1、第 1 页（共 23 页） 2015-2016 学年河北省衡水市故城县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 16 个小题，1-10 题每个小题 3 分，11-16 题，每个小题 2 分，共 42 分） 110 月 26 日，眉山市 2 东坡区实验中学全体师生在操场隆重集会，举行“2015 年读书月 活动” 张萌调查了她所在班级 5 名同学一周内的累计读书时间，分别为： 40 分钟、45 分 钟、50 分钟、40 分钟、60 分钟，则该组数据的平均数、中位数分别是（ ） A47，45 B45，45 C40，45 D47，45 2某树苗培育基地培育了 1000 棵银杏树苗，为了解树苗的长
2、势，测量了 6 棵树苗的高 （单位：cm） ，其分别为 51，48，51，49，52，49，则这 1000 棵树苗的方差的估计值为（ ） A1 B1.5 C2 D3 3将方程 3x2x=2（x+1） 2 化成一般形式后，一次项系数为（ ） A5 B5 C 3 D3 4芳芳有一个无盖的收纳箱，该收纳箱展开后的图形（实线部分）如图所示，将该图形补 充四个边长为 10cm 的小正方形后，得到一个矩形，已知矩形的面积为 2000cm2，根据图 中信息，可得 x 的值为（ ） A10 B20 C25 D30 5如图，已知ABC 与DEF 分别是等边三角形和等腰直角三角形，AD 与 FC 分别是 ABC
3、和DEF 的高，AC 与 DF 交于点 G，BC，DE 在同一条直线上，则下列说法不正确 的是（ ） AAGDCGF B AGDDGC C =3 D = 6如图，已知矩形 ABCD 和矩形 EFGO 在平面直角坐标系中，点 B，F 的坐标分别为 （4 ，4 ） ， （2， 1） 若矩形 ABCD 和矩形 EFGO 是位似图形，点 P（点 P 在 GC 上）是位 似中心，则点 P 的坐标为（ ） 第 2 页（共 23 页） A （0，3） B （0，2.5） C （0，2） D （0，1.5） 7如图，已知“人字梯” 的 5 个踩档把梯子等分成 6 份，从上往下的第二个踩档与第三个踩 档的正中间
4、处有一条 60cm 长的绑绳 EF，tan= ，则“人字梯 ”的顶端离地面的高度 AD 是 （ ） A144cm B180cm C240cm D360cm 8若点 M（3，a ） ，N（4，6）在同一个反比例函数的图象上，则 a 的值为（ ） A8 B8 C 7 D5 9如图，在正方形 ABCD 中，AB=2 ，连接 AC，以点 C 为圆心、AC 长为半径画弧， 点 E 在 BC 的延长线上，则阴影部分的面积为（ ） A6 4 B68 C84 D88 10如图，在四边形 ABCD 中，BAD=25，C=90， ADC=115，O 为 AB 的中点， 以点 O 为圆心、AO 长为半径作圆，恰好使
5、得点 D 在O 上，连接 OD，若EAD=25， 下列说法中不正确的是（ ） AD 是劣弧 的中点 BCD 是O 的切线 第 3 页（共 23 页） CAEOD DOBC=120 11如果一种变换是将抛物线向右平移 2 个单位或向上平移 1 个单位，我们把这种变换称 为抛物线的简单变换已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是 y=x2+1，则原抛物 线的解析式不可能的是（ ） Ay=x 21 By=x 2+6x+5 Cy=x 2+4x+4 Dy=x 2+8x+17 12已知关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a 0，b0）有两个不相等的实数根，则抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点在（
6、） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 13现有五张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、正五边形和圆的五个图形的卡片， 它们的背面相同，小梅将它们的背面朝上，从中任意抽出一张，下列说法中正确的是（ ） A “抽出的图形是中心对称图形”属于必然事件 B “抽出的图形是六边形”属于随机事件 C抽出的图形为四边形的概率是 D抽出的图形为轴对称图形的概率是 142015 年 4 月 30 日，苏州吴江蚕种全部发放完毕，共计发放蚕种 6460 张（每张上的蚕 卵有 200 粒左右） ，涉及 6 个镇，各镇随即开始孵化蚕种，小李所记录的蚕种孵化情况如表 所示，则可以估计蚕种孵化成功的概率为（
7、 ） 累计蚕种孵化总数/ 粒 200 400 600 800 1000 1200 1400 孵化成功数/粒 181 362 541 718 905 1077 1263 A0.95 B0.9 C0.85 D0.8 15下列图形或几何体中，投影可能是线段的是（ ） A正方形 B长方体 C圆锥 D圆柱 16下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分） 17在力 F（N ）的作用下，物体会在力 F 的方向上发生位移 s（m） ，力 F 所做的功 W（J）满足：W=Fs，当 W 为定值时，F=50N，s=40m，若 F 由 50
8、N 减小 25N 时，并且在 所做的功不变的情况下，s 的值应 18现有一个正六边形的纸片，该纸片的边长为 20cm，张萌想用一张圆形纸片将该正六边 形纸片完全覆盖住，则圆形纸片的直径不能小于 cm 19小峰家要在一面长为 38m 的墙的一侧修建 4 个同样大小的猪圈，并在如图所示的 5 处 各留 1.5m 宽的门，已知现有的材料共可修建长为 41m 的墙体，则能修建的 4 个猪圈的最 大面积为 第 4 页（共 23 页） 20某圆锥的侧面展开图是一个半径为 4cm 的半圆，则该圆锥的底面半径为 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 66 分） 21按要求完成下列各小题 （1）计算：tan 2
9、30+ tan60sin245； （2）请你画出如图所示的几何体的三视图 22如图，正方形 ABCD 在平面直角坐标系中，且 ADx 轴，点 A 的坐标为（ 4，1） ， 点 D 的坐标为（0，1） ，点 B，P 都在反比例函数 y= 的图象上，且 P 时动点，连接 OP，CP （1）求反比例函数 y= 的函数表达式； （2）当点 P 的纵坐标为 时，判断OCP 的面积与正方形 ABCD 的面积的大小关系 23现有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有 3 个完全相同的小球，分别标有数字 1， 2， 5， ；乙袋中装有 3 个完全相同的小球，分别标有数字 3， 5，7；小宇从甲袋中随机 摸出一个小
10、球，记下数字为 m，小惠从乙袋中随机摸出一个小球，记下的数字为 n （1）若点 Q 的坐标为（m，n） ，求点 Q 在第四象限的概率； （2）已知关于 x 的一元二次方程 2x2+mx+n=0，求该方程有实数根的概率 24如图，已知O 是以 AB 为直径的ABC 的外接圆，ODBC ，交O 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BD，BD 交 AC 于点 F，延长 AC 到点 P，连接 PB 第 5 页（共 23 页） （1）若 PF=PB，求证：PB 是O 的切线； （2）如果 AB=10，cos ABC= ，求 CE 的长度 25已知在ABC 中，BAC=90，过点 C 的直线 EF AB，
11、D 是 BC 上一点，连接 AD，过点 D 分别作 GDAD，HDBC，交 EF 和 AC 于点 G，H，连接 AG （1）当ACB=30时，如图 1 所示 求证：GCDAHD； 试判断 AD 与 DG 之间的数量关系，并说明理由； （2）当 tanACB= 时，如图 2 所示，请你直接写出 AD 与 DG 之间的数量关系 26如图，抛物线 y=ax2+2x6 与 x 轴交于点 A（6，0） ， B（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴 交于点 C，直线 BD 与抛物线交于点 D，点 D 与点 C 关于该抛物线的对称轴对称 （1）连接 CD，求抛物线的表达式和线段 CD 的长度； （2）在
12、线段 BD 下方的抛物线上有一点 P，过点 P 作 PMx 轴，PN y 轴，分别交 BD 于点 M，N当MPN 的面积最大时，求点 P 的坐标 第 6 页（共 23 页） 2015-2016 学年河北省衡水市故城县九年级（上）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 16 个小题，1-10 题每个小题 3 分，11-16 题，每个小题 2 分，共 42 分） 110 月 26 日，眉山市 2 东坡区实验中学全体师生在操场隆重集会，举行“2015 年读书月 活动” 张萌调查了她所在班级 5 名同学一周内的累计读书时间，分别为： 40 分钟、45 分 钟、50 分钟、40 分钟、
13、60 分钟，则该组数据的平均数、中位数分别是（ ） A47，45 B45，45 C40，45 D47，45 【考点】中位数；算术平均数 【分析】根据中位数和平均数的概念求解 【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：40，40，45，50，60， 则平均数为： =47， 中位数为：45 故选 A 2某树苗培育基地培育了 1000 棵银杏树苗，为了解树苗的长势，测量了 6 棵树苗的高 （单位：cm） ，其分别为 51，48，51，49，52，49，则这 1000 棵树苗的方差的估计值为（ ） A1 B1.5 C2 D3 【考点】方差 【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式即可得出答案
14、 【解答】解：平均数为：（51+48+51+49+52+49）6=50， 所以方差为： =2， 故选 C 3将方程 3x2x=2（x+1） 2 化成一般形式后，一次项系数为（ ） A5 B5 C 3 D3 【考点】一元二次方程的一般形式 【分析】根据完全平方公式和移项、合并同类项的法则把原方程变形，根据一元二次方程 的一般形式解答即可 【解答】解：方程 3x2x=2（x+1） 2 变形为 5x2+3x+2=0， 则一次项系数为 3， 第 7 页（共 23 页） 故选：D 4芳芳有一个无盖的收纳箱，该收纳箱展开后的图形（实线部分）如图所示，将该图形补 充四个边长为 10cm 的小正方形后，得到一
15、个矩形，已知矩形的面积为 2000cm2，根据图 中信息，可得 x 的值为（ ） A10 B20 C25 D30 【考点】一元二次方程的应用 【分析】根据矩形的面积公式列出关于 x 的一元二次方程，通过解方程即可求得 x 的值 【解答】解：依题意得：（x+10+20） （x+10+10）=2000， 解得 x=20 故选：B 5如图，已知ABC 与DEF 分别是等边三角形和等腰直角三角形，AD 与 FC 分别是 ABC 和DEF 的高，AC 与 DF 交于点 G，BC，DE 在同一条直线上，则下列说法不正确 的是（ ） AAGDCGF B AGDDGC C =3 D = 【考点】相似三角形的判
16、定与性质 【分析】设 AB=BC=AC=2a，根据等边三角形的性质得出 ADBC ，BD=DC=a，由勾股定 理求出 AD= a，根据DEF 是等腰直角三角形的性质得出 FCDE，DC=CE=DF=a ，求 出 ADFC ，推出AGDCGF，再逐个判断即可 【解答】解：A、设 AB=BC=AC=2a， 三角形 ABC 是等边三角形，AD 是高， ADBC，BD=DC=a， 由勾股定理得：AD= = a， DEF 是等腰直角三角形，FC 是高， FC DE，DC=CE=DF=a， ADFC ， AGDCGF，故本选项错误； B、不能推出AGDDGC，故本选项正确； 第 8 页（共 23 页） C
17、、AGDCGF，AD= a，FC=a， =（ ） 2=3，故本选项错误； D、AGDCGF，AD= a，FC=a， = = ，故本选项错误； 故选 B 6如图，已知矩形 ABCD 和矩形 EFGO 在平面直角坐标系中，点 B，F 的坐标分别为 （4 ，4 ） ， （2， 1） 若矩形 ABCD 和矩形 EFGO 是位似图形，点 P（点 P 在 GC 上）是位 似中心，则点 P 的坐标为（ ） A （0，3） B （0，2.5） C （0，2） D （0，1.5） 【考点】位似变换；坐标与图形性质 【分析】连接 BF 交 y 轴于 P，根据题意求出 CG，根据相似三角形的性质求出 GP，求出 点
18、 P 的坐标 【解答】解：连接 BF 交 y 轴于 P， 四边形 ABCD 和四边形 EFGO 是矩形，点 B，F 的坐标分别为（ 4，4） ， （2，1） ， 点 C 的坐标为（0，4） ，点 G 的坐标为（0，1） ， CG=3， BCGF， = = ， GP=1，PC=2， 点 P 的坐标为（0，2） ， 故选：C 第 9 页（共 23 页） 7如图，已知“人字梯” 的 5 个踩档把梯子等分成 6 份，从上往下的第二个踩档与第三个踩 档的正中间处有一条 60cm 长的绑绳 EF，tan= ，则“人字梯 ”的顶端离地面的高度 AD 是 （ ） A144cm B180cm C240cm D3
19、60cm 【考点】解直角三角形的应用 【分析】根据题意可知：AEOABD，从而可求得 BD 的长，然后根据锐角三角函数 的定义可求得 AD 的长 【解答】解：如图： 根据题意可知：AFOACD，OF= EF=30cm ， CD=72cm， tan= AD= =180cm 故选：B 8若点 M（3，a ） ，N（4，6）在同一个反比例函数的图象上，则 a 的值为（ ） A8 B8 C 7 D5 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】设反比例函数解析式为 y= ，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到 k=3a=4（6） ，然后解关于 a 的方程即可 第 10 页（共 23 页） 【解答】解
20、：设反比例函数解析式为 y= ，根据题意得 k3a=4（ 6） ， 解得 a=8 故选 A 9如图，在正方形 ABCD 中，AB=2 ，连接 AC，以点 C 为圆心、AC 长为半径画弧， 点 E 在 BC 的延长线上，则阴影部分的面积为（ ） A6 4 B68 C84 D88 【考点】扇形面积的计算 【分析】先根据勾股定理求出 AC 的长，再由正方形的性质得出ACD=45 ，根据 S 阴影 =S 扇形 ACESACD 即可得出结论 【解答】解：在正方形 ABCD 中，AB=2 ， AC= =4，ACD=45 点 E 在 BC 的延长线上， DCE=90， ACE=45+ 90=135， S 阴
21、影 =S 扇形 ACESACD= 2 2 =64 故选 A 10如图，在四边形 ABCD 中，BAD=25，C=90， ADC=115，O 为 AB 的中点， 以点 O 为圆心、AO 长为半径作圆，恰好使得点 D 在O 上，连接 OD，若EAD=25， 下列说法中不正确的是（ ） AD 是劣弧 的中点 BCD 是O 的切线 CAEOD DOBC=120 【考点】切线的判定 第 11 页（共 23 页） 【分析】证出BAD=EAD，由圆周角定理得出 ，得出选项 A 正确；由等腰三角 形的性质得出ADO=BAD=25，求出ODC=ADCADO=90 ，得出 CDOD，证 出 CD 是O 的切线，选
22、项 B 正确；由圆周角定理得出BOD=2BAD=50 ，证出 BOD=BAE，得出 AEOD，选项 C 正确；由已知条件得出 OBC=130 ，得出选项 D 不正确；即可得出结论 【解答】解：BAD=25，EAD=25， BAD=EAD， ， D 是 的中点，选项 A 正确； OA=OD， ADO=BAD=25， ODC=ADCADO=11525=90， CDOD， CD 是O 的切线，选项 B 正确； BOD=2BAD=50 ，BAE=25+25=50， BOD=BAE， AEOD ，选项 C 正确； C=90 ， BOC=36090 9050=130120，选项 D 不正确； 故选：D 1
23、1如果一种变换是将抛物线向右平移 2 个单位或向上平移 1 个单位，我们把这种变换称 为抛物线的简单变换已知抛物线经过两次简单变换后的一条抛物线是 y=x2+1，则原抛物 线的解析式不可能的是（ ） Ay=x 21 By=x 2+6x+5 Cy=x 2+4x+4 Dy=x 2+8x+17 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】根据图象左移加，右移减，图象上移加，下移减，可得答案 【解答】解：A、y=x 21，先向上平移 1 个单位得到 y=x2，再向上平移 1 个单位可以得到 y=x2+1，故 A 正确； B、y=x 2+6x+5=（x+3） 24，无法经两次简单变换得到 y=x2+1，故
24、B 错误； C、y=x 2+4x+4=（x+2） 2，先向右平移 2 个单位得到 y=（ x+22） 2=x2，再向上平移 1 个单 位得到 y=x2+1，故 C 正确； 第 12 页（共 23 页） D、y=x 2+8x+17=（x+4） 2+1，先向右平移 2 个单位得到 y=（x+42） 2+1=（x+2） 2+1，再向 右平移 2 个单位得到 y=x2+1，故 D 正确 故选：B 12已知关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a 0，b0）有两个不相等的实数根，则抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】抛物线与 x 轴的交
25、点 【分析】由抛物线的解析式可求出顶点的横纵坐标，结合已知条件即可判断抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点所在象限 【解答】解：关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a 0，b0）有两个不相等的实数根， b 24ac0， 即 b24ac， 顶点的横坐标为 ，纵坐标为 ，a 0，b0， 0， 0， 抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点在第三象限， 故选 C 13现有五张分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、正五边形和圆的五个图形的卡片， 它们的背面相同，小梅将它们的背面朝上，从中任意抽出一张，下列说法中正确的是（ ） A “抽出的图形是中心对称图形”属于必然事件 B “抽出的图形是六边形”属于
26、随机事件 C抽出的图形为四边形的概率是 D抽出的图形为轴对称图形的概率是 【考点】概率公式；轴对称图形；中心对称图形；随机事件 【分析】由五张完全相同的卡片上分别画有等边三角形、平行四边形、矩形、正五边形和 圆，其中抽出的图形为四边形的概率利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：等边三角形、平行四边形、矩形、正五边形和圆中四边形是平行四边形、矩 形， 所以抽出的图形为四边形的概率是 ， 故选 C 第 13 页（共 23 页） 142015 年 4 月 30 日，苏州吴江蚕种全部发放完毕，共计发放蚕种 6460 张（每张上的蚕 卵有 200 粒左右） ，涉及 6 个镇，各镇随即开始孵化蚕种，小
27、李所记录的蚕种孵化情况如表 所示，则可以估计蚕种孵化成功的概率为（ ） 累计蚕种孵化总数/ 粒 200 400 600 800 1000 1200 1400 孵化成功数/粒 181 362 541 718 905 1077 1263 A0.95 B0.9 C0.85 D0.8 【考点】利用频率估计概率 【分析】根据多次重复试验中事件发生的频率估计事件发生的概率即可 【解答】解： ， 蚕种孵化成功的频率约为 0.9， 估计蚕种孵化成功的概率约为 0.9， 故选 B 15下列图形或几何体中，投影可能是线段的是（ ） A正方形 B长方体 C圆锥 D圆柱 【考点】简单几何体的三视图 【分析】由于图形的
28、投影是一个线段，根据平行投影与中心投影的规则对四个选项中几何 体的投影情况进行分析找出正确选项 【解答】解：A、正方形投影可能是线段，故选项正确； B、长方体投影不可能是线段，故选项错误； C、圆锥投影不可能是线段，故选项错误； D、圆柱投影不可能是线段，故选项错误 故选：A 16下列四个几何体中，左视图为圆的是（ ） A B C D 【考点】简单几何体的三视图 【分析】四个几何体的左视图：圆柱是矩形，圆锥是等腰三角形，球是圆，正方体是正方 形，由此可确定答案 【解答】解：因为圆柱的左视图是矩形，圆锥的左视图是等腰三角形，球的左视图是圆， 正方体的左视图是正方形， 所以，左视图是圆的几何体是球
29、 故选：C 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 3 分，共 12 分） 17在力 F（N ）的作用下，物体会在力 F 的方向上发生位移 s（m） ，力 F 所做的功 W（J）满足：W=Fs，当 W 为定值时，F=50N，s=40m，若 F 由 50N 减小 25N 时，并且在 所做的功不变的情况下，s 的值应 80 第 14 页（共 23 页） 【考点】函数关系式 【分析】根据功的公式，待定系数法，可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系， 可得答案 【解答】解：由 W=Fs，当 W 为定值时，F=50N，s=40m ，得 W=5040=2000， 当 F=25 时，s= = =80
30、， 故答案为：80 18现有一个正六边形的纸片，该纸片的边长为 20cm，张萌想用一张圆形纸片将该正六边 形纸片完全覆盖住，则圆形纸片的直径不能小于 40 cm 【考点】正多边形和圆 【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出AOB 的度数，最后根据 等腰三角形及直角三角形的性质解答即可 【解答】解：如图所示，正六边形的边长为 20cm，OG BC， 六边形 ABCDEF 是正六边形， BOC= =60， OB=OC，OGBC， BOG=COG= =30， OGBC，OB=OC，BC=20cm， BG= BC= 20=10cm， OB= = =20cm， 圆形纸片的直径不能小于
31、40cm； 故答案为：40 19小峰家要在一面长为 38m 的墙的一侧修建 4 个同样大小的猪圈，并在如图所示的 5 处 各留 1.5m 宽的门，已知现有的材料共可修建长为 41m 的墙体，则能修建的 4 个猪圈的最 大面积为 第 15 页（共 23 页） 【考点】二次函数的应用 【分析】设垂直于墙的边长为 x 米，则平行于墙的边长为 415（x 1.5）=48.55x，表示出总 面积 S=x（48.55x）= 5x2+48.5x，即可求得面积的最值 【解答】解：设垂直于墙的长为 x 米， 则平行于墙的长为 415（x 1.5）=48.5 5x， 墙长为 38 米， 48.55x 38，即 x
32、2.1， 总面积 S=x（48.55x） =5x2+48.5x 当 x= =4.85 米时，S 最大值 = = （平方米） ， 故答案为： 20某圆锥的侧面展开图是一个半径为 4cm 的半圆，则该圆锥的底面半径为 2cm 【考点】圆锥的计算 【分析】首先求得圆锥的侧面展开图的弧长，即圆锥的底面周长，然后根据圆周长公式即 可求解半径 【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长是：4cm，设圆锥的底面半径是 r，则 2r=4， 解得：r=2cm 则底面圆的半径为 2cm 故答案是：2cm 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 66 分） 21按要求完成下列各小题 （1）计算：tan 230+ tan60s
33、in245； （2）请你画出如图所示的几何体的三视图 【考点】作图-三视图；特殊角的三角函数值 【分析】 （1）首先计算特殊角的三角函数，然后再计算实数的运算即可； 第 16 页（共 23 页） （2）分别利用几何体的组成结合三视图的画法得出不同角度观察得到三视图 【解答】解：（1）tan 230+ tan60sin245， =（ ） 2+ （ ） 2， = +3 ， = ； （2）如图所示 22如图，正方形 ABCD 在平面直角坐标系中，且 ADx 轴，点 A 的坐标为（ 4，1） ， 点 D 的坐标为（0，1） ，点 B，P 都在反比例函数 y= 的图象上，且 P 时动点，连接 OP，CP
34、 （1）求反比例函数 y= 的函数表达式； （2）当点 P 的纵坐标为 时，判断OCP 的面积与正方形 ABCD 的面积的大小关系 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的 性质 【分析】 （1）只需根据条件求出点 B 的坐标，然后运用待定系数法就可解决问题； （2）易求出 OC 的长，然后只需根据条件求出点 P 的横坐标，就可求出OCP 的面积， 然后再求出正方形 ABCD 的面积，就可解决问题 【解答】解：（1）四边形 ABCD 是正方形，A（ 4，1） ，D（0，1） ， OD=1 ，BC=DC=AD=4， 第 17 页（共 23 页） OC=3，
35、点 B 的坐标为（ 4，3） 点 B 在反比例函数 y= 的图象上， k=4 （3）=12 ， 反比例函数的表达式为 y= ； （2）点 P 在反比例函数 y= 的图象上，点 P 的纵坐标为 ， 点 P 的横坐标为 ， S OCP= 3 =16 S 正方形 ABCD=16， OCP 的面积与正方形 ABCD 的面积相等 23现有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有 3 个完全相同的小球，分别标有数字 1， 2， 5， ；乙袋中装有 3 个完全相同的小球，分别标有数字 3， 5，7；小宇从甲袋中随机 摸出一个小球，记下数字为 m，小惠从乙袋中随机摸出一个小球，记下的数字为 n （1）若点 Q 的坐
36、标为（m，n） ，求点 Q 在第四象限的概率； （2）已知关于 x 的一元二次方程 2x2+mx+n=0，求该方程有实数根的概率 【考点】列表法与树状图法；根的判别式 【分析】 （1）首先根据题意列表，然后根据表格求得所有等可能的结果与摸出的两个球上 数字横坐标大于 0，纵坐标小于 0 的可能情况，再利用概率公式求解即可； （2）若一元二次方程 2x2+mx+n=0，则其跟的判别式大于等于 0，进而可求出该方程有实 数根的概率 【解答】解：（1） 1 2 5 3 （1 ，3 ） （2，3） （5，3） 5 （1 ， 5） （2，5 ） （5，5 ） 7 （1 ， 7） （2，7 ） （5，7
37、） 由表可知所有可能情况有 9 种，其中两个球上数字横坐标大于 0，纵坐标小于 0 的可能情 况有 4 种，所以点 Q 在第四象限的概率概率 = ； （2）关于 x 的一元二次方程 2x2+mx+n=0 方程有实数根， 0， 第 18 页（共 23 页） 即 m28n0， m 28n， 由（1）可知满足条件的 m， n 组合共 7 对， 该方程有实数根的概率= 24如图，已知O 是以 AB 为直径的ABC 的外接圆，ODBC ，交O 于点 D，交 AC 于点 E，连接 BD，BD 交 AC 于点 F，延长 AC 到点 P，连接 PB （1）若 PF=PB，求证：PB 是O 的切线； （2）如果
38、 AB=10，cos ABC= ，求 CE 的长度 【考点】切线的判定 【分析】 （1）欲证明 PB 是O 的切线，只需推知ABP=90 即可； （2）通过解直角三角形得到 AC=8，易得 OD 垂直平分 AC则 CE= AC=3 【解答】 （1）证明：如图，OB=OD， OBD=ODB 又ODBC， CBD=ODB CBD=OBD PF=PB， PFB=PBF， 又AB 是圆 O 的直径， ACB=90，即BCF=90， PFB+CBD=90， PBF+OBD=90 又AB 是直径， PB 是 O 的切线； （2）解：AB=10 ，cos ABC= ，ACB=90 ， = ，即 = ， 则
39、AC=6 第 19 页（共 23 页） 又ODBC，点 O 是 AB 的中点， OD 垂直平分 AC则 CE= AC=3 25已知在ABC 中，BAC=90，过点 C 的直线 EF AB，D 是 BC 上一点，连接 AD，过点 D 分别作 GDAD，HDBC，交 EF 和 AC 于点 G，H，连接 AG （1）当ACB=30时，如图 1 所示 求证：GCDAHD； 试判断 AD 与 DG 之间的数量关系，并说明理由； （2）当 tanACB= 时，如图 2 所示，请你直接写出 AD 与 DG 之间的数量关系 【考点】相似形综合题 【分析】 （1）根据平行线的性质得到GCM=BAC=90，根据垂
40、直的定义得到 ADM=90，于是求得GCA=ADM，推出DAH= CGD，根据相似三角形的判定 定理即可得到结论； 根据相似三角形的性质得到 ，根据三角函数的定义即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到 ，根据 tanACB= ，即可得到结论 【解答】 （1）证明：BAC=90 ，EF AB， GCM=BAC=90， GDAD， ADM=90， GCA=ADM， AND=GMC ， DAH=CGD， ADH=CDG=90HDG 第 20 页（共 23 页） GCDAHD； 解：由知：GCD AHD， ， 在 Rt DHC 中， ACB=30， =tan30= ， = ； （2）5AD=4
41、DG， 解：由知GCDAHD， 在 Rt DHC 中， tanACB= ， = 26如图，抛物线 y=ax2+2x6 与 x 轴交于点 A（6，0） ， B（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴 交于点 C，直线 BD 与抛物线交于点 D，点 D 与点 C 关于该抛物线的对称轴对称 （1）连接 CD，求抛物线的表达式和线段 CD 的长度； （2）在线段 BD 下方的抛物线上有一点 P，过点 P 作 PMx 轴，PN y 轴，分别交 BD 于点 M，N当MPN 的面积最大时，求点 P 的坐标 【考点】二次函数综合题 第 21 页（共 23 页） 【分析】 （1）根据待定系数法，可得函数解析式
42、；根据自变量与函数值的对应关系，可得 C、D 点坐标，根据平行于 x 轴直线上两点间的距离是较大的小横坐标减较的横坐标，可 得答案； （2）根据待定系数法，可得 BD 的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得 E 点坐 标，根据等腰三角形的性质，可得OBE=OEB=45，根据平行线的性质，可得 PMN=PNM=45，根据直角三角形的判定，可得P，根据三角形的面积公式，根据二 次函数的性质，可得 a 的值，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案 【解答】解：（1）将 A 点坐标代入函数解析式，得 36a126=0 解得 a= ， 抛物线的解析式为 y= x2+2x6； 当 x=0 时 y=
43、6即 C（0， 6） 当 y=6 时，6= x2+2x6， 解得 x=0（舍） ，x= 4，即 D（ 4，6） CD=0（4）=4， 线段 CD 的长为 4； （2）如图 ， 当 y=0 时， x2+2x6=0解得 x=6（不符合题意，舍）或 x=2 即 B（2，0） 设 BD 的解析式为 y=kx+b，将 B、D 点坐标代入函数解析式，得 ， 解得 ， BD 的解析式为 y=x2， 当 x=0 时，y=2，即 E（0，2） 第 22 页（共 23 页） OB=OE=2， BOE=90 OBE=OEB=45 点 P 作 PMx 轴，PN y 轴， PMN=PNM=45，NPM=90 N 在 BD 上，设 N（a，a 2） ；P 在抛物线上，设 P（a， a2+2a6） PN=a2（ a2+2a6）= a2a+4= （a +1） 2+ ， S= PN2= （a +1） 2+ 2， 当 a=1 时，S 最大 = （ ） 2= ， a=1， a2+2a6= ， 点 P 的坐标为（ 1， ） 第 23 页（共 23 页） 2016 年 8 月 31 日
