1、第 1 页（共 23 页） 2015-2016 学年吉林省长春市农安县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题 1要使二次根式 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx 2 Cx 2 Dx2 2下列各式与 是同类二次根式的是（ ） A B C D 3已知关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b=0 有一个非零根 b，则 ab 的值为（ ） A1 B1 C0 D2 4已知关于 x 的一元二次方程 x2+2xa=0 有两个相等的实数根，则 a 的值是（ ） A4 B4 C1 D1 5如图，ABD=BDC=90 ， A=CBD，AB=3 ，BD=2，则 CD 的长为（ ） A B
2、 C2 D3 6ABC 中的三条中位线围成的三角形周长是 15cm，则 ABC 的周长为（ ） A60cm B45cm C30cm D cm 第 2 页（共 23 页） 7河堤横断面如图所示，堤高 BC=5 米，迎水坡 AB 的坡比是 1： （坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比），则 AC 的长是（ ） A5 米 B10 米 C15 米 D10 米 8在一个不透明的盒子中装有 12 个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同若从中 随机摸出一个球是白球的概率是 ，则黄球的个数为（ ） A18 B20 C24 D28 9若二次函数 y=ax2 的图象经过点 P（2，4），则
3、该图象必经过点（ ） A（2，4） B（ 2，4） C（ 4，2） D（4，2） 10如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，且过点 A（3，0），二次函数图象的对称轴是 x=1，下列结论正确的是（ ） Ab 24ac Bac0 Ca b+c0 D4a+2b+c0 二、填空题 11计算： = 12已知 x、y 为实数，且 y= +4，则 xy= 第 3 页（共 23 页） 13已知 x=3 是方程 x26x+k=0 的一个根，则 k= 14方程（x1 ）（x+2）=2（x+2）的根是 15已知ABC 与DEF 相似且对应中线的比为 2：3，则ABC 与DEF 的面积的比为 16如图
4、，添加一个条件： ，使ADEACB，（写出一个即可） 17在ABC 中， C=90，BC=6， ，则 AB 边的长是 18已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的公共点是（4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直 线 19若关于 x 的函数 y=kx2+2x1 与 x 轴仅有一个公共点，则实数 k 的值为 20在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线 y=a（x3） 2+k 与 y 轴的交点，点 B 是这条抛物线上的另 一点，且 ABx 轴，则以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为 第 4 页（共 23 页） 三、计算题 21如图（图略），从一副扑克牌中选取红桃 10，方块 10
5、，梅花 5，黑桃 8 四张扑克牌，洗匀后 正面朝下放在桌子上，甲先从中任意抽取一张后，乙再从剩余的三张扑克牌中任意抽取一张，用画 树形图或列表的方法，求甲乙两人抽取的扑克牌的点数都是 10 的概率 22如图，ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连结 BD 并延长与 CE 交于 点 E求证：ABDCED 四、证明题 23如图，某数学兴趣小组想测量一棵树 CD 的高度，他们先在点 A 处测得树顶 C 的仰角为 30， 然后沿 AD 方向前行 10m，到达 B 点，在 B 处测得树顶 C 的仰角高度为 60（A、B、D 三点在同 一直线上）请你根据他们测量数据计算这棵树
6、CD 的高度（结果精确到 0.1m）（参考数据： 1.414， 1.732） 第 5 页（共 23 页） 24随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降咸宁市 2011 年销售烟花爆竹 20 万箱， 到 2013 年烟花爆竹销售量为 9.8 万箱求咸宁市 2011 年到 2013 年烟花爆竹年销售量的平均下降 率 五、应用题（第 25 题 8 分，第 26 题 10 分，共 18 分） 25已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x 2+2bx+（a c）=0 ，其中 a、b、c 分别为ABC 三边的长 （1）如果 x=1 是方程的根，试判断 ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两
7、个相等的实数根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （3）如果ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根 26如图，在平面直角坐标系中，直线 y=2x+42 交 x 轴于点 A，交直线 y=x 于点 B，抛物线 y=ax22x+c 分别交线段 AB、 OB 于点 C、D ，点 C 和点 D 的横坐标分别为 16 和 4，点 P 在这条抛 物线上 （1）求点 C、D 的纵坐标 （2）求 a、c 的值 （3）若 Q 为线段 OB 上一点，P、Q 两点的纵坐标都为 5，求线段 PQ 的长 （4）若 Q 为线段 OB 或线段 AB 上一点，PQx 轴，设 P、Q 两点间的距离为 d（d0），点 Q
8、 的 横坐标为 m，直接写出 d 随 m 的增大而减小时 m 的取值范围 参考公式：二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）图象的顶点坐标为（ ， ） 第 6 页（共 23 页） 2015-2016 学年吉林省长春市农安县九年级（上）期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1要使二次根式 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是（ ） Ax2 Bx 2 Cx 2 Dx2 【考点】二次根式有意义的条件 【分析】直接利用二次根式的概念形如 （a0）的式子叫做二次根式，进而得出答案 【解答】解：二次根式 在实数范围内有意义， x+20， 解得：x2， 则实数 x 的取值范围是：x 2 故
9、选：D 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键 2下列各式与 是同类二次根式的是（ ） A B C D 【考点】同类二次根式 【分析】利用同类二次根式的性质与定义分别化简二次根式进而判断得出即可 【解答】解：A、 =2 ，故不与 是同类二次根式，故此选项错误； B、 =2 ，故不与 是同类二次根式，故此选项错误； C、 =5 ，故不与 是同类二次根式，故此选项错误； D、 =2 ，故，与 是同类二次根式，故此选项正确； 故选：D 【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简二次根式是解题关键 第 7 页（共 23 页） 3已知关于 x 的一元二次方程
10、 x2+ax+b=0 有一个非零根 b，则 ab 的值为（ ） A1 B1 C0 D2 【考点】一元二次方程的解 【分析】由于关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b=0 有一个非零根 b，那么代入方程中即可得到 b2ab+b=0，再将方程两边同时除以 b 即可求解 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b=0 有一个非零根b， b2ab+b=0， b0， b0， 方程两边同时除以 b，得 ba+1=0， ab=1 故选：A 【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决 问题 4已知关于 x 的一元二次方程 x2+2xa=0 有两个相等的实
11、数根，则 a 的值是（ ） A4 B4 C1 D1 【考点】根的判别式 【专题】计算题 【分析】根据根的判别式的意义得到=2 24（a）=0，然后解方程即可 【解答】解：根据题意得=2 24（a）=0， 解得 a=1 故选 D 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 0）的根的判别式=b 24ac：当 0，方程有两 个不相等的实数根；当=0，方程有两个相等的实数根；当 0，方程没有实数根 第 8 页（共 23 页） 5如图，ABD=BDC=90 ， A=CBD，AB=3 ，BD=2，则 CD 的长为（ ） A B C2 D3 【考点】相似三角形的判定与性质 【专题】探究型 【
12、分析】先根据题意判断出ABD BDC，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出 CD 的 长 【解答】解：ABD= BDC=90，A=CBD ，AB=3，BD=2 ， ABDBDC， = ，即 = ， 解得 CD= 故选 B 【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关 键 6ABC 中的三条中位线围成的三角形周长是 15cm，则 ABC 的周长为（ ） A60cm B45cm C30cm D cm 【考点】三角形中位线定理 【分析】根据三角形的中位线平行且等于底边的一半，又相似三角形的周长的比等于相似比，问题 可求 【解答】解：ABC 三条中位线围成的
13、三角形与 ABC 相似， 相似比是 ， ABC 中的三条中位线围成的三角形周长是 15cm， ABC 的周长为 30cm， 第 9 页（共 23 页） 故选 C 【点评】本题主要考查三角形的中位线定理要熟记相似三角形的周长比、高、中线的比等于相似 比，面积比等于相似比的平方 7河堤横断面如图所示，堤高 BC=5 米，迎水坡 AB 的坡比是 1： （坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比），则 AC 的长是（ ） A5 米 B10 米 C15 米 D10 米 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【分析】Rt ABC 中，已知了坡比是坡面的铅直高度 BC 与水平宽度 AC 之比，
14、通过解直角三角形 即可求出水平宽度 AC 的长 【解答】解：RtABC 中，BC=5 米，tanA=1： ； AC=BCtanA=5 米； 故选 A 【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力 8在一个不透明的盒子中装有 12 个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同若从中 随机摸出一个球是白球的概率是 ，则黄球的个数为（ ） A18 B20 C24 D28 【考点】概率公式 【分析】首先设黄球的个数为 x 个，根据题意得： = ，解此分式方程即可求得答案 【解答】解：设黄球的个数为 x 个， 根据题意得： = ， 解得：x=24， 经检验：x=24 是原分式方程的解
15、； 黄球的个数为 24 第 10 页（共 23 页） 故选：C 【点评】此题考查了概率公式的应用用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比 9若二次函数 y=ax2 的图象经过点 P（2，4），则该图象必经过点（ ） A（2，4） B（ 2，4） C（ 4，2） D（4，2） 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为 y 轴，再根据二次函数的对称性解答 【解答】解：二次函数 y=ax2 的对称轴为 y 轴， 若图象经过点 P（2，4）， 则该图象必经过点（2，4） 故选：A 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定
16、出函 数图象的对称轴为 y 轴是解题的关键 10如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，且过点 A（3，0），二次函数图象的对称轴是 x=1，下列结论正确的是（ ） Ab 24ac Bac0 Ca b+c0 D4a+2b+c0 【考点】二次函数图象与系数的关系 【专题】数形结合 【分析】根据抛物线与 x 轴有两个交点有 b24ac0 可对 A 进行判断；由抛物线开口向下得 a0， 由抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方得 c0，则可对 B 进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线 与 x 轴的另一个交点为（1， 0），所以 ab+c=0，则可对 C 选项进行判断；由于 x=2 时，函
17、数值大 于 0，则有 4a+2b+c0，于是可对 D 选项进行判断 第 11 页（共 23 页） 【解答】解：抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0，即 b24ac，所以 A 选项正确； 抛物线开口向下， a0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c0， ac0，所以 B 选项错误； 抛物线过点 A（3，0），二次函数图象的对称轴是 x=1， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（1，0）， ab+c=0，所以 C 选项错误； 当 x=2 时，y0， 4a+2b+c0，所以 D 选项错误 故选：A 【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象为
18、抛物线， 当 a0，抛物线开口向上；对称轴为直线 x= ；抛物线与 y 轴的交点坐标为（0，c）；当 b24ac0，抛物线与 x 轴有两个交点；当 b24ac=0，抛物线与 x 轴有一个交点；当 b24ac0，抛物 线与 x 轴没有交点 二、填空题 11计算： = 【考点】二次根式的加减法 【专题】计算题 【分析】先化简 =2 ，再合并同类二次根式即可 【解答】解： =2 = 故答案为： 【点评】本题主要考查了二次根式的加减，属于基础题型 第 12 页（共 23 页） 12已知 x、y 为实数，且 y= +4，则 xy= 1 或 7 【考点】二次根式有意义的条件 【专题】计算题 【分析】根据一
19、对相反数同时为二次根式的被开方数，那么被开方数为 0 可得 x 可能的值，进而得 到 y 的值，相减即可 【解答】解：由题意得 x29=0， 解得 x=3， y=4， xy=1 或7 故答案为1 或7 【点评】考查二次根式有意义的相关计算；得到 x 可能的值是解决本题的关键；用到的知识点为： 一对相反数同时为二次根式的被开方数，那么被开方数为 0 13已知 x=3 是方程 x26x+k=0 的一个根，则 k= 9 【考点】一元二次方程的解 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的 值即用这个数代替未知数所得式子仍然成立 【解答】解：把 x=3 代入方程
20、 x26x+k=0，可得 918+k=0， 解得 k=9 故答案为：9 【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，比较简单 14方程（x1 ）（x+2）=2（x+2）的根是 x 1=2，x 2=3 【考点】解一元二次方程-因式分解法；因式分解 -提公因式法 【专题】因式分解 【分析】把右边的项移到左边，提公因式法因式分解求出方程的根 【解答】解：（x1）（x+2）2（x+2）=0 第 13 页（共 23 页） （x+2）（x 12）=0 （x+2）（x 3）=0 x+2=0 或 x3=0 x1=2，x 2=3 故答案是：x 1=2，x 2=3 【点评】本题考查的是用因式分解法解一元
21、二次方程，把右边的项移到左边，用提公因式法因式分 解可以求出方程的根 15已知ABC 与DEF 相似且对应中线的比为 2：3，则ABC 与DEF 的面积的比为 4：9 【考点】相似三角形的性质 【分析】由ABC 与DEF 相似且对应中线的比为 2：3，根据相似三角形的对应线段（对应中线、 对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可 求得答案 【解答】解：ABC 与DEF 相似且对应中线的比为 2：3， 其相似比为 2：3， ABC 与DEF 的面积的比为 4：9 故答案为：4：9 【点评】此题考查了相似三角形的性质注意熟记定理是解此题的关键 16如图
22、，添加一个条件： ADE= ACB ，使ADEACB，（写出一个即可） 【考点】相似三角形的判定 【专题】开放型 【分析】相似三角形的判定有三种方法： 三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； 两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； 第 14 页（共 23 页） 两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似 由此可得出可添加的条件 【解答】解：由题意得，A= A（公共角）， 则可添加：ADE= ACB，利用两角法可判定ADEACB 故答案可为：ADE= ACB（答案不唯一） 【点评】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握三角形相似的三种判定方法， 本题
23、答案不唯一 17在ABC 中， C=90，BC=6， ，则 AB 边的长是 9 【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据锐角三角函数关系得出 sinA= = ，进而求出即可 【解答】解：BC=6， ， = ， 解得：AB=9 故答案为：9 【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，根据题意得出 sinA= 是解题关键 18已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的公共点是（4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直 线 x= 1 【考点】抛物线与 x 轴的交点 【专题】待定系数法 第 15 页（共 23 页） 【分析】因为点（4，0）和（ 2，0）的纵坐标都为 0，所以可判定是一对对称点
24、，把两点的横坐标 代入公式 x= 求解即可 【解答】解：抛物线与 x 轴的交点为（4，0），（2，0）， 两交点关于抛物线的对称轴对称， 则此抛物线的对称轴是直线 x= =1，即 x=1 故答案是：x=1 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公 式法也可以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式 x= 求解，即抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴 的交点是（x 1，0），（x 2，0），则抛物线的对称轴为直线 x= 19若关于 x 的函数 y=kx2+2x1 与 x 轴仅有一个公共点，则实数 k 的值为 0 或1 【考点】抛物线与 x 轴的交
25、点 【分析】令 y=0，则关于 x 的方程 kx2+2x1=0 只有一个根，所以 k=0 或根的判别式=0，借助于方 程可以求得实数 k 的值 【解答】解：令 y=0，则 kx2+2x1=0 关于 x 的函数 y=kx2+2x1 与 x 轴仅有一个公共点， 关于 x 的方程 kx2+2x1=0 只有一个根 当 k=0 时， 2x1=0，即 x= ，原方程只有一个根，k=0 符合题意； 当 k0 时， =4+4k=0， 解得，k= 1 综上所述，k=0 或 1 故答案为：0 或1 第 16 页（共 23 页） 【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点解题时，需要对函数 y=kx2+2x1 进行分
26、类讨论：一次 函数和二次函数时，满足条件的 k 的值 20在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线 y=a（x3） 2+k 与 y 轴的交点，点 B 是这条抛物线上的另 一点，且 ABx 轴，则以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长为 18 【考点】二次函数的性质；等边三角形的性质 【专题】压轴题 【分析】根据抛物线解析式求出对称轴为 x=3，再根据抛物线的对称性求出 AB 的长度，然后根据 等边三角形三条边都相等列式求解即可 【解答】解：抛物线 y=a（x3） 2+k 的对称轴为 x=3，且 ABx 轴， AB=23=6， 等边 ABC 的周长=36=18 故答案为：18 【点评】本题考查了
27、二次函数的性质，等边三角形的周长计算，熟练掌握抛物线的对称轴与两个对 称点之间的关系是解题的关键 三、计算题 21如图（图略），从一副扑克牌中选取红桃 10，方块 10，梅花 5，黑桃 8 四张扑克牌，洗匀后 正面朝下放在桌子上，甲先从中任意抽取一张后，乙再从剩余的三张扑克牌中任意抽取一张，用画 树形图或列表的方法，求甲乙两人抽取的扑克牌的点数都是 10 的概率 【考点】列表法与树状图法 【专题】常规题型 【分析】列出树状图后利用概率公式求解即可 第 17 页（共 23 页） 【解答】解：列树状图为： 共 12 种情况，其中两个都是 10 的情况共有 2 种， P（点数都是 10）= = 【点
28、评】本题考查了列表法语树状图的知识，解题的关键是根据题意列出树状图，这也是解决本题 的难点 22如图，ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连结 BD 并延长与 CE 交于 点 E求证：ABDCED 【考点】相似三角形的判定；等边三角形的性质 【专题】证明题 【分析】利用等边三角形的性质得出BAC=ACB=60， ACF=120，进而结合角平分线的性质得 出BAC= ACE，进而得出答案 【解答】证明：ABC 是等边三角形， BAC=ACB=60，ACF=120， CE 是外角平分线， ACE=60， BAC=ACE， 又ADB=CDE， ABDCED 【点评】此题主
29、要考查了相似三角形的判定以及等边三角形的性质，根据题意得出BAC=ACE 是 解题关键 第 18 页（共 23 页） 四、证明题 23如图，某数学兴趣小组想测量一棵树 CD 的高度，他们先在点 A 处测得树顶 C 的仰角为 30， 然后沿 AD 方向前行 10m，到达 B 点，在 B 处测得树顶 C 的仰角高度为 60（A、B、D 三点在同 一直线上）请你根据他们测量数据计算这棵树 CD 的高度（结果精确到 0.1m）（参考数据： 1.414， 1.732） 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【专题】几何图形问题 【分析】首先利用三角形的外角的性质求得ACB 的度数，得到 BC 的长度
30、，然后在直角BDC 中， 利用三角函数即可求解 【解答】解：CBD= A+ACB， ACB=CBDA=6030=30， A=ACB， BC=AB=10（米） 在直角BCD 中，CD=BC sinCBD=10 =5 51.732=8.7（米） 答：这棵树 CD 的高度为 8.7 米 【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形 24随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降咸宁市 2011 年销售烟花爆竹 20 万箱， 到 2013 年烟花爆竹销售量为 9.8 万箱求咸宁市 2011 年到 2013 年烟花爆竹年销售量的平均下降 率 【考点】一元二次方程的应用
31、【专题】增长率问题 第 19 页（共 23 页） 【分析】先设咸宁市 2011 年到 2013 年烟花爆竹年销售量的平均下降率是 x，那么把 2011 年的烟 花爆竹销售量看做单位 1，在此基础上可求 2012 年的年销售量，以此类推可求 2013 年的年销售量， 而 2013 年的年销售量为 9.8 万箱，据此可列方程，解即可 【解答】解：设咸宁市 2011 年到 2013 年烟花爆竹年销售量的平均下降率是 x，依题意得 20（1x ） 2=9.8， 解这个方程，得 x1=0.3，x 2=1.7， 由于 x2=1.7 不符合题意，即 x=0.3=30% 答：咸宁市 2011 年到 2013
32、年烟花爆竹年销售量的平均下降率为 30% 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系，以及实际意义 五、应用题（第 25 题 8 分，第 26 题 10 分，共 18 分） 25已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x 2+2bx+（a c）=0 ，其中 a、b、c 分别为ABC 三边的长 （1）如果 x=1 是方程的根，试判断 ABC 的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （3）如果ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根 【考点】一元二次方程的应用 【专题】代数几何综合题 【分析】（1）直接将 x=1
33、代入得出关于 a，b 的等式，进而得出 a=b，即可判断 ABC 的形状； （2）利用根的判别式进而得出关于 a，b，c 的等式，进而判断ABC 的形状； （3）利用ABC 是等边三角形，则 a=b=c，进而代入方程求出即可 【解答】解：（1）ABC 是等腰三角形； 理由：x= 1 是方程的根， （ a+c）（ 1） 22b+（ac ）=0 ， a+c2b+ac=0， ab=0， a=b， ABC 是等腰三角形； 第 20 页（共 23 页） （2）方程有两个相等的实数根， （ 2b） 24（a+c）（a c）=0， 4b24a2+4c2=0， a2=b2+c2， ABC 是直角三角形； （3
34、）当ABC 是等边三角形，（a+c）x 2+2bx+（a c）=0 ，可整理为： 2ax2+2ax=0， x2+x=0， 解得：x 1=0，x 2=1 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已 知获取等量关系是解题关键 26如图，在平面直角坐标系中，直线 y=2x+42 交 x 轴于点 A，交直线 y=x 于点 B，抛物线 y=ax22x+c 分别交线段 AB、 OB 于点 C、D ，点 C 和点 D 的横坐标分别为 16 和 4，点 P 在这条抛 物线上 （1）求点 C、D 的纵坐标 （2）求 a、c 的值 （3）若 Q 为线段 OB 上一点，P
35、、Q 两点的纵坐标都为 5，求线段 PQ 的长 （4）若 Q 为线段 OB 或线段 AB 上一点，PQx 轴，设 P、Q 两点间的距离为 d（d0），点 Q 的 横坐标为 m，直接写出 d 随 m 的增大而减小时 m 的取值范围 参考公式：二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）图象的顶点坐标为（ ， ） 第 21 页（共 23 页） 【考点】二次函数综合题 【专题】压轴题 【分析】（1）点 C 在直线 AB：y=2x+42 上，又 C 点的横坐标，代入即可求出 C 点的纵坐标，同 理可知：D 点在直线 OB：y=x 上，又知 D 点的横坐标，代入解析式即可求出 D 点的纵坐标 （2）抛物线
36、y=ax22x+c 经过 C、D 两点，列出关于 a 和 c 二元二次方程组，解出 a 和 c 即可 （3）根据 Q 为线段 OB 上一点，P、Q 两点的纵坐标都为 5，则可以求出 Q 点的坐标，又知 P 点在 抛物线上，求出 P 点的坐标即可，P、Q 两点的横坐标的差的绝对值即为线段 PQ 的长 （4）根据 PQx 轴，可知 P 和 Q 两点的横坐标相同，求出抛物线的顶点坐标和 B 点的坐标， 当 Q 是线段 OB 上的一点时，结合图形写出 m 的范围，当 Q 是线段 AB 上的一点时，结合图形 写出 m 的范围即 【解答】解：（1）点 C 在直线 AB：y=2x+42 上，且 C 点的横坐
37、标为 16， y=216+42=10，即点 C 的纵坐标为 10； D 点在直线 OB：y=x 上，且 D 点的横坐标为 4， 点 D 的纵坐标为 4； （2）由（1）知点 C 的坐标为（ 16，10），点 D 的坐标为（4，4）， 抛物线 y=ax22x+c 经过 C、D 两点， ， 解得：a= ，c=10， 抛物线的解析式为 y= x22x+10； 第 22 页（共 23 页） （3）Q 为线段 OB 上一点，纵坐标为 5， Q 点的横坐标也为 5， 点 P 在抛物线上，纵坐标为 5， x22x+10=5， 解得 x1=8+2 ，x 2=82 ， 当点 P 的坐标为（8+2 ，5），点 Q
38、 的坐标为（5，5），线段 PQ 的长为 2 +3， 当点 P 的坐标为（8 2 ，5），点 Q 的坐标为（5，5），线段 PQ 的长为 2 3 所以线段 PQ 的长为 2 +3 或 2 3 （4）根据题干条件：PQ x 轴，可知 P、Q 两点的横坐标相同， 抛物线 y= x22x+10= （x 8） 2+2 的顶点坐标为（8，2）， 联立 ，解得点 B 的坐标为（14，14）， 当点 Q 为线段 OB 上时，如图所示，当 0m4 时，d 随 m 的增大而减小， 在 BD 段，d=x （ x22x+10）， 即 d= x2+3x10，对称轴是 x=12， 当 x12 时，d 随 x 的增大而减小 故当 12m14 时，d 随 m 的增大而减小 则当 0m4 或 12m14 时，d 随 m 的增大而减小； 当点 Q 为线段 AB 上时，如图所示，当 14m16 时，d 随 m 的增大而减小， 综上所述，当 0m4 或 12m16 时，d 随 m 的增大而减小 第 23 页（共 23 页） 【点评】本题是二次函数综合题，难度不大，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质
