1、 东城区 2015-2016 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 （文科） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1） C （2） C （3）D （4）A （5）B （6） B （7）C （8）D 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9） （10） 4 （11 ） （12）254 （13） （14） 106251 注：两个空的填空题第一个空填对得 3 分，第二个空填对得 2 分 三、解答题（本大题共 6 小题 ，共 80 分） （15）（共 13 分） 解：（）设数列 的公差为 ，由题意知 ，即 ，nad2310a
2、1+30ad 由 ，解得 . 122 所以 ，即 , . 6 分(1)nnnN （）由（）可得 ，所以 .2nS2kS 又 ， ，326a1()ka 由已知可得 ，即 ， 3k 26()k 整理得 ， .20*N 解得 （舍去）或 . 1 故 . 13k 分 （16）（共 13 分） 解：（）由表格可知， 的周期 ，()fx()2T 所以 . 2 又由 ，且 ，所以 .sin0102 所以 . 6()sin2)cos2fxx 分 （） 2()iin1siingf x .213sn)x 由 ，所以当 时， 有最大值 ；i,six()gx32 当 时， 有最小值 . 13s1x()g3 分 （17
3、）（共 13 分）w!w!w.!x!k!b! 解：（）由题可知，第 组的频数为 人，第 组的频率为 .20.3513301 即处的数据为 ，处的数据为 . 335 分 （）因为第 ， ， 组共有 名学生,所以利用分层抽样 ,在 名学生中抽取 名学生,每460606 组分别为: 第 组: 人；第 组 : 人；第 组 : 人.306251 所以第 ， ， 组分别抽取 人， 人，人. 6 分453 （）设第 组的 位同学为 ， ， ，第 组的 位同学为 ， ，第 组的位同学为1A2421B25 ，1C 则从 位同学中抽两位同学有 种可能，分别为: ， ， ，6512(,)A13(,)1(,)AB ，
4、 ， ， ， ， ， ， ，12(,)AB1(,)C23(,)A21(,)B2(,)C2 ， ， ， .31C 其中第 组的两位同学至少有一位同学被选中的有: ， ， ，4 1(,)AB12(,)1(,)AB ， ， ， ， ， 种可能.2(,)AB31(,)32(,)AB1(,)2(,)29 所以第 组的两位同学至少有一位同学被选中的概率 . P315 13 分 （18）（共 13 分） 证明：（）因为 平面 ， 平 面 ，CDAEADE 所以 . 又因为 ， , 所 以 平 面 . 又因为 平面 ， AEC 所以平面 平面 . 7DE 分 （）在线段 上存在一点 ,且 ，使 平面 . F1
5、3AFBCE 设 为线段 上一点 , 且 . FED 过点 作 交 于 ，则 .MACM 因为 平面 , 平面 ，DBAE 所以 . 又 ，FAC 所 以 .MB 因 为 ， 所以 .3DFAB 所以四边形 是平行四边形 .A 所以 . 又因为 平面 ， 平面 ，CEMCE 所 以 平面 . 13 分AFB （19）（共 14 分） 解：（）当 时， ， .x.k.b.1 1a()exf()1exf 当 时， ，又 ，0xy0f A B C E D F F M 所以曲线 在点 处的切线方程为 . ()yfx0,()f 1y 4 分 （）由 ，得 .()e xfa()1exfa 当 时， ，此时
6、 在 上单调递增.0()0ffR 当 时， ，当 时， ，xa()e(1)0aaf1x()e0fa 所以当 时，曲线 与 轴有且只有一个交点； 0yfx 8 分 当 时，令 ，得 .a()flna 与 在区间 上的情况如下：()fx,),ln)al(ln,)a()fx 0A 极大值 A 若曲线 与 轴有且只有一个交点，()yfx 则有 ，即 .解得 .ln0falnle0a1e 综上所述，当 或 时，曲线 与 轴有且只有一个交点. 1()yfx 12 分 （）曲线 与曲线 最多有 个交点. ()exfa3()g 14 分 （20）（共 14 分 ） 解：()由椭圆过点 ，则 .(02)， b
7、又 ，3ab 故 . 所以椭圆 的方程为 . 4C 128yx 分 () 若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是 ， 1:2lyx 由 解得 或 218yx， 102xy， ， 2,0.y 故 ， . 821 k2k 分 为定值，且 .21021 设直线的方程为 . mxy 由 消 ，得 . 218yx， y0422x 当 ，即 时，直线与椭圆交于两点.0642mm 设 . ,则 ， .),(1xA)(B12 21 又 ， ，21 yk2xyk 故 . 121)2(1)(12xy 又 ， ， mxy12xy 所以 )2(1)(221 )2(12()(1(2 xmxm .412xx 0)44 故 . 1401k
