1、2016-2017 学年山东省泰安市新泰市九年级（上）期末数学模拟 试卷 一、选择题（本大题共 18 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确 的，请把正确的选项选出来，每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超 过一个，均记零分） 1 的绝对值是（ ） A B C2 D 2 2下列计算正确的是（ ） Aa 2+a2=2a4 B（a 2b） 3=a6b3 Ca 2a3=a6 Da 8a2=a4 3某市 6 月某周内每天的最高气温数据如下（单位：）： 24 26 29 26 29 32 29 则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A29， 29 B26，26 C26，29 D29，32
2、 4如图所示，该几何体的主视图是（ ） A B C D 5如图，ABCD，1=58，FG 平分EFD，则FGB 的度数等于（ ） A122 B151 C116 D97 6已知不等式组 ，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 7小亮的妈妈用 28 元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克 4 元，乙种水 果每千克 6 元，且乙种水果比甲种水果少买了 2 千克，求小亮妈妈两种水果各 买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果 x 千克，乙种水果 y 千克，则可列方 程组为（ ） A B C D 8化简：（a+ ）（1 ）的结果等于（ ） Aa 2 Ba+2 C D 9如图，O 是ABC 的外接
3、圆，B=60 ，O 的半径为 4，则 AC 的长等于 （ ） A4 B6 C2 D8 10不等式组 的整数解的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 11如图，四边形 ABCD 为平行四边形，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 EB， EC，DB，添加一个条件，不能使四边形 DBCE 成为矩形的是（ ） AAB=BE BBEDC CADB=90 DCE DE 12要将抛物线 y=x2+2x+3 平移后得到抛物线 y=x2，下列平移方法正确的是（ ） A向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 B向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位 C向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
4、 D向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位 13在平面直角坐标系中，直线 y=x+2 与反比例函数 y= 的图象有唯一公共点， 若直线 y=x+b 与反比例函数 y= 的图象有 2 个公共点，则 b 的取值范围是（ ） Ab 2 B2b2 Cb 2 或 b 2 Db2 14在同一坐标系中，一次函数 y=mx+n2 与二次函数 y=x2+m 的图象可能是（ ） A B C D 15将下列多项式因式分解，结果中不含有因式 a+1 的是（ ） Aa 21 Ba 2+a Ca 2+a2 D（a+2） 22（a+2）+1 16如图，在平面直角坐标系中，M 与 x 轴相切于点 A（8，0），与 y
5、轴分 别交于点 B（0，4）和点 C（0，16），则圆心 M 到坐标原点 O 的距离是（ ） A10 B8 C4 D2 17若关于 x 的方程 + =3 的解为正数，则 m 的取值范围是（ ） Am Bm 且 m Cm Dm 且 m 18如图，在 RtABC 中，A=30 ，BC=2 ，以直角边 AC 为直径作O 交 AB 于点 D，则图中阴影部分的面积是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共 4 小题，满分 12 分，只要求填写最后结果，每小题填对 得 3 分） 19计算： （ + ）= 20已知反比例函数 y= （k0）的图象经过（3，1），则当 1y3 时，自 变量 x 的取值范围
6、是 21已知AOB=60，点 P 是AOB 的平分线 OC 上的动点，点 M 在边 OA 上， 且 OM=4，则点 P 到点 M 与到边 OA 的距离之和的最小值是 22在平面直角坐标系中，直线 l：y=x 1 与 x 轴交于点 A1，如图所示依次作正 方形 A1B1C1O、正方形 A2B2C2C1、 、正方形 AnBnCnCn1，使得点 A1、A 2、A 3、 在直线 l 上，点 C1、C 2、C 3、 在 y 轴正半轴上，则点 Bn 的坐标是 三、解答题（本大题共 5 小题，满分 48 分，解答应写出必要的文字说明、证明 过程或推演步骤） 23（8 分）旅游公司在景区内配置了 50 辆观光
7、车供游客租赁使用，假定每辆 观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金 x（元）是 5 的倍数发 现每天的营运规律如下：当 x 不超过 100 元时，观光车能全部租出；当 x 超过 100 元时，每辆车的日租金每增加 5 元，租出去的观光车就会减少 1 辆已知 所有观光车每天的管理费是 1100 元 （1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日 租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入管理费） （2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？ 24（8 分）一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= 的图象相交于 A（1，4）， B（2 ，n）两点，直线 A
8、B 交 x 轴于点 D （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）过点 B 作 BCy 轴，垂足为 C，连接 AC 交 x 轴于点 E，求AED 的面积 S 25（10 分）如图，A，P，B，C 是圆上的四个点， APC=CPB=60，AP，CB 的延长线相交于点 D （1）求证：ABC 是等边三角形； （2）若PAC=90，AB=2 ，求 PD 的长 26（10 分）如图，在菱形 ABCD 中，AB=2 ，BAD=60 ，过点 D 作 DEAB 于 点 E，DFBC 于点 F （1）如图 1，连接 AC 分别交 DE、DF 于点 M、N ，求证：MN= AC； （2）如图 2，将EDF
9、以点 D 为旋转中心旋转，其两边 DE、DF分别与直线 AB、BC 相交于点 G、P，连接 GP，当DGP 的面积等于 3 时，求旋转角的大 小并指明旋转方向 27（12 分）如图，已知抛物线 y= x2+bx+c 经过ABC 的三个顶点，其中点 A（0 ，1 ），点 B（9 ，10），ACx 轴，点 P 是直线 AC 下方抛物线上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB、AC 分别交于点 E、F，当四边形 AECP 的面积最大时，求点 P 的坐标； （3）当点 P 为抛物线的顶点时，在直线 AC 上是否存在点 Q，使得以 C、P、Q 为顶点的
10、三角形与ABC 相似，若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明 理由 2016-2017 学年山东省泰安市新泰市九年级（上）期末 数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 18 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确 的，请把正确的选项选出来，每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超 过一个，均记零分） 1 的绝对值是（ ） A B C2 D 2 【考点】绝对值 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答 【解答】解： 的绝对值是 故选：A 【点评】本题考查了绝对值，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值 是它的相反数；0 的绝对值是 0 2下列计算正确的是
11、（ ） Aa 2+a2=2a4 B（a 2b） 3=a6b3 Ca 2a3=a6 Da 8a2=a4 【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘 方 【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项以及积的乘方和幂的乘方进行计 算即可 【解答】解：A、a 2+a2=2a2B，故 A 错误； B、（a 2b） 3=a6b3，故 B 正确； C、 a2a3=a5，故 C 错误； D、a 8a2=a6，故 D 错误； 故选 B 【点评】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项以及积的乘方和幂的乘方， 是基础知识要熟练掌握 3某市 6 月某周内每天的最高气温数据如下（单位：）： 24
12、26 29 26 29 32 29 则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A29， 29 B26，26 C26，29 D29，32 【考点】众数；中位数 【分析】根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数 据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于 最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数 【解答】解：将这组数据从小到大的顺序排列 24，26，26，29，29，29，32， 在这一组数据中 29 是出现次数最多的，故众数是 29 处于中间位置的那个数是 29，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 29； 故选 A 【点评】本题为统计题，考查中
13、位数与众数的意义，中位数是将一组数据从小 到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）， 叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新 排列，就会出错 4如图所示，该几何体的主视图是（ ） A B C D 【考点】简单几何体的三视图 【分析】从前往后看到一个矩形，后面的轮廓线用虚线表示 【解答】解：该几何体为三棱柱，它的主视图是由 1 个矩形，中间的轮廓线用 虚线表示 故选 D 【点评】本题考查了简单几何体的三视图：画物体的主视图的口诀为：主、俯： 长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等掌握常见的几何体的三视图的画 法 5如图，ABCD，1=58
14、，FG 平分EFD，则FGB 的度数等于（ ） A122 B151 C116 D97 【考点】平行线的性质 【分析】根据两直线平行，同位角相等求出EFD，再根据角平分线的定义求出 GFD，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答 【解答】解：ABCD，1=58， EFD= 1=58 ， FG 平分EFD， GFD= EFD= 58=29， ABCD， FGB=180GFD=151 故选 B 【点评】题考查了平行线的性质，角平分线的定义，比较简单，准确识图并熟 记性质是解题的关键 6已知不等式组 ，其解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组
15、 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然 后把不等式的解集表示在数轴上即可 【解答】解：由 x30，得 x3， 由 x+10，得 x1 不等式组的解集是 x3， 故选：C 【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴 上表示出来（，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段， 如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就 是不等式组的解集有几个就要几个在表示解集时“”，“” 要用实心圆点 表示；“”，“”要用空心圆点表示 7小亮的妈妈用 28 元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克 4 元，乙种水 果每千克 6
16、元，且乙种水果比甲种水果少买了 2 千克，求小亮妈妈两种水果各 买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果 x 千克，乙种水果 y 千克，则可列方 程组为（ ） A B C D 【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组 【分析】设小亮妈妈买了甲种水果 x 千克，乙种水果 y 千克，根据两种水果共 花去 28 元，乙种水果比甲种水果少买了 2 千克，据此列方程组 【解答】解：设小亮妈妈买了甲种水果 x 千克，乙种水果 y 千克， 由题意得 故选 A 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读 懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组 8化简：（a+ ）（1 ）的结果等于
17、（ ） Aa 2 Ba+2 C D 【考点】分式的混合运算 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得 到结果 【解答】解： = =a+2 故选 B 【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 9如图，O 是ABC 的外接圆，B=60 ，O 的半径为 4，则 AC 的长等于 （ ） A4 B6 C2 D8 【考点】垂径定理；含 30 度角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理 【分析】首先连接 OA，OC，过点 O 作 ODAC 于点 D，由圆周角定理可求得 AOC 的度数，进而可在构造的直角三角形中，根据勾股定理求得弦 AC 的一 半，由此得解 【
18、解答】解：连接 OA，OC，过点 O 作 ODAC 于点 D， AOC=2B，且AOD=COD= AOC， COD=B=60； 在 RtCOD 中，OC=4，COD=60 ， CD= OC=2 ， AC=2CD=4 故选 A 【点评】此题主要考查了三角形的外接圆以及勾股定理的应用，还涉及到圆周 角定理、垂径定理以及直角三角形的性质等知识，难度不大 10不等式组 的整数解的个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【考点】一元一次不等式组的整数解 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出所有的整数解即 可求出个数 【解答】解： ， 解不等式得，x ， 解不等式得，x1， 所以，不等式组
19、的解集是 x1， 所以，不等式组的整数解有1、0、1 共 3 个 故选 C 【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口 诀求解求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大 大小小找不到（无解） 11如图，四边形 ABCD 为平行四边形，延长 AD 到 E，使 DE=AD，连接 EB， EC，DB，添加一个条件，不能使四边形 DBCE 成为矩形的是（ ） AAB=BE BBEDC CADB=90 DCE DE 【考点】矩形的判定；平行四边形的性质 【分析】先证明四边形 BCDE 为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答 【解答】解：四边形 ABCD 为平行
20、四边形， ADBC，AD=BC， 又AD=DE， DEBC，且 DE=BC， 四边形 BCED 为平行四边形， A、AB=BE，DE=AD， BDAE ，DBCE 为矩形，故本选项错误； B、对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确； C、 ADB=90，EDB=90，DBCE 为矩形，故本选项错误； D、CEDE ，CED=90，DBCE 为矩形，故本选项错误 故选 B 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形 BCDE 为平行四边形是解题的关键 12要将抛物线 y=x2+2x+3 平移后得到抛物线 y=x2，下列平移方法正确的是（ ） A向左
21、平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 B向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位 C向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 D向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】原抛物线顶点坐标为（1，2），平移后抛物线顶点坐标为（ 0，0）， 由此确定平移规律 【解答】解：y=x 2+2x+3=（x+1 ） 2+2，该抛物线的顶点坐标是（1，2），抛物 线 y=x2 的顶点坐标是（0 ，0）， 则平移的方法可以是：将抛物线 y=x2+2x+3 向右移 1 个单位，再向下平移 2 个 单位 故选：D 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换关键是
22、将抛物线的平移问题转 化为顶点的平移，寻找平移方法 13在平面直角坐标系中，直线 y=x+2 与反比例函数 y= 的图象有唯一公共点， 若直线 y=x+b 与反比例函数 y= 的图象有 2 个公共点，则 b 的取值范围是（ ） Ab 2 B2b2 Cb 2 或 b 2 Db2 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】联立两函数解析式消去 y 可得 x2bx+1=0，由直线 y=x+b 与反比例函数 y= 的图象有 2 个公共点，得到方程 x2bx+1=0 有两个不相等的实数根，根据根 的判别式可得结果 【解答】解：解方程组 得：x 2bx+1=0， 直线 y=x+b 与反比例函数 y=
23、 的图象有 2 个公共点， 方程 x2bx+1=0 有两个不相等的实数根， =b 240， b2，或 b2， 故选 C 【点评】本题主要考查函数的交点问题，把两函数图象的交点问题转化成一元 二次方程根的问题是解题的关键 14在同一坐标系中，一次函数 y=mx+n2 与二次函数 y=x2+m 的图象可能是（ ） A B C D 【考点】二次函数的图象；一次函数的图象 【分析】本题可先由一次函数 y=mx+n2 图象得到字母系数的正负，再与二次函 数 y=x2+m 的图象相比较看是否一致 【解答】解：A、由直线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可知，n 20，错误； B、由抛物线与 y 轴的交点
24、在 y 轴的正半轴上可知，m0，由直线可知， m 0，错误； C、由抛物线 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可知，m0，由直线可知，m0， 错误； D、由抛物线 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可知，m0，由直线可知， m0 ， 正确， 故选 D 【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一 种很好的方法，难度适中 15将下列多项式因式分解，结果中不含有因式 a+1 的是（ ） Aa 21 Ba 2+a Ca 2+a2 D（a+2） 22（a+2）+1 【考点】因式分解的意义 【分析】先把各个多项式分解因式，即可得出结果 【解答】解：a 21=（a+1）（a 1）， a
25、2+a=a（a +1）， a2+a2=（a +2）（a 1）， （a +2） 22（a +2）+1= （a+2 1） 2=（a+1） 2， 结果中不含有因式 a+1 的是选项 C； 故选：C 【点评】本题考查了因式分解的意义与方法；熟练掌握因式分解的方法是解决 问题的关键 16如图，在平面直角坐标系中，M 与 x 轴相切于点 A（8，0），与 y 轴分 别交于点 B（0，4）和点 C（0，16），则圆心 M 到坐标原点 O 的距离是（ ） A10 B8 C4 D2 【考点】切线的性质；坐标与图形性质 【分析】如图连接 BM、OM，AM，作 MHBC 于 H，先证明四边形 OAMH 是 矩形，根
26、据垂径定理求出 HB，在 RTAOM 中求出 OM 即可 【解答】解：如图连接 BM、OM，AM，作 MHBC 于 H M 与 x 轴相切于点 A（8，0）， AMOA， OA=8， OAM=MH0=HOA=90， 四边形 OAMH 是矩形， AM=OH， MHBC， HC=HB=6， OH=AM=10 ， 在 RTAOM 中，OM= = =2 故选 D 【点评】本题考查切线的性质、坐标与图形性质、垂径定理、勾股定理等知识， 解题的关键是正确添加辅助线，构造直角三角形 17若关于 x 的方程 + =3 的解为正数，则 m 的取值范围是（ ） Am Bm 且 m Cm Dm 且 m 【考点】分式
27、方程的解 【分析】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出 x 的取值 范围，进而得出答案 【解答】解：去分母得：x+m3m=3x 9， 整理得：2x=2m+9， 解得：x= ， 关于 x 的方程 + =3 的解为正数， 2m+90， 级的：m ， 当 x=3 时，x= =3， 解得：m= ， 故 m 的取值范围是：m 且 m 故选：B 【点评】此题主要考查了分式方程的解以及不等式的解法，正确解分式方程是 解题关键 18如图，在 RtABC 中，A=30 ，BC=2 ，以直角边 AC 为直径作O 交 AB 于点 D，则图中阴影部分的面积是（ ） A B C D 【考点】扇形面积的计
28、算；含 30 度角的直角三角形 【分析】连接连接 OD、CD ，根据 S 阴 =SABC SACD （S 扇形 OCDSOCD ）计算即可 解决问题 【解答】解：如图连接 OD、CD AC 是直径， ADC=90， A=30， ACD=90A=60， OC=OD， OCD 是等边三角形， BC 是切线 ACB=90 ，BC=2 ， AB=4 ，AC=6， S 阴 =SABC SACD （S 扇形 OCDSOCD ） = 62 3 （ 32） = 故选 A 【点评】本题考查扇形面积公式、直角三角形 30 度角性质、等边三角形性质等 知识，解题的关键是学会分割法求面积，属于中考常考题型 二、填空题
29、（本大题共 4 小题，满分 12 分，只要求填写最后结果，每小题填对 得 3 分） 19计算： （ + ）= 12 【考点】二次根式的混合运算 【分析】先把 化简，再本括号内合并，然后进行二次根式的乘法运算 【解答】解：原式= （ +3 ） = 4 =12 故答案为 12 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再 进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式在二次根式的混合运算中， 如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能 事半功倍 20已知反比例函数 y= （k0）的图象经过（3，1），则当 1y3 时，自 变量 x 的取值范围是 3x
30、1 【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】根据反比例函数过点（3，1）结合反比例函数图象上点的坐标特征可 求出 k 值，根据 k 值可得出反比例函数在每个象限内的函数图象都单增，分别 代入 y=1、y=3 求出 x 值，即可得出结论 【解答】解：反比例函数 y= （k0）的图象经过（ 3， 1）， k=3（1）=3， 反比例函数的解析式为 y= 反比例函数 y= 中 k=3， 该反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内均单增 当 y=1 时，x= =3； 当 y=3 时，x= =1 1y3 时，自变量 x 的取值范围是 3x 1 故答案为：3x1 【点评】本题
31、考查了反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征， 解题的关键是求出 k 值本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由 点的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征求出 k 值，再根据反比例函数的 性质找出去增减性是关键 21已知AOB=60，点 P 是AOB 的平分线 OC 上的动点，点 M 在边 OA 上， 且 OM=4，则点 P 到点 M 与到边 OA 的距离之和的最小值是 2 【考点】轴对称-最短路线问题 【分析】过 M 作 MNOB 于 N，交 OC 于 P，即 MN的长度等于点 P 到点 M 与到边 OA 的距离之和的最小值，解直角三角形即可得到结论 【解答】解：过 M 作
32、MNOB 于 N，交 OC 于 P， 则 MN的长度等于 PM+PN 的最小值， 即 MN的长度等于点 P 到点 M 与到边 OA 的距离之和的最小值， ONM=90，OM=4， MN=OMsin60=2 ， 点 P 到点 M 与到边 OA 的距离之和的最小值为 2 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，解直角三角形，正确的作出图形是 解题的关键 22在平面直角坐标系中，直线 l：y=x 1 与 x 轴交于点 A1，如图所示依次作正 方形 A1B1C1O、正方形 A2B2C2C1、 、正方形 AnBnCnCn1，使得点 A1、A 2、A 3、 在直线 l 上，点 C1、C 2、C 3、 在 y
33、 轴正半轴上，则点 Bn 的坐标是 （2 n1，2 n1） 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质 【分析】先求出 B1、B 2、B 3 的坐标，探究规律后即可解决问题 【解答】解：y=x 1 与 x 轴交于点 A1， A 1 点坐标（1，0）， 四边形 A1B1C1O 是正方形， B 1 坐标（1，1）， C 1A2x 轴， A 2 坐标（2，1）， 四边形 A2B2C2C1 是正方形， B 2 坐标（2，3）， C 2A3x 轴， A 3 坐标（4，3）， 四边形 A3B3C3C2 是正方形， B 3（4，7 ）， B 1（2 0，2 11），B 2（2 1，2 21），B 3（
34、2 2，2 31）， ， B n 坐标（2 n1，2 n1） 故答案为（2 n1，2 n1） 【点评】本题考查一次函数图象上点的特征，正方形的性质等知识，解题的关 键是学会从特殊到一般的探究方法，利用规律解决问题，属于中考填空题中的 压轴题 三、解答题（本大题共 5 小题，满分 48 分，解答应写出必要的文字说明、证明 过程或推演步骤） 23旅游公司在景区内配置了 50 辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一 天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金 x（元）是 5 的倍数发现每天的 营运规律如下：当 x 不超过 100 元时，观光车能全部租出；当 x 超过 100 元时， 每辆车的日租金每增
35、加 5 元，租出去的观光车就会减少 1 辆已知所有观光车 每天的管理费是 1100 元 （1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日 租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入管理费） （2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？ 【考点】二次函数的应用 【分析】（1）观光车全部租出每天的净收入=出租自行车的总收入 管理费，根 据不等关系：净收入为正，列出不等式求解即可； （2）由函数解析式是分段函数，在每一段内求出函数最大值，比较得出函数的 最大值 【解答】解：（1）由题意知，若观光车能全部租出，则 0x100， 由 50x11000 ， 解得 x22， 又
36、x 是 5 的倍数， 每辆车的日租金至少应为 25 元； （2）设每天的净收入为 y 元， 当 0x100 时，y 1=50x1100， y 1 随 x 的增大而增大， 当 x=100 时，y 1 的最大值为 501001100=3900； 当 x100 时， y2=（50 ）x 1100 = x2+70x1100 = （x175 ） 2+5025， 当 x=175 时，y 2 的最大值为 5025， 50253900， 故当每辆车的日租金为 175 元时，每天的净收入最多是 5025 元 【点评】本题用分段函数模型考查了一次函数，二次函数的性质与应用，解决 问题的关键是弄清题意，分清收费方式
37、 24一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= 的图象相交于 A（1，4），B（2，n） 两点，直线 AB 交 x 轴于点 D （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）过点 B 作 BCy 轴，垂足为 C，连接 AC 交 x 轴于点 E，求AED 的面积 S 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】（1）把 A（1，4）代入反比例函数 y= 可得 m 的值，即确定反比例 函数的解析式；再把 B（ 2，n ）代入反比例函数的解析式得到 n 的值；然后利 用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）先由 BCy 轴，垂足为 C 以及 B 点坐标确定 C 点坐标，再利用待定系数 法求出
38、直线 AC 的解析式，进一步求出点 E 的坐标，然后计算得出AED 的面积 S 【解答】解：（1）把 A（ 1，4）代入反比例函数 y= 得，m= 14=4， 所以反比例函数的解析式为 y= ； 把 B（2，n）代入 y= 得，2n= 4， 解得 n=2， 所以 B 点坐标为（2，2）， 把 A（1 ，4）和 B（2 ，2 ）代入一次函数 y=kx+b 得， ， 解得 ， 所以一次函数的解析式为 y=2x+2； （2）BC y 轴，垂足为 C，B （2，2）， C 点坐标为（0，2 ） 设直线 AC 的解析式为 y=px+q， A（1 ，4），C （0，2）， ， 解 ， 直线 AC 的解析式
39、为 y=6x2， 当 y=0 时， 6x2=0，解答 x= ， E 点坐标为（ ，0）， 直线 AB 的解析式为 y=2x+2， 直线 AB 与 x 轴交点 D 的坐标为（1，0）， DE=1 （ ）= ， AED 的面积 S= 4= 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求反 比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，正确求出函数的解析式是解题 的关键 25（10 分）（2016临沂）如图，A ，P ，B ，C 是圆上的四个点， APC= CPB=60 ，AP，CB 的延长线相交于点 D （1）求证：ABC 是等边三角形； （2）若PAC=90，AB=2 ，求 PD
40、 的长 【考点】四点共圆；等边三角形的判定与性质；圆周角定理 【分析】（1）由圆周角定理可知ABC= BAC=60，从而可证得ABC 是等边 三角形； （2）由ABC 是等边三角形可得出 “AC=BC=AB=2 ，ACB=60” ，在直角三角 形 PAC 和 DAC 通过特殊角的正、余切值即可求出线段 AP、AD 的长度，二者作 差即可得出结论 【解答】（1）证明：ABC= APC，BAC=BPC，APC=CPB=60， ABC=BAC=60， ABC 是等边三角形 （2）解：ABC 是等边三角形， AB=2 ， AC=BC=AB=2 ，ACB=60 在 RtPAC 中， PAC=90，APC
41、=60，AC=2 ， AP= =2 在 RtDAC 中， DAC=90，AC=2 ，ACD=60， AD=ACtanACD=6 PD=ADAP=62=4 【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定及性质以及特殊角的三角 函数值，解题的关键是：（1）找出三角形内两角都为 60；（2）通过解直角 三角形求出线段 AD 和 AP 得长度本题属于基础题，难度不大，解决该题型题 目时，通过解直角三角形找出各边长度，再根据边与边之间的关系求出结论即 可 26（10 分）（2016潍坊）如图，在菱形 ABCD 中，AB=2，BAD=60，过点 D 作 DEAB 于点 E，DFBC 于点 F （1）如图
42、1，连接 AC 分别交 DE、DF 于点 M、N ，求证：MN= AC； （2）如图 2，将EDF 以点 D 为旋转中心旋转，其两边 DE、DF分别与直线 AB、BC 相交于点 G、P，连接 GP，当DGP 的面积等于 3 时，求旋转角的大 小并指明旋转方向 【考点】旋转的性质；菱形的性质 【分析】（1）连接 BD，证明ABD 为等边三角形，根据等腰三角形的三线合 一得到 AE=EB，根据相似三角形的性质解答即可； （2）分EDF 顺时针旋转和逆时针旋转两种情况，根据旋转变换的性质解答即 可 【解答】（1）证明：如图 1，连接 BD，交 AC 于 O， 在菱形 ABCD 中，BAD=60，AD
43、=AB， ABD 为等边三角形， DEAB， AE=EB， ABDC， = = ， 同理， = ， MN= AC； （2）解：ABDC，BAD=60， ADC=120，又ADE=CDF=30， EDF=60， 当EDF 顺时针旋转时， 由旋转的性质可知，EDG=FDP ，GDP= EDF=60 ， DE=DF= ，DEG=DFP=90， 在DEG 和DFP 中， ， DEGDFP， DG=DP， DGP 为等边三角形， DGP 的面积= DG2=3 ， 解得，DG=2 ， 则 cosEDG= = ， EDG=60 ， 当顺时针旋转 60时， DGP 的面积等于 3 ， 同理可得，当逆时针旋转
44、60时，DGP 的面积也等于 3 ， 综上所述，将EDF 以点 D 为旋转中心，顺时针或逆时针旋转 60时，DGP 的 面积等于 3 【点评】本题考查的是菱形的性质和旋转变换，掌握旋转的性质：对应点到 旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋 转前、后的图形全等是解题的关键 27（12 分）（2016潍坊）如图，已知抛物线 y= x2+bx+c 经过ABC 的三个 顶点，其中点 A（0，1），点 B（9，10），ACx 轴，点 P 是直线 AC 下方抛 物线上的动点 （1）求抛物线的解析式； （2）过点 P 且与 y 轴平行的直线 l 与直线 AB、AC 分别交于点 E
45、、F，当四边形 AECP 的面积最大时，求点 P 的坐标； （3）当点 P 为抛物线的顶点时，在直线 AC 上是否存在点 Q，使得以 C、P、Q 为顶点的三角形与ABC 相似，若存在，求出点 Q 的坐标，若不存在，请说明 理由 【考点】二次函数综合题 【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）设点 P（m， m2+2m+1），表示出 PE= m23m，再用 S 四边形 AECP=S AEC+S APC= ACPE，建立函数关系式，求出极值即可； （3）先判断出 PF=CF，再得到 PCF=EAF，以 C、P、Q 为顶点的三角形与 ABC 相似，分两种情况计算即可 【解答】解：（1
46、）点 A（0，1）B （9，10）在抛物线上， ， ， 抛物线的解析式为 y= x2+2x+1， （2）AC x 轴，A（0，1） x2+2x+1=1， x 1=6，x 2=0， 点 C 的坐标（ 6，1 ）， 点 A（0，1）B（9 ，10）， 直线 AB 的解析式为 y=x+1， 设点 P（m ， m2+2m+1） E （m，m+1） PE=m +1（ m2+2m+1）= m23m， ACEP，AC=6， S 四边形 AECP =SAEC +SAPC = ACEF+ ACPF = AC（EF+PF） = ACPE = 6（ m23m） =m29m =（m+ ） 2+ ， 6 m0 当 m= 时，四边形 AECP 的面积的最大值是 ， 此时点 P（ ， ） （3）y= x2+2x+1= （x+3） 22， P（ 3，
