1、广东省广州市南沙区 2015-2016 学年八年级（下）期末数学试 卷（解析版） 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A B C D 2下列各式成立的是（ ） A =3 B + = C =3 D = 3如图，在菱形 ABCD 中，下列结论中错误的是（ ） A1=2 BACBD CAB=AD DAC BD 4在某校“我的中国梦” 演讲比赛中，有 9 名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相 同其中的一名学生想要知道自己能否进入前 5 名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这 9 名学生成绩的（ ） A众数 B中位数 C平均数 D方
2、差 5下列四个选项中，不是 y 关于 x 的函数的是（ ） A|y|=x 1 By= Cy=2x 7 Dy=x 2 6在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ） A3，4，5 B ， ， C1， ，2 D4，5， 7下列函数中，y 随 x 的增大而减少的函数是（ ） Ay=2x+8 By=3x2 Cy= 24x Dy=4x 8顺次连接一个矩形各边的中点，得到的四边形一定是（ ） A菱形 B矩形 C正方形 D梯形 92016 年 5 月 22 日 10 时 5 分，西藏日咯则市定日县发生 5.3 级地震，该县部分地区受灾 严重，我解放军某部火速向灾区救援，最初坐车以某一速度匀速前进，中
3、途由于道路出现 泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步 行前往，下列是官兵们离出发地的距离 S（千米）与行进时间 t（小时）的函数大致图象， 你认为正确的是（ ） A B C D 10如图，点 O（0，0），A（0，1）是正方形 OAA1B 的两个顶点，以 OA1 对角线为边 作正方形 OA1A2B1，再以正方形的对角线 OA2 作正方形 OA1A2B1，依此规律，则点 A8 的坐标是（ ） A（8 ，0） B（0，8） C（0，8 ） D（0，16） 二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 2 分，共 12 分） 11若式子 在实数范围内有意义，则 x
4、 的取值范围是 12甲、乙两名射击手的 50 次测试的平均成绩都是 8 环，方差分别是 S 甲 2=0.8，S 乙 2=0.3，则成绩比较稳定的是 （填“甲” 或“乙” ） 13在平行四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，点 E 是 AB 的中点，OE=4cm，则 AD 的长是 cm 14直线 y=kx+b（k0）与 x 轴的交点坐标为（2，0），则关于 x 的不等式 kx+b0 的解 集是 15如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，BD=6，AD=3 ，则AOD= 度 16一农民带上若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场 售出一些后，他想快点售完回家
5、，于是降价出售，售出的土豆千克数 x 与他手中持有的钱 数（含备用零钱）y 的关系如图所示，请写出降价前 y 与 x 之间的关系式 三、解答题（本题有 8 个小题，共 68 分） 17计算：（ 2 ） +4 18如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别在 AB，CD 边上，连接 CE、AF，DF=BE，证 明四边形 AECF 是平行四边形 19为了倡导“节约用水，从我做起”，南沙区政府决定对区直属机关 300 户家庭的用水情 况作一次调查，区政府调查小组随机抽查了其中 50 户家庭一年的月平均用水量（单位：吨） ，调查中发现每户用水量均在 1014 吨/ 月范围，并将调查结果制成了如图所示
6、的条形统计 图 （1）请将条形统计图补充完整； （2）这 50 户家庭月用水量的平均数是 ，众数是 ，中位数是 ； （3）根据样本数据，估计南沙区直属机关 300 户家庭中月平均用水量不超过 12 吨的约有 多少户？ 20已知直线 y1=2x+2 及直线 y2=x+5， （1）直线 y2=x+5 与 y 轴的交点坐标为 （2）在所给的平面直角坐标系（如图）中画出这两条直线的图象； （3）求这两条直线以及 x 轴所围成的三角形面积 21如图，在矩形纸片 ABCD 中，CD=12，BC=15 ，点 E 在 AB 上，将DAE 沿 DE 折叠， 使点 A 落在对角线 BD 上的点 A1 处，求 AE
7、 的长度 22（10 分）（2016 春 南沙区期末）如图，已知函数 y=x+b 的图象与 x 轴、y 轴分别交 于点 A、B，与函数 y=2x 的图象交于点 M，点 M 的横坐标为 2，在 x 轴上有一点 P（a，0）（其中 a2），过点 P 作 x 轴的垂线，分别交函数 y=x+b 和 y=2x 的图象于点 C，D （1）求点 A 的坐标； （2）若 OB=CD，求 a 的值 23（10 分）（2016 春 南沙区期末）已知：P 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一点， PEAB，PF BC，E、F 分别为垂足 （1）求证：DP=EF （2）试判断 DP 与 EF 的位置关系并说明理由
8、24（12 分）（2016 春 南沙区期末）如图，直线 y=2x+2 交 y 轴于 A 点，交 x 轴于 C 点， 以 O，A，C 为顶点作矩形 OABC，将矩形 OABC 绕 O 点顺时针旋转 90，得到矩形 ODEF，直线 AC 交直线 DF 于 G 点 （1）求直线 DF 的解析式； （2）求证：GO 平分CGD； （3）在角平分线 GO 上找一点 M，使以点 G、M、D 为顶点的三角形是等腰直角三角形， 求出 M 点坐标 2015-2016 学年广东省广州市南沙区八年级（下）期末 数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1下列二次
9、根式中，最简二次根式是（ ） A B C D 【考点】最简二次根式 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两 个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是 【解答】解：A、 ，被开方数含分母，不是最简二次根式； B、 ，被开方数含分母，不是最简二次根式； C、 ，是最简二次根式； D、 ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 故选：C 【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数 不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式 2下列各式成立的是（ ） A =3 B + = C =3 D =
10、【考点】二次根式的混合运算 【分析】根据算术平方根对 A 进行判断；根据合并同类二次根式对 B 进行判断；根据二次 根式的性质对 c 进行判断；根据二次根式的乘法对 D 进行判断 【解答】解：A、 = =3，所以 A 选项错误； B、 和 不是同类二次根式，不计算，所以 B 选项错误； C、 = =3，所以 C 选项错误； D、 = = ，所以 D 选项正确 故选 D 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二 次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算 3如图，在菱形 ABCD 中，下列结论中错误的是（ ） A1=2 BACBD CAB=AD DAC B
11、D 【考点】菱形的性质 【分析】根据菱形具有平行四边形的一切性质，菱形的四条边都相等，菱形的两条对角线 互相垂直且平分，并且每一条对角线平分一组对角；即可求得答案 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， ABCD ，ACBD，AB=AD， 1=2，无法证明 AC=BD， A，B，C 正确， D 错误 故选 D 【点评】此题考查了菱形的性质；此题比较简单，熟记菱形的性质定理是关键 4在某校“我的中国梦” 演讲比赛中，有 9 名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相 同其中的一名学生想要知道自己能否进入前 5 名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这 9 名学生成绩的（ ） A众数 B中位数 C平均数
12、 D方差 【考点】统计量的选择 【分析】9 人成绩的中位数是第 5 名的成绩参赛选手要想知道自己是否能进入前 5 名， 只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可 【解答】解：由于总共有 9 个人，且他们的分数互不相同，第 5 的成绩是中位数，要判断 是否进入前 5 名，故应知道中位数的多少 故选：B 【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义 5下列四个选项中，不是 y 关于 x 的函数的是（ ） A|y|=x 1 By= Cy=2x 7 Dy=x 2 【考点】函数的概念 【分析】直接利用函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y，对于 x
13、 的每一个 确定的值，y 都有唯一的值与其对应，那么就说 y 是 x 的函数，x 是自变量，进而判断得出 答案 【解答】解：A、|y|=x 1，当 x 每取一个值，y 有两个值与其对应用，故此选项不是 y 关 于 x 的函数，符合题意； B、y= ，当 x 每取一个值，y 有唯一个值与其对应用，故此选项是 y 关于 x 的函数，不符 合题意； C、y=2x 7，当 x 每取一个值， y 有唯一个值与其对应用，故此选项是 y 关于 x 的函数，不 符合题意； D、y=x 2，当 x 每取一个值，y 有唯一个值与其对应用，故此选项是 y 关于 x 的函数，不符 合题意； 故选：A 【点评】此题主要
14、考查了函数的定义，正确把握 y 与 x 的关系是解题关键 6在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ） A3，4，5 B ， ， C1， ，2 D4，5， 【考点】勾股定理的逆定理 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可解 答 【解答】解：A、3 2+42=52，能构成直角三角形，不符合题意； B、（ ） 2+（ ） 2（ ） 2，不能构成直角三角形，符合题意； C、1 2+（ ） 2=22，能构成直角三角形，不符合题意； D、4 2+52=（ ） 2，能构成直角三角形，不符合题意； 故选：B 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的
15、逆定理时，应先认真分析所给 边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系， 进而作出判断 7下列函数中，y 随 x 的增大而减少的函数是（ ） Ay=2x+8 By=3x2 Cy= 24x Dy=4x 【考点】一次函数的性质 【分析】根据一次函数的性质，k0，y 随 x 的增大而减少，找出各选项中 k 值小于 0 的 选项即可 【解答】解：A、B、D 选项中的函数解析式 k 值都是正数，y 随 x 的增大而增大， C 选项 y=4x2 中，k= 40，y 随 x 的增大而减少 故选 C 【点评】本题考查了一次函数的性质，主要利用了当 k0 时，y 随 x 的增大
16、而增大；当 k0 时，y 随 x 的增大而减小 8顺次连接一个矩形各边的中点，得到的四边形一定是（ ） A菱形 B矩形 C正方形 D梯形 【考点】中点四边形；矩形的性质 【分析】三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半需注意新四边形的形状只 与对角线有关，不用考虑原四边形的形状 【解答】解：如图，连接 AC、BD 在ABD 中， AH=HD，AE=EB， EH= BD， 同理 FG= BD，HG= AC，EF= AC， 又在矩形 ABCD 中，AC=BD ， EH=HG=GF=FE， 四边形 EFGH 为菱形 故选 A 【点评】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的
17、理论依据， 常用三种方法：定义，四边相等， 对角线互相垂直平分 92016 年 5 月 22 日 10 时 5 分，西藏日咯则市定日县发生 5.3 级地震，该县部分地区受灾 严重，我解放军某部火速向灾区救援，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现 泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步 行前往，下列是官兵们离出发地的距离 S（千米）与行进时间 t（小时）的函数大致图象， 你认为正确的是（ ） A B C D 【考点】函数的图象 【分析】我解放军某部行驶状态是：匀速行进中途停下加快速度、匀速行进；路程的增加 量：平缓增加不增加 快速增加，图象由三条线
18、段组成，即：平缓，平，陡 【解答】解：依题意，解放军行驶速度为：匀速行进中途停下，速度为 0步行减慢速度、 匀速行进；时间与路程的函数图象应为三条线段组成，即：陡平缓，平，平缓 故选 C 【点评】本题考查了函数的图象应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况采 用排除法求解 10如图，点 O（0，0），A（0，1）是正方形 OAA1B 的两个顶点，以 OA1 对角线为边 作正方形 OA1A2B1，再以正方形的对角线 OA2 作正方形 OA1A2B1，依此规律，则点 A8 的坐标是（ ） A（8 ，0） B（0，8） C（0，8 ） D（0，16） 【考点】规律型：点的坐标 【分析】根据题意
19、和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转 45，边长都乘以 ，所 以可求出从 A 到 A3 的后变化的坐标，再求出 A1、A 2、A 3、A 4、A 5，得出 A8 即可 【解答】解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转 45，边长都乘以 ， 从 A 到 A3 经过了 3 次变化， 453=135，1（ ） 3=2 点 A3 所在的正方形的边长为 2 ，点 A3 位置在第四象限 点 A3 的坐标是（2，2）； 可得出：A 1 点坐标为（1，1 ）， A2 点坐标为（2，0）， A3 点坐标为（2，2）， A4 点坐标为（0，4），A 5 点坐标为（ 4，4）， A6（8， 0），A
20、 7（ 8，8），A 8（0，16）， 故选：D 【点评】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由 点坐标的规律发现每经过 8 次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形 的边长变为原来的 倍，此题难度较大 二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 2 分，共 12 分） 11若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x1 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可 【解答】解：式子 在实数范围内有意义， x1 0， 解得 x1 故答案为：x1 【点评】本题考查的是二次根式有意
21、义的条件，即被开方数大于等于 0 12甲、乙两名射击手的 50 次测试的平均成绩都是 8 环，方差分别是 S 甲 2=0.8，S 乙 2=0.3，则成绩比较稳定的是 乙 （填“甲” 或“乙”） 【考点】方差 【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案 【解答】解：甲、乙的平均成绩都是 8 环，方差分别是 S 甲 2=0.8，S 乙 2=0.3， S 甲 2S 乙 2， 成绩比较稳定的是乙； 故答案为：乙 【点评】本题考查了方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表 明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数 据分布比较集中，各数
22、据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定 13在平行四边形 ABCD 中，AC、BD 相交于点 O，点 E 是 AB 的中点，OE=4cm，则 AD 的长是 8 cm 【考点】平行四边形的性质 【分析】根据平行四边形的性质，可得出点 O 平分 BD，则 OE 是三角形 ABD 的中位线， 则 AD=2OE，继而求出答案 【解答】解：如图所示： 四边形 ABCD 为平行四边形， BO=DO， 点 E 是 AB 的中点， OE 为ABD 的中位线， AD=2OE， OE=4cm， AD=8cm 故答案为：8 【点评】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理；熟练掌握平行四边形的性 质，证明
23、OE 是三角形中位线是解决问题的关键 14直线 y=kx+b（k0）与 x 轴的交点坐标为（2，0），则关于 x 的不等式 kx+b0 的解 集是 x2 【考点】一次函数与一元一次不等式 【分析】根据一次函数的性质得出 y 随 x 的增大而增大，当 x2 时，y0，即可求出答 案 【解答】解：直线 y=kx+b（k0）与 x 轴的交点为（2，0）， y 随 x 的增大而增大， 当 x2 时，y0， 即 kx+b0 故答案为：x2 【点评】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和 掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键 15如图，矩形 ABCD 的对角线相交于
24、点 O，BD=6，AD=3 ，则AOD= 120 度 【考点】矩形的性质 【分析】由矩形的性质可推出ABC=90，由特殊角的锐角三角函数值可求出ACB=30 ， 根据矩形性质求出 OB=OC，求出OBC 和OCB 的度数，求出BOC ，即可求出 AOD 【解答】证明：四边形 ABCD 是矩形， ABC=90（矩形的四个角都是直角），BD=AC，AD=BC， 在 RtABC 中，BD=6，AD=3 ， cosACB= = ， ACB=30， 四边形 ABCD 是矩形， OB=OD= BD，OC=OA=AC，AC=BD ， BO=CO， OBC=OCB=30， OBC+OCB+BOC=180 ，
25、BOC=120， AOD=BOC=120， 故答案为：120 【点评】本题考查了等腰三角形性质，三角形的内角和定理，含 30 度角的直角三角形性质， 矩形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力 16一农民带上若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场 售出一些后，他想快点售完回家，于是降价出售，售出的土豆千克数 x 与他手中持有的钱 数（含备用零钱）y 的关系如图所示，请写出降价前 y 与 x 之间的关系式 y=0.5x+5（0x30） 【考点】一次函数的应用 【分析】由图象可知，在这位农民还有 30kg 土豆时开始降价，即应用待定系数法求出 0x30 时
26、的一次函数的关系式 【解答】设降价前 y 与 x 的关系式为：y=kx+b（0x30） 由图象可知，函数图象经过点（0，5）与点（30，20）， 所以有： 解之得： 所以，降价前 y 与 x 之间的关系式是：y=0.5x+5（0x30） 【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解函数图象的意义及图象上的点的 坐标与函数图象的关系 三、解答题（本题有 8 个小题，共 68 分） 17计算：（ 2 ） +4 【考点】二次根式的混合运算 【分析】根据二次根式的混合运算的计算方法可以解答本题 【解答】解：（ 2 ） +4 = =4 +4 =4 【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是明
27、确二次根式的混合运算的计算方 法 18如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别在 AB，CD 边上，连接 CE、AF，DF=BE，证 明四边形 AECF 是平行四边形 【考点】矩形的性质；平行四边形的判定 【分析】根据矩形的性质得出 DC=AB，DCAB ，求出 FC=AE，根据平行四边形的判定 得出即可 【解答】证明：四边形 ABCD 是矩形， DC=AB，DCAB， DF=BE， DCDF=ABBE， FC=AE， DCAB ，即 FCAE， 四边形 AECF 是平行四边形 【点评】本题考查了矩形的性质和平行四边形的判定的应用，能灵活运用定理进行推理是 解此题的关键 19为了倡导“节约
28、用水，从我做起”，南沙区政府决定对区直属机关 300 户家庭的用水情 况作一次调查，区政府调查小组随机抽查了其中 50 户家庭一年的月平均用水量（单位：吨） ，调查中发现每户用水量均在 1014 吨/ 月范围，并将调查结果制成了如图所示的条形统计 图 （1）请将条形统计图补充完整； （2）这 50 户家庭月用水量的平均数是 11.6 ，众数是 11 ，中位数是 11 ； （3）根据样本数据，估计南沙区直属机关 300 户家庭中月平均用水量不超过 12 吨的约有 多少户？ 【考点】条形统计图；用样本估计总体；加权平均数；中位数；众数 【分析】（1）利用总户数减去其他的即可得出答案，再补全即可；
29、（2）利用众数，中位数以及平均数的公式进行计算即可； （3）根据样本中不超过 12 吨的户数，再估计 300 户家庭中月平均用水量不超过 12 吨的户 数即可 【解答】解：（1）根据条形图可得出： 平均用水 11 吨的用户为：5010 5105=20（户）， 如图所示： （2）这 50 个样本数据的平均数是 11.6，众数是 11，中位数是 11； 故答案为；11.6，11，11； （3）样本中不超过 12 吨的有 10+20+5=35（户）， 广州市直机关 300 户家庭中月平均用水量不超过 12 吨的约有：300 =210（户） 【点评】本题考查了读统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；
30、利用统计图获取信息 时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题也考查了众数、 中位数的统计意义找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两 个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一 个 20已知直线 y1=2x+2 及直线 y2=x+5， （1）直线 y2=x+5 与 y 轴的交点坐标为 （0，5） （2）在所给的平面直角坐标系（如图）中画出这两条直线的图象； （3）求这两条直线以及 x 轴所围成的三角形面积 【考点】两条直线相交或平行问题 【分析】（1）令 x=0 求得 y 值后即可确定交点坐标； （2）利用描点法作出
31、函数的图象即可； （3）首先求得两直线的交点坐标，然后求得与两坐标轴的交点坐标，利用三角形的面积计 算公式进行计算即可 【解答】解：（1）在 y2=x+5 中，令 x=0，可得 y2=5， 直线 y2=x+5 与 y 轴的交点坐标为（0，5）， 故答案为：（0，5）； （2）在 y1=2x+2 中，令 x=0，可得 y1=2，令 y1=0，可得 x=1， 直线 y1 与 y 轴交于点 A（ 0，2），与 x 轴交于点 B（1，0）； 在 y2=x+5 中，令 y2=0，可求得 x=5， 直线 y2 与 x 轴交于点 C（ 5，0），且由（1）可知与 y 轴交于点 D（0，5）， 联立两直线解析
32、式可得 ， 解得 ， 两直线的交点 E（1，4）， 两直线的图象如图所示； （3）由（2）可知 BC=5（ 1）=6，（7 分） 且 E 到 BC 的距离为 4， S BCE= 64=12； 【点评】考查了两条直线平行或相交的问题，解题的关键是了解如何求得两个直线的交点 坐标，难度不大 21如图，在矩形纸片 ABCD 中，CD=12，BC=15 ，点 E 在 AB 上，将DAE 沿 DE 折叠， 使点 A 落在对角线 BD 上的点 A1 处，求 AE 的长度 【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质 【分析】由在矩形纸片 ABCD 中，CD=12，BC=15 ，利用勾股定理即可求得 BD 的长
33、，然 后由折叠的性质，可得 DA=DA1=BC=5，DA 1E=DAE=90 ，再设 AE=x，利用勾股定 理即可得方程：（12x） 2=x2+82，解此方程即可求得答案 【解答】解：在矩形纸片 ABCD 中，CD=12，BC=5 ， 由勾股定理求得：BD=13 ， 由折叠的性质可得：DA=DA 1=BC=5，DA 1E=DAE=90 ， 设 AE=x，则 A1E=x，BE=12 x，BA 1=135=8， 在 Rt EA1B 中，（ 12x） 2=x2+82， 解得：x= ， 即 AE 的长为 【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理注意掌握折叠前后图形的对 应关系，掌握方程思想
34、的应用是解此题的关键 22（10 分）（2016 春 南沙区期末）如图，已知函数 y=x+b 的图象与 x 轴、y 轴分别交 于点 A、B，与函数 y=2x 的图象交于点 M，点 M 的横坐标为 2，在 x 轴上有一点 P（a，0）（其中 a2），过点 P 作 x 轴的垂线，分别交函数 y=x+b 和 y=2x 的图象于点 C，D （1）求点 A 的坐标； （2）若 OB=CD，求 a 的值 【考点】两条直线相交或平行问题 【分析】（1）先求出点 M 坐标，再求出直线 AB 解析式，令 y=O，求出 x 的值，即可解 决问题 （2）根据 OB=CD，列出方程即可解决问题 【解答】解（1）点 M
35、 在直线 y=2x 的图象上，且点 M 的横坐标为 2， 点 M 的坐标为（2，4）， 把 M（2，4）代入 y=x+b 得2+b=4，解得 b=6， 一次函数的解析式为 y=x+6， 把 y=0 代入 y=x+6 得x+6=0，解得 x=6， A 点坐标为（6，0）； （2）把 x=0 代入 y=x+6 得 y=6， B 点坐标为（0，6）， CD=OB， CD=6， PC x 轴， C 点坐标为（a ，a+6），D 点坐标为（a，2a） CD=2a（a+6）=6 ， a=4 【点评】本题考查两直线平行或相交问题、一次函数、待定系数法等知识，解题的关键是 灵活应用这些知识解决问题，属于中考常
36、考题型 23（10 分）（2016 春 南沙区期末）已知：P 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一点， PEAB，PF BC，E、F 分别为垂足 （1）求证：DP=EF （2）试判断 DP 与 EF 的位置关系并说明理由 【考点】正方形的性质 【分析】（1）连结 PB，由正方形的性质得到 BC=DC，BCP=DCP，接下来证明 CBPCDP ，于是得到 DP=BP，然后证明四边形 BFPE 是矩形，由矩形的对角线相等可 得到 BP=EF，从而等量代换可证得问题的答案； （2）延长 DP 交 EF 于 G，延长 EP 交 CD 于 H，连接 PB由（1）可知CBP CDP ， 依据全等三角形对
37、应角相等可得到CDP=CBP，由四边形 EPFB 是矩形可证明 CBP= FEP，从而得到HDP=FEP，由DPH+PDH=90可证明EPG+PEG=90， 从而可得到问题答案 【解答】证明：（1）如图 1 所示：连结 PB 四边形 ABCD 是正方形， BC=DC，BCP=DCP=45 在CBP 和CDP 中， ， CBPCDP DP=BP PEAB ，PFBC ，B=90 四边形 BFPE 是矩形 BP=EF DP=EF （2）DPEF 理由：如图 2 所示：延长 DP 交 EF 于 G，延长 EP 交 CD 于 H，连接 PB CBPCDP， CDP=CBP 四边形 BFPE 是矩形，
38、CBP= FEP CDP=FEP 又EPG= DPH EGP=DHP PEAB ，ABDC PHDC 即 DHP=90 EGP=DHP=90 PGEF ，即 DPEF 【点评】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质和判定， 证得CDP=FEP 是解题的关键 24（12 分）（2016 春 南沙区期末）如图，直线 y=2x+2 交 y 轴于 A 点，交 x 轴于 C 点， 以 O，A，C 为顶点作矩形 OABC，将矩形 OABC 绕 O 点顺时针旋转 90，得到矩形 ODEF，直线 AC 交直线 DF 于 G 点 （1）求直线 DF 的解析式； （2）求证：GO 平分C
39、GD； （3）在角平分线 GO 上找一点 M，使以点 G、M、D 为顶点的三角形是等腰直角三角形， 求出 M 点坐标 【考点】一次函数综合题 【分析】（1）根据直线的解析式找出点 A、C 的坐标，再由旋转的特性找出点 D、F 的坐 标，结合点 D、F 的坐标利用待定系数法即可求出直线 DF 的解析式； （2）过点 O 作 OPAC 于点 P，作 OQDG 于点 Q，利用全等直角三角形的判定定理 HL 证出 RtOACRt ODF 和 RtOPG RtOQG，由此即可得出PGO=QGO，从 而证出 GO 平分CGD； （3）根据旋转的性质可得出 ACDF，结合（2）的结论即可得出OGD=45 ，
40、联立直线 AC、DF 的解析式成方程组，解方程组可得出点 G 的坐标，根据等腰直角三角形的性质可 分两种情况寻找点 M 的位置，再通过勾股定理解方程等即可得出结论 【解答】解：（1）直线 y=2x+2 交 y 轴于 A 点，交 x 轴于 C 点， A 点的坐标是（0，2），C 点的坐标是（1，0）， 将矩形 OABC 绕 O 点顺时针旋转 90，得到矩形 ODEF， F 点的坐标是（0，1），D 点的坐标是（2，0）， 设直线 DF 的解析式是 y=kx+1， 2k+1=0， 解得 k= ， 直线 DF 的解析式是：y= x+1 （2）过点 O 作 OPAC 于点 P，作 OQDG 于点 Q，
41、如图 1 所示 在 Rt OAC 和 RtODF 中， ， RtOACRtODF（HL）， 又OPAC ， OQDG ， OP=OQ， 在 Rt OPG 和 RtOQG 中， ， RtOPGRtOQG（HL）， PGO= QGO ， OG 平分CGD （3）矩形 OABC 绕 O 点顺时针旋转 90，得到矩形 ODEF， 对角线 ACDF ， GO 平分CGD， OGD=45 解 得： ， 即点 G（ ， ）， 直线 GO 为 y=3x D（2，0）， GD= = ，GO= = 以点 G、M、D 为顶点的三角形是等腰直角三角形分两种情况： 过 D 作 DM1GO 于点 M1，则GM 1D 是以
42、 GD 为斜边的等腰直角三角形，过 M1 作 M1HOD 于点 H，如图 2 所示 GD= ， GM 1=DM1= = GO= ， OM 1=GM1GO= = 设点 M1（x， 3x），在 Rt OM1H 中有 ， 即 x2+（3x） 2= ，解得： x= 或 x= （舍去） 点 M1（ ， ）； 过 D 作 DM2GD 交 GO 于 M2，则GM 2D 是以 GD 为直角边的等腰直角三角形，过 M2 作 M2IOD 于点 I，如图 3 所示 GD= ， GM 2= = ， GO= ， OM 2=GM2GO= = 设 M2（a，3a ），在 RtOM 2I 中有 ， 即 a2+（3a） 2= ，解得：a= 或 a= （舍去）， 点 M2（ ， ） 综上可得：使以点 G、M、D 为顶点的三角形是等腰直角三角形的 M 点的坐标为 （ ， ）和（ ， ） 【点评】本题考查了旋转的性质、待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定及性质、 等腰直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）证出 Rt OPGRtOQG；（3）分情况讨论点 M 的情况本题属于中档题，难度 不大，但解题过程稍显繁琐，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出点的坐标，再利用 待定系数法求出函数解析式是关键
