1、安徽省合肥市瑶海区 2016 届九年级上学期期末数学试卷 一选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）每小题都给出 A、B、C、D 四个选项， 其中只有一个是正确的，请把正确选项写在题后的表格中，不选、错选或多选的，一律得 0 分 1若 = ，则 的值为（ ） A1 B C D 2在 RtABC 中， C=90， A、 B、 C 所对的边分别为 a、b、c，下列等式中不一定成立的是 （ ） Ab=atanB Ba=ccosB C Da=bcosA 3如图，O 是ABC 的外接圆，连接 OA、OB，OBA=50，则 C 的度数为（ ） A30 B40 C50 D80 4如图，
2、点 P 在 ABC 的边 AC 上，要判断ABPACB，添加一个条件，不正确的是（ ） AABP=C BAPB=ABC C = D = 5如图，先锋村准备在坡角为 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 5 米，那么这两 树在坡面上的距离 AB 为（ ） A5cos B C5sin D 6某同学在用描点法画二次函数 y=ax2+bx+c 的图象时，列出了下面的表格： x 2 1 0 1 2 y 11 2 1 2 5 由于粗心，他算错了其中一个 y 值，则这个错误的数值是（ ） A11 B2 C1 D5 7如图，已知O 的半径为 5，点 O 到弦 AB 的距离为 3，则O 上到弦 AB 所在
3、直线的距离为 2 的点有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 8若等腰直角三角形的外接圆半径的长为 2，则其内切圆半径的长为（ ） A B2 2 C2 D 2 9如图，在ABCD 中，E 为 CD 上一点，连接 AE、BD，且 AE、BD 交于点 F，若 EF：AF=2：5，则 SDEF：S 四边形 EFBC 为（ ） A2：5 B4：25 C4： 31 D4：35 10如图，等腰 RtABC（ACB=90）的直角边与正方形 DEFG 的边长均为 2，且 AC 与 DE 在同 一直线上，开始时点 C 与点 D 重合，让ABC 沿这条直线向右平移，直到点 A 与点 E 重合为 止设 C
4、D 的长为 x，ABC 与正方形 DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为 y，则 y 与 x 之 间的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11抛物线 y=x24x+m 与 x 轴的一个交点的坐标为（1，0） ，则此抛物线与 x 轴的另一个交点的坐 标是 12如图，点 A 是反比例函数 y= 图象上的一个动点，过点 A 作 ABx 轴，ACy 轴，垂足点分 别为 B、C ，矩形 ABOC 的面积为 4，则 k= 13已知ABC 的边 BC=4cm，O 是其外接圆，且半径也为 4cm，则A 的度数是 14如图，AB 是 O
5、 的直径，P 为 AB 延长线上的一个动点，过点 P 作O 的切线，切点为 C， 连接 AC，BC，作 APC 的平分线交 AC 于点 D 下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号） CPDDPA； 若 A=30，则 PC= BC； 若 CPA=30，则 PB=OB； 无论点 P 在 AB 延长线上的位置如何变化，CDP 为定值 三 （本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 15计算：4sin60+tan45 16已知二次函数 y=ax2+4x+2 的图象经过点 A（3，4） （1）求 a 的值； （2）求此函数图象抛物线的顶点坐标； （3）直接写出函数 y 随自变量增大而减小
6、的 x 的取值范围 四、 （本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 17如图，在 64 的正方形方格中， ABC 的顶点 A、B、C 在单位正方形的格点上请按要求画 图： （1）以点 B 为位似中心，在方格内将 ABC 放大为原来的 2 倍，得到EBD，且点 D、E 都在单 位正方形的顶点上 （2）在方格中作一个FGH，使FGH ABC，且相似比为 ，点 F、G、H 都在单位正方形 的顶点上 18如图，MN 经过ABC 的顶点 A，MN BC，AM=AN，MC 交 AB 于 D （1）求证：ADEABC； （2）连结 DE，如果 DE=1， BC=3，求 MN 的长 五、 （本大
7、题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19如图，已知点 I 是ABC 的内心，AI 交 BC 于 D，交外接圆 O 于 E，求证： （1）IE=EC； （2）IE 2=EDEA 20为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌， 在两侧加固钢缆，已知钢缆底端 D 距广告牌立柱距离 CD 为 3 米，从 D 点测得广告牌顶端 A 点和 底端 B 点的仰角分别是 60和 45 （1）求公益广告牌的高度 AB； （2）求加固钢缆 AD 和 BD 的长 （注意：本题中的计算过程和结果均保留根号） 六、 （本题满分 12 分） 21如图，在平面直角坐标
8、系 xOy 中，一次函数 y1=ax+b（a，b 为常数，且 a0）与反比例函数 y2= （m 为常数，且 m0）的图象交于点 A（2，1） 、B（1，n） （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连结 OA、OB，求AOB 的面积； （3）直接写出当 y1y 20 时，自变量 x 的取值范围 七、 （本题满分 12 分） 22对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺 相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似例如，如图 ，ABCABC，且沿周界 ABCA 与 ABCA环绕的方向相同，因此ACB 和A BC互为顺 相
9、似；如图，ABC ABC，且沿周界 ABCA 与 ABCA环绕的方向相反，因此ACB 和 ABC互为逆相似 （1）根据图，图和图满足的条件可得下列三对相似三角形：ADE 与ABC； GHO 与KFO；NQP 与 NMQ；其中，互为顺相似的是 ；互为逆相似的是 （填写所有符合要求的序号） （2）如图，在锐角ABC 中， ABC，点 P 在 ABC 的边 AB 上（不与点 A，B 重合） 过点 P 画直线截 ABC，使截得的一个三角形与ABC 互为逆相似请根据点 P 的不同位置，探 索过点 P 的截线的情形，请在备用图中画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由 八、 （本题满分 14 分） 23
10、某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算 1 次在 112 月 份中，公司前 x 个月累计获得的总利润 y（万元）与销售时间 x（月）之间满足二次函数关系式 y=a（x h） 2+k，二次函数 y=a（x h） 2+k 的一部分图象如图所示，点 A 为抛物线的顶点，且点 A、B、C 的横坐标分别为 4、 10、12，点 A、B 的纵坐标分别为 16、20 （1）试确定函数关系式 y=a（xh） 2+k； （2）分别求出前 9 个月公司累计获得的利润以及 10 月份一个月内所获得的利润； （3）在前 12 个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元
11、？ 安徽省合肥市瑶海区 2016 届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）每小题都给出 A、B、C、D 四个选项， 其中只有一个是正确的，请把正确选项写在题后的表格中，不选、错选或多选的，一律得 0 分 1若 = ，则 的值为（ ） A1 B C D 【考点】比例的性质 【专题】计算题 【分析】根据合分比性质求解 【解答】解： = ， = = 故选 D 【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分 比性质；等比性质 2在 RtABC 中， C=90， A、 B、 C 所对的边分别为
12、 a、b、c，下列等式中不一定成立的是 （ ） Ab=atanB Ba=ccosB C Da=bcosA 【考点】锐角三角函数的定义 【专题】应用题 【分析】根据三角函数的定义就可以解决 【解答】解：C=90 ， A、B、C 所对的边分别为 a、b、c， A、 tanB= ，则 b=atanB，故本选项正确， B、cosB= ，故本选项正确， C、sinA= ，故本选项正确， D、cosA= ，故本选项错误， 故选 D 【点评】此题考查直角三角形中两锐角的三角函数之间的关系，难度适中 3如图，O 是ABC 的外接圆，连接 OA、OB，OBA=50，则 C 的度数为（ ） A30 B40 C50
13、 D80 【考点】圆周角定理 【专题】几何图形问题 【分析】根据三角形的内角和定理求得AOB 的度数，再进一步根据圆周角定理求解 【解答】解：OA=OB， OBA=50， OAB=OBA=50， AOB=180502=80， C= AOB=40 故选：B 【点评】此题综合运用了三角形的内角和定理以及圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半 4如图，点 P 在 ABC 的边 AC 上，要判断ABPACB，添加一个条件，不正确的是（ ） AABP=C BAPB=ABC C = D = 【考点】相似三角形的判定 【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可 【解答】解：A、当ABP
14、=C 时，又A= A，ABP ACB，故此选项错误； B、当APB= ABC 时，又A=A，ABPACB，故此选项错误； C、当 = 时，又A= A，ABPACB，故此选项错误； D、无法得到ABPACB ，故此选项正确 故选：D 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键 5如图，先锋村准备在坡角为 的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为 5 米，那么这两 树在坡面上的距离 AB 为（ ） A5cos B C5sin D 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【专题】压轴题 【分析】利用所给的角的余弦值求解即可 【解答】解：BC=5 米，CBA= AB= =
15、故选：B 【点评】此题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用 6某同学在用描点法画二次函数 y=ax2+bx+c 的图象时，列出了下面的表格： x 2 1 0 1 2 y 11 2 1 2 5 由于粗心，他算错了其中一个 y 值，则这个错误的数值是（ ） A11 B2 C1 D5 【考点】二次函数的图象 【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案 【解答】解：由函数图象关于对称轴对称，得 （1 ， 2） ， （0， 1） ， （1，2）在函数图象上， 把（1， 2） ， （ 0，1） ， （1，2）代入函数解析式，得 ， 解得 ， 函数解析式为 y=3x2+1 x=2 时 y=
16、11， 故选：D 【点评】本题考查了二次函数图象，利用函数图象关于对称轴对称是解题关键 7如图，已知O 的半径为 5，点 O 到弦 AB 的距离为 3，则O 上到弦 AB 所在直线的距离为 2 的点有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】根据垂径定理计算 【解答】解：如图 OD=OA=OB=5，OEAB，OE=3， DE=ODOE=53=2cm， 点 D 是圆上到 AB 距离为 2cm 的点， OE=3cm2cm， 在 OD 上截取 OH=1cm， 过点 H 作 GFAB，交圆于点 G，F 两点， 则有 HEAB，HE=OEOH=2cm ， 即 G
17、F 到 AB 的距离为 2cm， 点 G， F 也是圆上到 AB 距离为 2cm 的点 故选 C 【点评】本题利用了垂径定理求解，注意圆上的点到 AB 距离为 2cm 的点不唯一，有三个 8若等腰直角三角形的外接圆半径的长为 2，则其内切圆半径的长为（ ） A B2 2 C2 D 2 【考点】三角形的内切圆与内心；等腰三角形的性质；三角形的外接圆与外心 【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而 可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长 【解答】解：等腰直角三角形外接圆半径为 2， 此直角三角形的斜边长为 4，两条直角
18、边分别为 2 ， 它的内切圆半径为：R= （2 +2 4）=2 2 故选 B 【点评】本题考查了三角形的外接圆和三角形的内切圆，等腰直角三角形的性质，要注意直角三角 形内切圆半径与外接圆半径的区别：直角三角形的内切圆半径：r= （a+bc） ；（a、b 为直角边，c 为斜边）直角三角形的外接圆半径：R= c 9如图，在ABCD 中，E 为 CD 上一点，连接 AE、BD，且 AE、BD 交于点 F，若 EF：AF=2：5，则 SDEF：S 四边形 EFBC 为（ ） A2：5 B4：25 C4： 31 D4：35 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 【分析】由平行四边形的性质可证
19、明DEF BAF，可求得 DEF 和AFE、ABF 的面积之间的 关系，从而可求得DEF 和BCD 的面积之间的关系，可求得答案 【解答】解：四边形 ABCD 为平行四边形， CDAB， DEFBAF， = = ， =（ ） 2= ， = = 设 SDEF=S，则 SABF= S，S ADF= S， SABD=SADF+SABF= S+ S= S， 四边形 ABCD 为平行四边形， SABD=SDBC= S， S 四边形 EFBC=SBDCSDEF= SS= S， SDEF：S 四边形 EFBC=4：31 故选 C 【点评】本题主要考查平行四边形和相似三角形的性质，根据条件找到DEF 和 DB
20、C 的关系是解 题的关键 10如图，等腰 RtABC（ACB=90）的直角边与正方形 DEFG 的边长均为 2，且 AC 与 DE 在同 一直线上，开始时点 C 与点 D 重合，让ABC 沿这条直线向右平移，直到点 A 与点 E 重合为 止设 CD 的长为 x，ABC 与正方形 DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为 y，则 y 与 x 之 间的函数关系的图象大致是（ ） A B C D 【考点】动点问题的函数图象 【专题】几何图形问题；压轴题 【分析】此题可分为两段求解，即 C 从 D 点运动到 E 点和 A 从 D 点运动到 E 点，列出面积随动点 变化的函数关系式即可 【解答】解：设
21、 CD 的长为 x，ABC 与正方形 DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为 y 当 C 从 D 点运动到 E 点时，即 0x2 时，y= = 当 A 从 D 点运动到 E 点时，即 2x4 时，y= = y 与 x 之间的函数关系 由函数关系式可看出 A 中的函数图象与所求的分段函数对应 故选：A 【点评】本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的 取值范围 二填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11抛物线 y=x24x+m 与 x 轴的一个交点的坐标为（1，0） ，则此抛物线与 x 轴的另一个交点的坐 标是 （3，0） 【考
22、点】抛物线与 x 轴的交点 【专题】方程思想 【分析】把交点坐标代入抛物线解析式求 m 的值，再令 y=0 解一元二次方程求另一交点的横坐 标 【解答】解：把点（1，0）代入抛物线 y=x24x+m 中，得 m=3， 所以，原方程为 y=x24x+3， 令 y=0，解方程 x24x+3=0，得 x1=1，x 2=3， 抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是（3，0） 故答案为：（3，0） 【点评】本题考查了点的坐标与抛物线解析式的关系，抛物线与 x 轴交点坐标的求法本题也可以 用根与系数关系直接求解 12如图，点 A 是反比例函数 y= 图象上的一个动点，过点 A 作 ABx 轴，ACy 轴，垂
23、足点分 别为 B、C ，矩形 ABOC 的面积为 4，则 k= 4 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义 【分析】由于点 A 是反比例函数 y= 上一点，矩形 ABOC 的面积 S=|k|=4，则 k 的值即可求出 【解答】解：由题意得：S 矩形 ABOC=|k|=4，又双曲线位于第二、四象限，则 k=4， 故答案为：4 【点评】本题主要考查了反比例函数 y= 中 k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引 x 轴、y 轴垂 线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点 13已知ABC 的边 BC=4cm，O 是其外接圆，且半径也为 4cm，则A 的度数是 30 或 150 【考点】三角形的
24、外接圆与外心；等边三角形的判定与性质；圆周角定理 【专题】压轴题 【分析】利用等边三角形的判定与性质得出BOC=60，再利用圆周角定理得出答案 【解答】解：如图：连接 BO，CO， ABC 的边 BC=4cm， O 是其外接圆，且半径也为 4cm， OBC 是等边三角形， BOC=60， A=30 若点 A 在劣弧 BC 上时，A=150 A=30或 150 故答案为：30或 150 【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心以及等边三角形的判定与性质和圆周角定理等知识， 得出OBC 是等边三角形是解题关键 14如图，AB 是 O 的直径，P 为 AB 延长线上的一个动点，过点 P 作O 的切
25、线，切点为 C， 连接 AC，BC，作 APC 的平分线交 AC 于点 D 下列结论正确的是 （写出所有正确结论的序号） CPDDPA； 若 A=30，则 PC= BC； 若 CPA=30，则 PB=OB； 无论点 P 在 AB 延长线上的位置如何变化，CDP 为定值 【考点】切线的性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形的外角性质；相似三角形的判定与性 质 【专题】几何综合题 【分析】只有一组对应边相等，所以错误； 根据切线的性质可得PCB= A=30，在直角三角形 ABC 中 ABC=60得出 OB=BC， BPC=30， 解直角三角形可得 PB= OC= BC； 根据切线的性质和三角形的
26、外角的性质即可求得A=PCB=30 ，ABC=60 ，进而求得 PB=BC=OB； 连接 OC，根据题意，可知 OCPC，CPD+ DPA+A+ACO=90，可推出 DPA+A=45，即 CDP=45 【解答】解：CPD=DPA，CDP= DAP+DPADAPPDA， CPDDPA 错误； 连接 OC， AB 是直径， A=30 ABC=60， OB=OC=BC， PC 是切线， PCB=A=30，OCP=90， APC=30， 在 RTPOC 中，cot APC=cot30= = ， PC= BC，正确； ABC=APC+PCB，PCB=A， ABC=APC+A， ABC+A=90， APC
27、+2A=90， APC=30， A=PCB=30， PB=BC，ABC=60 ， OB=BC=OC， PB=OB；正确； 解：如图，连接 OC， OC=OA，PD 平分APC ， CPD=DPA， A=ACO， PC 为O 的切线， OCPC， CPO+COP=90， （ CPD+DPA）+（A+ACO）=90， DPA+A=45， 即CDP=45 ；正确； 故答案为：； 【点评】本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关 键在于作好辅助线构建直角三角形和等腰三角形 三 （本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 15计算：4sin60+tan4
28、5 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可 【解答】解：原式=4 +12 =1 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键 16已知二次函数 y=ax2+4x+2 的图象经过点 A（3，4） （1）求 a 的值； （2）求此函数图象抛物线的顶点坐标； （3）直接写出函数 y 随自变量增大而减小的 x 的取值范围 【考点】二次函数的性质 【分析】 （1）将点 A（3，4）代入 y=ax2+4x+2，即可求出 a 的值； （2）利用配方法将一般式化为顶点式，即可求出此函数图象抛物线的顶点坐标； （3）根据二次函数的增减
29、性即可求解 【解答】解：（1）二次函数 y=ax2+4x+2 的图象经过点 A（3，4） ， 9a+12+2=4， a=2； （2）y= 2x2+4x+2=2（x1） 2+4， 顶点坐标为（1，4） ； （3）y= 2x2+4x+2 中，a=20， 抛物线开口向下，对称轴为直线 x=1， 当 x 1 时，函数 y 随自变量增大而减小 【点评】本题考查了二次函数的性质二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的顶点坐标是（ ， ） ，对称轴直线 x= ，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象具有如下性质： 当 a0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的开口向上， x 时，y 随 x 的增
30、大而减小；x 时， y 随 x 的增大而增大；x= 时，y 取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点 当 a0 时，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的开口向下， x 时，y 随 x 的增大而增大；x 时， y 随 x 的增大而减小；x= 时，y 取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点 四、 （本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 17如图，在 64 的正方形方格中， ABC 的顶点 A、B、C 在单位正方形的格点上请按要求画 图： （1）以点 B 为位似中心，在方格内将 ABC 放大为原来的 2 倍，得到EBD，且点 D、E 都在单 位正方形的顶点上 （2）在方格中作一个FGH，
31、使FGH ABC，且相似比为 ，点 F、G、H 都在单位正方形 的顶点上 【考点】作图-位似变换；作图 相似变换 【分析】 （1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用相似三角形的性质得出各边长度进而得出答案 【解答】解：（1）如图所示：EBD 即为所求； （2）如图所示：FGH 即为所求 【点评】此题主要考查了位似变换和相似变换，根据题意得出对应边的长度是解题关键 18如图，MN 经过ABC 的顶点 A，MN BC，AM=AN，MC 交 AB 于 D （1）求证：ADEABC； （2）连结 DE，如果 DE=1， BC=3，求 MN 的长 【考点】相似三角形的判定
32、与性质 【分析】 （1）根据 MNBC，得到 ， ，等量代换得到 ，根据相似三角形的判定 即可得到结论； （2）根据 ，得到 DEBC，根据平行线分线段成比例定理得到 ，于是推出 ， 即 ，即可得到结论 【解答】 （1）证明：MN BC， ， ， 又 AM=AN， ， ADEABC； （2）解： ， DEBC， ， ，即 ， AM= BC= ， MN=2AM=3 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定 和性质是解题的关键 五、 （本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19如图，已知点 I 是ABC 的内心，AI 交 BC 于 D
33、，交外接圆 O 于 E，求证： （1）IE=EC； （2）IE 2=EDEA 【考点】三角形的内切圆与内心 【分析】 （1）由内心的性质可知；ACI= BCI， BAE=CAE，由圆周角定理可知BCE= BAE， 从而得到CAE+ACI= ICB+BCE，从而得到EIC= ICE，于是得到 IE=EC； （2）先证明 DCECAE，从而可得到 CE2=DEEA，由 IE=EC 从而得到 IE2=DEEA 【解答】解：（1）如图所示；连接 IC 点 I 是ABC 的内心， ACI=BCI，BAE=CAE 又BAE=BCE， CAE=BCE CAE+ACI=ICB+BCE EIC=ICE IE=E
34、C （2）由（1）可知：CAE= BCE 又AEC=DEC， DCECAE CE2=DEEA IE=EC， IE2=DEEA 【点评】本题主要考查的是三角形的内切圆、相似三角形的性质和判定、圆周角定理，明确三角形 的内心是三角形内角平分线的交点是解题的关键 20为了弘扬“社会主义核心价值观”，市政府在广场树立公益广告牌，如图所示，为固定广告牌， 在两侧加固钢缆，已知钢缆底端 D 距广告牌立柱距离 CD 为 3 米，从 D 点测得广告牌顶端 A 点和 底端 B 点的仰角分别是 60和 45 （1）求公益广告牌的高度 AB； （2）求加固钢缆 AD 和 BD 的长 （注意：本题中的计算过程和结果均
35、保留根号） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】 （1）根据已知和 tanADC= ，求出 AC，根据 BDC=45，求出 BC，根据 AB=ACBC 求 出 AB； （2）根据 cosADC= ，求出 AD，根据 cosBDC= ，求出 BD 【解答】解：（1）在 RtADC 中， ADC=60，CD=3， tanADC= ， AC=3tan60=3 ， 在 RtBDC 中，BDC=45， BC=CD=3， AB=ACBC=（ 3 3）米 （2）在 RtADC 中，cosADC= ， AD= = =6 米， 在 RtBDC 中，cosBDC= ， BD= = =3 米 【点评】
36、本题考查的是解直角三角形的知识，掌握仰角的概念和锐角三角函数的概念是解题的关 键 六、 （本题满分 12 分） 21如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y1=ax+b（a，b 为常数，且 a0）与反比例函数 y2= （m 为常数，且 m0）的图象交于点 A（2，1） 、B（1，n） （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连结 OA、OB，求AOB 的面积； （3）直接写出当 y1y 20 时，自变量 x 的取值范围 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 （1）将 A 坐标代入反比例函数解析式中求出 m 的值，即可确定出反比例函数解析式；将 B 坐标代入反比例解析式
37、中求出 n 的值，确定出 B 坐标，将 A 与 B 坐标代入一次函数解析式中求 出 a 与 b 的值，即可确定出一次函数解析式； （2）设直线 AB 与 y 轴交于点 C，求得点 C 坐标，S AOB=SAOC+SCOB，计算即可； （3）由图象直接可得自变量 x 的取值范围 【解答】解：（1）A（ 2， 1） ， 将 A 坐标代入反比例函数解析式 y2= 中，得 m=2， 反比例函数解析式为 y= ； 将 B 坐标代入 y= ，得 n=2， B 坐标（1，2） ， 将 A 与 B 坐标代入一次函数解析式中，得 ， 解得 a=1，b=1， 一次函数解析式为 y1=x1； （2）设直线 AB 与
38、 y 轴交于点 C， 令 x=0，得 y=1， 点 C 坐标（0，1） ， SAOB=SAOC+SCOB= 12+ 11= ； （3）由图象可得，当 y1y 20 时，自变量 x 的取值范围 x1 【点评】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式， 三角形面积的求法，坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关 键 七、 （本题满分 12 分） 22对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺 相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似例如，如图 ，ABCABC，且沿
39、周界 ABCA 与 ABCA环绕的方向相同，因此ACB 和A BC互为顺 相似；如图，ABC ABC，且沿周界 ABCA 与 ABCA环绕的方向相反，因此ACB 和 ABC互为逆相似 （1）根据图，图和图满足的条件可得下列三对相似三角形：ADE 与ABC； GHO 与KFO；NQP 与 NMQ；其中，互为顺相似的是 ；互为逆相似的是 （填写所有符合要求的序号） （2）如图，在锐角ABC 中， ABC，点 P 在 ABC 的边 AB 上（不与点 A，B 重合） 过点 P 画直线截 ABC，使截得的一个三角形与ABC 互为逆相似请根据点 P 的不同位置，探 索过点 P 的截线的情形，请在备用图中画
40、出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由 【考点】相似形综合题 【分析】 （1）根据互为顺相似和互为逆相似的定义即可作出判断； （2）根据点 P 在 ABC 边上的位置分为三种情况，需要分类讨论，逐一分析求解即可 【解答】解：（1）互为顺相似的是 ；互为逆相似的是 ； 故答案为：，； （2）根据点 P 在 ABC 边上的位置分为以下三种情况： 第一种情况：如图，点 P 在 BC（不含点 B、C）上，过点 P 只能画出 2 条截线 PQ1、PQ 2，分别 使CPQ 1=A，BPQ 2=A，此时PQ 1C、 PBQ2 都与ABC 互为逆相似 第二种情况：如图，点 P 在 AC（不含点 A、C）上，
41、过点 B 作CBM=A，BM 交 AC 于点 M 当点 P 在 AM（不含点 M）上时，过点 P1 只能画出 1 条截线 P1Q，使AP 1Q=ABC，此时AP 1Q 与ABC 互为逆相似； 当点 P 在 CM 上时，过点 P2 只能画出 2 条截线 P2Q1、P 2Q2，分别使 AP2Q1=ABC，CP 2Q2=ABC，此时AP 2Q1、Q 2P2C 都与ABC 互为逆相似 第三种情况：如图，点 P 在 AB（不含点 A、B）上，过点 C 作 BCD=A，ACE= B，CD 、CE 分别交 AB 于点 D、E 当点 P 在 AD（不含点 D）上时，过点 P 只能画出 1 条截线 P1Q，使A
42、P 1Q=ACB，此时AQP 1 与ABC 互为逆相似； 当点 P 在 DE 上时，过点 P2 只能画出 2 条截线 P2Q1、P 2Q2，分别使 AP2Q1=ACB，BP 2Q2=BCA，此时AQ 1P2、 Q2BP2 都与ABC 互为逆相似； 当点 P 在 BE（不含点 E）上时，过点 P3 只能画出 1 条截线 P3Q，使 BP3Q=BCA，此时QBP 3 与ABC 互为逆相似 【点评】本题是创新型 2016 届中考压轴题，主要考查了相似三角形的知识点、分类讨论的数学思 想以及接受与理解新生事物的能力准确理解题设条件中“顺相似”“逆相似” 的定义是正确解题的先 决条件，在分析与解决问题的
43、过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解 八、 （本题满分 14 分） 23某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算 1 次在 112 月 份中，公司前 x 个月累计获得的总利润 y（万元）与销售时间 x（月）之间满足二次函数关系式 y=a（x h） 2+k，二次函数 y=a（x h） 2+k 的一部分图象如图所示，点 A 为抛物线的顶点，且点 A、B、C 的横坐标分别为 4、 10、12，点 A、B 的纵坐标分别为 16、20 （1）试确定函数关系式 y=a（xh） 2+k； （2）分别求出前 9 个月公司累计获得的利润以及 10 月份一个月内所获得的利润； （3
44、）在前 12 个月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？ 【考点】二次函数的应用 【分析】 （1）根据题意此抛物线的顶点坐标为（4，16） ，设出抛物线的顶点式，把（10，20）代 入即可求出 a 的值，把 a 的值代入抛物线的顶点式中即可确定出抛物线的解析式； （2）相邻两个月份的总利润的差即为某月利润 （3）根据前 x 个月内所获得的利润减去前 x1 个月内所获得的利润，再减去 16 即可表示出第 x 个 月内所获得的利润，为关于 x 的一次函数，且为增函数，得到 x 取最大为 12 时，把 x=12 代入即可 求出最多的利润 【解答】解：（1）根据题意可设：y=a
45、（x4） 216， 当 x=10 时，y=20， 所以 a（104） 216=20，解得 a=1， 所求函数关系式为：y=（x 4） 216 （2）当 x=9 时，y= （94） 216=9，所以前 9 个月公司累计获得的利润为 9 万元， 又由题意可知，当 x=10 时，y=20，而 209=11， 所以 10 月份一个月内所获得的利润 11 万元 （3）设在前 12 个月中，第 n 个月该公司一个月内所获得的利润为 s（万元） 则有：s=（n4） 216（n 14） 216=2n9， 因为 s 是关于 n 的一次函数，且 20，s 随着 n 的增大而增大， 而 n 的最大值为 12，所以当 n=12 时，s=15， 所以第 12 月份该公司一个月内所获得的利润最多，最多利润是 15 万元 【点评】本题考查了二次函数的应用，主要考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，灵活运用 二次函数的图象与性质解决实际问题，是一道综合题
