1、高三理科数学，第 1 页,共 8 页 房山区 2011-2012 学年度第一学期期末统测试题 高三数学(理科) 考 生 须 知 1. 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分,考试时间 为 120 分钟 2. 第卷选择题所有答案必须填涂在机读卡上，第卷非选择题直接在试卷上作 答 3. 考试结束后，将机读卡和试卷交回 第 I 卷 选择题（共 40 分） 一、选择题（本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合 题目要求的一项.） 1. 已知集合 0,1234,1,MNPMN则 的子集共有( ) A.7 个 B. 6 个 C. 5 个
2、D. 4 个 2已知向量 ，若 ，则 （ ） ba),(),(xab A.-10 B.-6 C.0 D.6 3已知命题 ，命题 ，则 是 的( )2:mpq:pq A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 4极坐标方程 和参数方程 （ 为参数）所表示的图形分别为（ sin2tyx132 ） A. 圆，圆 B. 圆，直线 C. 直线，直线 D.直线，圆 5已知奇函数 在区间（，0）内单调递增，且 ，则不等式)(xf 0)2(f 的解集为（ ） ()fx A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j , C
3、 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ,0 6在数列 中，若 ，且对任意的正整数 都有 ，则 的值为（ na12,qqpa8 ） A256 B128 C64 D32 高三理科数学，第 1 页,共 8 页 7已知点 的坐标满足条件 ，那么点 P 到直线 的距),(yxP0321yx 0943yx 离的最小值为( ) A. B. C.2 D.151456 8.已知函数 对任意实数 都有22()1,()fxababRx 成立，若当 时， 恒成立，则 的取值范围是（ (f x为0fxb ） A B C D10b21为 1 第 II 卷
4、 非选择题(共 110 分） 二、填空题（本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题纸上指定位置.） 9. 若复数 的实部为 ，虚部为 ，则 = .i12aba 10. 如图，有一圆盘,其中的阴影部分圆心角为 ，若向圆内投镖，4 则投中阴影部分的概率为 . 11某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是 . 12已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位： cm） ，可得这个几何体的体积是 .3cm是 否结束 1i50S？ 21i输出 i 开始始 0S？ 高三理科数学，第 1 页,共 8 页 13.圆 O 的直径 AB6，C 为圆周上一点，BC3，过 C 作
5、圆的切线 ，则点 A 到直线 的ll 距离 AD 为 . 14规定记号“ ”表示一种运算，即 .若 ，),(为baba31k 则 的值为 ，此时函数 的最小值为 .k()kxf 三、解答题（本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.） 15 （本小题共 13 分） 设函数 2cos2sin3)(xxf （I）求 的最小正周期和值域； （II）在 ABC中， a、 b、 c分别是角 A、 B、 C的对边，若 ， ABC的面积3 为 23，求 及 的值)(f ABC DEOl 高三理科数学，第 1 页,共 8 页 16.（本小题共 13 分） 已知直线 （ ）过圆
6、 C: 的圆心交圆 C 于 A、B 两:l0834yxRa02axy 点,O 为坐标原点. （I）求圆 C 的方程; (II) 求圆 C 在点 P（1, ）处的切线方程;3 (III)求 的面积.OAB 高三理科数学，第 1 页,共 8 页 17.（本小题共 14 分） 如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面P-ABCDABCD 为正方形， ， ， 分别是 ， 的中点=2EFP （）求证： 平面 ；/F （）求直线 与 CD 所成的角； （）求二面角 的余弦值BC 高三理科数学，第 1 页,共 8 页 18.（本小题共 13 分） 已知数列 的前 项和为 ， ,且 ( ).nanS1a3231nS
7、N (I) 求 的值,并求数列 的通项公式;32 (II)若对任意正整数 恒成立,求实数 的最大值.nk, k 高三理科数学，第 1 页,共 8 页 19.（本小题共 14 分） 已知函数 ， ()2lnpfxxR （I）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；2p()f(1,)f （II） 若函数 在其定义域内为增函数，求正实数 的取值范围；()fx p （III）设函数 ，求函数 的单调区间2pgx()gx 高三理科数学，第 1 页,共 8 页 20 （本小题共 13 分） 已知函数 ，数列 对 总有 .23()xfnaN,21(),naf （I）求 的通项公式；na (II) 求和： ；112
8、345()nSaaa （III）若数列 满足： 为 的子数列（即 中的每一项都是 的项，nbnb1nb1na 且按在 中的顺序排列） 为无穷等比数列，它的各项和为 。 （定义：若无穷等1nan 2 比数列 的公比 满足 且 ，则数列 各项和 ）.这样的数列是nbq10qnb1bSq 否存在？若存在，求出所有符合条件的数列 ，写出它的通项公式，并证明你的结论；n 若不存在，说明理由. 高三理科数学，第 1 页,共 8 页 房山区 2012 年高三统练参考答案 (数学理科) 才 单 选 题 1 D 2 A 3 A 4 B 5 B 6 A 7 C 8 C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5
9、分，共 30 分）. 9._1 . 10._ _. 81 11. _63_. 12._ _.34 13. _ _. 29 14. _1_,_3_. 高三理科数学，第 1 页,共 8 页 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题共 13 分） 解：（I） =)(xf 23sincosx = 3 )2cos1sin2(x 6ii6co = 4 分2sin()3x 最小正周期为 ， 5 分)(xfT 当 时， 有最大值 5zk,2)(xf 当 时， 有最小值 1 7 分x 的值域为1，5 8 分)(f （II）由（I）可知 , 9 分()
10、2sin()36fA 3sin2)3(f 65i 11 分4 ,则 ， ，又AbcSsin2131sin2bc222cosabA ，a= 13 分4oa 高三理科数学，第 1 页,共 8 页 16 （本小题共 13 分） 解：（I）圆 C: 的圆心为 1 分02axy0,2a 直线 过圆 C 的圆心:l834x 02a 3 分 圆 C 的方程为： 4 分42xy （II）点 P（1, ）在 上，且圆心为 5 分300,2 设过点 P（1, ）的切线 的斜率为 ，过 P、C 两点的1lk 直线的斜率为 ，则 6 分Ck = 7 分PCk3210 l =-1，故 8 分PCk3k 切线 的方程为
11、，即 9 分1l 1xy 023y （III） 圆 C: 的半径为 2 10 分042x 11 分rBC 点 O（0，0）到直线 的距离为:l83y 12 分58342d 13 分51641dSAB 高三理科数学，第 1 页,共 8 页 17.（本小题共 14 分） 17 （本小题共 14 分） 解法 1：（I） ， 分别是 ， 的中点EFABP 为 的中位线 1 分FPAB 2 分 平面 ， 平面 4 分D 平面 5 分/E （II） 底面 ，PABCC平 面 D 底面 为正方形， A ， 平面 ，PABCDP 平面 7 分CD 平面 PA 由（I）知， EF 8 分CD 直线 与 CD 所
12、成的角为 9 分09 （III）同解法 1. 高三理科数学，第 1 页,共 8 页 17 （本小题共 14 分） 解法 2：（I） 底面 ， 底面 为正方形，PDABCD 、 、 两两互相垂直 1 分C 以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 2 分xyz ， ， ， 3 分0,12E,F0,2, 直线 EF 的方向向量为 ，平面 PAD 的法向量为 4 分1,E0,2DC 0DC 平面 5 分/EFPA （II） （II）由（I）知，直线 EF 的方向向量为 ， 6 分01,EF 直线 的方向向量为 ， 7 分0,2 8 分,cosDCEF 直线 与 CD 所成的角为 9 分09
13、 （III） ， ， ， ， ， 故2,0P,B,12,F0,2C,D ， ，则平面 ECB 的法向量为 10 分,1EC,FC2,P 设平面 的法向量为 ，则zyxn ， ，令 ，则 ，z=1 0nF0212y 故 12 分1, ，由图可知，二面角 为钝角，62cosnDP BECF 二面角 的余弦值为 . 14 分BECF 高三理科数学，第 1 页,共 8 页 18 （本小题共 13 分） 解:(I) ,且 ( )1a3231nsN 当 时n 3 21 2 分a 当 时n3)(2321 3 分9a 1ns 当 3231n时 ， 由-,得 5 分0aa ， 又 ， 7 分)(31n 31,2
14、1 数列 是首项为 1,公比为 的等比数列.a 8 分）N(3-n1qn (II)由(I)知 9 分nS)2 由题意可知,对于任意的正整数 n,恒有 10 分 nk312 令 ,当 n=1 时, 1 12 分)(nfn312minf 必有 k1,即实数 k 的最大值为 1. 13 分 高三理科数学，第 1 页,共 8 页 19 （本小题共 14 分） 解：（I）解:当 时，函数 ， 2p2()lnfxx(1)2ln10f ， 1 分2()fxx 曲线 在点 处的切线的斜率为 2 分 f(1,)f (1)2f 从而曲线 在点 处的切线方程为 ，即 3 分fx,(f 0()yx2yx （II） （
15、 ） 4 分 22()pxp 解法一： 因为 在定义域内是增函数，fx 所以 ， ，即 恒成立 5 分 (0,)(0f 20x 即 恒成立 6 分21pxx 而 （当且仅当 时取等号） 7 分0,21x1x 8 分21xp （III） ， 2()lngx(0)2 2()(1()pxpxg 9 分 （1）当 时， 总成立，0p2(1)x 的单调递减区间为 10 分()g0, 当 时，0p2(1)()pxx （2）当 时 ，递增区间为 的单调递减区间为 ,11 分(,)p(gx2(0,1)p （3）当 时， 总成立， 2p21)0xg 的单调递减区间为 12 分()gx(,) （4） 当 时， 的
16、单调递减区间为 13 分0x(,) （5） 当 时，递增区间为 ，递减区间为 14 分2p2(0)p21,)p 高三理科数学，第 1 页,共 8 页 20 （本小题共 13 分） 解:（I）由 ，又 分23()xf11232() 3nnnaaaf 所以， 是以 为首项， 为公差的等差数列，即 5 分na13n*()N （II）当 为偶数， 114()23nnnnnaada 所以 7 分224()39nS 当 为奇数，则 为偶数，1 9 分 221 1367()()939nn nna 综上： 10 分 2679nnS为 偶 数为 奇 数 （III）设 ，公比 ，则 （ ）对任意的132bk10qm1312nnbqkmp*,kN 均成立，故 是正奇数，又 存在，所以 *nNS 当 时， ，此时 ， ，成立 11 分3m2S139b1n 当 时， ，此时 故不成立 515na 时， ，此时 ， ，成立 12 分72S137b 当 时， ，由 ，得 ，设 ，则 ，又因为 ，所以9m892S149b132k238*kN ，此时 或 分别代入 ，得到 不合题意1,k1b135q0 由此，满足条件（3）的 只有两个，即 或 13 分n13nb7n
