1、八数下期期末 专题 复 习 和 训练 ：几何 计 算、 证 明 题 第 1 页（共 10 页） 第 2 页 （共 10 页） 八年级数学下册期末专题复习和训练：几何计算题、证明题 赵化中学 郑宗平 一、题型特点：四边形（五种常见的） 、三角形的中位线、矩形的推论穿插其中， 二、常见新型题型：动点、折纸、开放（条件、结论开放） 、探索性（数量关系、位置关系） ， 三、图形搭建：三角形中搭建四边形、四边形中搭建三角形、组合图形， 下面我根据图形搭建结构特征进行分类，列举一部分和本期几何部分（主要是平行四边形） 的计算题、证明题，让我们共同来探究、解析. 一、以平行四边形搭建起来的图形 例 1. 中
2、，AB=4cm，AD=7cm, ABC 的平分线交 AD 于 E,交 CO 的延长线于 F,求 DF 的ABCD 长？ 分析： 本题要求的 长的途径有两条：其一. ；其二. .FDFCDFEA 采取第一途径可以少一些环节，根据平行四边形的性质和角的平分线的定义可以 比较容易得出 是等腰三角形，即 ；由于平行四边形BCB 的对边相等可以得出: .故,DA4cmA7c743cm 例 2.ABC、ADE 都是正三角形，CD=BF. （1） 、求证：ACDCBF （2） 、当 D 运动至 BC 边上的何处时，四边形 CDEF 为平行四边形，且DEF=30,并证明你的 结论. 分析： .证明ACDCBF
3、 已经有了 CD=BF，而ABC、ADE 都是正 三角形又可以给我们提供 条件，根,CABDCF60 据“ ”判定方法可以证得ACDCBF.SA .根据问的ACDCBF 得出 ,又ADE 是正三角形的 ,所以 ;DFEDE 要使四边形 CDEF 为平行四边形可以证 .CFDEA 若四边形 CDEF 为平行四边形，则 ；当 时，就有30EDB30 ,此时就能证得 .由正ADE 可以得出 ，则FCDEB A6 , ;由于等腰三角形具有“三线合一”的特征，所以当 D 运动A6039AB 至 BC 边上中点时，四边形 CDEF 为平行四边形. 练习： 1.如图,在 ABCD 中，AEBC,AFCD,E
4、AF=60，则B=（ ） ； 2. ABCD 的周长为 60，对角线 AC、BD 交于点 O,AOB 的周 长比BOC 的周长多 10，则 AD=（ ） ，DC=( )； 3. ABCD 中，ABC 的平分线 BE 交 AD 于 E 点，若ABE=25CD=5cm,BC=7cm,那么ABE=（ ） ，BED=（ ） ，AE=（ ）. 4. 已知 ABCD，BE=AB,BF =BD. 求证：CD=CM 5. ABC 是正三角形，AE=BD,DFCE,EFCD. 求证: AGF EAC 6.以ABC 的三边在 BC 的同侧做等边EBC、等边FBA、等边DAC. .判断四边形 FADE 的形状？ .
5、当BAC 为多少度时，四边形 FADE 为矩形？ .当BAC 为多少度时，四边形 FADE 不存在？ 7. 有一块如图的玻璃，不小心把 DEF 部分打碎，现在只测得 AB=60cm,BC=80cm，A=120， B=60，C=150，你能根据测得的数据计算 AD 的长？ 二、以矩形搭建起来的图形 例 1.D 为 ABCD 外一点，APC=BPD=90.求证: ABCD 为矩形 分析：判定矩形的方法主要有三种.但在已知了四边形 是平行ABCD MCD FBA E GF EA B CD F E DB CA DF E B CA O CB D PA FE AB CD FE DA CB 八数下期期末 专
6、题 复 习 和 训练 ：几何 计 算、 证 明 题 第 3 页（共 10 页） 第 4 页 （共 10 页） 四边形的情况下，要判定 是矩形的途径有两条：其一、找ABCD 一内角是直角；其二、找出对角线相等，即找出 .ACBD 由于本题的另一主要条件是APC=BPD=90，要根据题中条件和图形位置转换成四边形 的内角为 90比较困难，所以本题我们先想办法找出对角线相等，即找出 .ACBD 我们发现本题在 和 的两斜边的交点 恰好是平行四边形对角线的交点，PRttO 根据平行四边形对角线互相平分可知： 同时是 的中点；所以自然联想到连结 这O、 PO 条两直角三角形公共的中线（见图）.根据以上条
7、件，在 和 中就有：PRttAC2PO ,故 ,由对角线相等的平行四边形是矩形，可判定 是矩形.BDBD ABC 例 2. 矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，PEAC，PFBD， .求 PE+PF 的值？ .若点 是 上的一动点（不与 重合） ，还是作 PEAC，PFBD，则 PE+PF 的值是否PAAD、 会发生变化？为什么？ 分析：求线段的和或差我们会联想到证明中的“截长补短”法，但本题不具备这方面的条件. 本题从面积入手可以破题：如图连结 ,只要我们能求出 和 的面积之和问题便POAPOD 可以获得解决. 略解：.四边形 是矩形ABCD , , 90,1BD2C O 在 中，AB=
8、3，AD=4；并且根据勾股定理有： ，即 ，ABRt 22ABD2234 又 ，所以D0.=5 12 ，且,1OPEDOPF2S (过程略)ABCA344、 ,即+=AOD2S 1125PE25F3 .12PEF5 .不会发生变化.这是因为 的面积以及作为底边的 不会发AODP、 OAD、 生变化. 练习： 1. 矩形 ABCD 中，AF=DE.求证：BE=CF 2. 矩形 ABCD 中，BEAC，CFBD.求证：BE=CF 3. 矩形 ABCD 中，DF 平分ADC, BDF=15. 求DOC 与COF 的度数？ 4、矩形 ABCD 中，CEBD，则ACE 为等腰三角形吗？为什么？ 5.如图
9、，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，将ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在 AC 上的 点 B处，又将CEF 沿 EF 折叠，使点 C 落在 EB与 AD 的交点 C处则 BC：AB 的值为多少？ 三、以菱形搭建起来的图形 例 1. ABC 中，BAC=90，BD 平分ABC，AHBC 于 H 交 BD 于 E,DFBC 于 F,求证：四 边形 AEFD 是菱形 分析：判定菱形方法主要有三种，三种方法都可以使本题获得解决. 下面我们选择“四边都相等的四边形是菱形”这一途径来分析. 可以先根据角平分线的性质得出 ,进而容易证明ADF ,所以 ;再证明 ABDFBBEAF
10、 可以得到 （也可以利用等腰三角形的“三线合一” ） ；利用等角的余角相等可以推出E ,所以 ,于是 ,故四边形 是菱形.DEFD 例 2.（2012 中考自贡） 如图所示，在菱形 中， ， 为C,4BA120AEF 正三角形，点 分别在菱形的边 上滑动，且 不与 重合F、B、C、 .证明不论 在 D 上如何滑动，总有 ?EC、 E .当点 在 上滑动时，探讨四边形 的面积是否发生变化？如果不变，BAF 求出这 个定值. 分析： A B C DP E F O EFO D B C A EF D B C A ODCBA E C A B H DE F FCB E D B C A 八数下期期末 专题
11、复 习 和 训练 ：几何 计 算、 证 明 题 第 5 页（共 10 页） 第 6 页 （共 10 页） .先求证 ，进而求证 为等边三角形，得 进而ABCABCD、 =BAC60AB、 求证 ，即可求得EFEF .根据 可得 ;根据 四边形 =SSEFCFS = = 即可解得.S .证明：连接 AC，如下图所示. 四边形 为菱形，ABCDBA120 ,1E602EC6 2 和 都为等边三角形ABC =460、 在 和 中，EF12ABC3 ABCS .解：四边形 AECF 的面积不变. 理由：由得 ，则 .EAFBEACFS 故 四边形 = = = 是定值.SACB 作 于 点，则 来源:学
12、科网HBCBH2 四边形 SD21H43 练习： 1. 已知 ，添加下列一个条件：.ACBD；.BAD=90；.AB=BC；.AC=BD.AB 其中能使 是菱形的为（ ） A B C D. C 2.菱形 ABCD 中，E 为 AB 上的一点，CE 交 BD 于 F. 求证：.ABFCBF；.BEC=DAF. 3. 菱形的对角线的比是 2：3，周长为 cm，求菱形的面积？1304 4. 如图，平行四边形 的对角线 的垂直平分线与ABCDA 分别交于点 求证：四边形 是菱形 .DAC、 EOF、 FCE 5. 如图，菱形 ABCD 中，B=60，AB=2，点 E、F 分别是 AB、AD 上 的动点
13、，且满足 BE=AF，接连 EF、EC、CF求证：EFC 是等边三角形 6. 9、RtABC 中，ACB=90，BAC=60，DE 垂直平分 BC，且 AF=CE.求证：四边形 ACEF 为菱形 四、以正方形搭建起来的图形 例 1.正方形 ABCD 中，DCE 是等边三角形. .求AED 的度数？ .若 OF=1，求 AB 的长？ 分析：.根据正方形和等边三角形的性质综合可以得出 ,所,DAE90615 以得出： ,所以 .DAE11AED8053522 .根据正方形的性质综合可以得出 ,在 中，CBOFRt,FO45130OF1 所以 ,根据勾股定理可以求出 ,所以 .根据勾股2 213AC
14、BD23 定理或者面积公式可以得出： .又 .2A6.06 例 2、正方形 ABCD 的面积为 64，DE=2,P 为 AC 上的一动点； 求 PD+PE 的最小值？ 分析: 在一条直线同侧的两点，到直线某点的距离之和最小，按如图所 示作 的对称点 （根据正方形的对称性，对称点 恰好落在边 上）E EBC 连结 交 于点 ,根据轴对称的性质DACPDPDEP ,此时和是最小的. 根据正方形 ABCD 的面积为 64 可求得边长 ,所以 。所以C8826B A DCFE EFO DB CA E DA B C F FO EDA B C A B C D P E B C A FED 3 21E HC
15、A B DF 八数下期期末 专题 复 习 和 训练 ：几何 计 算、 证 明 题 第 7 页（共 10 页） 第 8 页 （共 10 页） CE6 根据正方形的性质和勾股定理可以求得： ;即 PD+PE 的最小22DEC8610 值为 10. 练习: 1.正方形 ABCD 中，DAF=25，如图所示则BEC=( ). 2.在ABC 中，B=C，D 为 BC 的中点，DEAB，DFAC,垂足分别为 E、F. .求证:BOECDF .当ABC 是直角三角形时，四边形 AEDF 是正方形？ 3. 如图，边长为 3 的正方形 ABCD 绕点按顺时针方向旋转 30后 得到的正方形 EFCG 交 AD 于
16、点 H, 四边形 =（ ）.SHFCD 4. 正方形 ABCD 中，其面积为 1，PDC 为正三角形，求PBD 的面积？ 5.E 为边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线上的一点，且 BE=BC,P 为 CE 上的一动点，PQBC，PRBE，求 PQ+PR 的值？ 6. 正方形 绕着正方形 点 向外（逆时针）旋转一定角度，AEFGABCD 连结 （见图）.BD、 .求证： .如果改成正方形 绕着正方形 点 向内（顺时针）旋A 转一定角度，连结 .那么 这个结论还成立吗？请画出示、EG 意图，并说明理由. 五、以梯形搭建起来的图形 例 1.RtABC 中， 分别为斜边 AB 和直角边 上的中点
17、，DFEC，求证：四边形ED、 AC EBFD 为等腰梯形. 分析：本题求证四边形 EBFD 为等腰梯形，就需要有且只有一组对比平行而另一组对 边相等但不平行. 根据 分别为斜边 AB 和直角边 上的中点可以推出 即ED、 ACDEBCAF 所以四边形 EBFD 为梯形；又 DFEC，所以四边形 EBFD 为平行四边形,所以 ；在 中， 分别为斜边 AB 上的中点，所以CFACBRtE12 ,所以 ;又 ，所以 ,故：四边形 EBFD 为等腰梯形.1B2DFEBF 2、如图在等腰梯形 ABCD 中,ADBC,AB=CD,折叠梯形 ABCD,使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF， 若 EFAC
18、，求证：DEBC 分析： 由图中的折叠可知 ,所以根据等腰三角形,=1423EB 的“三线合一”可知： . FD 根据等腰梯形的相关性质可以证得： ，则 ；ACDB15 由 可以进一步推出 ,则 ,在EFBDAC、 O90 中有 ；又 ；在 中，ORt154,145E .,8090EB 练习： 1. 梯形 ABCD 中，若D=90，ABDC，AB=BC=20cm，DC=4cm,AEBC， AE=（ ） ， 梯形 ABCD=（ ）.S 2.梯形 ABCD 中，ADBC,AB=DC,BE=2EA,CF=2FD,求证：BEC=CFB 3. .在等腰梯形 ABCD 中，若 ADBC，PA=PD，求证：
19、PB=PC .在上面的题目中的“等腰梯形 ABCD”设为另一个四边 形，其余条件不变，使 PB=PC 仍然成立.应改成一个什么样 的四边形，请画出图形，并写出已知、求证. 4.梯形 中， , 与 互余， ,则该梯形的面积ABCDBACAD5BC1360、 是多少？ A B C D E F CB A D P H GE F DAB C FG D A B C E FEDCB A 60 CDA B 八数下期期末 专题 复 习 和 训练 ：几何 计 算、 证 明 题 第 9 页（共 10 页） 第 10 页 （共 10 页） 5. 在等腰梯形 中， ,对角线 ,若 ,求等腰梯形ABCDBACBDA6BC9、 的高和面积. AOD B C
