1、重庆市丰都县 2015-2016 学年八年级（上）期末数学试卷（解 析版） 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了 代号为 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号填在 答题卷对应的表格上. 1若分式 有意义，则 x 满足的条件是（ ） Ax0 Bx3 Cx 3 Dx3 2计算：（x ） 3（2x）的结果是（ ） A2x 4 B2x 3 C2x 4 D2x 3 3在平面直角坐标系中，点 A（7，2）关于 x 轴对称的点 A的坐标是（ ） A（7，2） B（7， 2） C（ 7，2） D（7，2） 4若ABCA
2、BC ，且 AB=AC=9，ABC 的周长为 26cm，则 BC的长为（ ） A10cm B9cm C4cm D8cm 5如图，在四边形 ABCD 中，A+D= ，ABC 的平分线与BCD 的平分线交于点 P，则P= （ ） A90 B90+ C D360 6分式方程 的解为（ ） Ax= 2 Bx=2 Cx= 3 Dx=3 7计算：（ ） 2014（1.5） 2015 的结果是（ ） A B C D 8下列各图形都是轴对称图形，其中对称轴最多的是（ ） A等腰直角三角形 B直线 C等边三角形 D正方形 9已知ABC 的两边长分别为 AB=9、AC=2，第三边 BC 的长为奇数，则（ ） AB
3、C=5 BBC=7 CBC=9 DBC=11 10一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为 720，那么原多边形的边数 为（ ） A5 B5 或 6 C5 或 7 D5 或 6 或 7 11为保证达万高速公路在 2012 年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任 务已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用 10 天，乙队单独完成这项工程比规定时间 多用 40 天，如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前 14 天完成任务若设规定的时间为 x 天，由题意列出的方程是（ ） A B C D 12如图，已知ABC 中，AB=AC ，BAC=90，直角EPF 的顶点 P 是 BC 中点，两
4、边 PE，PF 分别交 AB，AC 于点 E，F，给出以下五个结论：PFA PEB，EF=AP ，PEF 是等腰直角三角形， S 四边形 AEPF= SABC，当EPF 在 ABC 内绕顶点 P 旋转时（点 E 不与 A，B 重合），上述结论中始终正确有 （ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将答案直接填在答题卷对应的 横线上. 13分解因式：4x 21= 14若分式 =0，则 x= 15如图，在ABC 中，点 D 是 BC 上一点，BAD=84，AB=AD=DC，则CAD= 16如图，在ABC 中，EF 是 AB 边
5、的垂直平分线，AC=18cm，BC=16cm ，则BCE 的 周长为 cm 17等腰三角形的周长为 24cm，腰长为 xcm，则 x 的取值范围是 18已知 ，则 的值等于 三、解答题（19 题每小题 15 分，20 题 5 分，21-22 每小题 15 分，23-24 每题 10 分，25-26 每小题 15 分，共 78 分）下列各题解答时都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将答 题过程写在答题卷对应的位置上. 19（15 分）（2015 秋 丰都县期末）按要求解答 （1）计算：5a 2b（ ab） （2ab 2） 2 （2）计算：2014 220132015 （3）因式分解：a 2（x
6、y）+4b 2（yx） 20如图，ABDC，AB=DC ，AC 与 BD 相交于点 O 求证：AO=CO 21如图，在直角坐标系中，ABC 各顶点的横、纵坐标都是整数，直线 m 上各点的横 坐标都为1 （1）作出ABC 关于直线 m 的对称图形A 1B1C1； （2）作出ABC 关于 x 轴对称的图形A 2B2C2； （3）写出A 2B2C2 的各顶点的坐标 22解分式方程： +1= 23（10 分）（2013 重庆）先化简，再求值： ，其中 x 是 不等式 3x+71 的负整数解 24（10 分）（2015 秋 丰都县期末）如图：在等边三角形 ABC 中，点 E 在线段 AB 上， 点 D
7、在 CB 的延长线上，且 AE=BD，试确定线段 DE 与 EC 的大小关系，并说明理由 25（12 分）（2007 泰安）某书店老板去图书批发市场购买某种图书第一次用 1200 元 购书若干本，并按该书定价 7 元出售，很快售完由于该书畅销，第二次购书时，每本书 的批发价已比第一次提高了 20%，他用 1500 元所购该书数量比第一次多 10 本当按定价 售出 200 本时，出现滞销，便以定价的 4 折售完剩余的书试问该老板这两次售书总体上 是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？ 26（12 分）（2013 东营）（1）如图（1），已知：在ABC 中，BAC
8、=90 ， AB=AC，直线 m 经过点 A，BD直线 m，CE直线 m，垂足分别为点 D、E 证明：DE=BD+CE （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB=AC，D、A、E 三点都在直线 m 上，并且有BDA= AEC= BAC= ，其中 为任意锐角或钝角请问结论 DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由 （3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是 D、A、E 三点所在直线 m 上的两动点 （D、A、E 三点互不重合），点 F 为BAC 平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等 边三角形，连接 BD、CE，若 BDA= AEC= BAC，
9、试判断 DEF 的形状 2015-2016 学年重庆市丰都县八年级（上）期末数学试 卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每个小题的下面，都给出了 代号为 A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号填在 答题卷对应的表格上. 1若分式 有意义，则 x 满足的条件是（ ） Ax0 Bx3 Cx 3 Dx3 【考点】分式有意义的条件 【分析】分式有意义时，分母 x30 【解答】解：依题意得：x3 0 解得 x3 故选：B 【点评】本题考查了分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零（2） 分式无意义的条件
10、是分母等于零 2计算：（x ） 3（2x）的结果是（ ） A2x 4 B2x 3 C2x 4 D2x 3 【考点】单项式乘单项式 【分析】根据单项式乘单项式，系数乘系数，同底数的乘同底数的，在一个单项式出现的 字母则作为积的一个因式，可得答案 【解答】解：原式=2（x） 3x=2x3+1=2x4， 故选：C 【点评】本题考查了单项式乘单项式，先化成同底数的，再进行同底数幂的乘法运算 3在平面直角坐标系中，点 A（7，2）关于 x 轴对称的点 A的坐标是（ ） A（7，2） B（7， 2） C（ 7，2） D（7，2） 【考点】关于 x 轴、y 轴对称的点的坐标 【分析】直接利用关于 x 轴对称
11、点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数即点 P（x，y）关于 x 轴的对称点 P的坐标是（x，y），进而得出答案 【解答】解：A（7，2）关于 x 轴对称的点 A的坐标是：（ 7，2） 故选 A 【点评】此题主要考查了关于 x 轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键 4若ABCABC ，且 AB=AC=9，ABC 的周长为 26cm，则 BC的长为（ ） A10cm B9cm C4cm D8cm 【考点】全等三角形的性质 【分析】根据三角形的周长公式求出 BC，根据全等三角形的对应边相等得到答案 【解答】解：AB=AC=9， ABC 的周长为 26cm， BC=26 99=8cm
12、， ABCA BC， BC=BC=8cm， 故选：D 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的 对应角相等是解题的关键 5如图，在四边形 ABCD 中，A+D= ，ABC 的平分线与BCD 的平分线交于点 P，则P= （ ） A90 B90+ C D360 【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理 【分析】先求出ABC+BCD 的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定 理求解P 的度数 【解答】解：四边形 ABCD 中，ABC+BCD=360 （A +D）=360， PB 和 PC 分别为 ABC、BCD 的平分线， PBC+PCB= （ABC
13、+BCD）= （360 ）=180 ， 则P=180（ PBC+PCB）=180（180 ）= 故选：C 【点评】本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，属于基础题 6分式方程 的解为（ ） Ax= 2 Bx=2 Cx= 3 Dx=3 【考点】解分式方程 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得 到分式方程的解 【解答】解：去分母得：x+6=4x， 移项合并得：3x=6， 解得：x=2， 经检验 x=2 是分式方程的解 故选 B 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化 为整式方程求解解分式方程一定
14、注意要验根 7计算：（ ） 2014（1.5） 2015 的结果是（ ） A B C D 【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法 【分析】根据同底数幂的乘法，可化简成积的乘方的形式，根据积的乘方，可得答案 【解答】解：原式=（ ） 2014 = 2014 = ， 故选：A 【点评】本题考查了积的乘方，先化简成积的乘方形式，再进行积的乘方运算 8下列各图形都是轴对称图形，其中对称轴最多的是（ ） A等腰直角三角形 B直线 C等边三角形 D正方形 【考点】轴对称图形 【分析】结合选项根据轴对称图形的概念寻找对称轴的数量，判断选择即可 【解答】解：A、等腰直角三角形的对称轴有一条，本选项错误；
15、B、直线的对称轴有无数条，本选项正确； C、等边三角形的对称轴有三条，本选项错误； D、正方形的对称轴有四条，本选项错误 故选 B 【点评】本题考查了轴对称图形的知识，解答本题的关键在于结合选项找出对称轴的数 目 9已知ABC 的两边长分别为 AB=9、AC=2，第三边 BC 的长为奇数，则（ ） ABC=5 BBC=7 CBC=9 DBC=11 【考点】三角形三边关系 【分析】根据三角形三边关系定理得到第三边的范围，再根据 BC 为奇数和取值范围确定 BC 长即可 【解答】解：根据三角形的三边关系可得：92BC 9+2， 即：7BC11， 故选：C 【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关
16、键是掌握三角形三边关系定理：三角形两 边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边 10一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为 720，那么原多边形的边数 为（ ） A5 B5 或 6 C5 或 7 D5 或 6 或 7 【考点】多边形内角与外角 【分析】首先求得内角和为 720的多边形的边数，即可确定原多边形的边数 【解答】解：设内角和为 720的多边形的边数是 n，则（ n2）180=720， 解得：n=6 则原多边形的边数为 5 或 6 或 7 故选：D 【点评】本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键 11为保证达万高速公路在 2012 年底全线顺利通车，某路段规定
17、在若干天内完成修建任 务已知甲队单独完成这项工程比规定时间多用 10 天，乙队单独完成这项工程比规定时间 多用 40 天，如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前 14 天完成任务若设规定的时间为 x 天，由题意列出的方程是（ ） A B C D 【考点】由实际问题抽象出分式方程 【分析】设规定的时间为 x 天则甲队单独完成这项工程所需时间是（x+10）天，乙队单 独完成这项工程所需时间是（x+40）天根据甲、乙两队合作，可比规定时间提前 14 天完 成任务，列方程为 + = 【解答】解：设规定时间为 x 天，则 甲队单独一天完成这项工程的 ， 乙队单独一天完成这项工程的 ， 甲、乙两队合作一天完
18、成这项工程的 则 + = 故选 B 【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程在本题中，等量关系：甲单独做一天的工作 量+乙单独做一天的工作量=甲、乙合做一天的工作量 12如图，已知ABC 中，AB=AC ，BAC=90，直角EPF 的顶点 P 是 BC 中点，两边 PE，PF 分别交 AB，AC 于点 E，F，给出以下五个结论：PFA PEB，EF=AP ，PEF 是等腰直角三角形， S 四边形 AEPF= SABC，当EPF 在 ABC 内绕顶点 P 旋转时（点 E 不与 A，B 重合），上述结论中始终正确有 （ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【考点】旋转的性质；全等三角形的判定
19、与性质；等腰直角三角形 【分析】根据图形旋转的性质，等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定定理，得出 APFBPE，再结合全等三角形的性质对题中的结论逐一判断 【解答】解：AB=AC，BAC=90，直角EPF 的顶点 P 是 BC 的中点， APBC，AP= BC=PB，B=CAP=45， APF+FPA=90，APF +BPE=90， BPE=APF， 在BPE 和APF 中， ， PFAPEB（ASA ），即结论正确； ABC 是等腰直角三角形，P 是 BC 的中点， AP= BC， 又EF 不一定是ABC 的中位线， EFAP，故结论错误； PFAPEB， PE=PF， 又EPF=90，
20、 PEF 是等腰直角三角形，故结论正确； PFAPEB， S PFA=SPEB， S 四边形 AEPF=SAPE+SAPF=SAPE+SBPE=SAPB= SABC，故结论 正确； 综上，当EPF 在ABC 内绕顶点 P 旋转时（点 E 不与 A，B 重合），始终正确的有 3 个 结论 故选（C） 【点评】本题以旋转为背景考查了全等三角形的判定和性质，解题时需要运用等腰直角三 角形的判定及性质，三角形的中位线定理等，综合性较强根据题意得出APFBPE 是解答此题的关键环节 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）请将答案直接填在答题卷对应的 横线上. 13分解因式：4x
21、 21= （2x+1）（2x1） 【考点】因式分解-运用公式法 【分析】直接利用平方差公式分解因式即可平方差公式：a 2b2=（a+b）（ab） 【解答】解：4x 21=（2x+1）（2x1） 故答案为：（2x+1）（2x1） 【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键 14若分式 =0，则 x= 1 【考点】分式的值为零的条件 【分析】根据分式值为零的条件可得 x21=0 且 x2+x20，再解即可 【解答】解：由题意得：x 21=0 且 x2+x20， 解得：x= 1， 故答案为：1 【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零 且分
22、母不等于零 注意：“分母不为零” 这个条件不能少 15如图，在ABC 中，点 D 是 BC 上一点，BAD=84，AB=AD=DC，则CAD= 24 【考点】等腰三角形的性质 【分析】先根据 AB=AD，利用三角形内角和定理求出B 和ADB 的度数，再根据三角 形外角的性质即可求出CAD 的大小 【解答】解：AB=AD ， B=ADB， 由BAD=84得B= =48=ADB ， AD=DC， C=CAD， CAD= ADB=24 故答案为：24 【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，解答 此题的关键是利用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 16如图，
23、在ABC 中，EF 是 AB 边的垂直平分线，AC=18cm，BC=16cm ，则BCE 的 周长为 34 cm 【考点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段垂直平分线的性质求出 AE=BE，求出三角形 BCE 的周长=AC+BC，代 入求出即可 【解答】解：EF 是 AB 的垂直平分线， AE=BE， AC=18cm，BC=16cm， BCE 的周长是 BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=34cm， 故答案为 34 【点评】本题考查了线段的垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段 两个端点的距离相等 17等腰三角形的周长为 24cm，腰长为 xcm，则 x 的取值
24、范围是 6x12 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系 【分析】等腰三角形的周长为 24cm，腰长为 xcm，则底边长为 242x，根据三边关系可以 求出 x 的取值范围 【解答】解：等腰三角形的周长为 24cm，腰长为 xcm，则底边长为（242x）cm， 根据三边关系，x+x242x，解得 x6； xx 242x，解得 x12， 故 x 的取值范围是 6x12 故答案为：6x12 【点评】考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，在解决与等腰三角形有关的问题， 由于等腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正 确解题，因此，解决和等腰三角形有关的边角问题时，
25、要仔细认真，避免出错 18已知 ，则 的值等于 1 【考点】分式的化简求值 【分析】由 左边通分得 = ，则有（a +b） 2=ab，然后把 + 通分得 ，配方后得 ，再把（a+b） 2=ab 整体代入即可得到值 【解答】解： + = = ， ， = ， （a+b） 2=ab， + = =1 【点评】本题考查了分式的化简求值：先把各分式的分子或分母因式分解，再进行约分， 把分式化为最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的 值也考查了完全平方公式以及整体思想的运用 三、解答题（19 题每小题 15 分，20 题 5 分，21-22 每小题 15 分，23-24 每题 10
26、 分，25-26 每小题 15 分，共 78 分）下列各题解答时都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将答 题过程写在答题卷对应的位置上. 19（15 分）（2015 秋 丰都县期末）按要求解答 （1）计算：5a 2b（ ab） （2ab 2） 2 （2）计算：2014 220132015 （3）因式分解：a 2（xy）+4b 2（yx） 【考点】整式的混合运算；提公因式法与公式法的综合运用 【分析】（1）先算乘方，再算乘除，即可得出答案； （2）先变形，再根据平方差公式进行计算，最后合并即可； （3）先根据提公因式分解因式，再根据平方差公式分解即可 【解答】解：（1）原式=5a 2b（ ab
27、）（4a 2b4） =60a3b4； （2）原式=2014 2（20141）（2014+1） =2014220142+1 =1； （3）a 2（xy）+4b 2（yx） =a2（x y）4b 2（xy） =（xy）（ a24b2） =（xy）（ a+2b）（a 2b） 【点评】本题考查了有理数的混合运算，分解因式，整式的混合运算的应用，能熟记运算 法则的内容是解此题的关键，注意运算顺序 20如图，ABDC，AB=DC ，AC 与 BD 相交于点 O 求证：AO=CO 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】根据平行线的性质得出A=C，B=D ，根据 ASA 推出ABOCDO 即 可 【解答】证
28、明：ABDC， A= C，B= D， 在ABO 和CDO 中 ABOCDO（ASA ）， AO=CO 【点评】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出 ABOCDO 21如图，在直角坐标系中，ABC 各顶点的横、纵坐标都是整数，直线 m 上各点的横 坐标都为1 （1）作出ABC 关于直线 m 的对称图形A 1B1C1； （2）作出ABC 关于 x 轴对称的图形A 2B2C2； （3）写出A 2B2C2 的各顶点的坐标 【考点】作图-轴对称变换 【分析】（1）作出ABC 关于直线 m 的对称图形A 1B1C1 即可； （2）作出ABC 关于 x 轴对称的图形A 2B2C2
29、 即可； （3）根据各点在坐标系中的位置写出A 2B2C2 的各顶点的坐标 【解答】解：（1）、（2）如图所示： （3）由图可知，A 2（4，1），B 2（ 5，5），C 2（2， 5） 【点评】本题考查的是作图轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键 22解分式方程： +1= 【考点】解分式方程 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，检验即可得到 分式方程的解 【解答】解：去分母得：4x+2（x+3）=7， 解得：x= ， 经检验 x= 是原方程的解， 则原方程的解是 x= 【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 23（10
30、分）（2013 重庆）先化简，再求值： ，其中 x 是 不等式 3x+71 的负整数解 【考点】分式的化简求值；一元一次不等式的整数解 【分析】首先把分式进行化简，再解出不等式，确定出 x 的值，然后再代入化简后的分式 即可 【解答】解：原式= ， = ， = ， = ， 3x+71， 3x6， x2， x 是不等式 3x+71 的负整数解， x=1， 把 x=1 代入 中得： =3 【点评】此题主要考查了分式的化简求值，以及不等式的整数解，关键是正确把分式进行 化简 24（10 分）（2015 秋 丰都县期末）如图：在等边三角形 ABC 中，点 E 在线段 AB 上， 点 D 在 CB 的延
31、长线上，且 AE=BD，试确定线段 DE 与 EC 的大小关系，并说明理由 【考点】等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质 【分析】先过 E 作 EFBC ，交 AC 于 F，构造等边三角形 AEF，再根据 SAS 判定 BDEFEC，即可得出结论 【解答】解：DE=EC 理由：如图，过 E 作 EFBC，交 AC 于 F ABC 是等边三角形 AB=AC，A=ABC= ACB=60 EFBC AEF=ABC=60 ，AFE=ACB=60 AEF 是等边三角形 AE=AF=EF AE=BD，AB=AC BD=EF，BE=CF ABC=AFE=60 EBD=EFC=120 BDEFEC（SAS
32、 ） DE=EC 【点评】本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，证明角的关系以及三 角形全等是解决问题的关键 25（12 分）（2007 泰安）某书店老板去图书批发市场购买某种图书第一次用 1200 元 购书若干本，并按该书定价 7 元出售，很快售完由于该书畅销，第二次购书时，每本书 的批发价已比第一次提高了 20%，他用 1500 元所购该书数量比第一次多 10 本当按定价 售出 200 本时，出现滞销，便以定价的 4 折售完剩余的书试问该老板这两次售书总体上 是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？ 【考点】分式方程的应用 【分析】先考虑购书的
33、情况，设第一次购书的单价为 x 元，则第二次购书的单价为 1.2x 元， 第一次购书款 1200 元，第二次购书款 1500 元，第一次购书数目 ，第二次购书数目 ，第二次购书数目多 10 本关系式是：第一次购书数目+10=第二次购书数目 再计算两次购书数目，赚钱情况：卖书数目（实际售价当次进价），两次合计，就可以 回答问题了 【解答】解：设第一次购书的单价为 x 元， 第二次每本书的批发价已比第一次提高了 20%， 第二次购书的单价为 1.2x 元 根据题意得： （4 分） 解得：x=5 经检验，x=5 是原方程的解（6 分） 所以第一次购书为 12005=240（本） 第二次购书为 240
34、+10=250（本） 第一次赚钱为 240（75）=480（元） 第二次赚钱为 200（751.2 ）+50（70.4 51.2） =40（元） 所以两次共赚钱 480+40=520（元）（8 分） 答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了 520 元（9 分） 【点评】本题具有一定的综合性，应该把问题分成进书这一块，和卖书这一块，分别考虑， 掌握这次活动的流程分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关 键 26（12 分）（2013 东营）（1）如图（1），已知：在ABC 中，BAC=90 ， AB=AC，直线 m 经过点 A，BD直线 m，CE直线 m，垂足分别为点 D、E
35、 证明：DE=BD+CE （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在ABC 中，AB=AC，D、A、E 三点都在直线 m 上，并且有BDA= AEC= BAC= ，其中 为任意锐角或钝角请问结论 DE=BD+CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由 （3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是 D、A、E 三点所在直线 m 上的两动点 （D、A、E 三点互不重合），点 F 为BAC 平分线上的一点，且ABF 和ACF 均为等 边三角形，连接 BD、CE，若 BDA= AEC= BAC，试判断 DEF 的形状 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定 【分析】（1）根据
36、BD直线 m，CE 直线 m 得BDA=CEA=90 ，而BAC=90 ，根 据等角的余角相等得CAE=ABD，然后根据“AAS”可判断ADBCEA， 则 AE=BD，AD=CE，于是 DE=AE+AD=BD+CE； （2）与（1）的证明方法一样； （3）由前面的结论得到ADBCEA，则 BD=AE，DBA=CAE，根据等边三角形 的性质得ABF=CAF=60，则DBA+ABF=CAE+CAF，则DBF= FAE ， 利用“ SAS”可判断DBF EAF，所以 DF=EF，BFD= AFE，于是 DFE=DFA+AFE= DFA+BFD=60，根据等边三角形的判定方法可得到DEF 为 等边三角
37、形 【解答】证明：（1）BD直线 m，CE 直线 m， BDA=CEA=90， BAC=90， BAD+CAE=90， BAD+ABD=90 ， CAE=ABD， 在ADB 和CEA 中 ， ADBCEA（AAS ）， AE=BD，AD=CE， DE=AE+AD=BD+CE； （2）成立 BDA=BAC=， DBA+BAD= BAD+CAE=180， CAE=ABD， 在ADB 和CEA 中 ， ADBCEA（AAS ）， AE=BD，AD=CE， DE=AE+AD=BD+CE； （3）DEF 是等边三角形 由（2）知，ADBCEA， BD=AE，DBA=CAE， ABF 和 ACF 均为等边三角形， ABF=CAF=60， DBA+ABF=CAE+ CAF， DBF=FAE， BF=AF 在DBF 和 EAF 中 ， DBF EAF（SAS）， DF=EF，BFD=AFE， DFE=DFA+AFE= DFA+BFD=60， DEF 为等边三角形 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS ”、“ SAS”、 “ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等也考查了等边三角形的判定与性质
