1、2015-2016 学年云南省红河州九年级（上）期末数学模拟试卷 一、选一选 1二次函数 y=（x 1） 22 的顶点坐标是（ ） A （1， 2） B （ 1，2） C （1， 2） D （1，2） 2判断一元二次方程 x22x+1=0 的根的情况是（ ） A只有一个实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D没有实数根 3用配方法解方程 x24x3=0，下列配方结果正确的是（ ） A （x4 ） 2=19 B （x 2） 2=7 C （x+2） 2=7 D （x+4） 2=19 4一件商品的原价是 121 元，经过两次降价后的价格为 100 元，如果每次降价的百分率都是 x，
2、根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A121（1+x） =100 B121 （1 x）=100 C121（1 x） 2=100 D100（1+x） 2=121 5某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉 20 只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志 的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉 40 只黄羊，发现其中两只有标志从而估计该地区有黄 羊（ ） A200 只 B400 只 C800 只 D1000 只 6已知圆锥的底面半径为 3cm，母线长为 4cm，则圆锥的全面积是（ ） A15cm 2 B15cm 2 C21cm 2 D24cm 2 7如图，圆锥的侧面展开图是半径为 3，圆心角为
3、90的扇形，则该圆锥的底面周长为（ ） A B C D 8如图，线段 AB 是 O 的直径，弦 CD 丄 AB， CAB=20，则AOD 等于（ ） A120 B140 C150 D160 二、填一填 9在直角坐标系 中，点 A（1，2）关于原点对称的点的坐标是 10一元二次方程 x（x1）=x 的解是 11 O 的半径为 5cm，两条弦 ABCD，AB=8cm、CD=6cm，则两条弦之间的距离为 12等边三角形至少旋转 度才 能与自身重合 13如图，正方形内接于圆 O，已知正方形的边长为 cm，则图中的阴影部分的面积是 cm2（用 表示） 14二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，
4、下列关系式中： a0；abc0；a+b+c0； b24ac0其中不正确的序号是 15将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第 1 个图形有 6 个小圆，第 2 个图形有 10 个 小 圆，第 3 个图形有 16 个小圆，第 4 个图形有 24 个小圆，依此规律，第 7 个图形有 个小圆 三、解答题 16 （2015 秋 红河州期末） （1）解下列方程：（x+1） 2=4x （2）化简：2 1+| |+ +（ ） 0 17 （2010仙桃）已知方程 x24x+m=0 的一个根为 2，求方程的另一根及 m 的值 18 （2014江汉区二模）如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中建立直角坐标系
5、，AOB 的顶点 均在格点上，点 O 为原点，点 A、B 的坐标分别是 A（3，2） 、B（1，3） （1）将AOB 向下平移 3 个单位后得到A 1O1B1，则点 B1 的坐标为 ； （2）将A OB 绕点 O 逆时针旋转 90后得到A 2OB2，请在图中作出A 2OB2，并求出这时点 A2 的坐标为 ； （3）在（2）中的旋转过程中，线段 OA 扫过的图形的面积 19 （2005宿迁）已知：如图， ABC 中，AC=BC，以 BC 为直径的O 交 AB 于点 D，过点 D 作 DEAC 于点 E，交 BC 的延长线于点 F 求证： （1）AD=BD； （2）DF 是 O 的切线 20 （2
6、014 秋 安溪县期末）一个不透明的口袋中装有 4 个完全相同的小球，分别标有数字 1，2，3，4，另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的 3 个扇形区域，分别标有数字 1，2，3（如图所示） （1）从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于 2 的概率为 ； （2）小龙和小东想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一 个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于 5，那么小龙去；否则 小东去你认为游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由 21 （2006辽宁）如图，在宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分）
7、 ， 余下的部分种上草坪要使草坪的面积为 540m2，求道路的宽 （部分参考数据：32 2=1024，52 2=2704，48 2=2304） 22 （2012祁门县三模）商场销售一批衬衫，每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售减 少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价 1 元，每天可多售出 2 件 设每件降价 x 元，每天盈利 y 元，列出 y 与 x 之间的函数关系式 若商场每天要盈利 1200 元，每件衬衫降价多少元？ 每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？ 23 （2008安徽）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹
8、跳到人梯顶端椅子 B 处，其身 体（看成一点）的路线是抛物线 y= x2+3x+1 的一部分，如图所示 （1）求演员弹跳离地面的最大高度； （2）已知人梯高 BC=3.4 米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是 4 米，问这次表演是 否成功？请说明理由 24 （2015 秋 红河州期末）如图，直线 y=3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，抛物线 y=a（x 2） 2+k 经过点 A、B求： （1）点 A、B 的坐标； （2）抛物线的函数表达式； （3）若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求 AM+BM 的最小值及点 M 的坐标； （4）在抛物线对称轴上是否存在点 P，使得
9、以 A、B 、P 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在， 求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 25如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（ 1，0） ，B（3，0）两点 （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标； （3）设（1）中的抛物线上有一个动点 P，当点 P 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足 S PAB=8，并求出此时 P 点的坐标 26如图，直线 y=3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，抛物线 y=a（x 2） 2+k 经过点 A、B 求： （1）点 A、B 的坐标； （2）抛物线的函数表达式； （3）在抛物线对称轴上是否存在点 P
10、，使得以 A、B 、P 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在， 求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2015-2016 学年云南省红河州九年级（上）期末数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一、选一选 1二次函数 y=（x 1） 22 的顶点坐标是（ ） A （1， 2） B （ 1，2） C （1， 2） D （1，2） 【考点】二次函数的性质 【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标 【解答】解：因为 y=（x 1） 22 是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点，顶点坐标为（1，2） 故选 C 【点评】本题考查通过抛物线的顶点坐标式写出抛物线的顶点坐标，比
11、较容易 2判断一元二次方程 x22x+1=0 的根的情况是（ ） A只有一个实数根 B有两个相等的实数根 C有两个不相等的实数根 D没有实数根 【考点】根的判别式 【分析】先计算出=（ 2） 2411=0，然后根据 的意义进行判断方程根的情况 【解答】解：= （2） 2411=0， 方程有两个相等的实数根 故选 B 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根的判别式=b 24ac：当 0，方程有两 个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根 3用配方法解方程 x24x3=0，下列配方结果正确的是（ ） A （x4 ） 2=19 B （x 2
12、） 2=7 C （x+2） 2=7 D （x+4） 2=19 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】移项，再配方，即可得出答案 【解答】解：x 24x3=0， x24x=3， x24x+4=3+4， （x2） 2=7， 故选 B 【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，即方程两边都加上一次 项系数一半的平方，难度适中 4一件商品的原价是 121 元，经过两次降价后的价格为 100 元，如果每次降价的百分率都是 x， 根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A121（1+x） =100 B121 （1 x）=100 C121（1 x） 2=100 D100（1+x）
13、2=121 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【专题】增长率问题 【分析】设平均每次降价的百分率为 x，根据原价为 121 元，表示出第一次降价后的价钱为 121（1x）元，然后再根据价钱为 121（1 x）元，表示出第二次降价的价钱为 121（11x） 2 元，根 据两次降价后的价钱为 100 元，列出关于 x 的方程 【解答】解：设平均每次降价的百分率为 x， 根据题意得：121（1x） 2=100， 故选 C 【点评】此题考查了一元二次方程的应用，属于平均增长率问题，一般情况下，假设基数为 a，平 均增长率为 x，增长的次数为 n（一般情况下为 2） ，增长后的量为 b，则有表达式
14、a（1+x） n=b， 类似的还有平均降低率问题，注意区分“增”与“ 减” 5某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉 20 只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志 的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉 40 只黄羊，发现其中两只有标志从而估计该地区有黄 羊（ ） A200 只 B400 只 C800 只 D1000 只 【考点】用样本估计总体 【分析】根据先捕捉 40 只黄羊，发现其中 2 只有标志说明有标记的占到 ，而有标记的共有 20 只，根据所占比例解得 【解答】解：20 =400（只） 故选 B 【点评】此题考查了用样本估计总体；统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息，本题体现
15、 了统计思想，考查了用样本估计总体 6已知圆锥的底面半径为 3cm，母线长为 4cm，则圆锥的全面积是（ ） A15cm 2 B15cm 2 C21cm 2 D24cm 2 【考点】圆锥的计算 【专题】计算题 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于 圆锥的母线长和扇形面积公式计算出圆锥的侧面积，然后加上圆锥底面圆的面积即可得到圆锥的全 面积 【解答】解：这个圆锥的底面圆的面积=3 2=9， 圆锥的侧面积= 234=12， 所以圆锥的全面积=9+12 =21（cm 2） 故选 C 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧
16、长等于圆锥底面的周 长，扇形的半径等于圆锥的母线长 7如图，圆锥的侧面展开图是半径为 3，圆心角为 90的扇形，则该圆锥的底面周长为（ ） A B C D 【考点】圆锥的计算 【专题】计算题 【分析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，可以求出底面圆的半径，从而求得圆锥 的底面周长 【解答】解：设底面圆的半径为 r，则： 2r= = r= ， 圆锥的底面周长为 ， 故选：B 【点评】本题考查的是弧长的计算，利用弧长公式求出弧长，然后根据扇形弧长与圆锥底面半径的 关系求出底面圆的半径 8如图，线段 AB 是 O 的直径，弦 CD 丄 AB，CAB=20 ，则AOD 等于（ ） A120
17、B140 C150 D160 【考点】圆周角定理；垂径定理 【分析】利用垂径定理得出 = = ，进而求出 BOD=40，再利用邻补角的性质得出答案 【解答】解：线段 AB 是O 的直径，弦 CD 丄 AB， = ， CAB=20， BOD=40， AOD=140 故选：B 【点评】本题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出BOD 的度数是解题关键 二、填一填 9在直角坐标系中，点 A（ 1，2）关于原点对称的点的坐标是 （1，2） 【考点】关于原点对称的点的坐标 【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点 P（x，y） ，关于原点的对称点是（x，y） ，即关于原点 的对称点，横纵坐标都变成相
18、反数”解答 【解答】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点， 点（ 1， 2）关于原点过对称的点的坐标是（1，2） 故答案为：（1，2） 【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特点，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键 10一元二次方程 x（x1）=x 的解是 0 或 2 【考点】解一元二次方程-因式分解法 【专题】计算题 【分析】注意要把方程化为左边为两个一次因式相乘，右边为 0 的形式，才能运用因式分解法解方 程 【解答】解：原方程变形得： x（x1） x=0 x（x2） =0 x1=0，x 2=2 故本题的答案是 x1=0，x 2=2 【点评】因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边
19、为两个一次因式相乘，右边为 0，再分别 使各一次因式等于 0 即可求解 11 O 的半径为 5cm，两条弦 ABCD，AB=8cm、CD=6cm，则两条弦之间的距离为 1cm 或 7cm 【考点】垂径定理；勾股定理 【专题】分类讨论 【分析】此题分为两种情况：两条平行弦在圆心的同侧或两条平行弦在圆心的两侧根据垂径定理 分别求得两条弦的弦心距，进一步求得两条平行弦间的距离 【解答】解：如图所示，连接 OA，OC作直线 EFAB 于 E，交 CD 于 F，则 EFCD OEAB，OFCD， AE= AB=4cm，CF= CD=3cm 根据勾股定理，得 OE= =3cm；OF= =4cm， 当 AB
20、 和 CD 在圆心的同侧时，如图 1，则 EF=OFOE=1cm； 当 AB 和 CD 在圆心的两侧时，如图 2，则 EF=OE+OF=7cm； 则 AB 与 CD 间的距离为 1cm 或 7cm 故答案为 1cm 或 7cm 【点评】本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，特别注意此题要考虑 两种情况 12等边三角形至少旋转 120 度 才能与自身重合 【考点】旋转对称图形 【分析】等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，求旋转角即 可 【解答】解：因为等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等， 所以，旋转角为 360
21、3=120，故至少旋转 120 度才能与自身重合 【点评】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重 合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角 13如图，正方形内接于圆 O，已知正方形的边长为 cm，则图中的阴影部分的面积是 2 cm2（用 表示） 【考点】正方形的性质；扇形面积的计算 【分析】因为阴影部分的面积等于扇形 AOB 的面积减去三角形 AOB 的面积，所以只要求出两个 的面积，就可求出阴影部分的面积 【解答】解：正方形内接于圆 O， OAB 是等腰直角三角形， 正方形的边长为 cm， 正方形对角线的长为 =4，
22、 OA 是正方形对角线的一半， AO= 4=2，S OAB= OBOB=2，S 扇形 OAB= =， 阴影部分的面积=S 扇形 OABSOAB=（2）cm 2 【点评】本题利用了圆内接正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，扇形的面 积公式求解 14二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，下列关系式中： a0；abc0；a+b+c0； b24ac0其中不正确的序号是 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】根据函数图象可得各系数的关系：a0，b0，c0，再结合图象判断各结论 【解答】解：由函数图象可得各系数的关系：a0，b0，c0， 则a0，正确； abc0，正确； 当
23、 x=1 时， y=a+b+c0，错误； 抛物线与 x 轴有两个不同的交点，b 24ac0，正确 故不正确的序号是 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，先分析信息，再进行判断 15将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第 1 个图形有 6 个小圆，第 2 个图形有 10 个 小圆，第 3 个图形有 16 个小圆，第 4 个图形有 24 个小圆，依此规律，第 7 个图形有 60 个 小圆 【考点】规律型：图形的变化类 【分析】分析数据可得：第 1 个图形中小圆的个数为 6；第 2 个图形中小圆的个数为 10；第 3 个图 形中小圆的个数为 16；第 4 个图形中小圆的个数为 24；则
24、知第 n 个图形中小圆的个数为 n（n+1） +4故第 7 个图形中小圆的个数为 78+4=60 个 【解答】解：由分析知：第 7 个图形圆的个数为 78+4=60 个 故答案为：60 【点评】考查了规律型：图形的变化类，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出 现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的 三、解答题 16 （2015 秋 红河州期末） （1）解下列方程：（x+1） 2=4x （2）化简：2 1+| |+ +（ ） 0 【考点】实数的运算；平方根；零指数幂；负整数指数幂 【专题】计算题；实数 【分析】 （1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出
25、解； （2）原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简， 第三项利用立 方根定义计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项分母有理化即可得到结果 【解答】解：（1）方程整理得：（x1） 2=0， 解得：x 1=x2=1； （2）原式= + 2+1 =2 2 【点评】此题考查了实数的运算，以及平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键 17 （2010仙桃）已知方程 x24x+m=0 的一个根为 2，求方程的另一根及 m 的值 【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解 【分析】根据根与系数的关系，可求出两根的和与两根的积，将已知的根代入即可求出另一根及 m 的值 【解答】解：
26、设原方程的 两根为 x1、x 2； 则：x 1+x2=4，x 1x2=m； x1=2， x2=4x1=6，m=x 1x2=12； 即方程的另一根是 6，m 的值为 12 【点评】此题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系 18 （2014江汉区二模）如图，在边长为 1 的正方形组成的网格中建立直角坐标系，AOB 的顶点 均在格点上，点 O 为原点，点 A、B 的坐标分别是 A（3，2） 、B（1，3） （1）将AOB 向下平移 3 个单位后得到A 1O1B1，则点 B1 的坐标为 （1，0） ； （2）将AOB 绕点 O 逆时针旋转 90后得到 A2OB2，请在图中作出 A2OB2，并求出这时
27、点 A2 的 坐标为 （2， 3） ； （3）在（2）中的旋转过程中，线段 OA 扫过的图形的面积 【考点】作图-旋转变换；扇形面积的计算；坐标与图形变化- 平移 【分析】 （1）根据平移的性质，上下平移在在对应点的坐标上，纵坐标上上加下减就可以求出结论； （2）过点 O 作 OA 的垂线，在上面取一点 A2 使 OA2=OA，同样的方法求出点 B2，顺次连接 A2、B 2、O 就得出A 2OB2，就可以相应的结论； （3）根据条件就是求扇形 A2OA 的面积即可 【解答】解：（1）由题意，得 B1（1，33） ， B1（1，0） 故答案为：（1，0） ； （2）如图，过点 O 作 OA 的垂
28、线，在上面取一点 A2 使 OA2=OA， ，同样的方法求出点 B2，顺次连接 A2、B 2、O 就得出A 2OB2， A2OB2 是所求作的图形由作图得 A2（2， 3） 故答案为：（2，3） ； （3）由勾股定理，得 OA= ， 线段 OA 扫过的图形的面积为： = 故答案为： 【点评】本题考查了旋转作图的运用，勾股定理的运用，扇形的面积公式的运用，平移的运用，解 答时根据图形变化的性质求解是关键 19 （2005宿迁）已知：如图， ABC 中，AC=BC，以 BC 为直径的O 交 AB 于点 D，过点 D 作 DEAC 于点 E，交 BC 的延长线于点 F 求证： （1）AD=BD； （
29、2）DF 是 O 的切线 【考点】切线的判定；圆周角定理 【专题】证明题 【分析】 （1）由于 AC=AB，如果连接 CD，那么只要证明出 CDAB，根据等腰三角形三线合一的 特点，我们就可以得出 AD=BD，由于 BC 是圆的直径，那么 CDAB，由此可证得 （2）连接 OD，再证明 ODDE 即可 【解答】证明：（1）连接 CD， BC 为 O 的直径， CDAB AC=BC， AD=BD （2）连接 OD； AD=BD，OB=OC， OD 是 BCA 的中位线， ODAC DEAC， DFOD OD 为半径， DF 是 O 的切线 【点评】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质等知识
30、点要注意的是要证某线是圆的切 线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径） ，再证垂直即可 20 （2014 秋 安溪县期末）一个不透明的口袋中装有 4 个完全相同的小球，分别标有数字 1，2，3，4，另外有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的 3 个扇形区域，分别标有数字 1，2，3（如图所示） （1）从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于 2 的概率 为 ； （2）小龙和小东想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一 个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于 5，那么小龙去；否则 小东去你认为游戏公平吗？请用树状图或列表法说
31、明理由 【考点】游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法 【分析】 （1）因为口袋中有 4 个小球，大于 2 的有两个分别是 3，4，由此可求出其概率 （2）游戏公平，分别求出题目各自获胜的概率，比较概率是否相等，即可判定游戏是否公平 【解答】解：（1）的口袋中装有 4 个完全相同的小球，分别标有数字 1，2，3，4， 从口袋中摸出一个小球，所摸球上的数字大于 2 的概率为 ； 故答案为： ； （2）游戏公平 列举所有等可能的结果 12 个： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于 5 的概率为 P= ， 游戏公平 【点
32、评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列 出所有可能的结果，适合于两步完成的事件游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不 公平用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 21 （2006辽宁）如图，在宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分） ， 余下的部分种上草坪要使草坪的面积为 540m2，求道路的宽 （部分参考数据：32 2=1024，52 2=2704，48 2=2304） 【考点】一元二次方程的应用 【专题】几何图形问题；数形结合 【分析】本题可设道路宽为 x 米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此
33、一来，所有草坪面 积之和就变为了（32x） （20 x）米 2，进而即可列出方程，求出答案 【解答】解法（1）： 解：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为 x 米， 根据题意得：（20x） （32 x） =540 整理得：x 252x+100=0 解得：x 1=50（舍去） ，x 2=2 答：道路宽为 2 米 解法（2）： 解：利用平移，原图可转化为右图，设道路宽为 x 米， 根据题意得：20 32（20+32）x+x 2=540 整理得：x 252x+100=0 解得：x 1=2，x 2=50（舍去） 答：道路宽应是 2 米 【点评】这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变
34、为规则图形，进而即可列 出方程，求出答案另外还要注意解的合理性，从而确定取舍 22 （2012祁门县三模）商场销售一批衬衫，每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售减 少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价 1 元，每天可多售出 2 件 设每件降价 x 元，每天盈利 y 元，列出 y 与 x 之间的函数关系式 若商场每天要盈利 1200 元，每件衬衫降价多少元？ 每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？ 【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用 【专题】应用题；压轴题 【分析】根据每天盈利等于每件利润 销售件数得到 y=（40x） （
35、20+2x） ，整理即可； 令 y=1200，得到 2x2+60x+800=1200，整理得 x230x+20=0，然后利用因式分解法解即可； 把 y=2x2+60x+800 配成顶点式得到 y=2（x15） 2+1250，然后根据二次函数的最值问题即可得 到答案 【解答】解：y=（40 x） （20+2x ） =2x2+60x+800 所以 y 与 x 之间的函数关系式为 y=2x2+60x+800； 令 y=1200， 2x2+60x+800=1200， 整理得 x230x+200=0，解得 x1=10（舍去） ，x 2=20， 所以商场每天要盈利 1200 元，每件衬衫降价 20 元；
36、y=2x2+60x+800 =2（x15） 2+1250， a=20， 当 x=15 时，y 有最大值，其最大值为 1250， 所以每件降价 15 元时，商场每天的盈利达到最大，盈利最大是 1250 元 【点评】本题考查了二次函数的应用：根据题意列出二次函数关系式，再配成顶点式 y=a（xh） 2+k，当 a0，x=h，y 有最大值 k；当 a0，x=h，y 有最小值 k也考查了一元二次方程的应用 23 （2008安徽）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅子 B 处，其身 体（看成一点）的路线是抛物线 y= x2+3x+1 的一部分，如图所示 （1）求演员弹跳离地面的最
37、大高度； （2）已知人梯高 BC=3.4 米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是 4 米，问这次表演是 否成功？请说明理由 【考点】二次函数的应用 【专题】压轴题 【分析】 （1）将二次函数化简为 y= （x ） 2+ ，即可解出 y 最大 的值 （2）当 x=4 时代入二次函数可得点 B 的坐标在抛物线上 【解答】解：（1）将二次函数 y= x2+3x+1 化成 y= （x ） 2 ， （3 分） ， 当 x= 时，y 有最大值，y 最大值 = ， （5 分） 因此，演员弹跳离地面的最大高度是 4.75 米 （6 分） （2）能成功表演理由是： 当 x=4 时，y= 42+34+1
38、=3.4 即点 B（4，3.4）在抛物线 y= x2+3x+1 上， 因此，能表演成功 （12 分） 【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决 实际问题 24 （2015 秋 红河州期末）如图，直线 y=3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，抛物线 y=a（x 2） 2+k 经过点 A、B求： （1）点 A、B 的坐标； （2）抛物线的函数表达式； （3）若点 M 是该抛物线对称轴上的一点，求 AM+BM 的最小值及点 M 的坐标； （4）在抛物线对称轴上是否存在点 P，使得以 A、B 、P 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在， 求点 P
39、的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）将 x=0 代入直线的解析式可求得点 B 的坐标，将 y=0 代入直线的解析式可求得点 A 的坐标； （2）将点 A、B 的坐标代入抛物线的解析式得到关于 a、k 的方程组，求得 a、k 的值，从而可求 得抛物线的解析式； （3）先求得抛物线的对称轴方程，从而可求得点 C 的坐标，由轴对称图形的性质可知 AM+BM=BM+MC，当点 B、M 、C 在一条直线上时，AM+BM 有最小值，在 RtBOC 中，由勾股 定理可求得 BC 的长，从而得到 AM+BM 的最小值，然后由CDMCOB，可求得 DM=1，从而 得到点 M 的
40、坐标； （4）设点 P 的坐标为（2，m ） ，然后 分为 AP=PB，AP=AB，BA=BP 三种情况列方程求解即可 【解答】解：（1）将 x=0 代入直线的解析式得： y=3， 点 B 的坐标为（0，3） 将 y=0 代入直线的解析式得： 3x+3=0，解得：x=1 点 A 的坐标为（1，0） （2）将 A（1，0） 、B（0，3）代入抛物线的解析式得： ， 解得：a=1，k= 1 抛物线的解析式为 y= x24x+3 （3）如图所示：连接 BC 交抛物线的对称轴于点 M，连接 AM 由题意可知抛物线的对称轴为 x=2， 点 C 的坐标为（3，0） 点 A 与点 M 关于 x=2 对称，
41、AN=MC AM+BM=BM+MC 当点 B、M、C 在一条直线上时，AM+BM 有最小值，AM+BM 的最小值为 BC 的长 AM+BM 的最小值 = =3 MDOB， CDMCOB ，即 解得：MD=1 M（2，1） （4）设点 P 的坐标为（2，m ） 当 PA=PB 时，由两点间的距离公式可知：（2 1） 2+（m0） 2=（2 0） 2+（m 3） 2 整理得：6m=12 解得：m=2 点 P 的坐标为（2，2） 当 AP=AB 时，由两点间的距离公式可知：（21） 2+（m 0） 2=（10 ） 2+（0 3） 2 整理得：m 2=9 解得：m=3 或 m=3（舍去） 点 P 的坐
42、标为（2，3） 当 BA=BP 时，由两点间的距离公式可知：（1 0） 2+（03） 2=（2 0） 2+（m3） 2 整理得：（m3） 2=6 解得：m=3+ 或 m=3 点 P 的坐标为（2，3+ ）或（2，3 ） 综上所述，点 P 的坐标为（2，2）或（2，3）或（2，3+ ）或（2，3 ） 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题需要熟练掌握待定系数法求二次函数的 解析式，相似三角形的性质和判定、两点间的距离公式、轴对称图形的性质，分为 AP=PB，AP=AB ，BA=BP 三种情况列出关于 m 的方程是解题的关键 25如图，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（
43、 1，0） ，B（3，0）两点 （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标； （3）设（1）中的抛物线上有一个动点 P，当点 P 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足 S PAB=8，并求出此时 P 点的坐标 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征 【分析】 （1）由于抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（ 1，0） ，B （3，0）两点，那么可以得到方程 x2+bx+c=0 的两根为 x=1 或 x=3，然后利用根与系数即可确定 b、c 的值 （2）根据 SPAB=8，求得 P 的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得
44、 P 点的坐标 【解答】解：（1）抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（1，0） ，B（3，0）两点， 方程 x2+bx+c=0 的两根为 x=1 或 x=3， 1+3=b， 13=c， b=2，c=3， 二次函数解析式是 y=x22x3 （2）y= x22x3=（x 1） 24， 抛物线的对称轴 x=1，顶点坐标（ 1，4） （3）设 P 的纵坐标为|y P|， SPAB=8， AB|yP|=8， AB=3+1=4， |yP|=4， yP=4， 把 yP=4 代入解析式得，4=x 22x3， 解得，x=12 ， 把 yP=4 代入解析式得，4=x 22x3， 解得，x=1， 点 P
45、 在该抛物线上滑动到（1+2 ，4）或（1 2 ，4）或（1，4）时，满足 SPAB=8 【点评】此题主要考查了利用抛物线与 x 轴的交点坐标确定函数解析式，二次函数的对称轴点的坐 标以及二次函数的性质，二次函数图象上的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法得到关于 b、c 的方程，解方程即可解决问题 26如图，直线 y=3x+3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B ，抛物线 y=a（x2） 2+k 经过点 A、B求： （1）点 A、B 的坐标； （2）抛物线的函数表达式； （3）在抛物线对称轴上是否存在点 P，使得以 A、B 、P 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在， 求点 P 的坐标；若不
46、存在，请说明理由 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）由 y=3x+3 得，当 x=0 时，y=3；当 y=0 时，x=1，即可确定点 A，B 的坐标； （2）把点 A（1，0） 、B（0，3）代入 y=a（x2） 2+k 得： ，解得 ， 即可解答； （3）存在，由 AO=1，BO=3 ，得到 AB= 设对称 x 轴交于点 D，P（2y） ， D（2，0） ，所以 DA=1，PD=|y|，PA 2=PD2+DA2=y2+1，分三种情况讨论解答：当 PA=AB 即 PA2=AB2=10 时；当 PB=AB 即 PB2=AB2=10 时；当 PA=PB 即 PA2=PB2 时 【解答】解：（1）由 y=3x+3 得，当 x=0 时，y=3；当 y=0 时，x=1 A（ 1， 0） 、B（0，3） （2）把点 A（1，0） 、B（0，3）代入 y=a（x2） 2+k 得： 解得 抛物线的函数表达式为 y=（ x2） 21 （3）AO=1 ，BO=3， AB= 设对称 x 轴交于点 D，P （2，y） ，D （2，0） ， DA=1，PD=|y|，PA 2=PD2+DA2=y2+1， 当 PA=AB 即 PA2=AB2=10 时， y2+1=10， 解得 y=3 P（ 2，3） ， 但当 P（2，3）时，P、A、 B
