1、2015-2016 学年北京市延庆县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 1 O 的半径为 R，点 P 到圆心 O 的距离为 d，并且 dR，则 P 点( ) A在O 内或 O 上 B在 O 外 C在 O 上 D在O 外或O 上 2把 10cm 长的线段进行黄金分割，则较长线段的长（ 2.236，精确到 0.01）是( ) A3.09cm B3.82cm C6.18cm D7.00cm 3如图，在ABC 中，DE BC，DE 分别与 AB、AC 相交于点 D、E，若 AD=4，DB=2， 则 AE：EC 的值为( ) A0.5 B2 C D 4反比例函数 y
2、= 的图象如图所示，则 k 的值可能是( ) A B1 C2 D1 5在 RtABC 中， C=90， BC=1，那么 AB 的长为( ) AsinA BcosA C D 6如图，正三角形 ABC 内接于圆 O，动点 P 在圆周的劣弧 AB 上，且不与 A，B 重合， 则BPC 等于( ) A30 B60 C90 D45 7抛物线 y= x2 的图象向左平移 2 个单位，在向下平移 1 个单位，得到的函数表达式为( ) Ay= x2+2x+1 By= x2+2x2 Cy= x22x1 Dy= x22x+1 8已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列 5 个结论： abc
3、0；ba+c ；4a+2b+c 0； 2c3b；a+bm（am+b） （m 1 的实数） 其中正确的结论有( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 9如图所示，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上的一点，AE EF，下列结 论：BAE=30；CE 2=ABCF； CF=FD； ABEAEF其中正确的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 10如图所示，已知ABC 中，BC=8，BC 上的高 h=4， D 为 BC 上一点，EFBC，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F（EF 不过 A、B） ，设 E 到 BC 的距离为 x则DEF 的面积 y 关于
4、x 的函数的图象大致为( ) A B C D 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11若 ，则 =_ 12两个相似多边形相似比为 1：2，且它们的周长和为 90，则这两个相似多边形的周长分 别是_，_ 13已知扇形的面积为 15cm2，半径长为 5cm，则扇形周长为 _cm 14在 RtABC 中， C=90，AC=4，BC=3，则以 2.5 为半径的C 与直线 AB 的位置关 系是_ 15请选择一组你喜欢的 a、b、c 的值，使二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象同时满足下 列条件：开口向下；当 x2 时，y 随 x 的增大而增大；当 x2 时，y 随 x 的增大而 减小
5、这样的二次函数的解析式可以是_ 16如图，正方形 OABC，ADEF 的顶点 A、D 、C 在坐标轴上，点 F 在 AB 上，点 B、E 在函数 （x 0）的图象上，若阴影部分的面积为 12 ，则点 E 的坐标是 _ 三、解答题（本题共 72 分，第 17-26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分） 17计算： 18如图：在 RtABC 中， C=90，BC=8，B=60，解直角三角形 19已知反比例函数 图象的两个分支分别位于第一、第三象限 （1）求 k 的取值范围； （2）取一个你认为符合条件的 K 值，写出反比例函数的表达式，并求出当 x
6、=6 时反比例 函数 y 的值 20已知圆内接正三角形的边心距为 2cm，求它的边长 21已知：如图，D 是 BC 上一点，ABCADE，求证：1= 2=3 22如图，A、B 两座城市相距 100 千米，现计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段 AB） 经测量，森林保护区中心 P 点既在 A 城市的北偏东 30的方向上，又在 B 城市的南 偏东 45的方向上已知森林保护区的范围是以 P 为圆心，35 千米为半径的圆形区域 内请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越森林保护区？请通过计算说明 （参考数据： 1.732， 1.414） 23如图，AB 是 O 的直径，CB 是弦，ODCB 于 E，交
7、劣弧 CB 于 D，连接 AC （1）请写出两个不同的正确结论； （2）若 CB=8，ED=2，求O 的半径 24密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的 纪念碑，如图拱门的地面宽度为 200 米，两侧距地面高 150 米处各有一个观光窗，两窗 的水平距离为 100 米，求拱门的最大高度 25如图，O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，D 是 AB 的延长线上的一点， AEDC 交 DC 的延长线于点 E，且 AC 平分 EAB求证：DE 是O 的切线 26已知：抛物线 y=x2+bx+c 经过点（2，3）和（4，5） （1）求抛物线的表达式及顶点坐标；
8、 （2）将抛物线沿 x 轴翻折，得到图象 G，求图象 G 的表达式； （3）在（2）的条件下，当2x2 时，直线 y=m 与该图象有一个公共点，求 m 的值或 取值范围 27如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm，BC=6cm某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm/s 的速度向 A 点匀速运动，问： （1）经过多少时间，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 ？ （2）是否存在时刻 t，使以 A，M，N 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，求 t 的值； 若不存在，请说明理由
9、28 （1）探究新知：如图 1，已知ABC 与 ABD 的面积相等，试判断 AB 与 CD 的位置 关系，并说明理由 （2）结论应用： 如图 2，点 M，N 在反比例函数 y= （k0）的图象上，过点 M 作 MEy 轴，过点 N 作 NFx 轴，垂足分别为 E，F，试证明：MN EF； 若中的其他条件不变，只改变点 M，N 的位置如图 3 所示，请判断 MN 与 EF 是否平 行 29设 a，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式 axb 的实数 x 的所有取值的全 体叫做闭区间，表示为a，b对于一个函数，如果它的自变量 x 与函数值 y 满足：当 mxn 时，有 myn，我们就称此函
10、数是闭区间mn上的“闭函数” 如函数 y=x+4，当 x=1 时，y=3；当 x=3 时，y=1，即当 1x3 时，有 1y3，所以说函数 y=x+4 是闭区间 1，3上的“闭函数” （1）反比例函数 y= 是闭区间1，2016上的“ 闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）若二次函数 y=x22xk 是闭区间1，2上的“闭函数” ，求 k 的值； （3）若一次函数 y=kx+b（k0）是闭区间m ，n 上的“闭函数”，求此函数的表达式（用含 m，n 的代数式表示） 2015-2016 学年北京市延庆县九年级（上）期末数学试 卷 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分） 1 O 的半径为
11、R，点 P 到圆心 O 的距离为 d，并且 dR，则 P 点( ) A在O 内或 O 上 B在 O 外 C在 O 上 D在O 外或O 上 【考点】点与圆的位置关系 【分析】根据点与圆的位置关系进行判断 【解答】解：dR， 点 P 在 O 上或点 P 在O 外 故选 D 【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP=d，则 有点 P 在圆外dr；点 P 在圆上 d=r 点 P 在圆内dr 2把 10cm 长的线段进行黄金分割，则较长线段的长（ 2.236，精确到 0.01）是( ) A3.09cm B3.82cm C6.18cm D7.00cm 【考点】黄金
12、分割 【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这 样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（ ）叫做黄金比 【解答】解：根据题意得： 较长线段的长是 10 =100.618=6.18cm 故选 C 【点评】此题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的 ，较长的线段=原线段的 是本题的关键 3如图，在ABC 中，DE BC，DE 分别与 AB、AC 相交于点 D、E，若 AD=4，DB=2， 则 AE：EC 的值为( ) A0.5 B2 C D 【考点】平行线分线段成比例 【专题】几何图形问题 【分析】首先由 DEBC 可以得到 AD：DB
13、=AE：EC，而 AD=4，DB=2，由此即可求出 AE：EC 的值 【解答】解：DEBC， AD：DB=AE：EC， 而 AD=4，DB=2， AE：EC=AD ：DB=4：2=2 故选 B 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理，有的同学因为没有找准对应关系，从而 导致错选其他答案 4反比例函数 y= 的图象如图所示，则 k 的值可能是( ) A B1 C2 D1 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】根据函数所在象限和反比例函数上的点的横纵坐标的积小于 1 判断 【解答】解：反比例函数在第一象限， k 0， 当图象上的点的横坐标为 1 时，纵坐标小于 1， k 1， 故选 A
14、 【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，用到的知识点为：反比例函数图 象在第一象限，比例系数大于 0；比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积 5在 RtABC 中， C=90， BC=1，那么 AB 的长为( ) AsinA BcosA C D 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案 【解答】解：RtABC 中，C=90，BC=1，得 sinA= AB= = ， 故选：D 【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜 边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边 6如图，正三角形 ABC 内接于圆 O，动
15、点 P 在圆周的劣弧 AB 上，且不与 A，B 重合， 则BPC 等于( ) A30 B60 C90 D45 【考点】圆周角定理；等边三角形的性质 【专题】压轴题；动点型 【分析】由等边三角形的性质知，A=60 ，即弧 BC 的度数为 60，可求BPC=60 【解答】解：ABC 正三角形， A=60， BPC=60 故选 B 【点评】本题利用了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等 于这条弧所对的圆心角的一半和等边三角形的性质求解 7抛物线 y= x2 的图象向左平移 2 个单位，在向下平移 1 个单位，得到的函数表达式为( ) Ay= x2+2x+1 By= x2+2x
16、2 Cy= x22x1 Dy= x22x+1 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可 【解答】解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知， 二次函数 y= x2 的图象向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位得到的图象表达式为 y= （x+2） 21， 即 y= x2+2x+1 故选 A 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减” 的原则是 解答此题的关键 8已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，有下列 5 个结论： abc0；ba+c ；4a+2b+c 0； 2c3b；a+bm（am+b） （m
17、 1 的实数） 其中正确的结论有( ) A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【考点】二次函数图象与系数的关系 【专题】压轴题；数形结合 【分析】观察图象：开口向下得到 a0；对称轴在 y 轴的右侧得到 a、b 异号，则 b0； 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方得到 c0，所以 abc 0；当 x=1 时图象在 x 轴下方得 到 y=ab+c=0，即 a+c=b；对称轴为直线 x=1，可得 x=2 时图象在 x 轴上方，则 y=4a+2b+c0；利用对称轴 x= =1 得到 a= b，而 ab+c0，则 bb+c0，所以 2c3b；开口向下，当 x=1，y 有最大值 a+b+c，得到
18、a+b+cam 2+bm+c，即 a+bm（am+b） （m1） 【解答】解：开口向下，a0；对称轴在 y 轴的右侧，a、b 异号，则 b0；抛物线与 y 轴 的交点在 x 轴的上方，c0，则 abc0，所以不正确； 当 x=1 时图象在 x 轴下方，则 y=ab+c=0，即 a+c=b，所以不正确； 对称轴为直线 x=1，则 x=2 时图象在 x 轴上方，则 y=4a+2b+c0，所以正确； x= =1，则 a= b，而 ab+c=0，则 bb+c=0，2c=3b，所以不正确； 开口向下，当 x=1，y 有最大值 a+b+c；当 x=m（m 1）时， y=am2+bm+c，则 a+b+cam
19、 2+bm+c，即 a+bm （am+b ） （m1） ，所以正确 故选：A 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图 象，当 a0，开口向上，函数有最小值，a0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线 x= ，a 与 b 同号，对称轴在 y 轴的左侧，a 与 b 异号，对称轴在 y 轴的右侧；当 c0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的上方；当=b 24ac0，抛物线与 x 轴有两个交点 9如图所示，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上的一点，AE EF，下列结 论：BAE=30；CE 2=ABCF； CF=FD；
20、ABEAEF其中正确的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质 【分析】由正方形的性质和三角函数得出BAE30，不正确；由题中条件可得 CEFBAE，进而得出对应线段成比例，得出正确，CF= FD，不正确；进而又可 得出ABEAEF ，得出正确，即可得出题中结论 【解答】解：四边形 ABCD 是正方形， AB=BC=CAD，B= C=D=90， E 是 BC 的中点， BE=CE= BC= AB， AEAB， sinBAE= ， BAE30，不正确； AEEF，BAE=CEF ， CEFBAE， = = ， CEBE=ABCF，CF= BE
21、= CD， BE=CE，CF= FD， CE2=ABCF，正确，不正确； 由CEFBAE 可得 ， EAF=BAE 的正切值相同， EAF=BAE， 又B= C=90 ABEAEF， 正确； 正确的有 2 个， 故选：B 【点评】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、三角函数；熟练掌握 正方形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键 10如图所示，已知ABC 中，BC=8，BC 上的高 h=4， D 为 BC 上一点，EFBC，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F（EF 不过 A、B） ，设 E 到 BC 的距离为 x则DEF 的面积 y 关于 x 的函数的图象大致为( ) A
22、B C D 【考点】函数的图象；相似三角形的判定与性质 【专题】压轴题 【分析】可过点 A 向 BC 作 AHBC 于点 H，所以根据相似三角形的性质可求出 EF，进而 求出函数关系式，由此即可求出答案 【解答】解：过点 A 向 BC 作 AHBC 于点 H，所以根据相似比可知： ， 即 EF=2（4x） 所以 y= 2（4x）x= x2+4x 故选 D 【点评】考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力要能根据几何 图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正 确的图象 二、填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） 11若 ，则 = 【考点】
23、比例的性质 【专题】计算题 【分析】根据已知条件，可得出 a 和 b 的值，代入原式即可得出结果 【解答】解：根据题意，得 a= ，b= ， 则 = = ，故填 【点评】考查了比例的基本性质及其灵活运用 12两个相似多边形相似比为 1：2，且它们的周长和为 90，则这两个相似多边形的周长分 别是 30，60 【考点】相似多边形的性质 【分析】根据相似多边形的周长之比等于相似比，求出两个多边形的周长比，根据题意列 出方程，解方程即可 【解答】解：两个相似多边形相似比为 1：2， 两个相似多边形周长比为 1：2， 设较小的多边形的周长为 x，则较大的多边形的周长为 x， 由题意得，x+2x=90，
24、 解得，x=30， 则 2x=60， 故答案为：30；60 【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的周长之比等于相似比是解题 的关键 13已知扇形的面积为 15cm2，半径长为 5cm，则扇形周长为 6+10cm 【考点】扇形面积的计算 【分析】根据扇形的面积公式求出扇形弧长，根据扇形周长公式计算即可 【解答】解：由扇形的面积公式 S= lr，得， l= =6cm， 则扇形周长=（6+10 ）cm ， 故答案为：6+10 【点评】本题考查的是扇形的面积的计算，掌握 S 扇形 = lR（其中 l 为扇形的弧长）是解 题的关键 14在 RtABC 中， C=90，AC=4，BC=3，
25、则以 2.5 为半径的C 与直线 AB 的位置关 系是相交 【考点】直线与圆的位置关系 【分析】过 C 作 CDAB 于 D，根据勾股定理求出 AB，根据三角形的面积公式求出 CD， 得出 dr，根据直线和圆的位置关系即可得出结论 【解答】解：以 2.5 为半径的C 与直线 AB 的位置关系是相交；理由如下： 过 C 作 CDAB 于 D，如图所示： 在 RtABC 中，C=90 ，AC=4，BC=3， 由勾股定理得：AB= =5， ABC 的面积= ACBC= ABCD， 34=5CD， CD=2.42.5， 即 dr， 以 2.5 为半径的 C 与直线 AB 的关系是相交， 故答案为：相交
26、 【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积，直线和圆的位置关系的应用；解此题的关 键是能正确作出辅助线，并进一步求出 CD 的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离， 相切，相交 15请选择一组你喜欢的 a、b、c 的值，使二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象同时满足下 列条件：开口向下；当 x2 时，y 随 x 的增大而增大；当 x2 时，y 随 x 的增大而 减小这样的二次函数的解析式可以是 y=x2+4x 【考点】待定系数法求二次函数解析式 【专题】压轴题；开放型 【分析】根据的条件可知：a 0；根据 的条件可知：抛物线的对称轴为 x=2；满足上 述条件的二次函数解析式均可 【解答
27、】解：由知：a 0 ； 由知：抛物线的对称轴为 x=2； 可设抛物线的解析式为 y=a（x2） 2+h（a0） ； 当 a=1，h=4 时，抛物线的解析式为 y=（x 2） 2+4=x2+4x （答案不唯一） 【点评】本题是一个开放性题目，主要考查二次函数的性质及解析式的求法本题比较灵 活，培养学生灵活运用知识的能力 16如图，正方形 OABC，ADEF 的顶点 A、D 、C 在坐标轴上，点 F 在 AB 上，点 B、E 在函数 （x 0）的图象上，若阴影部分的面积为 12 ，则点 E 的坐标是（ +1， 1） 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义 【专题】计算题 【分析】根据反比例函数系数
28、 k 的几何意义得到 S 正方形 OABC=S 正方形 ODEG=4，则 S 矩形 BCGF=S 正方形 ADEF，所以 S 正方形 ADEF=62 ，利用正方形的性质可计算出正方形的边长 AD=DE= = 1，则 E 点的纵坐标为 1，然后利用反比例函数图象上点的坐标 特征可确定 E 点坐标 【解答】解：四边形 OABC，ADEF 为正方形， S 正方形 OABC=S 正方形 ODEG=4， S 矩形 BCGF=S 正方形 ADEF， 而阴影部分的面积为 12 ， S 正方形 ADEF=62 ， AD=DE= = 1， 当 y= 1 时，x= = +1， E 点坐标为（ +1， 1） 故答案
29、为（ +1， 1） 【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义：在反比例函数 y= 图象中任取一点， 过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k| 三、解答题（本题共 72 分，第 17-26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分） 17计算： 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】分别把 sin30= ，cos45= ，tan60= 代入计算即可 【解答】解：原式=4 + =21+3 =4 【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目 的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握
30、二次根式等考点的运算 18如图：在 RtABC 中， C=90，BC=8，B=60，解直角三角形 【考点】解直角三角形 【分析】根据三角形的内角和求出A ，再根据正弦定理求出 AB，最后根据勾股定理即可 求出 AC 【解答】解：C=90 ， B=60， A=30， sinA= = = ， AB=16， AC= = =8 【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是 解直角三角形解直角三角形要用到的关系：锐角直角的关系：A+ B=90；三边之间的 关系：a 2+b2=c2；边角之间的关系：锐角三角函数关系 19已知反比例函数 图象的两个分支分别位于第一、第三象限
31、 （1）求 k 的取值范围； （2）取一个你认为符合条件的 K 值，写出反比例函数的表达式，并求出当 x=6 时反比例 函数 y 的值 【考点】反比例函数的性质 【分析】 （1）由反比例函数图象过第一、三象限，得到反比例系数 k1 大于 0，列出关于 k 的不等式，求出不等式的解集得到 k 的范围； （2）根据 k 的取值范围取 k=2，得到 y= ，代入 x=6，求得即可 【解答】解：（1）反比例函数图象两支分别位于第一、三象限， k10 ， 解得：k1； （2）k1， 取 k=2，在反比例函数的表达式为 y= ， 把 x=6 代入得，y= = 【点评】此题考查了反比例函数的性质反比例函数
32、y= （k0） ，当 k0 时函数图象位于 第一、三象限；当 k0 时，函数图象位于第二、四象限 20已知圆内接正三角形的边心距为 2cm，求它的边长 【考点】正多边形和圆 【分析】如图，作辅助线；求出AOC=60，借助直角三角形的边角关系求出 AC 的长， 即可解决问题 【解答】解：如图，连接 OA、OB； AB 为O 的内接正三角形的一边，OC AB 于点 C； AOB= =120； OA=OB， AOC= AOB=60，AC=BC ； tan60= ，而 OC=2， AC=2 ，AB=4 （cm ） 【点评】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵 活运用有
33、关定理来分析、判断、推理或解答 21已知：如图，D 是 BC 上一点，ABCADE，求证：1= 2=3 【考点】相似三角形的性质 【分析】由相似三角形的性质易证1= 2，再由三角形内角和定理易证 2=3，进而可证 明1=2=3 【解答】证明：ABCADE， C=E，BAC=DAE， BACDAC=DAEDAC， 即1=2， 在AOE 和 DOC 中， E=C，AOE=DOC（对顶角相等） ， 2=3， 1=2=3 【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的各种性质是解题关键 22如图，A、B 两座城市相距 100 千米，现计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段 AB） 经测量，森林保
34、护区中心 P 点既在 A 城市的北偏东 30的方向上，又在 B 城市的南 偏东 45的方向上已知森林保护区的范围是以 P 为圆心，35 千米为半径的圆形区域 内请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越森林保护区？请通过计算说明 （参考数据： 1.732， 1.414） 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题 【分析】过点 P 作 PCAB，C 是垂足AC 与 BC 就都可以根据三角函数用 PC 表示出 来根据 AB 的长，得到一个关于 PC 的方程，解出 PC 的长从而判断出这条高速公路会 不会穿越森林保护区 【解答】解：过点 P 作 PCAB，C 是垂足，则 A=30，B=45， AC= =
35、PC，BC= =PC AC+BC=AB， PC+PC=100， PC=50（ 1）50 （1.732 1）=36.6 35 答：森林保护区的中心与直线 AB 的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公 路不会穿越保护区 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转 化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线 23如图，AB 是 O 的直径，CB 是弦，ODCB 于 E，交劣弧 CB 于 D，连接 AC （1）请写出两个不同的正确结论； （2）若 CB=8，ED=2，求O 的半径 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】 （1）根据直角所对的圆周角是直角、垂
36、径定理写出结论； （2）根据勾股定理求出 DE 的长，设O 的半径为 R，根据勾股定理列出关于 R 的方程， 解方程得到答案 【解答】解：（1）AB 是O 的直径， C=90， ODCB， CE=BE， = ， 则三个不同类型的正确结论：C=90；CE=BE； = ； （2）OD CB， CE=BE= BC=4，又 DE=2， OE2=OB2BE2， 设 O 的半径为 R，则 OE=R2， R2=（R2） 2+42， 解得 R=5 答： O 的半径为 5 【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧是解题的关键 24密苏里州圣路易斯拱门是
37、座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国最高的独自挺立的 纪念碑，如图拱门的地面宽度为 200 米，两侧距地面高 150 米处各有一个观光窗，两窗 的水平距离为 100 米，求拱门的最大高度 【考点】二次函数的应用；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式 【分析】因为拱门是抛物线形的建筑物，所以符合抛物线的性质，以 CD 的中垂线为 y 轴， CD 所在的直线为 x 轴，可列出含有未知量的抛物线解析式，由 A、B 的坐标可求出抛物线 的解析式，然后就变成求抛物线的顶点坐标的问题 【解答】解：如图所示建立平面直角坐标系， 此时，抛物线与 x 轴的交点为 C（ 100，0） ，D （100，0）
38、， 设这条抛物线的解析式为 y=a（x100） （x+100） ， 抛物线经过点 B（50，150） ， 可得 150=a（50100） （50+100） 解得 ， 即 抛物线的解析式为 ， 顶点坐标是（0，200） 拱门的最大高度为 200 米 【点评】本题考查的二次函数在实际生活中的应用，根据题意正确的建立坐标轴可使问题 简单化，数形结合，很基础的二次函数问题 25如图，O 是ABC 的外接圆，AB 是O 的直径，D 是 AB 的延长线上的一点， AEDC 交 DC 的延长线于点 E，且 AC 平分 EAB求证：DE 是O 的切线 【考点】切线的判定；平行线的判定与性质；角平分线的性质；等
39、腰三角形的性质 【专题】证明题 【分析】连接 0C，根据等腰三角形的性质和角平分线性质求出EAC=ACO ，推出 OCAE，推出 OCED 即可 【解答】证明：连接 0C， OA=OC， OAC=OCA， AC 平分EAB， EAC=OAC， 则OCA=EAC ， OCAE， AEDE， OCDE， DE 是O 的切线 【点评】本题主要考查对平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，切线的判定，角平分 线性质等知识点的理解和掌握，能推出 OCED 是解此题的关键 26已知：抛物线 y=x2+bx+c 经过点（2，3）和（4，5） （1）求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）将抛物线沿 x 轴翻折，得
40、到图象 G，求图象 G 的表达式； （3）在（2）的条件下，当2x2 时，直线 y=m 与该图象有一个公共点，求 m 的值或 取值范围 【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征； 二次函数图象与几何变换 【分析】 （1）直接把 A、B 两点的坐标代入 y=x2+bx+c 得到关于 b、c 的方程组，然后解方 程组求出 b、c 即可得到抛物线的解析式；利用配方法把解析式变形为顶点式，然后写出顶 点坐标 （2）根据关于 x 轴对称的两点 x 坐标相同，y 坐标互为相反数，即可求得图象 G 的表达式； （3）求得抛物线的顶点坐标和 x=2 时的函数值，结合图象即
41、可求得 m 的值 【解答】解：（1）根据题意得 ， 解得 ， 所以抛物线的解析式为 y=x22x3 抛物线的解析式为 y=x22x3=（x1） 24， 抛物线的顶点坐标为（1，4） （2）根据题意，y=x 22x3，所以 y=x2+2x+3 （3）抛物线 y=x22x3 的顶点为（ 1， 4） ，当 x=2 时，y=5，抛物线 y=x2+2x+3 的顶点 （1，4） ，当 x=2 时，y=5 当 2 x2 时，直线 y=m 与该图象有一个公共点，则 4m 5 或5m4 【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象 上点的坐标特征以及翻折的性质， （3）结合图象
42、是解题的关键 27如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm，BC=6cm某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点 N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm/s 的速度向 A 点匀速运动，问： （1）经过多少时间，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 ？ （2）是否存在时刻 t，使以 A，M，N 为顶点的三角形与ACD 相似？若存在，求 t 的值； 若不存在，请说明理由 【考点】相似三角形的判定；一元二次方程的应用；分式方程的应用；矩形的性质 【专题】压轴题；动点型 【分析】 （1）关于动点问题，可设时间为 x，根据速度表示
43、出所涉及到的线段的长度，找 到相等关系，列方程求解即可，如本题中利用，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 作 为相等关系； （2）先假设相似，利用相似中的比例线段列出方程，有解的且符合题意的 t 值即可说明存 在，反之则不存在 【解答】解：（1）设经过 x 秒后，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 ， 则有： （62x ）x= 36，即 x23x+2=0， 解方程，得 x1=1，x 2=2， 经检验，可知 x1=1，x 2=2 符合题意， 所以经过 1 秒或 2 秒后，AMN 的面积等于矩形 ABCD 面积的 （2）假设经过 t 秒时，以 A，M，N 为顶点的三角形与ACD 相似，
44、 由矩形 ABCD，可得CDA= MAN=90， 因此有 或 即 ，或 解，得 t= ；解，得 t= 经检验，t= 或 t= 都符合题意， 所以动点 M，N 同时出发后，经过 秒或 秒时，以 A，M，N 为顶点的三角形与ACD 相似 【点评】主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质和一元二次方程的运用以及解分式方 程要掌握矩形和相似三角形的性质，才会灵活的运用注意：一般关于动点问题，可设 时间为 x，根据速度表示出所涉及到的线段的长度，找到相等关系，列方程求解即可 28 （1）探究新知：如图 1，已知ABC 与 ABD 的面积相等，试判断 AB 与 CD 的位置 关系，并说明理由 （2）结论应用
45、： 如图 2，点 M，N 在反比例函数 y= （k0）的图象上，过点 M 作 MEy 轴，过点 N 作 NFx 轴，垂足分别为 E，F，试证明：MN EF； 若中的其他条件不变，只改变点 M，N 的位置如图 3 所示，请判断 MN 与 EF 是否平 行 【考点】反比例函数综合题 【专题】综合题；压轴题 【分析】 （1）分别过点 C，D，作 CGAB，DHAB，垂足为 G，H，根据 CGDH，得到 ABC 与ABD 同底，而两个三角形的面积相等，因而 CG=DH，可以证明四边形 CGHD 为平行四边形，AB CD （2）判断 MN 与 EF 是否平行，根据（1）中的结论转化为证明 SEFM=SE
46、FN 即可 【解答】解：（1）分别过点 C，D，作 CGAB，DHAB ，垂足为 G，H，则 CGA=DHB=90， CGDH ABC 与ABD 的面积相等 CG=DH 四边形 CGHD 为平行四边形 ABCD （2）证明：连接 MF，NE， 设点 M 的坐标为（x 1，y 1） ，点 N 的坐标为（x 2，y 2） ， 点 M，N 在反比例函数 （k0）的图象上， x1y1=k，x 2y2=k， MEy 轴，NFx 轴， OE=y1，OF=x 2， SEFM= x1y1= k， SEFN= x2y2= k， SEFM=SEFN； 由（ 1）中的结论可知：MNEF 由（1）中的结论可知：MNEF （若生使用其他方法
