1、2016-2017 学年安徽省六安市裕安区九年级（上）期末数学模拟 试卷 一、填空题（本大题共 10 小题，共 30 分） 1化简：| |= 2将方程 x24x1=0 化为（xm） 2=n 的形式，其中 m，n 是常数，则 m+n= 3在函数 中，自变量 x 的取值范围是 4半径为 1 的圆内接正三角形的边心距为 5点 A（a ， 3）与点 B（4，b ）关于原点对称，则 a+b= 6设 x1，x 2 是一元二次方程 x22x3=0 的两根，则 x12+x22= 7已知 AB 是O 的弦，AB=8cm，OC AB 与 C，OC=3cm，则O 的半径为 cm 8如图，AB 是O 的直径，C，D
2、是O 上的两点，若BCD=28，则ABD= 9在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线 y=a（x3） 2+k 与 y 轴的交点，点 B 是 这条抛物线上的另一点，且 ABx 轴，则以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长 为 10如图，正方形 ABCD 的边长为 1，中心为点 O，有一边长大小不定的正六边 形 EFGHIJ 绕点 O 可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形 ABCD 内（包括正方形的边），当这个正六边形的边长最大时，AE 的最小值为 二、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 11等式 =
3、 成立的条件是（ ） Ax 1 Bx1 C 1x 1 Dx1 或 x 1 12下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ） A B C D 13下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ ） A B C D 14若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中 随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是（ ） A B C D 15已知O 的半径为 6，A 为线段 PO 的中点，当 OP=10 时，点 A 与O 的位 置关系为（ ） A在圆上 B在圆外 C在圆内 D不确定 16如图，ABC 内接于 O ，OBC=40，则A 的度数为（ ） A80 B100 C110 D1
4、30 17如图，边长为 a 的正六边形内有一边长为 a 的正三角形，则 =（ ） A3 B4 C5 D6 18如图，在 44 正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中 黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是（ ） A B C D 19将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面 上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是 8cm，水的最 大深度是 2cm，则杯底有水部分的面积是（ ） A（ 4 ）cm 2 B（ 8 ）cm 2 C（ 4 ）cm 2 D（ 2 ）cm 2 20如图，O 的半径为 1，正方形 ABCD 的对角线长为 6，OA=4若将
5、O 绕 点 A 按顺时针方向旋转 360，在旋转过程中，O 与正方形 ABCD 的边只有一 个公共点的情况一共出现（ ） A3 次 B4 次 C5 次 D6 次 三、计算题（本大题共 1 小题，共 5 分） 21（5 分）计算：（ ）（5 ） 四、解答题（本大题共 6 小题，共 45 分） 22（9 分）阅读下面问题： ； ； 试求：（1） 的值； （2） （n 为正整数）的值 （3）计算： 23（7 分）如图，CD 为 O 的直径，CDAB，垂足为点 F，AOBC，垂足为 点 E，AO=1 （1）求C 的大小； （2）求阴影部分的面积 24（7 分）如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，过
6、 AC 的中点 O 作 EFAC，交 BC 于点 E，交 AD 于点 F，连接 AE，CF （1）求证：四边形 AECF 是菱形； （2）若 AB= ，DCF=30，求四边形 AECF 的面积（结果保留根号） 25（8 分）如图，转盘 A 的三个扇形面积相等，分别标有数字 1，2，3，转 盘 B 的四个扇形面积相等，分别有数字 1，2，3，4转动 A、B 转盘各一次， 当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形 的交线上时，重新转动转盘） （1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果； （2）求两个数字的积为奇数的概率 26（7 分）某地区 2014 年投入教育经费
7、2900 万元， 2016 年投入教育经费 3509 万元 （1）求 2014 年至 2016 年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四， 结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到 2018 年需投入教育经费 4250 万元，如果按（1）中教育经费投入的增长率，到 2018 年该地区投入的教育经 费是否能达到 4250 万元？请说明理由 （参考数据： =1.1， =1.2， =1.3， =1.4） 27（7 分）如图，O 的直径为 AB，点 C 在圆周上（异于 A，B）， ADCD （1）若 BC=3，AB=5，求 AC 的值
8、； （2）若 AC 是 DAB 的平分线，求证：直线 CD 是 O 的切线 五、综合题（本大题共 1 小题，共 10 分） 28（10 分）在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，且 EAF=CEF=45 （1）将ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到ABG（如图），求证： AEGAEF ； （2）若直线 EF 与 AB，AD 的延长线分别交于点 M，N（如图），求证： EF2=ME2+NF2； （3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图），请你直 接写出线段 EF，BE，DF 之间的数量关系 2016-2017 学年安徽省六安市裕安区九年级（上）期末
9、 数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共 10 小题，共 30 分） 1化简：| |= 【考点】实数的性质 【分析】要先判断出 0，再根据绝对值的定义即可求解 【解答】解： 0 | |=2 故答案为：2 【点评】此题主要考查了绝对值的性质要注意负数的绝对值是它的相反数 2将方程 x24x1=0 化为（xm） 2=n 的形式，其中 m，n 是常数，则 m+n= 7 【考点】解一元二次方程-配方法 【分析】移项后配方得出（x2） 2=5，即可求出 m、n 的值，代入 m+n 求出即 可 【解答】解：x 24x1=0， 移项得：x 24x=1， 配方得：x 24x+4=1+4， （x
10、2） 2=5， m=2，n=5， m+n=5+2=7 ， 故答案为：7 【点评】本题考查了解一元二次方程的方法配方法，解此题的关键是求出 m、n 的值，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目 3在函数 中，自变量 x 的取值范围是 x0 且 x2 【考点】函数自变量的取值范围；零指数幂 【分析】根据被开方数大于等于 0，分母不等于 0，零指数幂的底数不等于 0 列 式计算即可得解 【解答】解：由题意得，x0 且 x20，x +10， 解得 x0 且 x2，x1， 所以，x0 且 x2 故答案为：x0 且 x2 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式
11、时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 4半径为 1 的圆内接正三角形的边心距为 【考点】正多边形和圆 【分析】作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形 中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距 【解答】解：如图，ABC 是O 的内接等边三角形，OB=1，ODBC 等边三角形的内心和外心重合， OB 平分ABC ，则OBD=30； ODBC ，OB=1 ， OD= 故答案为： 【点评】考查了等边三角形的性质注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同 心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距
12、等于内切圆半径 5点 A（a ， 3）与点 B（4，b ）关于原点对称，则 a+b= 1 【考点】关于原点对称的点的坐标 【分析】根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反 数，则 a+（4）=0 且 3+b=0，从而得出 a，b ，推理得出结论 【解答】解：根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为 相反数， a +（4 ）=0，3+b=0， 即：a=4 且 b=3， a +b=1 【点评】本题主要考查了平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标 都互为相反数，该题比较简单 6设 x1，x 2 是一元二次方程 x22x3=0 的两根，则 x12+x22=
13、10 【考点】根与系数的关系 【分析】利用根与系数的关系确定出原式的值即可 【解答】解：x 1，x 2 是一元二次方程 x22x3=0 的两根， x 1+x2=2，x 1x2=3， 则原式=（x 1+x2） 22x1x2=4+6=10， 故答案为：10 【点评】此题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关 键 7已知 AB 是O 的弦，AB=8cm，OC AB 与 C，OC=3cm，则O 的半径为 5 cm 【考点】垂径定理；勾股定理 【分析】根据垂径定理可将 AC 的长求出，再根据勾股定理可将 O 的半径求 出 【解答】解：由 OCAB，可得 AC=BC= AB=4cm， 在
14、 RtACO 中，AC=4，OC=3， 由勾股定理可得，AO= =5（cm）， 即O 的半径为 5cm 故答案为：5 【点评】本题综合考查了圆的垂径定理与勾股定理的运用垂直弦的直径平分 这条弦，并且平分弦所对的两条弧 8如图，AB 是O 的直径，C，D 是O 上的两点，若BCD=28，则ABD= 62 【考点】圆周角定理 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得到ACB=90，求出BCD ，根据圆周 角定理解答即可 【解答】解：AB 是O 的直径， ACB=90 ， BCD=28， ACD=62， 由圆周角定理得，ABD=ACD=62， 故答案为：62 【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握直
15、径所对的圆周角是直角、同 弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键 9在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线 y=a（x3） 2+k 与 y 轴的交点，点 B 是 这条抛物线上的另一点，且 ABx 轴，则以 AB 为边的等边三角形 ABC 的周长 为 18 【考点】二次函数的性质；等边三角形的性质 【分析】根据抛物线解析式求出对称轴为 x=3，再根据抛物线的对称性求出 AB 的长度，然后根据等边三角形三条边都相等列式求解即可 【解答】解：抛物线 y=a（x 3） 2+k 的对称轴为 x=3，且 ABx 轴， AB=23=6， 等边ABC 的周长=3 6=18 故答案为：18 【点评】本题考查了二次函
16、数的性质，等边三角形的周长计算，熟练掌握抛物 线的对称轴与两个对称点之间的关系是解题的关键 10如图，正方形 ABCD 的边长为 1，中心为点 O，有一边长大小不定的正六边 形 EFGHIJ 绕点 O 可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形 ABCD 内（包括正方形的边），当这个正六边形的边长最大时，AE 的最小值为 【考点】轨迹 【分析】当正六边形 EFGHIJ 的边长最大时，要使 AE 最小，六边形对角线 EH 与 正方形对角线 AC 重合就可解决问题 【解答】解：如图所示，过点 F 作 FQCD 于点 Q， 当正六边形对角线 EH 与正方形对角线 AC 重合，且六边形与正方形
17、四个边都相 切时，六边形的边长最大，此时 AE 最小， 设正六边形的半径、边长为 r，则 DI=BF= r， 在 RtFIQ 中， FQ=1，FI=2r，IQ=1 r， 由勾股定理可得： FI2=FQ2+IQ2， 即：（2r） 2=（1 r） 2+1 解得：r= ， OA= ， AE=OAr= ， 则 AE 的最小值为 故答案为 【点评】本题考查了正多边形的性质与运动的轨迹问题，解决本题的关键是首 先找到正六边形的边长最大时正六边形在正方形内的位置，再旋转正六边形使 得 AE 最小 二、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分在每小题给出的四个 选项中，只有一个选项是符合题目
18、要求的） 11等式 = 成立的条件是（ ） Ax 1 Bx1 C 1x 1 Dx1 或 x 1 【考点】二次根式的乘除法 【分析】依据二次根式乘法法则求解即可 【解答】解： = 成立， x+10，x10 解得：x1 故选：A 【点评】本题主要考查的是二次根式成立的条件，熟练掌握二次根式成立的条 件是解题的关键 12下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ） A B C D 【考点】中心对称图形 【分析】根据中心对称图形的概念求解 【解答】解：A、是中心对称图形故错误； B、是中心对称图形故错误； C、不是中心对称图形故正确； D、是中心对称图形故错误 故选 C 【点评】本题考查了中心对称图形的
19、概念，中心对称图形是要寻找对称中心， 旋转 180 度后与原图重合 13下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ ） A B C D 【考点】同类二次根式 【分析】先把每一个二次根式化为最简二次根式，然后找出与 2 被开方数相 同的二次根式 【解答】解： =2 ； A、 =3 ，被开方数是 2；故本选项错误； B、 是最简二次根式，被开方数是 30；故本选项错误； C、 =4 被开方数是 3；故本选项错误； D、 =3 ，被开方数是 6；故本选项正确 故选 D 【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后， 被开方数相同的二次根式称为同类二次根式 14若在“正三角形、平行
20、四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中 随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是（ ） A B C D 【考点】概率公式；中心对称图形 【分析】根据中心对称图形的定义得到平行四边形、菱形和正六边形是中心对 称图形，于是利用概率公式可计算出抽到的图形属于中心对称图形的概率 【解答】解：这五种图形中，平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形， 所以这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率= 故选 C 【点评】本题考查了概率公式：随机事件 A 的概率 P（A）= 事件 A 可能出现的 结果数除以所有可能出现的结果数也考查了中心对称图形 15已知O 的半径
21、为 6，A 为线段 PO 的中点，当 OP=10 时，点 A 与O 的位 置关系为（ ） A在圆上 B在圆外 C在圆内 D不确定 【考点】点与圆的位置关系 【分析】知道 OP 的长，点 A 是 OP 的中点，得到 OA 的长与半径的关系，求出 点 A 与圆的位置关系 【解答】解：OP=10，A 是线段 OP 的中点， OA=5，小于圆的半径 6， 点 A 在圆内 故选 C 【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，根据 OP 的长和点 A 是 OP 的中点， 得到 OA=5，小于圆的半径，可以确定点 A 的位置 16如图，ABC 内接于 O ，OBC=40，则A 的度数为（ ） A80 B100
22、C110 D130 【考点】圆周角定理 【分析】连接 OC，然后根据等边对等角可得：OCB=OBC=40，然后根据三 角形内角和定理可得BOC=100，然后根据周角的定义可求：1=260，然后 根据圆周角定理即可求出A 的度数 【解答】解：连接 OC，如图所示， OB=OC， OCB=OBC=40 ， BOC=100， 1+BOC=360 ， 1=260， A= 1， A=130 故选：D 【点评】此题考查了圆周角定理此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应 用，解题的关键是：熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半 17如图，边长为 a 的正六边形内有一
23、边长为 a 的正三角形，则 =（ ） A3 B4 C5 D6 【考点】正多边形和圆 【分析】根据边长为 a 的正六边形的面积是边长是 a 的等边三角形的面积的 6 倍即可得出结论 【解答】解：边长为 a 的正六边形的面积是边长是 a 的等边三角形的面积的 6 倍， 设 S 空白=x，则 S 阴影=6x x=5x， =5 故选 C 【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知边长为 a 的正六边形的面积是边长 为 a 的等边三角形的面积的 6 倍是解答此题的关键 18如图，在 44 正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中 黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是（ ） A B C D 【
24、考点】概率公式；利用轴对称设计图案 【分析】由在 44 正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有 12 种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有 2 种情况， 直接利用概率公式求解即可求得答案 【解答】解：在 44 正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共 有 12 种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有 2 种情 况， 使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率是：212= 故选 C 【点评】此题考查了概率公式的应用注意用到的知识点为：概率=所求情况数 与总情况数之比 19将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌
25、面 上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是 8cm，水的最 大深度是 2cm，则杯底有水部分的面积是（ ） A（ 4 ）cm 2 B（ 8 ）cm 2 C（ 4 ）cm 2 D（ 2 ）cm 2 【考点】垂径定理的应用；扇形面积的计算 【分析】作 ODAB 于 C，交小O 于 D，则 CD=2，由垂径定理可知 AC=CB， 利用正弦函数求得OAC=30，进而求得AOC=120，利用勾股定理即可求出 AB 的值，从而利用 S 扇形 SAOB 求得杯底有水部分的面积 【解答】解：作 ODAB 于 C，交小O 于 D，则 CD=2，AC=BC ， OA=OD=4，CD=2 ， OC
26、=2， 在 RTAOC 中，sinOAC= = ， OAC=30， AOB=120， AC= =2 ， AB=4 ， 杯底有水部分的面积=S 扇形 SAOB = 2=（ 4 ）cm 2 故选 A 【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构 造出直角三角形是解答此题的关键 20如图，O 的半径为 1，正方形 ABCD 的对角线长为 6，OA=4若将O 绕 点 A 按顺时针方向旋转 360，在旋转过程中，O 与正方形 ABCD 的边只有一 个公共点的情况一共出现（ ） A3 次 B4 次 C5 次 D6 次 【考点】直线与圆的位置关系；正方形的性质；旋转的性质 【分析】根
27、据O 的半径为 1，正方形 ABCD 的对角线长为 6，OA=4 ，得出圆 O 与以 A 为圆心，以 4 为半径的圆相外切即可得到答案 【解答】解：如图，O 的半径为 1，正方形 ABCD 的对角线长为 6，OA=4 ， O 与正方形 ABCD 的边 AB、AD 只有一个公共点的情况各有 1 次，与边 BC、 CD 只有一个公共点的情况各有 1 次 在旋转过程中，O 与正方形 ABCD 的边只有一个公共点的情况一共出现 4 次 故选 B 【点评】此题考查直线与圆的位置关系，关键是注意：当对角线长和 OA 的长 满足一定的条件时，会出现O 与 AB、AD 只有一个公共点的情况可能各有 2 次，或
28、O 与 BC、CD 同时相切等情况 三、计算题（本大题共 1 小题，共 5 分） 21计算：（ ）（5 ） 【考点】二次根式的混合运算 【分析】利用多项式乘多项式展开，再根据二次根式的性质化简得到原式=25 10 +10 6 ，然后合并即可 【解答】解：原式=25 10 +10 6 =19 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式， 在进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式 四、解答题（本大题共 6 小题，共 45 分） 22阅读下面问题： ； ； 试求：（1） 的值； （2） （n 为正整数）的值 （3）计算： 【考点】分母有理化 【分析】（1）（2）仿照题
29、目所给的分母有理化的方法进行计算； （3）将每一个二次根式分母有理化，再寻找抵消规律 【解答】解：（1） = = = ； （2） = = = ； （3）原式= 1+ + + + = 1=101=9 【点评】主要考查二次根式的有理化根据二次根式的乘除法法则进行二次根 式有理化二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理 化因式是符合平方差公式的特点的式子即一项符号和绝对值相同，另一项符 号相反绝对值相同 23如图，CD 为O 的直径，CDAB，垂足为点 F，AOBC，垂足为点 E， AO=1 （1）求C 的大小； （2）求阴影部分的面积 【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；扇形
30、面积的计算 【分析】（1）根据垂径定理可得 = ，C= AOD，然后在 RtCOE 中可 求出C 的度数 （2）连接 OB，根据（1）可求出AOB=120，在 RtAOF 中，求出 AF，OF， 然后根据 S 阴影 =S 扇形 OABSOAB ，即可得出答案 【解答】解：（1）CD 是圆 O 的直径，CDAB， = ， C= AOD， AOD=COE ， C= COE ， AOBC， C=30 （2）连接 OB， 由（1）知，C=30， AOD=60 ， AOB=120， 在 RtAOF 中，AO=1 ，AOF=60 ， AF= ，OF= ， AB= ， S 阴影 =S 扇形 OADBSOAB
31、 = = 【点评】本题考查了垂径定理及扇形的面积计算，解答本题的关键是利用解直 角三角形的知识求出C、 AOB 的度数，难度一般 24如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，过 AC 的中点 O 作 EFAC，交 BC 于点 E，交 AD 于点 F，连接 AE，CF （1）求证：四边形 AECF 是菱形； （2）若 AB= ，DCF=30，求四边形 AECF 的面积（结果保留根号） 【考点】矩形的性质；菱形的判定 【分析】（1）由过 AC 的中点 O 作 EFAC，根据线段垂直平分线的性质，可得 AF=CF，AE=CE，OA=OC，然后由四边形 ABCD 是矩形，易证得AOFCOE， 则可得
32、AF=CE，继而证得结论； （2）由四边形 ABCD 是矩形，易求得 CD 的长，然后利用三角函数求得 CF 的长， 继而求得答案 【解答】（1）证明：O 是 AC 的中点，且 EFAC， AF=CF，AE=CE，OA=OC ， 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， AFO= CEO， 在AOF 和COE 中， ， AOFCOE （AAS ）， AF=CE， AF=CF=CE=AE， 四边形 AECF 是菱形； （2）解：四边形 ABCD 是矩形， CD=AB= ， 在 RtCDF 中，cosDCF= ，DCF=30， CF= =2， 四边形 AECF 是菱形， CE=CF=2， 四边形 A
33、ECF 是的面积为：ECAB=2 【点评】此题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质以及三角函数等知识注 意证得AOFCOE 是关键 25如图，转盘 A 的三个扇形面积相等，分别标有数字 1，2，3，转盘 B 的四 个扇形面积相等，分别有数字 1，2，3，4转动 A、B 转盘各一次，当转盘停 止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在四个扇形的交线上 时，重新转动转盘） （1）用树状图或列表法列出所有可能出现的结果； （2）求两个数字的积为奇数的概率 【考点】列表法与树状图法 【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果； （2）由两个数字的积为奇数的情况，再利
34、用概率公式即可求得答案 【解答】解：（1）画树状图得： 则共有 12 种等可能的结果； （2）两个数字的积为奇数的 4 种情况， 两个数字的积为奇数的概率为： = 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率=所求情 况数与总情况数之比 26某地区 2014 年投入教育经费 2900 万元，2016 年投入教育经费 3509 万 元 （1）求 2014 年至 2016 年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）按照义务教育法规定，教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四， 结合该地区国民生产总值的增长情况，该地区到 2018 年需投入教育经费 4250 万元，如果按（1）中
35、教育经费投入的增长率，到 2018 年该地区投入的教育经 费是否能达到 4250 万元？请说明理由 （参考数据： =1.1， =1.2， =1.3， =1.4） 【考点】一元二次方程的应用 【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量（ 1+增长率），2015 年要投入 教育经费是 2900（1+x）万元，在 2015 年的基础上再增长 x，就是 2016 年的教 育经费数额，即可列出方程求解 （2）利用（1）中求得的增长率来求 2018 年该地区将投入教育经费 【解答】解：（1）设增长率为 x，根据题意 2015 年为 2900（1+x）万元，2016 年为 2900（1 +x） 2 万元 则
36、 2900（1+x） 2=3509， 解得 x=0.1=10%，或 x=2.1（不合题意舍去） 答：这两年投入教育经费的平均增长率为 10% （2）2018 年该地区投入的教育经费是 3509（1+10%） 2=4245.89（万元） 4245.894250， 答：按（1）中教育经费投入的增长率，到 2018 年该地区投入的教育经费不能 达到 4250 万元 【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识增长前的量（1+年平均 增长率） 年数 =增长后的量 27如图，O 的直径为 AB，点 C 在圆周上（异于 A，B），ADCD （1）若 BC=3，AB=5，求 AC 的值； （2）若 AC 是
37、 DAB 的平分线，求证：直线 CD 是 O 的切线 【考点】切线的判定 【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾 股定理求得 AC 的长即可； （2）连接 OC，证 OCCD 即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得 OCA=CAD，即可得到 OCAD，由于 ADCD，那么 OCCD，由此得证 【解答】（1）解：AB 是O 直径，C 在O 上， ACB=90 ， 又BC=3，AB=5， 由勾股定理得 AC=4； （2）证明：连接 OC AC 是DAB 的角平分线， DAC=BAC， 又ADDC， ADC=ACB=90， ADCACB ， DCA=CBA， 又
38、OA=OC， OAC=OCA， OAC +OBC=90， OCA +ACD=OCD=90， DC 是O 的切线 【点评】此题主要考查的是切线的判定方法要证某线是圆的切线，已知此线 过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可 五、综合题（本大题共 1 小题，共 10 分） 28（10 分）（2015福建）在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上， 且EAF=CEF=45 （1）将ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到ABG（如图），求证： AEGAEF ； （2）若直线 EF 与 AB，AD 的延长线分别交于点 M，N（如图），求证： EF2=ME2+NF2；
39、（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图），请你直 接写出线段 EF，BE，DF 之间的数量关系 【考点】四边形综合题 【分析】（1）根据旋转的性质可知 AF=AG，EAF= GAE=45 ，故可证 AEGAEF ； （2）将ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到ABG，连结 GM由（1）知 AEGAEF ，则 EG=EF再由BME、DNF、 CEF 均为等腰直角三角形，得 出 CE=CF，BE=BM ，NF= DF，然后证明GME=90，MG=NF ，利用勾股定理得 出 EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明 EF2=ME2+NF2； （3）延长 EF 交 AB 延长
40、线于 M 点，交 AD 延长线于 N 点，将ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到AGH，连结 HM，HE 由（1）知AEH AEF ，结合 勾股定理以及相等线段可得（GH+BE ） 2+（BE GH） 2=EF2，所以 2（DF 2+BE2） =EF2 【解答】（1）证明：ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到ABG， AF=AG，FAG=90， EAF=45 ， GAE=45， 在AGE 与AFE 中， ， AGEAFE（SAS）； （2）证明：设正方形 ABCD 的边长为 a 将ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到ABG，连结 GM 则ADFABG，DF=BG 由（1）知A
41、EGAEF， EG=EF CEF=45， BME、 DNF、CEF 均为等腰直角三角形， CE=CF，BE=BM ，NF= DF， a BE=aDF， BE=DF ， BE=BM=DF=BG， BMG=45 ， GME=45 +45=90， EG 2=ME2+MG2， EG=EF，MG= BM= DF=NF， EF 2=ME2+NF2； （3）解：EF 2=2BE2+2DF2 如图所示，延长 EF 交 AB 延长线于 M 点，交 AD 延长线于 N 点， 将ADF 绕着点 A 顺时针旋转 90，得到AGH，连结 HM，HE 由（1）知AEHAEF， 则由勾股定理有（GH+BE ） 2+BG2=EH2， 即（GH+BE ） 2+（BMGM） 2=EH2 又EF=HE， DF=GH=GM，BE=BM ，所以有（GH+BE） 2+（BEGH） 2=EF2， 即 2（DF 2+BE2）=EF 2 【点评】本题是四边形综合题，其中涉及到正方形的性质，旋转的性质，全等 三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定 理准确作出辅助线利用数形结合及类比思想是解题的关键
