1、2015-2016 学年北京市昌平区八年级（上）期末数学试卷 一、选择题（共 10 道小题，每小题 3 分，共 30 分）下面各题均有四个选项，其中只有一 个是符合题意的 1 的相反数是( ) A3 B3 C D 2下列图形中，不是轴对称图形的是( ) A B C D 3如图，ABCD，BC AD，AB=CD，BE=DF，图中全等的三角形的对数是 ( ) A3 B4 C5 D6 4若分式 的值为 0，则 x 的值等于( ) A0 B3 C 3 D3 5将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成三角形的是( ) A1，2，4 B8，6，4 C12，6，5 D3，3，6 6如图，DE 为ABC 中
2、AC 边的中垂线，BC=8 ，AB=10，则EBC 的周长是( ) A16 B18 C26 D28 7下列各式中，正确的是( ) A B C D 8一次函数 y=2x1 的图象不经过( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 9下列说法正确的是( ) A带根号的数一定是无理数 B无限小数一定是无理数 C无理数一定是无限小数 D无理数是开平方或开立方开不尽的数 10已知两点 M（3，2） ，N（ 1，3） ，点 P 是 x 轴上一动点，若使 PM+PN 最短，则点 P 的坐标应为( ) A （0， ） B （ ，0） C （ ，0） D （ ，0 ） 二、填空题（共 6 道小题，每小
3、题 3 分，共 18 分） 1136 的平方根是_ 12在二次根式 中，x 的取值范围是_ 13 （1997河北）若等腰三角形顶角的外角为 100，则它的一个底角为_ 14已知 a、b 为两个连续的整数，且 ，则 a+b=_ 15如图，矩形网格由小正方形构成，每一个小正方形的边长都为 1，点 A 和点 B 是小正 方形的顶点，则点 A 和点 B 之间的距离为_ 16观察规律： 同理可得： 依照上述规律，则： =_； =_（n1 的整数） ； =_ 三、解答题（共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分） 17计算： + 6 18计算： 19解方程： 20已知：如图，E、C 是 BF 上两点，
4、且 ABDE，BE=FC，A= D求证：AC=DF 21先化简，再求值： ，其中 a2+a1=0 22某学校组织学生到离校 20 千米的国家博物馆进行实践教育活动，同学们统一从学校乘 车前往小明在去学校的途中遇上堵车，比同学们晚 15 分钟从学校出发，由他的家长开车 沿相同路线送小明赶往国家博物馆，结果小明和同学们同时到达已知小明的速度是同学 们的速度的 2 倍，求同学们的速度是每小时多少千米？ 四、解答题（共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分） 23如图，在ABC 中，AB=AC ，点 D 是 BC 上一点，点 E 是 AC 上一点，且 DEAD若BAD=55，B=50，求 DEC
5、的度数 24如图，已知CAB ，用直尺和圆规作ABD ，使 ABD= A，射线 BD 与射线 AC 相 交于点 D （不写画法，保留作图痕迹） 25如图，已知ABC 中，ACB=90，AC=BC= ，ABD 是等边三角形，求 CD 的长 度 26已知：如图所示，点 P，Q 分别代表两个小区，直线 l 代表临近小区的一条公路点 P 到直线 l 的距离为 千米，两点 P、Q 所在直线与直线 l 的夹角为 45，两小区 P、Q 之间的距离为 1 千米根据居民出行的需要，计划在公路 l 上的某处设置一个公交车 站考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到小区 P 和小区 Q 的距离之和 m 最短，请 在公
6、路 l 上画出车站的位置（用点 M 表示，保留画图痕迹，不写作法） ，并求出 m 的值 五、解答题（共 3 道小题，第 27，28 小题各 7 分，第 29 小题 8 分，共 22 分） 27阅读材料，解答问题 数学课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法 小惠说：如图 1，我用相同的两块含 30 角的直角三角板可以画角的平分线画法如下： （1）在AOB 的两边上分别取点 M，N，使 OM=ON； （2）把直角三角板按如图所示的位置放置，两斜边交于点 P 射线 OP 是AOB 的平分线 小旭说：我只用刻度尺就可以画角平分线 请你也参与探讨，解决以下问题： （1）小惠的做法
7、正确吗？说明理由； （2）请你和小旭一样，只用刻度尺画出图 2 中QRS 的平分线，并简述画图的过程 28如图，已知，MN 是 AD 的垂直平分线，点 C 在 MN 上，MCA=20， ACB=90， CA=CB=5，BD 交 MN 于点 E，交 AC 于点 F，连接 AE （1）求CBE， CAE 的度数； （2）求 AE2+BE2 的值 29直线 AB：y= x+b 分别与 x，y 轴交于 A，B 两点，点 A 的坐标为 （3，0） ，过点 B 的 直线交 x 轴负半轴于点 C，且 OB：OC=3：1 （1）求点 B 的坐标及直线 BC 的解析式； （2）在 x 轴上方存在点 D，使以点
8、A，B，D 为顶点的三角形与ABC 全等，画出ABD 并请直接写出点 D 的坐标； （3）在线段 OB 上存在点 P，使点 P 到点 B，C 的距离相等，求出点 P 的坐标 2015-2016 学年北京市昌平区八年级（上）期末数学试 卷 一、选择题（共 10 道小题，每小题 3 分，共 30 分）下面各题均有四个选项，其中只有一 个是符合题意的 1 的相反数是( ) A3 B3 C D 【考点】实数的性质 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案 【解答】解： 的相反数是 ， 故选：D 【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数 2下列图形中，不是轴对称
9、图形的是( ) A B C D 【考点】轴对称图形 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互 相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可 【解答】解：A 不是轴对称图形，只有 B、C、D 是轴对称图形， 故选：A 【点评】此题主要考查了轴对称图形定义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两 部分沿对称轴折叠后可重合 3如图，ABCD，BC AD，AB=CD，BE=DF，图中全等的三角形的对数是 ( ) A3 B4 C5 D6 【考点】全等三角形的判定 【分析】根据平行线的性质求出ABD=CDB ，ADB= CBD，根据 ASA 推出
10、ABD CDB，根据全等三角形的对应边相等得出 AD=BC，AB=CD，再根据 SAS 推出ABE CDF，根据全等三角形的对应边相等得出 AE=CF，求出 BF=DE，根据 SSS 推出ADE CBF 即可 【解答】解：AB CD，BCAD， ABD=CDB， ADB=CBD 在ABD 和 CDB 中 ， ABDCDB（ASA） ， AD=BC，AB=CD 在ABE 和CDF 中 ， ABECDF（SAS） ， AE=CF BE=DF， BE+EF=DF+EF， BF=DE， 在ADE 和 CBF 中 ， ADECBF（SSS） ， 即 3 对全等三角形， 故选 A 【点评】本题考查了平行线
11、的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能正确根据定理进 行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS ， 全等三角形的对应边相等，对应角相等 4若分式 的值为 0，则 x 的值等于( ) A0 B3 C 3 D3 【考点】分式的值为零的条件 【分析】直接利用分式的值为 0 的条件以及分式有意义的条件进而得出答案 【解答】解：分式 的值为 0， x29=0，x30， 解得：x= 3 故选：C 【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确记忆分子与分母的关系是解题关键 5将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成三角形的是( ) A1，2，4 B8，6，4 C
12、12，6，5 D3，3，6 【考点】三角形三边关系 【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可 【解答】解：A、1+2=34，不能组成三角形，故此选项错误； B、6+4 8，能组成三角形，故此选项正确； C、6+5 12，不能组成三角形，故此选项错误； D、3+3=6 ，不能组成三角形，故此选项错误； 故选：B 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能 否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线 段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形 6如图，DE 为ABC 中 AC 边的中垂线，BC=8
13、，AB=10，则EBC 的周长是( ) A16 B18 C26 D28 【考点】线段垂直平分线的性质 【分析】利用线段垂直平分线的性质得 AE=CE，再等量代换即可求得三角形的周长 【解答】解：DE 是ABC 中 AC 边的垂直平分线 AE=CE AE+BE=CE+BE=10 EBC 的周长 =BC+BE+CE=10+8=18 故选 B 【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质；利用线段进行等量代换，把线段进行等 效转移是正确解答本题的关键 7下列各式中，正确的是( ) A B C D 【考点】分式的基本性质 【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数（或整式） ，结果不变，可
14、 得答案 【解答】解：A、分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数（或整式） ，结果不变， 故 A 错误； B、分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数（或整式） ，结果不变，故 B 错误； C、分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数（或整式） ，结果不变，故 C 错误； D、分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数（或整式） ，结果不变，故 D 正确； 故选：D 【点评】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零数 （或整式） ，结果不变 8一次函数 y=2x1 的图象不经过( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】一次函数图
15、象与系数的关系 【分析】因为 k=20，b=10，根据一次函数 y=kx+b（k0）的性质得到图象经过第二、 四象限，图象与 y 轴的交点在 x 轴下方，于是可判断一次函数 y=2x1 的图象不经过第一象 限 【解答】解：对于一次函数 y=2x1， k=20， 图象经过第二、四象限； 又 b=10， 一次函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴下方，即函数图象还经过第三象限， 一次函数 y=2x1 的图象不经过第一象限 故选 A 【点评】本题考查了一次函数 y=kx+b（k0）的性质：当 k0，图象经过第二、四象限， y 随 x 的增大而减小；当 k0，经图象第一、三象限，y 随 x 的增大而增大
16、；当 b0，一 次函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴上方；当 b0，一次函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴下 方 9下列说法正确的是( ) A带根号的数一定是无理数 B无限小数一定是无理数 C无理数一定是无限小数 D无理数是开平方或开立方开不尽的数 【考点】无理数 【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念， 有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是 无理数由此即可判定选择项 【解答】解：A、带根号的数不一定是无理数，故 A 错误； B、无理数就是无限不循环小数，故 B 错误； C、无理数就是无限不循环小数，故 C 正确
17、； D、无理数就是无限不循环小数，故 D 错误； 故选：C 【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2 等；开 方开不尽的数；以及像 0.1010010001，等有这样规律的数 10已知两点 M（3，2） ，N（ 1，3） ，点 P 是 x 轴上一动点，若使 PM+PN 最短，则点 P 的坐标应为( ) A （0， ） B （ ，0） C （ ，0） D （ ，0 ） 【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质 【分析】先求得 M 的对称点 M的坐标，根据两点的坐标代入一次函数解析式中，确定一 次函数解析式，然后根据点 P 在 x 轴上，则其纵坐标是 0，求出横坐
18、标即可 【解答】解：作 M 点关于 x 轴的对称点 M， M（3，2） ， M（3， 2） ， 设直线 MN 的解析式为 y=kx+b， ， 解得 ， 直线 MN 的解析式为 y= x+ ， P 的纵坐标为 0， x+ =0，解得 x= ， P（ ，0） 故选 D 【点评】此题考查了最短路径问题和用待定系数法求一次函数解析式，判断出 M、P、N 三点共线时 MN 最小是解题的关键 二、填空题（共 6 道小题，每小题 3 分，共 18 分） 1136 的平方根是 6 【考点】平方根 【分析】根据平方根的定义求解即可 【解答】解：36 的平方根是6， 故答案为：6 【点评】本题考查了平方根的定义，
19、解答本题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，且 互为相反数 12在二次根式 中，x 的取值范围是 x2 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】二次根式的被开方数是非负数，即 x20 【解答】解：根据题意，得 x20， 解得，x2； 故答案是：x2 【点评】考查了二次根式的意义和性质概念：式子 （a0）叫二次根式性质：二次 根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义 13 （1997河北）若等腰三角形顶角的外角为 100，则它的一个底角为 50 【考点】等腰三角形的性质 【分析】利用等腰三角形的性质，得到两底角相等，结合三角形内角与外角的关系：三角 形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和
20、，可直接得到结果 【解答】解：等腰三角形两底角相等，三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之 和， 每一个底角为 1002=50， 底角的度数为 50 故答案为：50 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质与三角形内角与外角的关系；本题比较简单， 属于基础题 14已知 a、b 为两个连续的整数，且 ，则 a+b=11 【考点】估算无理数的大小 【分析】根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出 a，b 的值，即可得出答 案 【解答】解： ，a、b 为两个连续的整数， ， a=5， b=6， a+b=11 故答案为：11 【点评】此题主要考查了无理数的大小，得出比较无理数的方法是解决问题
21、的关键 15如图，矩形网格由小正方形构成，每一个小正方形的边长都为 1，点 A 和点 B 是小正 方形的顶点，则点 A 和点 B 之间的距离为 5 【考点】勾股定理 【专题】网格型 【分析】根据题意直接构造直角三角形，再利用勾股定理求出答案 【解答】解：如图所示： AC=3，BC=4 ， ACB=90， 则 AB= =5 故答案为：5 【点评】此题主要考查了勾股定理，正确构造直角三角形再应用勾股定理是解题关键 16观察规律： 同理可得： 依照上述规律，则： = ； = （n1 的整数） ； =2015 【考点】分母有理化 【专题】计算题；规律型 【分析】仿照上述计算过程将原式变形，化简即可得到
22、结果；原式括号中分母有理化后， 利用平方差公式计算即可得到结果 【解答】解： = = ， = = ， 原式=（ 1+ + ） （ +1）=（ 1） （ +1） =20161=2015， 故答案为： ； ；2015 【点评】此题考查了分母有理化，二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次 根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子即一项符号和绝对值相同，另一项符 号相反绝对值相同 三、解答题（共 6 道小题，每小题 5 分，共 30 分） 17计算： + 6 【考点】二次根式的混合运算 【分析】先根据二次根式的乘法运算，然后把各二次根式化为最简二次根式后合并即可 【解答】解：原式=3 +
23、 2 =3 +4 2 =5 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为 最简二次根式的形式后再运算 18计算： 【考点】分式的混合运算 【专题】计算题 【分析】解题关键是先把除法统一为乘法，化简后再算减法再通分，然后合并同类项再 化简即可 【解答】解： = = = = = = 故答案为 【点评】本题考查分式的混合运算，关键是通分，合并同类项，注意混合运算的运算顺 序 19解方程： 【考点】解分式方程 【专题】计算题；分式方程及应用 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得 到分式方程的解 【解答】解：方程两边同乘以
24、x（x1） ，得：3（x 1）2x 2=2x（x 1） ， 去括号，得：3x3 2x2=2x2+2x， 移项，得：3x2x=3， 解得：x=3 经检验 x=3 是原方程的解 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化 为整式方程求解解分式方程一定注意要验根 20已知：如图，E、C 是 BF 上两点，且 ABDE，BE=FC，A= D求证：AC=DF 【考点】全等三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】先根据平行线的性质得B=DEF，再由 BE=FC 得到 BC=EF，则可根据“AAS” 判 断ABCDEF，然后根据全等三角形的性质即可得到 AC=DF
25、 【解答】证明：AB DE， B=DEF， BE=FC， BE+EC=EC+CF，即 BC=EF， 在ABC 和DEF 中， ， ABCDEF， AC=DF 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性 质证明线段和角相等的重要工具在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边 和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形；在应用全等三角形的性质时主要是得到对 应角相等或对应线段相等 21先化简，再求值： ，其中 a2+a1=0 【考点】分式的化简求值 【专题】计算题 【分析】先把括号内通分后进行同分母的减法运算，再把除法运算化为乘法运算，接着约 分得到原式=
26、，由于 a2+a1=0，则 a2=（a 1） ，然后利用整体代入的方法计算 【解答】解：原式= = = ， a2+a1=0， a2=（a1） 原式 = =1 【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入 求出分式的值在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简化简的最后结果分子、分 母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式 22某学校组织学生到离校 20 千米的国家博物馆进行实践教育活动，同学们统一从学校乘 车前往小明在去学校的途中遇上堵车，比同学们晚 15 分钟从学校出发，由他的家长开车 沿相同路线送小明赶往国家博物馆，结果小明和同学们同时到达已知小明的
27、速度是同学 们的速度的 2 倍，求同学们的速度是每小时多少千米？ 【考点】分式方程的应用 【分析】设同学们的速度为 x 千米/时，则小明的速度为 2x 千米/ 时，根据题意可得，同样 走 20 千米的路程，小明比同学们少用 15 分钟，据此列方程求解 【解答】解：设同学们的速度为 x 千米/时，则小明的速度为 2x 千米/ 时，15 分钟= 小 时 由题意得， = + ， 解得：x=40， 经检验：x=40 是所列方程的解，并且符合题意 答：同学们的速度为 40 千米/时 【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合 适的等量关系，列方程求解，注意检验 四、解
28、答题（共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分） 23如图，在ABC 中，AB=AC ，点 D 是 BC 上一点，点 E 是 AC 上一点，且 DEAD若BAD=55，B=50，求 DEC 的度数 【考点】等腰三角形的性质 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到C=50，进而得到 BAC=80，由 BAD=55，得到DAE=25，由 DEAD，进而求出结论 【解答】解：AB=AC， B=C， B=50， C=50， BAC=1805050=80， BAD=55， DAE=25， DEAD， ADE=90， DEC=DAE+ADE=115 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三
29、角形的内角和定理，垂直定义，熟练应用 等腰三角形的性质是解题的关键 24如图，已知CAB ，用直尺和圆规作ABD ，使 ABD= A，射线 BD 与射线 AC 相 交于点 D （不写画法，保留作图痕迹） 【考点】作图复杂作图 【分析】分别作出线段 AB 的垂直平分线以及作出CAB 的角平分线，进而得出答案 【解答】解：画图：（1）作线段 AB 的垂直平分线； （2）作CAB 的平分线，与 AB 的垂直平分线交于点 E； （3）作射线 BE 交 AC 于点 D ABD 即为所求 【点评】此题主要考查了复杂作图，正确利用线段垂直平分线的性质是解题关键 25如图，已知ABC 中，ACB=90，AC=
30、BC= ，ABD 是等边三角形，求 CD 的长 度 【考点】勾股定理；等边三角形的性质 【分析】由勾股定理求出 AB，由等边三角形的性质得出 AB=AD=BD=2，DAB= ABD=60证出 ABCD 于 E，且 AE=BE=1求出 AE=CE=1， 由勾股定理求出 DE，即可得出结果 【解答】解：ACB=90，AC=BC= ， 由勾股定理，得 AB= =2 CAB=CBA=45 ABD 是等边三角形， AB=AD=BD=2， DAB=ABD=60 AC=BC，AD=BD， ABCD 于 E，且 AE=BE=1 在 RtAEC 中，AEC=90 ，EAC=45， EAC=ACE=45 AE=C
31、E=1 在 RtAED 中，AED=90，AD=2，AE=1， DE= = CD= +1 【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、线段垂直平 分线的判定等知识；熟练掌握等边三角形和等腰直角三角形的性质，运用勾股定理求出 DE 是解决问题的关键 26已知：如图所示，点 P，Q 分别代表两个小区，直线 l 代表临近小区的一条公路点 P 到直线 l 的距离为 千米，两点 P、Q 所在直线与直线 l 的夹角为 45，两小区 P、Q 之间的距离为 1 千米根据居民出行的需要，计划在公路 l 上的某处设置一个公交车 站考虑到修路的费用问题，希望车站的位置到小区 P 和小区 Q
32、的距离之和 m 最短，请 在公路 l 上画出车站的位置（用点 M 表示，保留画图痕迹，不写作法） ，并求出 m 的值 【考点】轴对称-最短路线问题；作图 应用与设计作图 【分析】如图，作点 P 关于直线 l 的对称点 P，连接 PQ，交直线 l 与点 M，点 M 即为所 求，由已知条件得到QNM=45，PON=90，PO= ，于是得到OPN= QNM=45， 求得 ON=OP= ，由对称的性质得 PN=PN=3，MNP =45，证得QNP=90，求出 NQ=4， PQ=5，根据 PM=PM，即可得到结论 【解答】解：如图，作点 P 关于直线 l 的对称点 P，连接 PQ，交直线 l 与点 M，
33、点 M 即 为所求， 如图，由题意，QNM=45，PON=90，PO= ， OPN=QNM=45， ON=OP= ， PN=3， 由对称的性质得 PN=PN=3，MNP=45， QNP=90， PQ=1， NQ=4， PQ=5， PM=PM， m=PM+QM=PM+QM=PQ=5 【点评】此题主要考查了垂直平分线的作法以及两点之间线段最短的知识，解答此题的关 键是熟知轴对称的性质以及线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等这一性质 五、解答题（共 3 道小题，第 27，28 小题各 7 分，第 29 小题 8 分，共 22 分） 27阅读材料，解答问题 数学课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用
34、不同画图工具画角的平分线的方法 小惠说：如图 1，我用相同的两块含 30 角的直角三角板可以画角的平分线画法如下： （1）在AOB 的两边上分别取点 M，N，使 OM=ON； （2）把直角三角板按如图所示的位置放置，两斜边交于点 P 射线 OP 是AOB 的平分线 小旭说：我只用刻度尺就可以画角平分线 请你也参与探讨，解决以下问题： （1）小惠的做法正确吗？说明理由； （2）请你和小旭一样，只用刻度尺画出图 2 中QRS 的平分线，并简述画图的过程 【考点】全等三角形的判定与性质；作图基本作图 【分析】 （1）过 O 点作 OCPM 于 C，ODPN 于 D，求出OMC OND，根据全等三角
35、形的性质得出 OC=OD，COM= DON，根据角平分线性质求出 CPO=DPO根据三角 形内角和定理求出即可； （2）根据全等三角形的判定定理 SSS，用刻度尺作出即可 【解答】解：（1）小惠的做法正确 理由如下： 如图 1，过 O 点作 OCPM 于 C，ODPN 于 D C=D=90， 由题意，PMA= PNB=60， OMC=PMA=60，OND=PNB=60 OMC=OND 在OMC 和OND 中， ， OMCOND（AAS ） ， OC=OD，COM=DON， OCPM 于 C，ODPN 于 D， 点 O 在 CPD 的平分线上， CPO=DPO， COP=DOP， MOP=NOP
36、， 即 射线 OP 是AOB 的平分线； （2）如图 2，射线 RX 是QRS 的平分线， 作图过程是：用刻度尺作 RV=RW，RT=RU， 连接 TW，UV 交于点 X， 射线 RX 即为所求QRS 的平分线 【点评】本题考查了角平分线定义和全等三角形的判定和性质的应用，主要考查学生的理 解能力和动手操作能力，题目比较好，难度适中 28如图，已知，MN 是 AD 的垂直平分线，点 C 在 MN 上，MCA=20， ACB=90， CA=CB=5，BD 交 MN 于点 E，交 AC 于点 F，连接 AE （1）求CBE， CAE 的度数； （2）求 AE2+BE2 的值 【考点】轴对称的性质；
37、线段垂直平分线的性质；勾股定理 【分析】 （1）连接 CD，利用轴对称的性质进行解答即可； （2）根据勾股定理进行解答即可 【解答】解：（1）连接 CD， MN 垂直平分 AD，点 C，E 在 MN 上， 根据点 A，D 关于 MN 的对称性，得 CA=CD，MCD=MCA， CAE=CDE， CA=CB， CB=CD， CBE=CDB， CBE=CAE， MCA=20， MCD=20， ACB=90， BCD=130， CBE=CDB=25， CAE=CDB=CBE=25； （2）CFE 既是 AEF 的外角又是 BCF 的外角， CFE=CAE+AEF=CBF+FCB， CAE=CBE，
38、AEB=ACB=90， AE2+BE2=AB2， ACB=90，CA=CB，AC=5， AB2=AC2+BC2=50， AE2+BE2=AB2=AC2+BC2=50 【点评】本题考查的是轴对称的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的 距离相等是解题的关键 29直线 AB：y= x+b 分别与 x，y 轴交于 A，B 两点，点 A 的坐标为 （3，0） ，过点 B 的 直线交 x 轴负半轴于点 C，且 OB：OC=3：1 （1）求点 B 的坐标及直线 BC 的解析式； （2）在 x 轴上方存在点 D，使以点 A，B，D 为顶点的三角形与ABC 全等，画出ABD 并请直接写出点 D 的
39、坐标； （3）在线段 OB 上存在点 P，使点 P 到点 B，C 的距离相等，求出点 P 的坐标 【考点】一次函数综合题 【分析】 （1）先把 A 点坐标代入 y=x+b 可计算出 b=3，即可得到 C 点坐标，进而得出直线 BC 的解析式； （2）点 A，B，D 为顶点的三角形与 ABC 全等得出点 D 的坐标； （3）设 PB=PC=x，根据勾股定理解答即可 【解答】解：（1）把 A （3 ，0）代入 y=x+b，得 b=3， B（0，3） ， OB=3， OB：OC=3：1， OC=1， 点 C 在 x 轴负半轴上， C（ 1，0） ， 设直线 BC 的解析式为 y=mx+n， 把 B（0，3）及 C（ 1，0）代入，得 ， 解得 直线 BC 的解析式为：y=3x+3； （2）如图， 进而得出 D1（4，3） ，D 2（3，4） ； （3）由题意，PB=PC， 设 PB=PC=x，则 OP=3x， 在 RtPOC 中，POC=90， OP2+OC2=PC2， （ 3x） 2+12=x2， 解得，x= ， OP=3x= ， 点 P 的坐标（0， ） 【点评】本题考查了一次函数的综合题，关键是利用两条直线相交或平行的问题：两条直 线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式解答
