1、第 1 页（共 29 页） 2015-2016 学年四川省乐山市峨眉山市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题 1若 x 的算术平方根为 8，则它的立方根是（ ） A2 B2 C4 D4 2方程（m+2）x |m|+3mx+1=0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ） Am=2 Bm=2 Cm=2 Dm2 3若关于 x 的一元二次方程 2x22x+3m1=0 的两个实数根 x1，x 2，且 x1x2x 1+x24，则实数 m 的取值范围是（ ） Am Bm Cm D m 4某个体商贩在一次买卖中，卖出两件上衣，每件都按 135 元出售，按成本计算，其中一件盈利 25%，另一件亏本 25%则在这次
2、买卖中他（ ） A不赔不赚 B赚 9 元 C赔 18 元 D赚 8 元 5若实数 x，y，z 满足关系式 2x+3yz=0，5x2y2z=0，则 x：y：z 的值为（ ） A2：3：1 B5：2：2 C8：1：19 D8：1：1 6若方程组 只有一组实数解，则 k 的值是（ ） A1 B1 C1 D0 7一等腰梯形中，高为 2，下底为 4，下底的底角正弦值为 ，那么它的上底和腰长分别为（ ） A2， B1， C1，2 D2，5 8如图，在ABCD 中，E 为 CD 的中点，AE 交 BD 于点 O，S DCE =12，则 SAOD 等于（ ） A24 B36 C48 D60 9在ABC 中，C
3、=90，A=30，若 CD 是高，且 CD=1，则 a，b，c 三边的长分别是（ ） Aa= ，b=2，c= Ba=2，b= ，c= 第 2 页（共 29 页） Ca= ，b=2，c= Da=2，b=2，c=4 10如图，从地面上 C、D 两处望山顶 A，仰角分别为 30和 45，若 C、D 两处相距 200 米，则 山高 AB 为（ ） A100（ +1）米 B100 米 C100 D200 11下列说法正确的是（ ） A一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了 2000 次，其中，抛掷出 5 点的次数最少，则第 2001 次一定 抛掷出 5 点 B某种彩票中奖的概率是 1%，因此买 100 张该种彩
4、票一定会中奖 C天气预报说明天下雨的概率是 50%，所以明天将有一半时间在下雨 D抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 12如图，矩形 ABCD 中，AD=a，AB=b，要使 BC 边上至少存在一点 P，使ABP、APD、CDP 两 两相似，则 a、b 间的关系式一定满足（ ） Aa b Bab Ca b Da2b 13如图，ABC 中，边 BC=12，高 AD=6矩形 MNPQ 的边在 BC 上，顶点 P 在 AB 上，顶点 N 在 AC 上，若 S 矩形 MNPQ=y，则 y 与 x 的关系式为（ ） Ay=6 x（0x12） By= x2+6x（0x12） Cy=2x 212x（
5、0x12） Dy= x2+6x（0x12） 第 3 页（共 29 页） 二、填空题 14计算： + （ 4） 0= ； 3 = 15m 是方程 x2x2=0 的根，则 m2m= 16观察下列等式：1 20 2=1；2 21 2=3；3 22 2=5；4 23 2=7；用含自然数 n 的等式表示你发现 的规律为 17如图，在ABC 中，D 为 AC 边上的中点，AEBC，ED 交 AB 于 G，交 BC 延长线于 F若 BG：GA=3：1，BC=10，则 AE 的长为 18为抵御百年不遇的洪水，某市政府决定将 1200m 长的大堤的迎水坡面铺石加固，堤高 DF=4m， 堤面加宽 2m，则完成这一
6、工程需要的石方数为 m 3 19如图，把矩形纸片 OABC 放入平面直角坐标系中，使 OA、OC 分别落在 x 轴、y 轴上，连接 OB， 将纸片 OABC 沿 OB 折叠，使点 A 落在点 A的位置，若 OB= ，tanBOC= ，则点 A的坐标为 第 4 页（共 29 页） 20下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容，请先阅读这段内容再解答问题，三角函数中 常用公式 sin（+）=sincos+cossin，求 sin75的值，即 sin75=sin（30 +45）=sin30os45+cos30sin45= 试用公式 cos（+） =cossinsincos，求出 cos75的值是 三
7、、计算题： 21计算： + |12 |（ 3） 0 22 cos30+sin245cos60 tan45 四、解答题 23如图，已知梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC，D=120，对角线 AC 平分BCD，且梯形周长为 20 厘米，求 AC 的长 24如图，在矩形 ABCD 中，ABBC，M 是 BC 的中点，DEAM 于点 E，且 AB、BC 的长是一元二次 方程 x27x+12=0 的两根，求DEM 的面积 25如图，一艘轮船原在 A 处，它的北偏东 45 方向上有一灯塔 P，轮船沿着北偏西 30 方向航行 4 小时到达 B 处，这时灯塔 P 正好在轮船的正东方向上，已知轮船的速度为
8、 25 海里/时求轮船在 B 处时与灯塔 P 的距离（结果保留根号） 第 5 页（共 29 页） 26某自然景区有一块长 12 米，宽 8 米的矩形花圃（如图所示），喷水无安装在矩对角线的交点 P 上，现计算从 P 点引 3 条射线，把花圃分成面积相等的三部分，分别种植三种不同的花，如果不 考虑分不分的间隙 （1）请你设计出符合题意方案示意图（只要求画出图形，至少设计两个方案）； （2）直接写出三条射线与矩形的有关边的交点位置； （3）试判断设计的方案中，所画出的三个面积相等的图形是否位似？ 27一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字 3、4、5从袋子中随机取出一 个小球，用小
9、球上的数字作为十位上的数字，然后放回；再取出一个小球，用小球上的数字作为个 位上的数字，这样组成一个两位数试问：按这种方法能组成哪些两位数十位上的数字与个位上的 数字之和为 9 的两位数的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明 五、解答题 28已知关于 x 的方程（k1）x 2+（2k3）x+k+1=0 有两个不相等的实数根 x1，x 2 （1）求 k 的取值范围； （2）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出 k 的值；如果不存在，请 说明理由 29已知：如图，在正方形 ABCD 中，AD=12，点 E 是边 CD 上的动点（点 E 不与端点 C，D 重合）， AE
10、的垂直平分线 FP 分别交 AD，AE，BC 于点 F，H，G，交 AB 的延长线于点 P （1）设 DE=m（0m12），试用含 m 的代数式表示 的值； （2）在（1）的条件下，当 时，求 BP 的长 第 6 页（共 29 页） 第 7 页（共 29 页） 2015-2016 学年四川省乐山市峨眉山市九年级（上）期末数 学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1若 x 的算术平方根为 8，则它的立方根是（ ） A2 B2 C4 D4 【考点】立方根；算术平方根 【分析】直接利用算术平方根的定义得出 x 的值，进而结合立方根的定义得出答案 【解答】解：x 的算术平方根为 8， x=64， 6
11、4 的立方根是：4 故选：C 【点评】此题主要考查了立方根以及算术平方根，正确得出 x 的值是解题关键 2方程（m+2）x |m|+3mx+1=0 是关于 x 的一元二次方程，则（ ） Am=2 Bm=2 Cm=2 Dm2 【考点】一元二次方程的定义 【专题】压轴题 【分析】本题根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件： （1）未知数的最高次数是 2； （2）二次项系数不为 0据此即可求解 【解答】解：由一元二次方程的定义可得 ，解得：m=2故选 B 【点评】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a，b，c 是常数且 a0）特别要注意 a0 的 条件这是在做题过程中容易忽视的知识点
12、 第 8 页（共 29 页） 3若关于 x 的一元二次方程 2x22x+3m1=0 的两个实数根 x1，x 2，且 x1x2x 1+x24，则实数 m 的取值范围是（ ） Am Bm Cm D m 【考点】根与系数的关系；根的判别式 【专题】压轴题 【分析】关于 x 的一元二次方程 2x22x+3m1=0 的两个实数根 x1，x 2，根据根与系数的关系得到 x1+x2= =1，x 1x2= = ，然后将其代入 x1x2x 1+x24 可得关于 m 的不等式，解不等式 即可求出 m 的取值范围同时一元二次方程 2x22x+3m1=0 的有两个实数根，有 =b24ac0，也得到关于 m 的不等式，
13、也可以得到一个 m 的取值范围把两个范围结合起来即可 求出 m 的取值范围 【解答】解：依题意得 x1+x2= =1，x 1x2= = ， 而 x1x2x 1+x24， 3， 得 m ； 又一元二次方程 2x22x+3m1=0 的有两个实数根， =b 24ac0， 即 442（3m1）0， 解可得 m m 故选 D 【点评】本题考查一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根与系数关系即韦达定理，两根之和是 ，两根 之积是 4某个体商贩在一次买卖中，卖出两件上衣，每件都按 135 元出售，按成本计算，其中一件盈利 25%，另一件亏本 25%则在这次买卖中他（ ） A不赔不赚 B赚 9 元 C赔 1
14、8 元 D赚 8 元 第 9 页（共 29 页） 【考点】一元一次方程的应用 【分析】要知道赔赚，就要先算出两件衣服的原价，要算出原价就要先设出未知数，然后根据题中 的等量关系列方程求解即可 【解答】解：设在这次买卖中原价都是 x， 则可列方程：（1+25%）x=135， 解得：x=108， 比较可知，第一件赚了 27 元； 第二件可列方程：（125%）x=135， 解得：x=180， 比较可知亏了 45 元， 两件相比则一共亏了 4527=18 元 故选 C 【点评】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明白盈利与亏本的含义，准确列出计算式， 计算结果，难度一般 5若实数 x，y，z 满
15、足关系式 2x+3yz=0，5x2y2z=0，则 x：y：z 的值为（ ） A2：3：1 B5：2：2 C8：1：19 D8：1：1 【考点】比例的性质；解三元一次方程组 【分析】将 z 看作常数，解关于 x、y 的二元一次方程组求出 x、y，然后相比计算即可得解 【解答】解：联立 ， 2 得，4x+6y2z=0， 3 得，15x6y6z=0， +得，19x=8z， 解得 x= z， 将 x= z 代入得，2 z+3yz=0， 解得 y= z， 第 10 页（共 29 页） 所以，方程组的解是 ， 所以，x：y：z= z： z：z=8：1：19 故选 C 【点评】本题考查了比例的性质，解三元一
16、次方程组，难点在于将一个未知数看作常数并表示出另 外两个未知数 6若方程组 只有一组实数解，则 k 的值是（ ） A1 B1 C1 D0 【考点】高次方程；根的判别式 【专题】创新题型 【分析】方程组有一个一次方程和一个二次方程构成，由于方程组只有一组实数解，所以一元二次 方程有两个相等的实数根把（2）代入（1），得到关于 x 的一元二次方程，令根的判别式为 0确定 k 的值 【解答】解： 由（2）得，3y=xk（3）；把（3）代入（1）得，x 24（xk） =0，即 x24x+4k=0由于方程组只有一组实数解，所以关于 x 的二次方程有两个相等的实数 根=（4） 2414k=1616k=0，
17、解得 k=1 故选 A 【点评】本题考查了方程组的解法和一元二次方程根的判别式理解“只有一组实数解”，把方程 组转化为一元二次方程是关键若解决本题，变形（2）用含 y 的代数式表示 x，题目会变的复 杂 7一等腰梯形中，高为 2，下底为 4，下底的底角正弦值为 ，那么它的上底和腰长分别为（ ） A2， B1， C1，2 D2，5 【考点】等腰梯形的性质；解直角三角形 第 11 页（共 29 页） 【分析】如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB=CD，作 AFBC 于 F，DEBC 于 E，则四边形 AFED 是矩形，先证明 RtABFRtDCE，再在 RtDCE 中，根据 sinC= =
18、 ，求出 DC，再根据勾股定 理求出 CE、BF 即可解决问题 【解答】解：如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AB=CD，作 AFBC 于 F，DEBC 于 E，则四边形 AFED 是矩形， ， 在 RtABF 和 RtDCE 中， ， RtABFRtDCE， BF=CE， 在 RtDCE 中，sinC= = ， = ， DC= ， EC=BF= = = ， AD=EF=BC2EC=42 =1 故选 B 【点评】本题考查等腰梯形的性质、解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是作双高， 把四边形问题转化为三角形问题，属于中考常考题型 8如图，在ABCD 中，E 为 CD 的中点，AE
19、 交 BD 于点 O，S DCE =12，则 SAOD 等于（ ） A24 B36 C48 D60 【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质 第 12 页（共 29 页） 【分析】根据相似三角形的性质，先证DOEBOA，求出相似比为 ，故 EO 与 AO 之比为 ，即 可求得 SAOD =2SDOE 【解答】解：在ABCD 中，E 为 CD 中点， DEAB，DE= AB， 在DOE 与BOA 中， DOE=BOA，OBA=ODE， DOEBOA， = = ， S AOD =2SDOE =212=24 故选（A） 【点评】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质寻找相似三角
20、形的一般方法 是通过平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角 形 9在ABC 中，C=90，A=30，若 CD 是高，且 CD=1，则 a，b，c 三边的长分别是（ ） Aa= ，b=2，c= Ba=2，b= ，c= Ca= ，b=2，c= Da=2，b=2，c=4 【考点】含 30 度角的直角三角形 【分析】根据含 30 度角的直角三角形求出 AB=2，根据三角形的内角和定理求出B，求出BCD， 根据三角函数求得 BC，根据直角三角形的性质求出 AB 即可 【解答】解：A=30，CD=1，CD 是高， b=AC=2CD=2， C=90， B=60， B
21、CD=30， 第 13 页（共 29 页） a=BC= = = ， c=AB=2BC= ， 故选 C 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，含 30 度角的直角三角形的性质等知识点的应用，关键 是熟练地运用含 30 度角的直角三角形性质进行推理，题目比较典型，难度适中 10如图，从地面上 C、D 两处望山顶 A，仰角分别为 30和 45，若 C、D 两处相距 200 米，则 山高 AB 为（ ） A100（ +1）米 B100 米 C100 D200 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【分析】设山高 AB 为 x，根据ADB=45可得出 AB=BD=x，在 RtABC 中，根据锐角三角
22、函数的定 义即可得出结论 【解答】解：设山高 AB 为 x， ADB=45， AB=BD=x， 在 RtABC 中， ACB=30， =tan30，即 = ，解得 x=100（ +1）米 故选 A 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的 关键 第 14 页（共 29 页） 11下列说法正确的是（ ） A一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了 2000 次，其中，抛掷出 5 点的次数最少，则第 2001 次一定 抛掷出 5 点 B某种彩票中奖的概率是 1%，因此买 100 张该种彩票一定会中奖 C天气预报说明天下雨的概率是 50%，所以明天将有一半时间在下雨
23、 D抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 【考点】概率的意义 【专题】压轴题 【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发 生 【解答】解：A、是随机事件，错误； B、中奖的概率是 1%，买 100 张该种彩票不一定会中奖，错误； C、明天下雨的概率是 50%，是说明天下雨的可能性是 50%，而不是明天将有一半时间在下雨，错误； D、正确 故选 D 【点评】正确理解概率的含义是解决本题的关键注意随机事件的条件不同，发生的可能性也不 等 12如图，矩形 ABCD 中，AD=a，AB=b，要使 BC 边上至少存在一点 P，使ABP、APD、CDP
24、两 两相似，则 a、b 间的关系式一定满足（ ） Aa b Bab Ca b Da2b 【考点】相似三角形的性质；根的判别式；解分式方程 【专题】压轴题；存在型；方程思想；转化思想 第 15 页（共 29 页） 【分析】本题可结合方程思想来解答由于ABP 和DCP 相似，可得出关于 AB、PC、BP、CD 的比 例关系式设 PC=x，那么 BP=ax，根据比例关系式可得出关于 x 的一元二次方程，由于 BC 边上 至少有一点符合条件的 P 点，因此方程的0，由此可求出 a、b 的大小关系 【解答】解：若设 PC=x，则 BP=ax， ABPPCD， ，即 ， 即 x2ax+b 2=0 方程有解
25、的条件是：a 24b 20， （a+2b）（a2b）0，则 a2b0， a2b 故本题选 D 【点评】本题是存在性问题，可以转化为方程问题，利用判断方程的解的问题来解决 13如图，ABC 中，边 BC=12，高 AD=6矩形 MNPQ 的边在 BC 上，顶点 P 在 AB 上，顶点 N 在 AC 上，若 S 矩形 MNPQ=y，则 y 与 x 的关系式为（ ） Ay=6 x（0x12） By= x2+6x（0x12） Cy=2x 212x（0x12） Dy= x2+6x（0x12） 【考点】相似三角形的判定与性质；根据实际问题列二次函数关系式；矩形的性质 【分析】先根据相似三角形的判定定理得出
26、APNABC，那么它们的对应边和对应高的比相等， 可据此求出APN 中 PN 边上的高的表达式，进而可求出 MN 的长，根据矩形的长和宽，即可得到 y、x 的函数关系式 【解答】解：设APN 中 PN 边上的高为 h， 矩形 MNPQ 的边在 BC 上，顶点 P 在 AB 上，顶点 N 在 AC 上， PNBC， APNABC， 第 16 页（共 29 页） ，即 ， h= x， MN=6 x， S 矩形 MNPQ=PNMN y=x（6 x）， 即 y= x2+6x（0x12） 故选（B） 【点评】本题主要考查的是相似三角形的应用及矩形的面积的计算，熟知相似三角形对应边成比例 是解答此题的关键
27、 二、填空题 14计算： + （ 4） 0= 1 ； 3 = 1 【考点】二次根式的混合运算；零指数幂 【分析】根据零指数幂、二次根式化简进行计算即可； 先把除法化为乘法，再进行计算即可 【解答】解：原式= + 1 = 1， 原式=3 =1， 第 17 页（共 29 页） 故答案为 1，1 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握把二次根式化为最简二次根式是解题的关键 15m 是方程 x2x2=0 的根，则 m2m= 2 【考点】一元二次方程的解 【分析】利用方程解的定义找到相等关系，再把 m 代入方程 x2x2=0 后即得 m2m=2 【解答】解：把 m 代入方程 x2x2=0，得到 m2
28、m2=0 则 m2m=2 故本题答案为 m2m=2 【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义 16观察下列等式：1 20 2=1；2 21 2=3；3 22 2=5；4 23 2=7；用含自然数 n 的等式表示你发现 的规律为 （n+1） 2n 2=2n+1 【考点】规律型：数字的变化类 【分析】观察几个等式可知，等式左边为相邻两数的平方差，右边的结果为两个底数的和，由此得 出一般规律 【解答】解：1 20 2=1=1+0；2 21 2=3=2+1；3 22 2=5=3+2；4 23 2=7=4+3， （n+1） 2n 2=（n+1）+n=2n+1 故答案为：（n+1） 2n 2=
29、2n+1 【点评】本题考查了数字变化的规律关键是观察等式左边两底数的关系及等式右边的结果与等式 左边两底数的关系 17如图，在ABC 中，D 为 AC 边上的中点，AEBC，ED 交 AB 于 G，交 BC 延长线于 F若 BG：GA=3：1，BC=10，则 AE 的长为 5 【考点】相似三角形的判定与性质 第 18 页（共 29 页） 【分析】先根据平行线分线段成比例求出 BF：AE 的值，再根据 D 是 AC 的中点得到 CF 与 AE 相等， 列出等式求解即可 【解答】解：AEBC AEGBFG BG：GA=3：1=BF：AE D 为 AC 边上的中点 AE：CF=1：1 AE=CF B
30、F：AE=（CF+BC）：AE=3：1 （AE+10）：AE=3：1 解得：AE=5 【点评】本题主要利用三角形的相似及中点的性质求 AE 的值 18为抵御百年不遇的洪水，某市政府决定将 1200m 长的大堤的迎水坡面铺石加固，堤高 DF=4m， 堤面加宽 2m，则完成这一工程需要的石方数为 144000 m 3 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 【分析】由题意可知，要求的石方数其实就是横截面为 ABCD 的立方体的体积那么求出四边形 ABCD 的面积即可 【解答】解：RtBFD 中，DBF 的坡度为 1：2， BF=2DF=8， S BDF =BFFD2=16 RtACE 中，A 的
31、坡度为 1：2.5， CE：AE=1：2.5，CE=DF=4，AE=10 S 梯形 AFDC=（AE+EF+CD）DF2=28 S 四边形 ABCD=S 梯形 AFDCS BFD =12 那么所需的石方数应该是 1212000=144000（立方米）， 第 19 页（共 29 页） 故答案为：144000 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数 的定义是解题的关键 19如图，把矩形纸片 OABC 放入平面直角坐标系中，使 OA、OC 分别落在 x 轴、y 轴上，连接 OB， 将纸片 OABC 沿 OB 折叠，使点 A 落在点 A的位置，若 OB=
32、，tanBOC= ，则点 A的坐标为 （ ， ） 【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质 【分析】如图，作辅助线；根据题意首先求出 AB、BC 的长度；借助面积公式求出 AD、OD 的长度， 即可解决问题 【解答】解：如图，过点 A作 ADx 轴与点 D； 设 AD=，OD=； 四边形 ABCO 为矩形， OAB=OCB=90；四边形 ABAD 为梯形； 设 AB=OC=，BC=AO=； OB= ，tanBOC= ， ， 解得：=2，=1； 由题意得：AO=AO=1；ABOABO； 由勾股定理得： 2+ 2=1， 由面积公式得： ； 第 20 页（共 29 页） 联立并解得：= ，= 故
33、答案为（ ， ） 【点评】该题以平面直角坐标系为载体，以翻折变换为方法构造而成；综合考查了矩形的性质、三 角函数的定义、勾股定理等几何知识点；对分析问题解决问题的能力提出了较高的要求 20下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容，请先阅读这段内容再解答问题，三角函数中 常用公式 sin（+）=sincos+cossin，求 sin75的值，即 sin75=sin（30 +45）=sin30os45+cos30sin45= 试用公式 cos（+） =cossinsincos，求出 cos75的值是 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】将 75化为 30和 45两个特殊角，然后根据特殊角的三角函数
34、值来解答 【解答】解：cos（+）=coscossinsin， =cos（30+45）=cos30cos45sin30sin45 = = ， 故答案为： 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答此题要熟记特殊角的三角函数值，并能把“新定义” 的问题转化为已知问题解答 三、计算题： 21计算： + |12 |（ 3） 0 【考点】二次根式的混合运算；零指数幂 【专题】计算题 第 21 页（共 29 页） 【分析】根据分母有理化、去绝对值、零指数幂可以解答本题 【解答】解： + |12 |（ 3） 0 = + （ 1）（2 1）1 = + 1 +12 +11 =2 【点评】本题考查二次根式的混合
35、运算、零指数幂，解题的关键是明确二次根式的混合运算的计算 方法，知道除零以外任何数的零次幂都等于 1 22 cos30+sin245cos60 tan45 【考点】特殊角的三角函数值 【分析】原式利用特殊角的三角函数值，以及乘方的意义计算即可得到结果 【解答】解： cos30+sin245cos60 tan45 = +（ ） 2 +11 = 【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 四、解答题 23如图，已知梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC，D=120，对角线 AC 平分BCD，且梯形周长为 20 厘米，求 AC 的长 【考点】梯形 【分析】由已
36、知可得梯形 ABCD 是等腰梯形，根据等腰梯形的性质及已知可求得 AB、BC 的长，再由 勾股定理求得 AC 的长即可， 【解答】解：在梯形 ABCD 中，AB=DC， 梯形 ABCD 是等腰梯形， 第 22 页（共 29 页） D+DCB=180， D=120， B=DCB=60， 对角线 CA 平分BCD， ACB=30， AD=DC， DAC=ACD=30， BAC=90， BC=2AB， 梯形的周长=AD+DC+BC+AB=5AB=20， AB=4，BC=8， AC= = =4 （cm） 【点评】此题主要考查学生对等腰梯形的性质及勾股定理的综合运用能力，关键是弄清各边之间的 关系，从而
37、根据周长求得各边的长 24如图，在矩形 ABCD 中，ABBC，M 是 BC 的中点，DEAM 于点 E，且 AB、BC 的长是一元二次 方程 x27x+12=0 的两根，求DEM 的面积 【考点】矩形的性质；解一元二次方程-因式分解法 【分析】先求出方程的解，求出 AB、BC，根据勾股定理求出 AM，证DEAABM，得出比例式， 求出 DE 和 AE，即可求出答案 【解答】解：解方程 x27x+12=0 得：x=3 或 4， ABBC，AB、BC 的长是一元二次方程 x27x+12=0 的两根， AB=3，BC=4， 四边形 ABCD 是矩形，M 为 BC 的中点， AD=BC=4，BM=C
38、M=2，B=90，ADBC， 第 23 页（共 29 页） DAE=AMB， 由勾股定理得：AM= = ， DEAM， DEA=B=90， DEAABM， = = ， = = ， 解得：DE= ，AE= ， EM=AMAE= = ， DEM 的面积为 DEEM= = 【点评】本题考查了解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的性质和判定，矩形的性质的应用， 能求出 DE、AM 的长是解此题的关键 25如图，一艘轮船原在 A 处，它的北偏东 45 方向上有一灯塔 P，轮船沿着北偏西 30 方向航行 4 小时到达 B 处，这时灯塔 P 正好在轮船的正东方向上，已知轮船的速度为 25 海里/时求轮船在
39、B 处时与灯塔 P 的距离（结果保留根号） 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题 【分析】可做 ACBP，从而构造两个直角三角形，再根据特殊角的三角函数值解答即可 【解答】解：作 ACBP，在 RtABC 中，BAC=30，AB=254=100， BC=50，AC=50 ， 在 RtACP 中，CAP=APC=45， CP=AC=50 BP=BC+CP=50+50 第 24 页（共 29 页） 答：轮船在 B 处时与灯塔 P 的距离为（50+50 ）海里 【点评】本题主要考查方向角问题，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直 角三角形的问题，解决的方法就是作高线 26某自然景
40、区有一块长 12 米，宽 8 米的矩形花圃（如图所示），喷水无安装在矩对角线的交点 P 上，现计算从 P 点引 3 条射线，把花圃分成面积相等的三部分，分别种植三种不同的花，如果不 考虑分不分的间隙 （1）请你设计出符合题意方案示意图（只要求画出图形，至少设计两个方案）； （2）直接写出三条射线与矩形的有关边的交点位置； （3）试判断设计的方案中，所画出的三个面积相等的图形是否位似？ 【考点】作图应用与设计作图；位似变换 【分析】（1）将长方形的四个边均三等分，将三等分点都与中心点连接，这样就做成了 12 个等面 积的小三角形，把它们任意相邻的四个组合在一起即可； （2）根据各点为正方形边长的
41、三等分点即可得出结论； （3）根据三个图形的边长即可得出结论 【解答】解：（1）如图所示 射线 PE，PF 及 PB 即为所求； （2）点 E 为线段 AD 的三等分点，点 F 为线段 CD 的三等分点，AD=12 米，CD=8 米， AE= 12=4 米，CF= 8= 米， 点 E 在距点 A4 米处；点 F 在距点 C 米处；点 B 为矩形的顶点； （3）由图可知，所画出的三个面积相等的图形不相似 第 25 页（共 29 页） 【点评】本题考查的是作图应用与设计作图，熟知矩形的性质是解答此题的关键 27（2006沈阳）一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字 3、4、5从袋
42、子中随机取出一个小球，用小球上的数字作为十位上的数字，然后放回；再取出一个小球，用小球 上的数字作为个位上的数字，这样组成一个两位数试问：按这种方法能组成哪些两位数十位上的 数字与个位上的数字之和为 9 的两位数的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明 【考点】列表法与树状图法 【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该 事件的概率 【解答】解：方法一 第一次 第二次 3 4 5 3 （3，3） （3，4） （3，5） 4 （4，3） （4，4） （4，5） 5 （5，3） （5，4） （5，5） ； 方法二 因此，能组成的两位数有：33、34、3
43、5、43、44、45、53、54、55， 组成的两位数有 9 个， 其中，十位上数字与个位上数字之和为 9 的两位数有两个， 第 26 页（共 29 页） P（十位上数字与个位上数字之和为 9 的两位数）= 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列 出所有可能的结果，适合于两步完成的事件用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之 比 五、解答题 28已知关于 x 的方程（k1）x 2+（2k3）x+k+1=0 有两个不相等的实数根 x1，x 2 （1）求 k 的取值范围； （2）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出 k 的值
44、；如果不存在，请 说明理由 【考点】根与系数的关系 【专题】计算题 【分析】（1）因为方程（k1）x 2+（2k3）x+k+1=0 有两个不相等的实数根 x1，x 2得出其判别 式0，可解得 k 的取值范围； （2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可解的 k 的值 【解答】解：（1）方程（k1）x 2+（2k3）x+k+1=0 有两个不相等的实数根 x1，x 2， 可得 k10， k1 且=12k+130， 可解得 且 k1； （2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x 1，x 2， x 1+x2=0， ， ， 又 且 k1 k 不存在 第 27 页（共 29
45、 页） 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握 x1，x 2是方程 x2+px+q=0 的两根 时，x 1+x2=p，x 1x2=q 29已知：如图，在正方形 ABCD 中，AD=12，点 E 是边 CD 上的动点（点 E 不与端点 C，D 重合）， AE 的垂直平分线 FP 分别交 AD，AE，BC 于点 F，H，G，交 AB 的延长线于点 P （1）设 DE=m（0m12），试用含 m 的代数式表示 的值； （2）在（1）的条件下，当 时，求 BP 的长 【考点】正方形的性质；平行线的性质；相似三角形的判定与性质 【专题】几何综合题；压轴题 【分析】（1）通过构建相似三
46、角形来求解，过点 H 作 MNAB，分别交 AD，BC 于 M，N 两点那么 MH 就是三角形 ADE 的中位线，MH= m，那么 HN=12 m，只要证出两三角形相似，就可表示出 FH：HG 的值，已知了一组对顶角，一组直角，那么两三角形就相似，FH：HG=MH：NH，也就能得到 所求的值 （2）可通过构建相似三角形求解，过点 H 作 HKAB 于点 K，那么 HN=KB，MH=AK，根据 FH：HG=1：2，就能求出 m 的值，也就求出了 MH，HN 的长，又知道了 HK 的长，那么通过三角形 AKH 和 HKP 相似我们可得出关于 AK，KH，KP 的比例关系，就可求出 KP 的长，然后 BP=KPKB 就能 求出 BP 的长了 【解答】解：（1）过点 H 作 MNAB，分别交 AD，BC 于 M，N 两点， FP 是线段 AE 的垂直
