1、第 1 页（共 21 页） 2015-2016 学年山东省济宁市嘉祥县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1下列成语所描述的事件是必然发生的是（ ） A水中捞月 B拔苗助长 C守株待兔 D瓮中捉鳖 2已知 m 是方程 x2x1=0 的一个根，则代数式 m2 m 的值等于（ ） A1 B0 C1 D2 3如图，在ABC 中，DE BC，AD=6 ，DB=3 ，AE=4，则 EC 的长为（ ） A1 B2 C3 D4 4在下列命题中，正确的是（ ） A三点确定一个圆 B圆的内接等边三角形只有一个 C一个三角形有且只有一个外接圆 D一个四边形
2、一定有外接圆 5二次函数 y=x22x2 与坐标轴的交点个数是（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 6抛物线 y=（x2） 2+1 经过平移后与抛物线 y=（x+1） 22 重合，那么平移的方法 可以是（ ） A向左平移 3 个单位再向下平移 3 个单位 B向左平移 3 个单位再向上平移 3 个单位 C向右平移 3 个单位再向下平移 3 个单位 D向右平移 3 个单位再向上平移 3 个单位 7学校要组织足球比赛赛制为单循环形式（每两队之间赛一场） 计划安排 21 场比赛， 应邀请多少个球队参赛？设邀请 x 个球队参赛根据题意，下面所列方程正确的是（ ） Ax 2=21 B x（x1）
3、=21 C x2=21 Dx（x1）=21 8关于反比例函数 y= ，下列说法正确的是（ ） A图象过（1，2）点 B图象在第一、三象限 C当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 D当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 第 2 页（共 21 页） 9半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ） A1： ： B ： ：1 C3：2：1 D1：2：3 10二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，下列结论： （1）c0； （2）b0； （3）4a+2b+c0； （4） （a+c） 2 b2 其中不正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（共 5
4、 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 11已知则点 P（a，3）关于原点的对称点 P（2，b ） ，则 a+b 的值是 12如果函数 y=（k+1 ） 是反比例函数，那么 k= 13如图，在直角三角形 ABC 中（ C=90） ，放置边长分别 3，4，x 的三个正方形，则 x 的值为 14如图在正方形 ABCD 的边长为 3，以 A 为圆心，2 为半径作圆弧以 D 为圆心，3 为半径作圆弧若图中阴影部分的面积分为 S1、S 2则 S1S 2= 第 3 页（共 21 页） 15如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆” 已知点 A、B、C 、D 分别是“ 果圆”与坐标轴的
5、交点，抛物线的解析式为 y=x22x3，AB 为半圆 的直径，则这个“果圆” 被 y 轴截得的弦 CD 的长为 三、解答题（本大题 7 个小题，共 55 分） 16解方程：x 23x+1=0 17如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r=2cm，扇形的圆心角 =120，求该圆锥的高 h 的长 18如图所示的转盘，分成三个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止， 其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到一个数（指针指向两个扇形的交 线时，视为无效，重新转动一次转盘） ，此过程称为一次操作请用树状图或列表法，求事 件“两次操作，第一次操作得到
6、的数与第二次操作得到的数的绝对值相等” 发生的概率 19如图，O 的直径 AB=12cm，AM 和 BN 是它的两条切线，DE 切O 于 E，交 AM 于 D，BN 于 C，设 AD=x，BC=y，求 y 与 x 的函数关系式 第 4 页（共 21 页） 20如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出A 1B1C1 和 A2B2C2； （1）以 O 为位似中心，在点 O 的同侧作A 1B1C1，使得它与原三角形的位似比为 1：2； （2）将ABC 绕点 O 顺时针旋转 90得到A 2B2C2，并求出点 A 旋转的路径的长 21如图，在等边ABC 中，D 为 BC 边上一点
7、，E 为 AC 边上一点，且 ADE=60 （1）求证：ABD DCE； （2）若 BD=3，CE=2，求ABC 的边长 22已知反比例函数 y= （m 为常数）的图象在一，三象限 （1）求 m 的取值范围； （2）如图，若该反比例函数的图象经过ABOD 的顶点 D，点 A、B 的坐标分别为（0，4） ， （3，0） 求出函数解析式； 设点 P 是该反比例函数图象上的一点，若 OD=OP，则 P 点的坐标为 第 5 页（共 21 页） 23在平面直角坐标系 xOy 中，一块含 60角的三角板作如图摆放，斜边 AB 在 x 轴上， 直角顶点 C 在 y 轴正半轴上，已知点 A（1，0） （1）请
8、直接写出点 B、C 的坐标：B 、C ；并求经过 A、B、C 三点的抛物线解析式； （2）现有与上述三角板完全一样的三角板 DEF（其中EDF=90 ，DEF=60） ，把顶点 E 放在线段 AB 上（点 E 是不与 A、B 两点重合的动点） ，并使 ED 所在直线经过点 C此时， EF 所在直线与（1）中的抛物线交于点 M 设 AE=x，当 x 为何值时， OCEOBC； 在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点 P 使PEM 是等腰三角形？若存在， 请写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 第 6 页（共 21 页） 2015-2016 学年山东省济宁市嘉祥县九年级（上）期末 数学试卷
9、 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分） 1下列成语所描述的事件是必然发生的是（ ） A水中捞月 B拔苗助长 C守株待兔 D瓮中捉鳖 【考点】随机事件 【专题】转化思想 【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是 1 的事件 【解答】解：A，B 选项为不可能事件，故不符合题意； C 选项为可能性较小的事件，是随机事件； D 项瓮中捉鳖是必然发生的 故选：D 【点评】理解概念是解决这类基础题的主要方法 必然事件指在一定条件下，一定发生的事件； 不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件； 不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可
10、能不发生的事件 2已知 m 是方程 x2x1=0 的一个根，则代数式 m2 m 的值等于（ ） A1 B0 C1 D2 【考点】一元二次方程的解 【分析】将 x=m 代入方程即可求出所求式子的值 【解答】解：将 x=m 代入方程得： m2m1=0， m2m=1 故选：C 【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的 值 3如图，在ABC 中，DE BC，AD=6 ，DB=3 ，AE=4，则 EC 的长为（ ） A1 B2 C3 D4 【考点】平行线分线段成比例 【分析】根据平行线分线段成比例可得 ，代入计算即可解答 【解答】解：DEBC， ， 第 7 页（共
11、21 页） 即 ， 解得：EC=2， 故选：B 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解 题的关键 4在下列命题中，正确的是（ ） A三点确定一个圆 B圆的内接等边三角形只有一个 C一个三角形有且只有一个外接圆 D一个四边形一定有外接圆 【考点】命题与定理 【分析】利用确定圆的条件、圆内接三角形的定义、外接圆的定义分别判断后即可确定正 确的选项 【解答】解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误； B、圆内接等边三角形有无数个，故错误； C、一个三角形有且只有一个外接圆，正确； D、并不是所有的四边形一定有外接圆，故错误， 故选 C 【点评】本题考查了
12、命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、圆内接三角形 的定义、外接圆的定义等知识，难度不大 5二次函数 y=x22x2 与坐标轴的交点个数是（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【分析】先计算根的判别式的值，然后根据 b24ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数进行判 断 【解答】解：= （2） 241 （2）=12 0， 二次函数 y=x22x2 与 x 轴有 2 个交点，与 y 轴有一个交点 二次函数 y=x22x2 与坐标轴的交点个数是 3 个 故选 D 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点：求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c
13、 是常数， a0）与 x 轴的交点坐标，令 y=0，即 ax2+bx+c=0，解关于 x 的一元二次方程即可求得交点 横坐标二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a 0）的交点与一元二次方程 ax2+bx+c=0 根之间的关系：=b 24ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数；=b 24ac0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；=b 24ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；=b 24ac 0 时，抛物线与 x 轴没有交点 6抛物线 y=（x2） 2+1 经过平移后与抛物线 y=（x+1） 22 重合，那么平移的方法 可以是（ ） A向左平移 3 个单位再向下平移 3 个
14、单位 B向左平移 3 个单位再向上平移 3 个单位 C向右平移 3 个单位再向下平移 3 个单位 第 8 页（共 21 页） D向右平移 3 个单位再向上平移 3 个单位 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】根据平移前后的抛物线的顶点坐标确定平移方法即可得解 【解答】解：抛物线 y=（ x2） 2+1 的顶点坐标为（2，1） ，抛物线 y=（x+1） 22 的顶点坐标为（1，2） ， 顶点由（2，1）到（1，2）需要向左平移 3 个单位再向下平移 3 个单位 故选 A 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目，利用顶点的变化确定抛物线解 析式更简便 7学校要组织足球比赛赛制为单循
15、环形式（每两队之间赛一场） 计划安排 21 场比赛， 应邀请多少个球队参赛？设邀请 x 个球队参赛根据题意，下面所列方程正确的是（ ） Ax 2=21 B x（x1）=21 C x2=21 Dx（x1）=21 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场） ，x 个球队比赛总场数 = 即可列方程 【解答】解：设有 x 个队，每个队都要赛（x1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意 得： x（ x 1）=21， 故选：B 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到 总场数的等量关系 8关于反比例函数 y= ，下列说法正确的是
16、（ ） A图象过（1，2）点 B图象在第一、三象限 C当 x0 时，y 随 x 的增大而减小 D当 x0 时，y 随 x 的增大而增大 【考点】反比例函数的性质 【分析】反比例函数 y= （k0）的图象 k0 时位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；k0 时位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大；在不 同象限内，y 随 x 的增大而增大，根据这个性质选择则可 【解答】解：k= 20，所以函数图象位于二四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增 大，图象是轴对称图象，故 A、B、C 错误 故选 D 【点评】本题考查了反比例函数图象的性质：、当 k0 时，图
17、象分别位于第一、三象 限；当 k0 时，图象分别位于第二、四象限、当 k0 时，在同一个象限内，y 随 x 的增大而减小；当 k0 时，在同一个象限，y 随 x 的增大而增大注意反比例函数的图象 应分在同一象限和不在同一象限两种情况分析 第 9 页（共 21 页） 9半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ） A1： ： B ： ：1 C3：2：1 D1：2：3 【考点】正多边形和圆 【专题】压轴题 【分析】从中心向边作垂线，构建直角三角形，通过解直角三角形可得 【解答】解：设圆的半径是 r， 则多边形的半径是 r， 则内接正三角形的边长是 2rsin60= r， 内接正方
18、形的边长是 2rsin45= r， 正六边形的边长是 r， 因而半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为 ： ：1 故选 B 【点评】正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径， 边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形 10二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，下列结论： （1）c0； （2）b0； （3）4a+2b+c0； （4） （a+c） 2 b2 其中不正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】二次函数图象与系数的关系 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点得出 c 的值
19、，然后根 据图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【解答】解：抛物线的开口向上，则 a0； 对称轴为 x= =1，即 b=2a，故 b0，故（2）错误； 抛物线交 y 轴于负半轴，则 c0，故（1）正确； 把 x=2 代入 y=ax2+bx+c 得：y=4a+2b+c0，故（3）错误； 把 x=1 代入 y=ax2+bx+c 得：y=a+b+c0，把 x=1 代入 y=ax2+bx+c 得：y=ab+c0， 则（a+b+c） （a b+c）0，故（4）错误； 不正确的是（2） （3） （4） ； 故选 C 第 10 页（共 21 页） 【点评】本题考查二次函数图象与二次函数系数之
20、间的关系，二次函数与方程之间的转换， 根的判别式的熟练运用会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如： y=a+b+c，y=4a+2b+c，然后根据图象判断其值 二、填空题（共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分） 11已知则点 P（a，3）关于原点的对称点 P（2，b ） ，则 a+b 的值是 5 【考点】关于原点对称的点的坐标 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相 反可得 a、b 的值，进而得到答案 【解答】解：点 P（a，3）关于原点的对称点 P（2，b） ， a=2， b=3， a+b=5， 故答案为：5 【点评】此题主要关于原点对称的点的坐标
21、特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它 们的坐标符号相反 12如果函数 y=（k+1 ） 是反比例函数，那么 k= 1 【考点】反比例函数的定义 【专题】计算题 【分析】根据反比例函数的定义即 y= （k0） ，只需令 k22=1、k+10 即可 【解答】解：根据题意 k22=1，解得 k=1； 又 k+10，则 k1； 所以 k=1 故答案为：1 【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式 （k0）转化为 y=kx1 （k0）的形式 13如图，在直角三角形 ABC 中（ C=90） ，放置边长分别 3，4，x 的三个正方形，则 x 的值为 7 【考点】相似三角形的判定与性质；正方形
22、的性质 【分析】根据已知条件可以推出CEF OMEPFN 然后把它们的直角边用含 x 的表达 式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出 x 的值答题 【解答】解：如图在 RtABC 中C=90，放置边长分别 3，4，x 的三个正方形， CEFOMEPFN， OE：PN=OM：PF， 第 11 页（共 21 页） EF=x，MO=3，PN=4 ， OE=x3，PF=x4， （ x 3）：4=3：（x4） ， （ x 3） （x4）=12 ， x1=0（不符合题意，舍去） ， x2=7 故答案为：7 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解题的关键在于找到相 似三角形，用 x
23、的表达式表示出对应边 14如图在正方形 ABCD 的边长为 3，以 A 为圆心，2 为半径作圆弧以 D 为圆心，3 为半径作圆弧若图中阴影部分的面积分为 S1、S 2则 S1S 2= 9 【考点】整式的加减 【专题】几何图形问题 【分析】先求出正方形的面积，再根据扇形的面积公式求出以 A 为圆心，2 为半径作圆弧、 以 D 为圆心，3 为半径作圆弧的两扇形面积，再求出其差即可 【解答】解：S 正方形 =33=9， S 扇形 ADC= = ， S 扇形 EAF= =， S1 S2=S 扇形 EAF（S 正方形 S 扇形 ADC）=（9 ）= 9 故答案为： 9 第 12 页（共 21 页） 【点
24、评】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关 键 15如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆” 已知点 A、B、C 、D 分别是“ 果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为 y=x22x3，AB 为半圆 的直径，则这个“果圆” 被 y 轴截得的弦 CD 的长为 3+ 【考点】二次函数综合题 【分析】连接 AC，BC，有抛物线的解析式可求出 A，B，C 的坐标，进而求出 AO，BO，DO 的长，在直角三角形 ACB 中，利用射影定理可求出 CO 的长，进而可求出 CD 的长 【解答】解：连接 AC，BC， 抛物线的解析式为 y=x22x 3， 点
25、 D 的坐标为（0，3） ， OD 的长为 3， 设 y=0，则 0=x22x3， 解得：x=1 或 3， A（ 1，0） ， B（3，0） AO=1，BO=3， AB 为半圆的直径， ACB=90， COAB， CO2=AOBO=3， CO= ， CD=CO+OD=3+ ， 故答案为：3+ 第 13 页（共 21 页） 【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次 方程、圆周角定理、射影定理，读懂题目信息，理解“果圆 ”的定义是解题的关键 三、解答题（本大题 7 个小题，共 55 分） 16解方程：x 23x+1=0 【考点】解一元二次方程-公式法 【专题】
26、计算题 【分析】先观察再确定方法解方程，此题采用公式法求解即可 【解答】解：a=1，b= 3， c=1 b2 4ac=5 x= 故 ， 【点评】此题比较简单，考查了一元二次方程的解法，解题时注意选择适宜的解题方法 17如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径 r=2cm，扇形的圆心角 =120，求该圆锥的高 h 的长 【考点】圆锥的计算 【分析】根据题意，运用弧长公式求出 AB 的长度，即可解决问题 【解答】解：如图，由题意得： ，而 r=2， AB=6， 由勾股定理得： AO2=AB2OB 2，而 AB=6，OB=2， AO=4 即该圆锥的高为 4 第 14
27、页（共 21 页） 【点评】该题主要考查了圆锥的计算及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分 析、判断、推理或解答 18如图所示的转盘，分成三个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止， 其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到一个数（指针指向两个扇形的交 线时，视为无效，重新转动一次转盘） ，此过程称为一次操作请用树状图或列表法，求事 件“两次操作，第一次操作得到的数与第二次操作得到的数的绝对值相等” 发生的概率 【考点】列表法与树状图法 【分析】根据题意，用列表法列举出所有情况，看所求的情况与总情况的比值即可得答 案 【解答】解：画树状图如下： 所有可能出现的结果共
28、有 9 种，其中满足条件的结果有 5 种 所以 P（所指的两数的绝对值相等）= 【点评】考查了列表法与树状图法求概率的知识，树状图法适用于两步或两部以上完成的 事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 19如图，O 的直径 AB=12cm，AM 和 BN 是它的两条切线，DE 切O 于 E，交 AM 于 D，BN 于 C，设 AD=x，BC=y，求 y 与 x 的函数关系式 【考点】根据实际问题列反比例函数关系式；切线的性质 【分析】根据切线长定理得到 BF=AD=x，CE=CB=y，则 DC=DE+CE=x+y，在直角DFC 中根据勾股定理，就可以求出 y 与 x 的关系 【解答】
29、解：作 DFBN 交 BC 于 F； AM、BN 与O 切于点定 A、B ， ABAM，ABBN 又 DFBN， 第 15 页（共 21 页） BAD=ABC=BFD=90， 四边形 ABFD 是矩形， BF=AD=x，DF=AB=12， BC=y， FC=BCBF=yx； DE 切O 于 E， DE=DA=x CE=CB=y， 则 DC=DE+CE=x+y， 在 RtDFC 中， 由勾股定理得：（x+y） 2=（yx） 2+122， 整理为 ， y 与 x 的函数关系式是 【点评】本题主要考查了切线长定理梯形的面积可以通过作高线转化为直角三角形的问 题 20如图，在边长为 1 个单位长度的小
30、正方形组成的网格中，按要求画出A 1B1C1 和 A2B2C2； （1）以 O 为位似中心，在点 O 的同侧作A 1B1C1，使得它与原三角形的位似比为 1：2； （2）将ABC 绕点 O 顺时针旋转 90得到A 2B2C2，并求出点 A 旋转的路径的长 【考点】作图-位似变换；弧长的计算；作图 -旋转变换 【分析】 （1）连接 AO，CO，BO，找到 AO，CO，BO 的中点，顺次连接即可得出 A1B1C1； （2）将对应点 A，B，C 分别绕 O 顺时针旋转 90，找到对应点连接即可，再利用弧长公 式求出点 A 旋转的路径的长 【解答】解：（1）如图所示： 第 16 页（共 21 页） （
31、2）如图所示： ， 点 A 运动的路径为弧 的长= 【点评】此题考查了图形的位似变换以及旋转变换和弧长公式应用；掌握画图的方法和图 形的特点是关键；注意图形的变化应找到对应点或对应线段的变化是解题关键 21如图，在等边ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，且 ADE=60 （1）求证：ABD DCE； （2）若 BD=3，CE=2，求ABC 的边长 【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质 【分析】 （1）由ADE=60，可证得 ABDDCE； （2）可用等边三角形的边长表示出 DC 的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得 ABC 的边长 【解答】 （1）证
32、明：ABC 是等边三角形， B=C=60， BAD+ADB=120 ADE=60， ADB+EDC=120， DAB=EDC， 又B=C=60 ， ABDDCE； （2）解：ABDDCE， ， BD=3，CE=2， 第 17 页（共 21 页） ； 解得 AB=9 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得 ABDDCE 是解答此题的关键 22已知反比例函数 y= （m 为常数）的图象在一，三象限 （1）求 m 的取值范围； （2）如图，若该反比例函数的图象经过ABOD 的顶点 D，点 A、B 的坐标分别为（0，4） ， （3，0） 求出函数解析式； 设点 P 是
33、该反比例函数图象上的一点，若 OD=OP，则 P 点的坐标为 （4，3） ， （3，4） ， （4，3） 【考点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质 【分析】 （1）根据反比例函数的性质得 12m 0，然后解不等式即可； （2）根据平行四边形的性质得 ADOB，AD=OB，则可确定 D（2，3） ，然后根据反比 例函数图象上点的坐标特征求出 k，从而得到解析式； 利用反比例函数关于原点和直线 y=x 对称的性质去确定 P 点坐标 【解答】解：（1）根据题意得 12m 0， 解得 m ； （2）四边形 ABOD 为平行四边形， ADOB，AD=OB， 而点 A，B
34、的坐标分别为（0，4） ， （3，0） ， D（ 3， 4） ； 把 D（3，4）代入 y= 得 k=43=12， 反比例函数解析式为 y= ， 反比例函 y= 的图象关于原点对称， 而 OD=OP 时， 点 D 关于原点对称的点为 P 点，此时 P（3，4） ， 第 18 页（共 21 页） 反比例函 y= 的图象关于直线 y=x 对称， 点 D 关于直线 y=x 对称的点为 P 点，此时 P（4，3） ， 同样求出点（4，3）关于原点的对称点（4，3）也满足要求， P 点坐标为（4，3） ， （3， 4） ， （4，3） 故答案为（4，3） ， （3，4） ， （4，3） 【点评】本题考查
35、了反比例函数的性质：反比例函数 y= （k0）的图象是双曲线；当 k0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小；当 k0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大也考 查了平行四边形的性质 23在平面直角坐标系 xOy 中，一块含 60角的三角板作如图摆放，斜边 AB 在 x 轴上， 直角顶点 C 在 y 轴正半轴上，已知点 A（1，0） （1）请直接写出点 B、C 的坐标：B （3，0） 、C （0， ） ；并求经过 A、B、C 三点的抛物线解析式； （2）现有与上述三角板完全一样的三角板 DEF（其中EDF=90 ，DE
36、F=60） ，把顶点 E 放在线段 AB 上（点 E 是不与 A、B 两点重合的动点） ，并使 ED 所在直线经过点 C此时， EF 所在直线与（1）中的抛物线交于点 M 设 AE=x，当 x 为何值时， OCEOBC； 在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点 P 使PEM 是等腰三角形？若存在， 请写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】二次函数综合题 【专题】代数几何综合题；压轴题 【分析】 （1）利用解直角三角形求出 OC 的长度，再求出 OB 的长度，从而可得点 B、C 的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答； （2）根据相似三角形对应边成比例列式求出 OE 的长
37、度，再根据点 A 的坐标求出 AO 的长度，相加即可得到 AE 的长度，即 x 的值； 根据确定点 E 在对称轴上，然后求出FEB=60，根据同位角相等两直线平行求出 EFAC，再求出直线 EF 的解析式，与抛物线解析式联立求出点 M 的坐标，再利用两点间 的距离公式求出 EM 的长度，再分 PE=EM，PE=PM，PM=EM 三种情况分别求解 【解答】解：（1）点 A（ 1，0） ， OA=1， 由图可知，BAC 是三角板的 60角，ABC 是 30角， 所以，OC=OA tan60=1 = ， 第 19 页（共 21 页） OB=OCcot30= =3， 所以，点 B（3，0） ，C（0，
38、 ） ， 设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c， 则 ， 解得 ， 所以，抛物线的解析式为 y= x2+ x+ ； （2）OCE OBC， = ， 即 = ， 解得 OE=1， 所以，AE=OA+OE=1+1=2， 即 x=2 时，OCE OBC； 存在理由如下： 抛物线的对称轴为 x= = =1， 所以，点 E 为抛物线的对称轴与 x 轴的交点， OA=OE，OCx 轴， BAC=60， ACE 是等边三角形， AEC=60， 又DEF=60 ， FEB=60， BAC=FEB， EFAC， 由 A（1，0） ，C（0， ）可得直线 AC 的解析式为 y= x+ ， 点 E（1，0） ，
39、直线 EF 的解析式为 y= x ， 联立 ， 第 20 页（共 21 页） 解得 ， ， 点 M 的坐标为（ 2， ） ，或（3，4 ） （舍去） ， EM= =2， 分三种情况讨论PEM 是等腰三角形， 当 PE=EM 时，PE=2 ， 所以，点 P 的坐标为（1，2）或（1，2） ， 当 PE=PM 时，FEB=60， PEF=9060=30， PE= EMcos30= 2 = ， 所以，点 P 的坐标为（1， ） ， 当 PM=EM 时，PE=2EM cos30=22 =2 ， 所以，点 P 的坐标为（1，2 ） ， 综上所述，抛物线对称轴上存在点 P（1，2）或（1，2）或（1， ）或（1，2 ） ， 使PEM 是等腰三角形 【点评】本题是对二次函数的综合考查，主要涉及直角三角形的性质，待定系数法求二次 函数解析式，相似三角形对应边成比例的性质，等腰三角形的性质， （2）要根据等腰三 角形腰的不同进行分情况讨论，根据题目图形，点 M 在 x 轴下方的情况可以舍去不予考 虑 第 21 页（共 21 页） 2016 年 2 月 26 日
