=ODB=90， AF 为O 直径， AGF=90=C， BC GF 解：（2）ACOD ，BCGF 四边形 CGED 为平行四边形， C=90， 四边形 CGED 为矩形， tanA= ， 第 25 页（共 33 页） sinA= ， AF=2AO=2a，OF=a， GF=AFsinA=2a
32、= ， ODBC ， GE=EF= = ， 在 RtOEF 中，OE= = = ， DE=ODOE=a = ， S 四边形 CGED=GEDE= = 26有这样一个问题：探究函数 y= x 的图象与性质 小东根据学习函数的经验，对函数 y= x 的图象与性质进行了探究 下面是小东的探究过程，请补充完整： （1）函数 y= x 的自变量 x 的取值范围是 x0 ； （2）下表是 y 与 x 的几组对应值，求 m 的值； x 4 3 2 1 1 2 3 4 y m （3）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出了以上表中各对对应值为坐标的 点根据描出的点，画出该函数的图象； （4）进一步探究发现，
33、该函数图象在第三象限内的最高点的坐标是（2， ） ， 第 26 页（共 33 页） 结合函数的图象，写出该函数的其它性质（一条即可） 当 x0 时，y 随 x 的 增大而增大 【考点】H3：二次函数的性质； 62：分式有意义的条件； H2：二次函数的图象； H7：二次函数的最值 【分析】 （1）由分母不为 0，可得出自变量 x 的取值范围； （2）将 x=4 代入函数表达式中，即可求出 m 值； （3）连线，画出函数图象； （4）观察函数图象，找出函数性质 【解答】解：（1）x 2 在分母上， x0 故答案为：x0 （2）当 x=4 时，m= x = 4 = （3）连线，画出函数图象，如图所示
34、 （4）观察图象，可知：当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 故答案为：当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 第 27 页（共 33 页） 27已知：过点 A（3，0）直线 l1：y=x+b 与直线 l2：y=2x 交于点 B抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 B （1）求点 B 的坐标； （2）如果抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A，求抛物线的表达式； （3）直线 x=1 分别与直线 l1，l 2 交于 C，D 两点，当抛物线 y=ax2+bx+c 与线段 CD 有交点时，求 a 的取值范围 【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式； F5：一次函数的性质；F8：一次 函数图象
35、上点的坐标特征；H9：二次函数的三种形式 【分析】 （1）将点 A 的坐标代入直线 l1，求出其函数表达式，联立直线 l1、l 2 表 达式成方程组，解方程组即可得出点 B 的坐标； （2）设抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点式为 y=a（x h） 2+k，由抛物线的顶点坐标即 可得出 y=a（x1） 22，再根据点 C 的坐标利用待定系数法即可得出结论； （3）根据两直线相交，求出点 C、D 的坐标，将其分别代入 y=a（x1） 22 中求 出 a 的值，由此即可得出抛物线 y=ax2+bx+c 与线段 CD 有交点时，a 的取值范 围 【解答】解：（1）将 A（3，0）代入直线 l1：y
36、=x+b 中， 0=3+b，解得：b=3， 直线 l1：y=x3 第 28 页（共 33 页） 联立直线 l1、l 2 表达式成方程组， ，解得： ， 点 B 的坐标为（1，2） （2）设抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点式为 y=a（x h） 2+k， 抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为 B（1， 2） ， y=a（x 1） 22， 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A， a （3 1） 22=0，解得：a= ， 抛物线的表达式为 y= （x 1） 22 （3）直线 x=1 分别与直线 l1，l 2 交于 C、D 两点， C 、D 两点的坐标分别为（1， 4） ， （ 1，2） ，
37、 当抛物线 y=ax2+bx+c 过点 C 时，a（ 11） 22=4， 解得：a= ； 当抛物线 y=ax2+bx+c 过点 D 时，a（ 11） 22=2， 解得：a=1 当抛物线 y=ax2+bx+c 与线段 CD 有交点时，a 的取值范围为 a 1 且 a 0 28在等边ABC 中，E 是边 BC 上的一个动点（不与点 B，C 重合） ， AEF=60， EF 交ABC 外角平分线 CD 于点 F （1）如图 1，当点 E 是 BC 的中点时，请你补全图形，直接写出 的值，并判 第 29 页（共 33 页） 断 AE 与 EF 的数量关系； （2）当点 E 不是 BC 的中点时，请你在
38、图（2）中补全图形，判断此时 AE 与 EF 的数量关系，并证明你的结论 【考点】S9：相似三角形的判定与性质； KK：等边三角形的性质 【分析】 （1）由等边三角形的性质得到EAC=30，得到CEF=30，求得 ECF=120，得到 EFC=30，推出 AC 垂直平分 EF，得到AEF 是等边三角形， 于是得到结论； （2）连接 AF，EF 与 AC 交于点 G由 CD 是它的外角平分线得到 ACF=60 = AEF，根据相似三角形的性质得到 ，AFE=ACB=60，得到AEF 为 等边三角形，于是得到结论 【解答】解：（1） ； ABC 是等边三角形，点 E 是 BC 的中点， EAC=3
39、0 ， AEF=60 ， CEF=30， CD 平分ABC 外角， ECF=120 ， EFC=30， CE=CF， AC 垂直平分 EF， AE=AF； 第 30 页（共 33 页） AEF 是等边三角形， AE=EF； （2）连接 AF，EF 与 AC 交于点 G 在等边ABC 中，CD 是它的外角平分线 ACF=60=AEF， AGE=FGC AGEFGC， ， ， AGF= EGC， AGFEGC ， AFE=ACB=60， AEF 为等边三角形， AE=EF 29在平面直角坐标系 xOy 中，若 P 和 Q 两点关于原点对称，则称点 P 与点 Q 第 31 页（共 33 页） 是一个
40、“和谐点对 ”，表示为 P，Q，比如P（1 ，2） ，Q（ 1，2）是一个“和谐 点对” （1）写出反比例函数 y= 图象上的一个“和谐点对” ； （2）已知二次函数 y=x2+mx+n， 若此函数图象上存在一个和谐点对A，B ，其中点 A 的坐标为（2，4） ，求 m，n 的值； 在的条件下，在 y 轴上取一点 M（0，b） ，当 AMB 为锐角时，求 b 的取 值范围 【考点】GB：反比例函数综合题 【分析】 （1）由题目中所给和谐点对的定义可知 P、Q 即为关于原点对称的两 个点，在反比例函数图象上找出两点即可； （2）由 A、B 为和谐点对可求得点 B 的坐标，则可得到关于 m、n 的
41、方程组， 可求得其值；当 M 在 x 轴上方时，可先求得AMB 为直角时对应的 M 点的 坐标，当点 M 向上运动时满足 AMB 为锐角；当点 M 在 x 轴下方时，同理可 求得 b 的取值范围 【解答】解： （1）y= ， 可取P（1，1） ，Q（1 ，1）； （2）A（2，4）且 A 和 B 为和谐点对， B 点坐标为（2，4） ， 将 A 和 B 两点坐标代入 y=x2+mx+n，可得 ， ； （） M 点在 x 轴上方时， 若AMB 为直角（ M 点在 x 轴上） ，则ABC 为直角三角形， A（2，4 ）且 A 和 B 为和谐点对， 原点 O 在 AB 线段上且 O 为 AB 中点， AB=2OA， 第 32 页（共 33 页） A（2，4 ） ， OA= ， AB= ， 在 RtABC 中， O 为 AB 中点 MO=OA= ， 若AMB 为锐角，则 ； （） M 点在 x 轴下方时，同理可得， ， 综上所述，b 的取值范围为 或 第 33 页（共 33 页） 2017 年 5 月 23 日
