1、2016-2017 学年河南省平顶山市高二（下）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有 且只有一项符合题目要求. 1若（xi）i=y+2i，x，yR，其中 i 为虚数单位，则复数 x+yi=（ ） A2+i B2+i C12i D1+2i 2对任意实数 a、b、c，在下列命题中，真命题是（ ） A “acbc”是“ab”的必要条件 B “ac=bc”是“a=b”的必要条件 C “acbc”是“ab”的充分条件 D “ac=bc”是“a=b”的充分条件 3若实数 a，b 满足 a+b=2，则 3a+3b的最小值是（ ）
2、 A18 B6 C2 D2 4在ABC 中，sin 2Asin 2B+sin2CsinBsinC，则 A 的取值范围是（ ） A （0， B ，） C （0， D ， ） 5已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段 AB 的 中点到 y 轴的距离为（ ） A B1 C D 6已知各项均为正数的等比数列a n中，a 1a2a3=5，a 7a8a9=10，则 a4a5a6=（ ） A4 B5 C6 D7 7设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2xy 的最大值为（ ） A10 B8 C3 D2 8设 F1和 F2为双曲线 y 2=1 的两个焦点
3、，点 P 在双曲线上且满足F 1PF2=90，则 F1PF2的面积是（ ） A1 B C2 D 9已知 a0，函数 f（x）=ax 2+bx+c，若 x0满足关于 x 的方程 2ax+b=0，则下列选项的命 题中为假命题的是（ ） AxR ，f（ x）f（x 0） BxR，f（x）f（x 0） CxR，f（x） f（x 0） DxR，f（ x）f（x 0） 10设函数 f（x）=xe x，则（ ） Ax=1 为 f（x）的极大值点 Bx=1 为 f（x）的极小值点 Cx=1 为 f（x）的极大值点 Dx=1 为 f（x）的极小值点 11甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、
4、2 名女同学若从甲、乙两组中 各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（ ） A150 种 B180 种 C300 种 D345 种 12已知椭圆 T： + =1（ab0）的离心率为 ，过右焦点 F 且斜率 为 k（k0）的直线与 T 相交于 A，B 两点，若 =3 ，则 k=（ ） A1 B C D2 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13曲线 y=4xx 3在点（1，3）处的切线方程是 14已知随机变量 服从正态分布 N（3，100） ，且 P（5）=0.84，则 P（15） = 15在（x ） 5的二次展开式中，x 2的系数为
5、（用数字作答） 16若规定 E=a1，a 2，a 10的子集a t1，a t2，a k为 E 的第 k 个子集，其中 ，则 E 的第 211 个子集是 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17已知a n为等差数列，且 a1+a3=8，a 2+a4=12 （1）求a n的通项公式； （2）设 ，求数列b n的前 n 项和 18甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 与 p，且乙投 球 2 次均未命中的概率为 （）求乙投球的命中率 p； （）若甲投球 1 次，乙投球 2 次，两人共命中的次数记为 ，求 的分布列和数学期 望
6、19如图，四边形 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，PDQA，QA=AB= PD （）证明：平面 PQC平面 DCQ （）求二面角 QBPC 的余弦值 20已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F 2，离心率为 ， 短轴上的两个顶点为 A，B（A 在 B 的上方） ，且四边形 AF1BF2的面积为 8 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设动直线 y=kx+4 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，直线 y=1 与直线 BM 交于点 G，求证： A，G，N 三点共线 21已知函数 f（x）=ax（a+1）ln（x+1） ，其中 a0 （1）求 f（x）的单调区间； （2）设 f（x）的最小值为
7、 g（a） ，求证： 选修 4-4：参数方程与极坐标系 22以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）将直线 l： （t 为参数）化为极坐标方程； （2）设 P 是（1）中直线 l 上的动点，定点 A（ ， ） ，B 是曲线 =2sin 上的动点，求|PA|+|PB|的最小值 选修 4-5：不等式选讲 23 （1）解不等式：|2x1|x|1； （2）设 a22ab+5b 2=4 对a ，bR 成立，求 a+b 的最大值及相应的 a，b 2016-2017 学年河南省平顶山市高二（下）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题
8、 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，有 且只有一项符合题目要求. 1若（xi）i=y+2i，x，yR，其中 i 为虚数单位，则复数 x+yi=（ ） A2+i B2+i C12i D1+2i 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算 【分析】把等式左边变形，再由复数相等的条件列式求得 x，y 值，则答案可求 【解答】解：由（xi）i=1+xi=y+2i， 得 y=1，x=2 复数 x+yi=2+i 故选：A 2对任意实数 a、b、c，在下列命题中，真命题是（ ） A “acbc”是“ab”的必要条件 B “ac=bc”是“a=b”的必要条件 C “acbc”是“ab”的充分条件 D
9、 “ac=bc”是“a=b”的充分条件 【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】当 a=b 时，一定有 ac=bc但 ac=bc 时，且 c=0 时，a，b 可以不相等即 “ac=bc”是“a=b”的必要条件 【解答】解：A、C 当 c0 时， “acbc”即不是“ab”的必要条件也不是充分条件，故 A，C 不成立； B、当 a=b 时 一定有 ac=bc 但 ac=bc 时，且 c=0 时，a，b 可以不相等 即“ac=bc”是“a=b”的必要条件 D、当 c=0 时， “ac=bc”是“a=b”的充分条件不成立； 故选 B 3若实数 a，b 满足 a+b=2，则 3a+3
10、b的最小值是（ ） A18 B6 C2 D2 【考点】7F：基本不等式 【分析】先判断 3a与 3b的符号，利用基本不等式建立关系，结合 a+b=2，可求出 3a+3b的 最小值 【解答】解：由于 3a0，3 b0， 所以 3a+3b = = =6当且仅当 3a=3b，a=b，即 a=1，b=1 时取得最小值 故选 B 4在ABC 中，sin 2Asin 2B+sin2CsinBsinC，则 A 的取值范围是（ ） A （0， B ，） C （0， D ，） 【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理 【分析】先利用正弦定理把不等式中正弦的值转化成边，进而代入到余弦定理公式中求得 cosA 的范围
11、，进而求得 A 的范围 【解答】解：由正弦定理可知 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， sin 2Asin 2B+sin2CsinBsinC， a 2b 2+c2bc， bcb 2+c2a 2 cosA= A A0 A 的取值范围是（0， 故选 C 5已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段 AB 的 中点到 y 轴的距离为（ ） A B1 C D 【考点】K8：抛物线的简单性质 【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离 等于到准线的距离，列出方程求出 A，B 的中点横坐标，求出线
12、段 AB 的中点到 y 轴的距 离 【解答】解：F 是抛物线 y2=x 的焦点， F（ ）准线方程 x= ， 设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ， 根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|= ，|BF|= ， |AF|+|BF|= =3 解得 ， 线段 AB 的中点横坐标为 ， 线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 故选 C 6已知各项均为正数的等比数列a n中，a 1a2a3=5，a 7a8a9=10，则 a4a5a6=（ ） A4 B5 C6 D7 【考点】8G：等比数列的性质 【分析】由等比数列的性质知，a 1a2a3，a 4a5a6，a 7a8a
13、9成等比数列，即可得出结论 【解答】解：由等比数列的性质知，a 1a2a3，a 4a5a6，a 7a8a9成等比数列， 所以 a4a5a6=5 故选：B 7设 x，y 满足约束条件 ，则 z=2xy 的最大值为（ ） A10 B8 C3 D2 【考点】7C：简单线性规划 【分析】由题意作出其平面区域，将 z=2xy 化为 y=2xz，z 相当于直线 y=2xz 的纵 截距，由几何意义可得 【解答】解：由题意作出其平面区域： 将 z=2xy 化为 y=2xz，z 相当于直线 y=2xz 的纵截距， 由 可解得， A（5，2） ， 则过点 A（5，2）时， z=2xy 有最大值 102=8 故选
14、B 8设 F1和 F2为双曲线 y 2=1 的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足F 1PF2=90， 则F 1PF2的面积是（ ） A1 B C2 D 【考点】KC：双曲线的简单性质 【分析】设|PF 1|=x，|PF 2|=y，根据根据双曲线性质可知 xy 的值，再根据F 1PF2=90， 求得 x2+y2的值，进而根据 2xy=x2+y2（xy） 2求得 xy，进而可求得F 1PF2的面积 【解答】解：设|PF 1|=x，|PF 2|=y， （xy） 根据双曲线性质可知 xy=4， F 1PF2=90， x 2+y2=20 2xy=x 2+y2（xy） 2=4 xy=2 F 1PF2的面积
15、为 xy=1 故选 A 9已知 a0，函数 f（x）=ax 2+bx+c，若 x0满足关于 x 的方程 2ax+b=0，则下列选项的命 题中为假命题的是（ ） AxR ，f（ x）f（x 0） BxR，f（x）f（x 0） CxR，f（x） f（x 0） DxR，f（ x）f（x 0） 【考点】26：四种命题的真假关系 【分析】由 x0满足关于 x 的方程 2ax+b=0 得出 x=x0是二次函数的对称轴，由 a0 可知二 次函数有最小值 【解答】解：x 0满足关于 x 的方程 2ax+b=0， a0，函数 f（x）在 x=x0处取到最小值是 等价于xR，f（x）f（x 0） ，所以命题 C
16、错误 答案：C 10设函数 f（x）=xe x，则（ ） Ax=1 为 f（x）的极大值点 Bx=1 为 f（x）的极小值点 Cx=1 为 f（x）的极大值点 Dx=1 为 f（x）的极小值点 【考点】6D：利用导数研究函数的极值 【分析】由题意，可先求出 f（x）=（x+1）e x，利用导数研究出函数的单调性，即可得 出 x=1 为 f（x）的极小值点 【解答】解：由于 f（x）=xe x，可得 f（x）=（x+1）e x， 令 f（x）=（x+1）e x=0 可得 x=1 令 f（x）=（x+1）e x0 可得 x1，即函数在（1，+）上是增函数 令 f（x）=（x+1）e x0 可得 x
17、1，即函数在（，1）上是减函数 所以 x=1 为 f（x）的极小值点 故选 D 11甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学若从甲、乙两组中 各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有（ ） A150 种 B180 种 C300 种 D345 种 【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理 【分析】选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法，1 名女同学来自甲组和乙组两类型 【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有 C51C31C62=225 种选法； （2）乙组中选出一名女生有 C52C61C21=120 种选法故共
18、有 345 种选法 故选 D 12已知椭圆 T： + =1（ab0）的离心率为 ，过右焦点 F 且斜率 为 k（k0）的直线与 T 相交于 A，B 两点，若 =3 ，则 k=（ ） A1 B C D2 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，根据 求得 y1和 y2关系根据离心率 设 ，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去 x，根据韦 达定理表示出 y1+y2和 y1y2，进而根据 y1和 y2关系求得 k 【解答】解：A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ， ，y 1=3y 2， ，设 ，b=t， x 2+4y24t 2
19、=0， 设直线 AB 方程为 ，代入中消去 x，可得 ， ， ， 解得 ， 故选 B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13曲线 y=4xx 3在点（1，3）处的切线方程是 xy2=0 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在 x=1 处的导函数 值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决 【解答】解：y=4xx 3， f（x）=43x 2，当 x=1 时，f（1）=1 得切线的斜率为 1，所以 k=1； 所以曲线在点（1，3）处的切线方程为： y+3=1（x+1） ，即 xy2=0
20、故答案为：xy2=0 14已知随机变量 服从正态分布 N（3，100） ，且 P（5）=0.84，则 P（15） = 0.68 【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 【分析】先求出 P（35） ，再利用正态分布的对称性计算 P（15） 【解答】解：P（35）=P（5）P（3）=0.840.5=0.34， P（15）=2P（35）=0.68 故答案为：0.68 15在（x ） 5的二次展开式中，x 2的系数为 40 （用数字作答） 【考点】DA：二项式定理 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为 2 求出 x2的系数 【解答】解： ， 令 所以 r=2
21、， 所以 x2的系数为（2） 2C52=40 故答案为 40 16若规定 E=a1，a 2，a 10的子集a t1，a t2，a k为 E 的第 k 个子集，其中 ，则 E 的第 211 个子集是 a1，a 2，a 5，a 7，a 8 【考点】16：子集与真子集 【分析】根据题意，分别讨论 2n的取值，通过讨论计算 n 的可能取值，即可得答案 【解答】解：2 7=128211，而 28=256211， E 的第 211 个子集包含 a8， 此时 211128=83， 2 6=6483，2 7=12883， E 的第 211 个子集包含 a7， 此时 8364=19， 2 4=1619，2 5=
22、3219， E 的第 211 个子集包含 a5， 此时 1916=3 2 13，2 2=43， E 的第 211 个子集包含 a2， 此时 32=1，2 0=1， E 的第 211 个子集包含 a1 E 的第 211 个子集是a 1，a 2，a 5，a 7，a 8； 故答案为：a 1，a 2，a 5，a 7，a 8 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17已知a n为等差数列，且 a1+a3=8，a 2+a4=12 （1）求a n的通项公式； （2）设 ，求数列b n的前 n 项和 【考点】8E：数列的求和；8F：等差数列的性质 【分析】
23、（1）由已知条件可得 ，解得 a1，d，即可； （2）由 an=2n 可得， ，利用错位相减法数列b n的前 n 项 和为 Tn 【解答】解：（1）由已知条件可得 ， 解之得 a1=2，d=2， 所以，a n=2n （2）由 an=2n 可得， ，设数列b n的前 n 项和为 Tn 则 ， ， 以上二式相减得 = ， 所以， 18甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为 与 p，且乙投 球 2 次均未命中的概率为 （）求乙投球的命中率 p； （）若甲投球 1 次，乙投球 2 次，两人共命中的次数记为 ，求 的分布列和数学期 望 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；C7：
24、等可能事件的概率；CG：离散型随机变 量及其分布列 【分析】 （）根据乙投球 2 次均未命中的概率为 ，两次是否投中相互之间没有影响， 根据相互独立事件的概率公式写出乙两次都未投中的概率，列出方程，解方程即可 （II）做出甲投球命中的概率和乙投球命中的概率，因为两人共命中的次数记为 ，得到 变量可能的取值，看清楚变量对应的事件，做出事件的概率，写出分布列和期望 【解答】解：（）根据乙投球 2 次均未命中的概率为 ，两次是否投中相互之间没 有影响， 设“甲投球一次命中”为事件 A， “乙投球一次命中”为事件 B 由题意得 解得 或 （舍去） ， 乙投球的命中率为 （）由题设和（）知 可能的取值为
25、 0，1，2，3， P（=1）=P（A）P（ ）+ P（B）P（ ）P（ ）= 的分布列为 的数学期望 19如图，四边形 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，PDQA，QA=AB= PD （）证明：平面 PQC平面 DCQ （）求二面角 QBPC 的余弦值 【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题；LY：平面与平面垂直的判定；MN：向量语 言表述面面的垂直、平行关系；MR：用空间向量求平面间的夹角 【分析】首先根据题意以 D 为坐标原点，线段 DA 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴 建立空间直角坐标系 Dxyz； （）根据坐标系，求出 、 、 的坐标，由向量积的运算易得 =0
26、， =0；进而可得 PQDQ，PQDC，由面面垂直的判定方法， 可得证明； （）依题意结合坐标系，可得 B、 、 的坐标，进而求出平面的 PBC 的法向量 与平面 PBQ 法向量 ，进而求出 cos ， ，根据二面角与其法向量夹角的关系， 可得答案 【解答】解：如图，以 D 为坐标原点，线段 DA 的长为单位长，射线 DA 为 x 轴的正半轴建 立空间直角坐标系 Dxyz； （）依题意有 Q（1，1，0） ，C（0，0，1） ，P（0，2，0） ； 则 =（1， 1，0） ， =（0，0，1） ， =（1，1，0） ， 所以 =0， =0； 即 PQDQ，PQDC， 故 PQ平面 DCQ， 又
27、 PQ平面 PQC，所以平面 PQC平面 DCQ； （）依题意，有 B（1，0，1） ， =（1，0， 0） ， =（ 1，2，1） ； 设 =（x，y，z）是平面的 PBC 法向量， 则 即 ， 因此可取 =（0，1，2） ； 设 是平面 PBQ 的法向量，则 ， 可取 =（1，1，1） ， 所以 cos ， = ， 故二面角角 QBPC 的余弦值为 20已知椭圆 的左、右焦点分别为 F1，F 2，离心率为 ，短轴上的两个顶点为 A，B（A 在 B 的上方） ，且四边形 AF1BF2的 面积为 8 （1）求椭圆 C 的方程； （2）设动直线 y=kx+4 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，
28、直线 y=1 与直线 BM 交于点 G，求证： A，G，N 三点共线 【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程 【分析】 （1）椭圆 C 的离心率 ，可得 b=c，四边形 AF1BF2是正方形，即 a2=8，b=c=2 （2）将已知直线代入椭圆方程化简得：（2k 2+1）x 2+16kx+24=0 设 M（x M，kx M+4） ，N（x N，kx N+4） ，G（x G，1） ， MB 方程为：y= ，则 G（ ，1） ， 欲证 A，G，N 三点共线，只需证 ， ，共线，即只需（3k+k）x Mxn=6（x M+xN） 即可 【解答】解：（1）椭圆 C 的离心率 ，b=c ，
29、因此四边形 AF1BF2是正方 形 a 2=8，b=c=2 椭圆 C 的方程为 （2）证明：将已知直线代入椭圆方程化简得：（2k 2+1）x 2+16kx+24=0， =32（2k 23）0，解得：k 由韦达定理得： ，x MxN= ， 设 M（x M，kx M+4） ，N（x N，kx N+4） ，G（x G，1） ， MB 方程为：y= ，则 G（ ，1） ， ， ， 欲证 A，G，N 三点共线，只需证 ， 共线， 即 （kx N+2）=x N成立，化简得：（3k+k）x Mxn=6（x M+xN） 将代入易知等式成立，则 A，G，N 三点共线得证 21已知函数 f（x）=ax（a+1）l
30、n（x+1） ，其中 a0 （1）求 f（x）的单调区间； （2）设 f（x）的最小值为 g（a） ，求证： 【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】 （1）先对函数进行求导，根据导函数大于 0 原函数单调递增，导函数小于 0 原函 数单调递减可得答案； （2）由（1）可知，f（x）的最小值为 ，a0，构造函 数设 ，x（0，+） ，利用导数研究函数的单调性和最值，即可证 明结论 【解答】解：（1）由已知可得函数 f（x）的定义域为（1，+） ， 而 ， a0，x1，当 时，f（x）0， 当 时，f（x）0， 函数 f（x）的单调递减区间是 ，单调递
31、增区间是 （2）由（1）可知，f（x）的最小值 为 ，a0 要证明 ， 只须证明 成立 设 ，x（0，+） 则 ， （x）在区间（0，+）上是增函数，（x）（0）=0，即 取 得到 成立 设 （x）=ln（x+1）x，x（0，+） ，同理可证 ln（x+1）x 取 得到 成立因此， 选修 4-4：参数方程与极坐标系 22以直角坐标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）将直线 l： （t 为参数）化为极坐标方程； （2）设 P 是（1）中直线 l 上的动点，定点 A（ ， ） ，B 是曲线 =2sin 上的动点，求|PA|+|PB|的最小值 【考点】Q4：简单曲线的极坐标
32、方程 【分析】 （1）由直线 l： （t 为参数）消去参数 t，可得 x+y= ，利用 即可化为极坐标方程； （2）定点 A（ ， ） ，化为 A（1，1） 曲线 =2sin 化为 2=2sin，可得直角坐标方程：x 2+（y+1） 2=1可得圆心 C（0，1） 连接 AC 交 直线 l 于点 P，交C 于点 B，可得|PA|+|PB|的最小值=|AC|r 【解答】解：（1）由直线 l： （t 为参数）消去参数 t，可得 x+y= ， 化为极坐标方程 cos+sin= ； （2）定点 A（ ， ） ，化为 A（1，1） 曲线 =2sin 化为 2=2sin，直角坐标方程为：x 2+y2=2y，
33、 配方为 x2+（y+1） 2=1 可得圆心 C（0，1） 连接 AC 交直线 l 于点 P，交C 于点 B， |AC|= = ， |PA|+|PB|的最小值=|AC|r= 1 选修 4-5：不等式选讲 23 （1）解不等式：|2x1|x|1； （2）设 a22ab+5b 2=4 对a ，bR 成立，求 a+b 的最大值及相应的 a，b 【考点】R5：绝对值不等式的解法；7G：基本不等式在最值问题中的应用 【分析】 （1）对 x 分情况讨论，去绝对值；然后分别解之； （2）设 a+b=x，则原方程化为关于 a 的一元二次方程的形式，利用判别式法，得到 x 的范 围 【解答】解：根据题意，对 x
34、 分 3 种情况讨论： 当 x0 时，原不等式可化为2x+1x+1， 解得 x0，又 x0，则 x 不存在， 此时，不等式的解集为 当 0x 时，原不等式可化为2x+1x+1， 解得 x0，又 0x ， 此时其解集为x|0x 当 x 时，原不等式可化为 2x1x+1，解得 x2， 又由 x ， 此时其解集为x| x2， x|0x x| x2=x|0x2； 综上，原不等式的解集为x|0x2 （2）设 a+b=x，则原方程化为 8a212ax+5x 24=0，此方程有实根，则 =144x248（5x 24）0，解得 ， 所以 a+b 的最大值为 2 ，此时 a= ，b= 2017 年 7 月 11 日
