1、第 1 页（共 25 页） 2015-2016 学年安徽省黄山市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 1下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 2下列说法中正确的是（ ） A “打开电视机，正在播放 动物世界 ”是必然事件 B某种彩票的中奖概率为 ，说明每买 1000 张，一定有一张中奖 C抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 D想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查 3如图，在O 中，弦 AC半径 OB，BOC=50，则OAB 的度数为（ ） A25 B50
2、C60 D30 4如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=5，AD，AB， BC 分别与O 相切于 E，F ，G 三 点，过点 D 作O 的切线 BC 于点 M，切点为 N，则 DM 的长为（ ） A B C D2 5若关于 x 的一元二次方程 x22x+kb+1=0 有两个不相等的实数根，则一次函数 y=kx+b 的 大致图象可能是（ ） 第 2 页（共 25 页） A B C D 6若一个圆锥的侧面展开图是半径为 18cm，圆心角为 240的扇形，则这个圆锥的底面半 径长是（ ） A6cm B9cm C12cm D18cm 7如果一个正多边形的中心角为 72，那么这个多边形的边数是（
3、） A4 B5 C6 D7 8已知 2 是关于 x 的方程 x22mx+3m=0 的一个根，并且等腰三角形 ABC 的腰和底边长恰 好是这个方程的两个根，则ABC 的周长为（ ） A10 B14 C10 或 14 D8 或 10 9将抛物线 y=（x 1） 2+3 向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位后所得抛物线的表达 式为（ ） Ay= （ x2） 2 By=x 2 Cy=x 2+6 Dy= （x 2） 2+6 10如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（1，2） ，且与 X 轴交点的横坐标 分别为 x1，x 2，其中2x 1 1，0x 21，下列结论： 4a2b+
4、c0；2a b0； a+c1； b2+8a4ac， 其中正确的有（ ） 第 3 页（共 25 页） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11如果关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+1=0 有实数根，则实数 a 的取值范围是 122016 年 6 月底，九年级学生即将毕业，好朋友甲、乙、丙三人决定站成一排合影留念， 则甲、乙二人相邻的概率是 13二次函数 y=ax2+bx 的图象如图，若一元二次方程 ax2+bx+m=0 有实数根，则 m 的最大 值为 14如图，Rt ABC 中， C=90、A=30，在 AC 边上取点 O 画
5、圆，使O 经过 A、B 两 点，下列结论正确的序号是 （多填或错填得 0 分，少填酌情给分） AO=2CO； AO=BC； 以 O 为圆心，以 OC 为半径的圆与 AB 相切；延长 BC 交 O 与 D，则 A、B、D 是O 的三等分点 三、解答题（共 9 小题，满分 90 分） 15解方程 （1）2x 2+3x+1=0 （2） （3x+1） 2=9x+3 16如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC（顶点是 网格线的交点） （1）先将ABC 竖直向上平移 6 个单位，再水平向右平移 1 个单位得到 A1B1C1，请画出 A1B1C1； （2）将A 1B1C1 绕
6、 B1 点顺时针旋转 90，得 A2B1C2，请画出A 2B1C2； （3）求（2）中点 A1 旋转到点 A2 所经过的弧长 （结果保留 ） 第 4 页（共 25 页） 17某地区 2013 年投入教育经费 2500 万元，2015 年投入教育经费 3025 万元 （1）求 2013 年至 2015 年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计 2016 年该地区将投入教育经费多少万元 18如图，四边形 ABCD 内接于O ，点 E 在对角线 AC 上，EC=BC=DC （1）若CBD=39 ，求 BAD 的度数； （2）求证：1=2 19国务院办公厅在 20
7、15 年 3 月 16 日发布了中国足球发展改革总体方案 ，这是中国足 球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足 球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共 50 名，请结合图中信息，解答下列问题： （1）获得一等奖的学生人数； （2）在本次知识竞赛活动中，A ，B，C，D 四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随 机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到 A，B 两所 学校的概率 20某公司经销一种绿茶，每千克成本为 50 元市场调查发现，在一段时间内，销售量 w（千克）随销售单价 x（元
8、 /千克）的变化而变化，具体关系式为：w=2x+240 设这种绿 茶在这段时间内的销售利润为 y（元） ，解答下列问题： （1）求 y 与 x 的关系式； （2）当 x 取何值时，y 的值最大？ 第 5 页（共 25 页） （3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于 90 元/千克，公司想要在这段时间内 获得 2250 元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 21如图，Rt ABC 中， ABC=90，以 AB 为直径作半圆O 交 AC 与点 D，点 E 为 BC 的中点，连接 DE （1）求证：DE 是半圆O 的切线 （2）若BAC=30 ，DE=2，求 AD 的长 22如图，已知 PA
9、、PB 切O 于 A、B 两点，连 AB，且 PA，PB 的长是方程 x22mx+3=0 的两根，AB=m试求： （1）O 的半径； （2）由 PA，PB， 围成图形（即阴影部分）的面积 23如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x=1，求抛物线经过 A（1，0） ， C（0，3）两点，与 x 轴交于 A、B 两点 （1）若直线 y=mx+n 经过 B、C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴 x=1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和 最小，求出点 M 的坐标； （3）设点 P 为该抛物线的对称轴 x=1 上的一
10、个动点，求使BPC 为直角三角形的点 P 的 坐标 （提示：若平面直角坐标系内两点 P（x 1，y 1） 、Q（x 2，y 2） ，则线段 PQ 的长度 PQ= ） 第 6 页（共 25 页） 第 7 页（共 25 页） 2015-2016 学年安徽省黄山市九年级（上）期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分） 1下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形 【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解 【解答】解：由中心对称图形的定义知，绕一个点旋转 180后能与
11、原图重合，只有选项 B 是中心对称图形 故选：B 【点评】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕某一点旋转 180后能够与自身 重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心 2下列说法中正确的是（ ） A “打开电视机，正在播放 动物世界 ”是必然事件 B某种彩票的中奖概率为 ，说明每买 1000 张，一定有一张中奖 C抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 D想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查 【考点】概率的意义；全面调查与抽样调查；随机事件；概率公式 【分析】根据随机事件，可判断 A；根据概率的意义，可判断 B、C；根据调查方式，可 判断
12、D 【解答】解：A、 “打开电视机，正在播放 动物世界 ”是随机事件，故 A 错误； B、某种彩票的中奖概率为 ，说明每买 1000 张，有可能中奖，也有可能不中奖，故 B 错误； C、抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 ，故 C 错误； D、想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查，故 D 正确； 故选：D 【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，正确区分全面调查与抽样调查是解题关键，注 意概率时事件发生可能性的大小，并不一定发生 第 8 页（共 25 页） 3如图，在O 中，弦 AC半径 OB，BOC=50，则OAB 的度数为（ ） A25 B50 C60 D3
13、0 【考点】圆周角定理；平行线的性质 【分析】由圆周角定理求得BAC=25，由 ACOB， BAC=B=25，由等边对等角得出 OAB=B=25，即可求得答案 【解答】解：BOC=2 BAC，BOC=50， BAC=25， ACOB， BAC=B=25， OA=OB， OAB=B=25， 故选：A 【点评】此题考查了圆周角定理以及平行线的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思 想的应用 4如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，AD=5，AD，AB， BC 分别与O 相切于 E，F ，G 三 点，过点 D 作O 的切线 BC 于点 M，切点为 N，则 DM 的长为（ ） A B C D2 【考点】
14、切线的性质；矩形的性质 【专题】压轴题 【分析】连接 OE，OF，ON ，OG，在矩形 ABCD 中，得到A= B=90，CD=AB=4，由 于 AD，AB，BC 分别与O 相切于 E，F，G 三点得到AEO= AFO=OFB=BGO=90， 推出四边形 AFOE，FBGO 是正方形，得到 AF=BF=AE=BG=2，由勾股定理列方程即可求 出结果 【解答】解：连接 OE，OF，ON，OG， 在矩形 ABCD 中， A=B=90，CD=AB=4， AD，AB，BC 分别与O 相切于 E，F，G 三点， 第 9 页（共 25 页） AEO=AFO=OFB=BGO=90， 四边形 AFOE，FBG
15、O 是正方形， AF=BF=AE=BG=2， DE=3， DM 是O 的切线， DN=DE=3，MN=MG， CM=52MN=3MN， 在 RtDMC 中，DM 2=CD2+CM2， （ 3+NM） 2=（3 NM） 2+42， NM= ， DM=3 = ， 故选 A 【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的 关键 5若关于 x 的一元二次方程 x22x+kb+1=0 有两个不相等的实数根，则一次函数 y=kx+b 的 大致图象可能是（ ） A B C D 【考点】根的判别式；一次函数的图象 【分析】根据一元二次方程 x22x+kb+1=0 有两个不相等的
16、实数根，得到判别式大于 0，求 出 kb 的符号，对各个图象进行判断即可 第 10 页（共 25 页） 【解答】解：x 22x+kb+1=0 有两个不相等的实数根， =44（kb+1）0， 解得 kb0， Ak0，b0，即 kb0，故 A 不正确； Bk0，b0，即 kb0，故 B 正确； Ck0，b0，即 kb0，故 C 不正确； Dk0，b=0 ，即 kb=0，故 D 不正确； 故选：B 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情 况与判别式的关系：（1） 0方程有两个不相等的实数根；（2）=0 方程有两个 相等的实数根；（3）0方程没有实数根 6若一个
17、圆锥的侧面展开图是半径为 18cm，圆心角为 240的扇形，则这个圆锥的底面半 径长是（ ） A6cm B9cm C12cm D18cm 【考点】圆锥的计算 【分析】利用弧长公式可得圆锥的侧面展开图的弧长，除以 2 即为圆锥的底面半径 【解答】解：圆锥的弧长为： =24， 圆锥的底面半径为 242=12， 故选 C 【点评】考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面 周长； 7如果一个正多边形的中心角为 72，那么这个多边形的边数是（ ） A4 B5 C6 D7 【考点】多边形内角与外角 【分析】根据正多边形的中心角和为 360和正多边形的中心角相等，列式计算即可
18、【解答】解：这个多边形的边数是 36072=5， 故选：B 【点评】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算，掌握正多边形的中心角和为 360和 正多边形的中心角相等是解题的关键 8已知 2 是关于 x 的方程 x22mx+3m=0 的一个根，并且等腰三角形 ABC 的腰和底边长恰 好是这个方程的两个根，则ABC 的周长为（ ） A10 B14 C10 或 14 D8 或 10 【考点】一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质 【分析】先根据一元二次方程的解的定义把 x=2 代入方程求出 m 的值，得到原方程为 x28x+12=0，再解此方程得到 x1=2，x 2=6，然后根据三角形三
19、边的关系得到ABC 的腰为 6，底边为 2，再计算三角形的周长 第 11 页（共 25 页） 【解答】解：2 是关于 x 的方程 x22mx+3m=0 的一个根， 把 x=2 代入方程整理得：44m+3m=0 ， 解得 m=4， 原方程为：x 28x+12=0， 方程的两个根分别是 2，6， 又 等腰三角形 ABC 的腰和底边长恰好是这个方程的两个根， 若 2 是等腰三角形 ABC 的腰长，则 2+2=46 构不成三角形， 等腰三角形 ABC 的腰长为 6，底边长为 2， 三角形 ABC 的周长为：6+6+2=14， 故选：B 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的
20、未知数的值是 一元二次方程的解又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一 元二次方程的解也称为一元二次方程的根也考查了三角形三边的关系 9将抛物线 y=（x 1） 2+3 向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位后所得抛物线的表达 式为（ ） Ay= （ x2） 2 By=x 2 Cy=x 2+6 Dy= （x 2） 2+6 【考点】二次函数图象与几何变换 【专题】几何变换 【分析】先确定抛物线 y=（x1） 2+3 的顶点坐标为（1， 3） ，再利用点平移的规律得到点 （1，3）平移后对应点的坐标为（2，6） ，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式 【解答】解：抛物线
21、 y=（x 1） 2+3 的顶点坐标为（1，3） ，把点（1，3）先向右平移 1 个 单位，再向上平移 3 个单位后所得对应点的坐标为（2，6） ，所以新抛物线的表达式为 y=（x2 ） 2+6 故选 D 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变， 所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后 的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式 10如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象经过点（1，2） ，且与 X 轴交点的横坐标 分别为 x1，x 2，其中2x 1 1，0x 21
22、，下列结论： 4a2b+c0；2a b0； a+c1； b2+8a4ac， 其中正确的有（ ） 第 12 页（共 25 页） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】二次函数图象与系数的关系 【专题】数形结合 【分析】将 x=2 代入 y=ax2+bx+c，可以结合图象得出 x=2 时，y0； 由抛物线开口向下，可得 a0；由图象知抛物线的对称轴大于 1，则有 x= 1， 即可得出 2ab0； 已知抛物线经过（1，2） ，即 ab+c=2（1） ，由图象知：当 x=1 时，y0，即 a+b+c0（2） ，联立（1） （2） ，可得 a+c1； 由抛物线的对称轴大于1，可知抛物线的顶点纵
23、坐标应该大于 2，结合顶点的纵坐标与 a0，可以得到 b2+8a4ac 【解答】解：由函数的图象可得：当 x=2 时，y0，即 y=4a2b+c0，故正确； 由函数的图象可知：抛物线开口向下，则 a0；抛物线的对称轴大于 1，即 x= 1，得出 2ab0，故 正确； 已知抛物线经过（1，2） ，即 ab+c=2（1） ，由图象知：当 x=1 时，y0，即 a+b+c0（2） ， 联立（1） （2） ，得：a+c1，故 正确； 由于抛物线的对称轴大于 1，所以抛物线的顶点纵坐标应该大于 2，即： 2， 由于 a0，所以 4acb28a，即 b2+8a4ac，故正确， 故选 D 【点评】本题主要考
24、查对二次函数图象与系数的关系，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）中，a 的符号由抛物线的开口方向决定；c 的符号由抛物线与 y 轴交点的位置确定；b 的符号由对 称轴的位置与 a 的符号决定；抛物线与 x 轴的交点个数决定根的判别式的符号，此外还要 注意二次函数图象上的一些特殊点 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 第 13 页（共 25 页） 11如果关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+1=0 有实数根，则实数 a 的取值范围是 a1 且 a0 【考点】根的判别式 【分析】先根据关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+1=0 有实数根得出 0，a 0，求出 a
25、 的取 值范围即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 ax2+2x+1=0 有实数根， ，解得 a1 且 a0 故答案为：a1 且 a0 【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b 24ac 的关系是解答此题的关键 122016 年 6 月底，九年级学生即将毕业，好朋友甲、乙、丙三人决定站成一排合影留念， 则甲、乙二人相邻的概率是 【考点】列表法与树状图法 【专题】计算题 【分析】画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，再找出甲、乙二人相邻的结果数，然后 根据概率公式求解 【解答】解：画树状图为： 共有 6 种等可能的结果数，其中甲、乙二人相邻
26、的结果数为 4 种， 所以甲、乙二人相邻的概率= = 故答案为 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，求出概率 13二次函数 y=ax2+bx 的图象如图，若一元二次方程 ax2+bx+m=0 有实数根，则 m 的最大 值为 3 【考点】抛物线与 x 轴的交点 第 14 页（共 25 页） 【分析】先根据抛物线的开口向上可知 a0，由顶点纵坐标为3 得出 b 与 a 关系，再根据 一元二次方程 ax2+bx+m=0 有实数根可得到关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围即可 【解答】解：抛物线的开口向
27、上，顶点纵坐标为3， a0 =3，即 b2=12a， 一元二次方程 ax2+bx+m=0 有实数根， =b24am0，即 12a4am0，即 124m0，解得 m3， m 的最大值为 3， 故答案为 3 【点评】本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，根据题意判断出 a 的符号及 a、b 的关系是解 答此题的关键 14如图，Rt ABC 中， C=90、A=30，在 AC 边上取点 O 画圆，使O 经过 A、B 两 点，下列结论正确的序号是 （多填或错填得 0 分，少填酌情给分） AO=2CO； AO=BC； 以 O 为圆心，以 OC 为半径的圆与 AB 相切；延长 BC 交 O 与 D，则 A、
28、B、D 是O 的三等分点 【考点】切线的判定；含 30 度角的直角三角形；垂径定理；圆周角定理 【专题】计算题；压轴题 【分析】连接 OB，可得ABO=30，则 OBC=30，根据直角三角形的性质得 OC= OB= OA，再根据三角函数 cosOBC= ，则 BC= OB，因为点 O 在ABC 的角 平分线上，所以点 O 到直线 AB 的距离等于 OC 的长，根据垂径定理得直线 AC 是弦 BD 的垂直平分线，则点 A、B、D 将 O 的三等分 【解答】解：连接 OB， OA=OB， A=ABO， C=90， A=30， ABC=60， OBC=30， OC= OB= OA， 即 OA=2OC
29、， 故正确； 第 15 页（共 25 页） cosOBC= ， BC= OB， 即 BC= OA， 故错误； ABO=OBC=30， 点 O 在 ABC 的角平分线上， 点 O 到直线 AB 的距离等于 OC 的长， 即以 O 为圆心，以 OC 为半径的圆与 AB 相切； 故正确； 延长 BC 交O 于 D， ACBD， AD=AB， ABD 为等边三角形， = = ， 点 A、 B、D 将O 的三等分 故正确 故答案为 【点评】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理和垂径定理，是基础知识要熟练掌握 三、解答题（共 9 小题，满分 90 分） 15解方程 （1）2x 2+3x+1=0 （2） （
30、3x+1） 2=9x+3 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】计算题 【分析】 （1）方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为 0，两因式中至少 有一个为 0 转化为两个一元一次方程来求解； （2）方程移项变形后，利用因式分解法求出解即可 【解答】解：（1）分解因式得：（2x+1） （x+1）=0 ， 可得 2x+1=0 或 x+1=0， 解得：x 1=0.5，x 2=1； （2）方程整理得：（3x+1） 23（3x+1）=0， 第 16 页（共 25 页） 分解因式得：（3x+1） （3x+13）=0， 可得 3x+1=0 或 3x2=0， 解得：x 1= ，x 2= 【点
31、评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键 16如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点ABC（顶点是 网格线的交点） （1）先将ABC 竖直向上平移 6 个单位，再水平向右平移 1 个单位得到 A1B1C1，请画出 A1B1C1； （2）将A 1B1C1 绕 B1 点顺时针旋转 90，得 A2B1C2，请画出A 2B1C2； （3）求（2）中点 A1 旋转到点 A2 所经过的弧长 （结果保留 ） 【考点】作图-旋转变换；弧长的计算；作图 -平移变换 【专题】计算题；作图题 【分析】 （1）利用网格特点和平移的性质画出点 A、B、C 的对应
32、点 A1、B 1、C 1，即可得 到A 1B1C1； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点 A1、C 1 的对应点 A2、C 2，即可得到A 2B1C2； （3）根据弧长公式计算 【解答】解：（1）如图，A 1B1C1 为所作； （2）如图，A 2B1C2 为所作； （3） （2）中点 A1 旋转到点 A2 所经过的弧长= = 第 17 页（共 25 页） 【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角， 对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对 应点，顺次连接得出旋转后的图形也考查了弧长公式和平移变换 17某地区 2013
33、年投入教育经费 2500 万元，2015 年投入教育经费 3025 万元 （1）求 2013 年至 2015 年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计 2016 年该地区将投入教育经费多少万元 【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题 【分析】 （1）一般用增长后的量=增长前的量（1+增长率） ，2014 年要投入教育经费是 2500（1+x）万元，在 2014 年的基础上再增长 x，就是 2015 年的教育经费数额，即可列出 方程求解 （2）利用（1）中求得的增长率来求 2016 年该地区将投入教育经费 【解答】解：设增长率为 x，根据题意 201
34、4 年为 2500（1+x）万元，2015 年为 2500（1+x） 2 万元 则 2500（1+x） 2=3025， 解得 x=0.1=10%，或 x=2.1（不合题意舍去） 答：这两年投入教育经费的平均增长率为 10% （2）3025（1+10%）=3327.5（万元） 故根据（1）所得的年平均增长率，预计 2016 年该地区将投入教育经费 3327.5 万元 【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识增长前的量（1+年平均增长率） 年数 =增长后的量 18如图，四边形 ABCD 内接于O ，点 E 在对角线 AC 上，EC=BC=DC （1）若CBD=39 ，求 BAD 的度数； （2
35、）求证：1=2 【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系 【专题】计算题 【分析】 （1）根据等腰三角形的性质由 BC=DC 得到CBD= CDB=39，再根据圆周角定 理得BAC= CDB=39，CAD=CBD=39，所以BAD=BAC+ CAD=78； （2）根据等腰三角形的性质由 EC=BC 得 CEB=CBE，再利用三角形外角性质得 CEB=2+BAE，则 2+BAE=1+CBD，加上 BAE=CBD，所以1=2 【解答】 （1）解：BC=DC， CBD=CDB=39， BAC=CDB=39，CAD=CBD=39， 第 18 页（共 25 页） BAD=BAC+CAD=39+39=78
36、； （2）证明：EC=BC ， CEB=CBE， 而CEB= 2+BAE， CBE=1+CBD， 2+BAE=1+CBD， BAE=BDC=CBD， 1=2 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等 于这条弧所对的圆心角的一半也考查了等腰三角形的性质 19国务院办公厅在 2015 年 3 月 16 日发布了中国足球发展改革总体方案 ，这是中国足 球史上的重大改革，为进一步普及足球知识，传播足球文化，我市某区在中小学举行了“足 球在身边”知识竞赛，各类获奖学生人数的比例情况如图所示，其中获得三等奖的学生共 50 名，请结合图中信息，解答下列问题： （1）获得
37、一等奖的学生人数； （2）在本次知识竞赛活动中，A ，B，C，D 四所学校表现突出，现决定从这四所学校中随 机选取两所学校举行一场足球友谊赛，请用画树状图或列表的方法求恰好选到 A，B 两所 学校的概率 【考点】列表法与树状图法；扇形统计图 【分析】 （1）根据三等奖所在扇形的圆心角的度数求得总人数，然后乘以一等奖所占的百 分比即可求得一等奖的学生数； （2）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可 【解答】解：（1）三等奖所在扇形的圆心角为 90， 三等奖所占的百分比为 25%， 三等奖为 50 人， 总人数为 5025%=200 人， 一等奖的学生人数为 200（120%25%
38、40%）=30 人； （2）列表： A B C D A A B A C AD BBA BCBD CCACB CD DDAD B D C 共有 12 种等可能的结果，恰好选中 A、B 的有 2 种， 第 19 页（共 25 页） P（选中 A、B）= = 【点评】本题考查了列表与树状图的知识，解题的关键是通过列表将所有等可能的结果列 举出来，然后利用概率公式求解，难度不大 20某公司经销一种绿茶，每千克成本为 50 元市场调查发现，在一段时间内，销售量 w（千克）随销售单价 x（元 /千克）的变化而变化，具体关系式为：w=2x+240 设这种绿 茶在这段时间内的销售利润为 y（元） ，解答下列问
39、题： （1）求 y 与 x 的关系式； （2）当 x 取何值时，y 的值最大？ （3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于 90 元/千克，公司想要在这段时间内 获得 2250 元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【考点】二次函数的应用 【分析】 （1）因为 y=（x 50）w，w=2x+240 故 y 与 x 的关系式为 y=2x2+340x12000 （2）用配方法化简函数式求出 y 的最大值即可 （3）令 y=2250 时，求出 x 的解即可 【解答】解：（1）y=（x 50）w=（x 50）（2x+240）=2x 2+340x12000， y 与 x 的关系式为：y= 2x2+
40、340x12000 （2）y= 2x2+340x12000=2（ x85） 2+2450 当 x=85 时，y 的值最大 （3）当 y=2250 时，可得方程2（x85） 2+2450=2250 解这个方程，得 x1=75，x 2=95 根据题意，x 2=95 不合题意应舍去 当销售单价为 75 元时，可获得销售利润 2250 元 【点评】本题考查的是二次函数的实际应用求二次函数的最大（小）值有三种方法，第 一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法 21如图，Rt ABC 中， ABC=90，以 AB 为直径作半圆O 交 AC 与点 D，点 E 为 BC 的中点
41、，连接 DE （1）求证：DE 是半圆O 的切线 （2）若BAC=30 ，DE=2，求 AD 的长 第 20 页（共 25 页） 【考点】切线的判定 【专题】证明题 【分析】 （1）连接 OD，OE，由 AB 为圆的直径得到三角形 BCD 为直角三角形，再由 E 为斜边 BC 的中点，得到 DE=BE=DC，再由 OB=OD，OE 为公共边，利用 SSS 得到三角 形 OBE 与三角形 ODE 全等，由全等三角形的对应角相等得到 DE 与 OD 垂直，即可得证； （2）在直角三角形 ABC 中，由 BAC=30，得到 BC 为 AC 的一半，根据 BC=2DE 求出 BC 的长，确定出 AC
42、的长，再由C=60，DE=EC 得到三角形 EDC 为等边三角形，可得 出 DC 的长，由 ACCD 即可求出 AD 的长 【解答】 （1）证明：连接 OD，OE，BD， AB 为圆 O 的直径， ADB=BDC=90， 在 RtBDC 中，E 为斜边 BC 的中点， DE=BE， 在OBE 和ODE 中， ， OBEODE（SSS） ， ODE=ABC=90， 则 DE 为圆 O 的切线； （2）在 RtABC 中， BAC=30， BC= AC， BC=2DE=4， AC=8， 又C=60，DE=CE， DEC 为等边三角形，即 DC=DE=2， 则 AD=ACDC=6 第 21 页（共
43、25 页） 【点评】此题考查了切线的判定，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定方 法是解本题的关键 22如图，已知 PA、PB 切O 于 A、B 两点，连 AB，且 PA，PB 的长是方程 x22mx+3=0 的两根，AB=m试求： （1）O 的半径； （2）由 PA，PB， 围成图形（即阴影部分）的面积 【考点】切线的性质；根的判别式；切割线定理；扇形面积的计算 【分析】用切线的性质及根的判别式求出 m 的值即 AB 的长，代入原方程得出两根即 PA、PB 的长，因 AB=PA=PB， ABP 为等边三角形，APB=60 ，则APO=30，再用正 切公式求出 OA 的长及圆的半径用
44、正切求出 OP 的长，四边形的度数和求出 AOB 的度 数，再求出AOB 和APB 的面积和，减去扇形 OAB 的面积即为所求 【解答】解：（1）连 OA，OB， PA=PB， =（2m） 243=0， m2=3，m0， m= ， x22 x+3=0， x1=x2= ， PA=PB=AB= ， ABP 等边三角形， APB=60， APO=30， PA= ， OA=1； 第 22 页（共 25 页） （2）AOP=60 ， AOB=120， S 阴 =S 四边形 OAPBS 扇形 OAB =2SAOPS 扇形 OAB =2 1 ， = 【点评】考查根的判别式，切线的性质，定理及组合图形面积 2
45、3如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x=1，求抛物线经过 A（1，0） ， C（0，3）两点，与 x 轴交于 A、B 两点 （1）若直线 y=mx+n 经过 B、C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴 x=1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和 最小，求出点 M 的坐标； （3）设点 P 为该抛物线的对称轴 x=1 上的一个动点，求使BPC 为直角三角形的点 P 的 坐标 （提示：若平面直角坐标系内两点 P（x 1，y 1） 、Q（x 2，y 2） ，则线段 PQ 的长度 PQ= ） 【考点】二次函数综合题
46、【分析】 （1）根据 A 和 B 关于 x=1 对称即可求得 B 的坐标，然后利用待定系数法即可求 得抛物线的解析式； （2）求得 BC 与对称轴的交点就是 M； 第 23 页（共 25 页） （3）设 P 的坐标是（ 1，p） ，利用两点之间的距离公式表示出 BC、BP 和 PC 的长，然后 分成BPC 的三边分别是斜边三种情况讨论，利用勾股定理列方程求得 p 的值，得到 P 的 坐标 【解答】解：（1）A（1，0 ）关于 x=1 的对称点是（3， 0） ，则 B 的坐标是（3，0） 根据题意得： ， 解得： ， 则抛物线的解析式是 y=x+3； 根据题意得： ， 解得： 则抛物线的解析式是 y=x22x+3； （2）在 y=x+3 中令 x=1，则 y=1+3=2， 则 M 的坐标是（ 1，2） ； （3）设 P 的坐标是（ 1，p） 则 BP2=（1+3） 2+p2=4+p2 PC=（0+1） 2+（3p） 2=p26p+10 BC=32+32=18 当 BC 时斜边时，BP 2+PC2=BC2，则（4+p 2）+（p 26p+10）=18， 解得：p= 1 或 2， 则 P 的坐标是（ 1
