1、江西省抚州市 2016 届九年级上学期期末数学试卷 一、选择题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 1在 RtABC 中，sinA= ，则 tanA 的值为（ ） A B C D 2如图所示，一个正方体被截去一个小正方体，则此立体图形的左视图是（ ） A B C D 3如图四个三角形，与如图中的三角形相似的是（ ） A B C D 4一个不透明的袋中有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小华在袋中放入 10 个除颜色外其 它完全相同的白球，每次摇匀后随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球 实验后发现，摸到白球的频率是 ，则袋中红球约为（ ）个 A4 B25 C1
2、4 D35 5用配方法将 写成 y=a（xh） 2+k 的形式正确的是（ ） A B C D 6在反比例函数 ，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，则二次函数 y=kx2+2kx 的图象大致是（ ） A B C D 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 7|sin601|= 8已知一元二次方程 x23x2=0 的两个根分别是 x1、x 2，则 x12x2+x1x22= 9在平面直角坐标系中，将抛物线 y=3x2 先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的抛 物线的解析式是 10如图，D 为ABC 的边 AB 上的点，请补充一个条件 ，使ADCACB 11若
3、 x：y=1：2，3y=2z，则 = 12如图，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的 F 处，如果 AB：AD=3：4，则 sinCEF= 13若函数 y=mx2+（m+2 ）x+ m+1 的图象与 x 轴只有一个交点，那么 m 的值为 14已知函数的 y= （m 0）图象如图所示，以下结论： m0； 在每个分支上 y 随 x 的增大而增大； 若点 A（1， a） ，点 B（2，b）在图象上，则 ab； 若点 P（x，y）在图象上，则点 P（x， y）也在图象上 其中正确的是 （填序号） 三、解答题（共 10 小题，满分 78 分） 15 （1）计算：2 1+（21
4、） 0 sin45 （2）解方程：x（x3）+2x6=0 16用无刻度的直尺画一条直线将图 、图 分成面积相等的两部分（保留作图痕迹） 17如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴和 y 轴上，点 B 的坐标为（ 4，6） ，双曲线 y= （x0）的图象经过 BC 的中点 D，且交 AB 于点 E （1）求反比例函数解析式和点 E 的坐标； （2）求 SAEO 182015 年 8 月抚州市赣东大道改造工程全面开启，经过某十字路口的汽车无法继续直行，只可 左转或右转，但电动车不受限制，现有一辆汽车和一辆电动车同时到达该路口： （1）请用“树状图” 或“列表法”列举出汽车和电动车行驶
5、方向所有可能的结果； （2）求汽车和电动车都向左转的概率 19我县为争创“城乡环境综合治理先进单位”，在 2009 年县政府对城区绿化工程投入资金是 2000 万元，2011 年投入资金是 2420 万元，且从 2009 年到 2011 年的两年间，每年投入资金的年平均增 长率相同 （1）求县政府对城区绿化工程投入资金的年平均增长率； （2）如果县政府投入资金的年平均增长率保持不变，那么在 2012 年需投入资金多少万元？ 20如图，位于 A 处的海上救援中心获悉，在其北偏东 45的方向有一艘渔船遇险，在原地等待救 援，该中心立即把消息告知在其北偏东 30相距 20 海里的 C 处救生船，并通
6、知救生船遇险船在它 的正东方向 B 处，现救生船沿着航线 CB 前往 B 处救援，若救生船的速度为 20 海里每小时，请问： 救生船到 B 处大约需要多长时间？（结果精确到 0.1 小时） 21已知：如图，D 是ABC 的边 AB 上一点，CNAB，DN 交 AC 于点 M，MA=MC 求证：AD=CN； 若 BAN=90 度，求证：四边形 ADCN 是矩形 22已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，B（3，0） ，且过点 C（0， 3） （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线 y=x 上，并写出平移后抛物线
7、的 解析式 23如图 1，是抛物线 y=ax2+bx+c（a0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴为直线 x=2，与 x 轴的一个交点是（1，0） ； （1）补充完下列结论：abc 0；4a 2b+c 0；b 24ac 0 （2）如图 2，当 a=1 时，一次函数 y=2x5 与 y=x2+bx+c 交于 A、C 两点，求不等式 2x5x 2+bx+c 的解集 （3）抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得 PB+PC 的值最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存 在，请说明理由 24如图 1，将三角板放在正方形 ABCD 上，使三角板的直角顶点 E 与正方形 ABCD 的顶点 A 重 合，三角板的
8、一边交 CD 于点 F另一边交 CB 的延长线于点 G （1）求证：EF=EG； （2）如图 2，移动三角板，使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，其他条件不变， （1） 中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立请说明理由； （3）如图 3，将（2）中的“正方形 ABCD”改为“矩形 ABCD”，且使三角板的一边经过点 B，其他 条件不变，若 AB=a、BC=b，求 的值 江西省抚州市 2016 届九年级上学期期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 1在 RtABC 中，sinA= ，则 tanA 的值为（ ）
9、A B C D 【考点】同角三角函数的关系 【分析】根据 sin2A+cos2A=1，tan=A ，可得答案 【解答】解：cosA= = ， tanA= = = ， 故选：A 【点评】本题考查了同角三角函数关系，利用 sin2A+cos2A=1，tan=A 是解题关键 2如图所示，一个正方体被截去一个小正方体，则此立体图形的左视图是（ ） A B C D 【考点】简单组合体的三视图 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案 【解答】解：从左边看是一个大正方形，在大正方形的右上角是一个虚线的小正方形， 故选：C 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到
10、的线用虚线 表示 3如图四个三角形，与如图中的三角形相似的是（ ） A B C D 【考点】相似三角形的判定 【分析】根据网格结构以及勾股定理可得所给图形是两直角边分别为 ，2 的直角三角形，然后 利用相似三角形的判定方法选择答案即可 【解答】解：根据勾股定理，所给图形的两直角边为 = ， =2 ， 所以，夹直角的两边的比为 = ， 观各选项，只有 C 选项三角形符合，与所给图形的三角形相似 故选 C 【点评】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理的应用，熟练掌握网格结构，观察出所给图形的 直角三角形的特点是解题的关键 4一个不透明的袋中有若干个红球，为了估计袋中红球的个数，小华在袋中放入 10
11、 个除颜色外其 它完全相同的白球，每次摇匀后随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球 实验后发现，摸到白球的频率是 ，则袋中红球约为（ ）个 A4 B25 C14 D35 【考点】利用频率估计概率 【分析】可根据“白球数量红白球总数=白球所占比例”来列等量关系式，其中“红白球总数=白球个 数+红球个数“， “白球所占比例 =随机摸到的白球次数 总共摸球的次数” 【解答】解：设盒子里有红球 x 个， 得： ， 解得：x=25 经检验得 x=25 是方程的解 故选 B 【点评】考查了利用频率估计概率的知识，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件， 找出合适的等量关系列出方
12、程，再求解，注意分式方程要验根 5用配方法将 写成 y=a（xh） 2+k 的形式正确的是（ ） A B C D 【考点】二次函数的三种形式 【专题】函数思想 【分析】化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全 平方式，把一般式转化为顶点式 【解答】解：由原方程，得 y= （x 26x）+1= （x 26x+9） +13= 2； 故选 C 【点评】本题考查了二次函数的三种形式二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y=ax 2+bx+c（a0，a 、b、c 为常数） ； （2）顶点式：y=a（xh） 2+k； （3）交点式（与 x 轴）：y=a（xx 1
13、） （x x2） 6在反比例函数 ，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，则二次函数 y=kx2+2kx 的图象大致是（ ） A B C D 【考点】二次函数的图象；反比例函数的性质 【分析】根据反函数的图象，y 随 x 的增大而减小，判定 k 的符号，由此即可判断二次函数的图 象 【解答】解：在反比例函数 ，当 x0 时，y 随 x 的增大而减小，故 k0，又对称轴 x= =1 故选 B 【点评】本题是形数结合的问题，根据函数图象的特点判断函数的增减性是需要熟练掌握的内容 二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 7|sin601|= 1 【考点】特殊角的三角函数值 【专
14、题】计算题 【分析】先把 sin60= 代入原式，再根据绝对值的性质进行解答即可 【解答】解：原式=| 1|， =1 故答案为：1 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值及绝对值的性质，熟知 sin60= 是解答此题的关键 8已知一元二次方程 x23x2=0 的两个根分别是 x1、x 2，则 x12x2+x1x22= 6 【考点】根与系数的关系 【分析】根据根与系数的关系求出 x1+x2=3，x 1x2=2，变形后代入求出即可 【解答】解：一元二次方程 x23x2=0 的两个根分别是 x1、x 2， x1+x2=3，x 1x2=2， x12x2+x1x22=x1x2（x 1+x2）=2 3=6
15、， 故单位为：6 【点评】本题考查了根与系数的关系的应用，注意：一元二次方程 ax2+bx+c=0（a、b、c 为常数， a0） ，当 b24ac0 时，一元二次方程的两个根 x1、x 2 具有这样的关系： x1+x2= ，x 1x2= 9在平面直角坐标系中，将抛物线 y=3x2 先向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的抛 物线的解析式是 y=3（x 1） 2+3 【考点】二次函数图象与几何变换 【分析】先根据抛物线的顶点式得到抛物线 y=3x2 的顶点坐标为（0，0） ，则抛物线 y=3x2 向右平 移 1 个单位，再向上平移 3 个单位得到的抛物线的顶点坐标为（1，3） ，然
16、后再根据顶点式即可得 到平移后抛物线的解析式 【解答】解：抛物线 y=3x2 的顶点坐标为（0，0） ， 抛物线 y=3x2 向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位得到的抛物线的顶点坐标为（ 1，3） ， 平移后抛物线的解析式为 y=3（x1） 2+2 故答案是：y=3（x 1） 2+3 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：先把抛物线的解析式化为顶点式 y=a（xk） 2+h， 其中对称轴为直线 x=k，顶点坐标为（k，h） ，若把抛物线先右平移 m 个单位，向上平移 n 个单位， 则得到的抛物线的解析式为 y=a（xk m） 2+h+n；抛物线的平移也可理解为把抛物线的顶点进行平
17、 移 10如图，D 为ABC 的边 AB 上的点，请补充一个条件 ADC= ACB（ACD=B 或 AC2=ADAB） ，使ADC ACB 【考点】相似三角形的判定 【专题】开放型 【分析】已知ADC 和ACB 中有一个公共角，我们可以再添加一个角，从而利用有两组角对应相 等的两个三角形相似来判定其相似 【解答】解：DAC= CAB， 当 ADC=ACB 或 ACD=B 或 AC2=ADAB 时， 均可得出ADC ACB 故答案为：ADC=ACB （ACD=B 或 AC2=ADAB） 【点评】本题考查了相似三角形的判定这是一道开放性的题，答案不唯一 此题用到的相似三角形的判定定理为： 两边及其
18、夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； 两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似 11若 x：y=1：2，3y=2z，则 = 4 【考点】比例的性质 【分析】根比例的性质得到 x、y、z 间的数量关系，则将其代入所求的代数式求值即可 【解答】解：x：y=1 ：2，3y=2z ， y=2x，y= ， z=3x， = =4 故答案是：4 【点评】本题考查了比例的性质，根据已知条件得到 y 与 x，z 与 x 间的数量关系是解题的关键 12如图，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的 F 处，如果 AB：AD=3：4，则 sinCEF= 【考点】翻折变换
19、（折叠问题） 【分析】首先设 AB=3x，AD=4x，然后由折叠的性质可得：AF=AD=4x，AFE= D=90，易证得 AFB=CEF，继而求得答案 【解答】解：设 AB=3x，AD=4x， 四边形 ABCD 是矩形， B=C=D=90， CEF+CFE=90， 由折叠的性质可得：AF=AD=4x，AFE= D=90， AFB+CFE=90， CEF=AFB， sinCEF=sinAFB= = = 故答案为： 【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识注意证得 CEF=AFB 是关键，注意掌握折叠前后图形的对应关系 13若函数 y=mx2+（m+2 ）x+
20、m+1 的图象与 x 轴只有一个交点，那么 m 的值为 0 或 2 或2 【考点】抛物线与 x 轴的交点；一次函数图象上点的坐标特征 【分析】当 m=0 时，函数为一次函数与 x 轴有一个交点，当 m0 时， =0 时，抛物线与 x 轴只有 一个交点 【解答】解：当 m=0 时，函数为 y=2x+1，其图象与 x 轴只有一个交点 当 m0 时，=0，即（m+2 ） 24m（ ）=0 解得：m=2 当 m=0，或 m=2 时，函数 y=mx2+（m+2）x+ m+1 的图象与 x 轴只有一个交点 故答案为：0 或 2 或2 【点评】本题主要考查的是抛物线与 x 轴的交点问题、一次函数图象上点的坐
21、标特征，分类讨论是 解题的关键 14已知函数的 y= （m 0）图象如图所示，以下结论： m0； 在每个分支上 y 随 x 的增大而增大； 若点 A（1， a） ，点 B（2，b）在图象上，则 ab； 若点 P（x，y）在图象上，则点 P（x， y）也在图象上 其中正确的是 （填序号） 【考点】反比例函数的性质 【分析】根据函数图象所在的象限判定 k 的符号和函数图象的增碱性 【解答】解：函数图象经过第二、四象限，则 m0，故正确； 如图所示，在每个分支上 y 随 x 的增大而增大，故正确； 如图所示，若点 A（1，a） ，点 B（2，b）在图象上，则 ab，故错误； 因为函数图象关于原点对称
22、，所以若点 P（x，y）在图象上，则点 P（x， y）也在图象上，故 正确 综上所述，正确的结论有： 故答案是： 【点评】本题考查了反比例函数的性质结合函数图象的增碱性和对称性来解题即可 三、解答题（共 10 小题，满分 78 分） 15 （1）计算：2 1+（21） 0 sin45 （2）解方程：x（x3）+2x6=0 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元二次方程-因式分解法；特殊角的三角函 数值 【分析】 （1）代入特殊角的三角函数值，将原式进行化简，即可得出结论； （2）将原方程展开整理后，借助十字相乘法，将方程进行化简，解方程即可得出结论 【解答】解：（1）原式= +1
23、， = +1 1， =0 （2）解：x 23x+2x6=0， （x3） （ x+2）=0， 解得 x1=3，x 2=2 【点评】本题考查了实数的运算以及解一元二次方程等知识，解题的关键是（1）先代入数据再化 简， （2）展开后利用因式分解法解方程 16用无刻度的直尺画一条直线将图 、图 分成面积相等的两部分（保留作图痕迹） 【考点】作图应用与设计作图 【分析】根据矩形是中心对称图形，故过对称中心的直线能把矩形分成面积相等的两部分，作图即 可 【解答】解：如图所示： 【点评】本题考查了作图应用与设计作图，解决此类题目的要首先要理解题意，弄清问题中对所 作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作
24、图的方法作图图形的面积；此题熟练掌握矩形的 性质，并能进行推理作图是解决问题的关键 17如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴和 y 轴上，点 B 的坐标为（ 4，6） ，双曲线 y= （x0）的图象经过 BC 的中点 D，且交 AB 于点 E （1）求反比例函数解析式和点 E 的坐标； （2）求 SAEO 【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数 k 的几何意义；反比例函数图象上点的 坐标特征 【分析】 （1）由 ABCD 为矩形，D 为 BC 中点，根据 B 坐标确定出 D 坐标，代入反比例解析式求 出中 k 的值，确定出反比例解析式，将 x=4 代入反比例解析式
25、求出 y 的值，确定出 E 坐标即可； （2）连结 EO，根据三角形面积公式即可求得 【解答】解：（1）四边形 ABCD 为矩形，D 为 BC 中点，B（4，6） ， D（ 2， 6） ， 将 D（2，6）代入 y= 得：k= 12， 反比例解析式为 y= ， 将 x=4 代入反比例解析式得：y=3， 则 E（4，3） ； （2）连结 EO，则 SAEO= AOAE= 43=6 【点评】此题考查了待定系数法确定函数解析式以及三角形面积，熟练掌握待定系数法是解本题的 关键 182015 年 8 月抚州市赣东大道改造工程全面开启，经过某十字路口的汽车无法继续直行，只可 左转或右转，但电动车不受限制
26、，现有一辆汽车和一辆电动车同时到达该路口： （1）请用“树状图” 或“列表法”列举出汽车和电动车行驶方向所有可能的结果； （2）求汽车和电动车都向左转的概率 【考点】列表法与树状图法 【分析】 （1）画树状图或列表即可得出汽车和电动车行驶方向所有可能的结果； （2）找出汽车和电动车都向左转的情况数，即可求出所求的概率 【解答】解：（1）列表的： 左 右 左 （左，左） （左，右） 直 （直，左） （直，右） 右 （右，左） （右，右） 由列表可知汽车和电动车行驶方向所有可能的结果有 6 种； （2）由（1）可得：汽车和电动车都向左转的概率 P= 【点评】此题考查了树状图法求概率解题的关键是根据
27、题意画出树状图，再由概率=所求情况数 与总情况数之比求解 19我县为争创“城乡环境综合治理先进单位”，在 2009 年县政府对城区绿化工程投入资金是 2000 万元，2011 年投入资金是 2420 万元，且从 2009 年到 2011 年的两年间，每年投入资金的年平均增 长率相同 （1）求县政府对城区绿化工程投入资金的年平均增长率； （2）如果县政府投入资金的年平均增长率保持不变，那么在 2012 年需投入资金多少万元？ 【考点】一元二次方程的应用 【专题】增长率问题 【分析】 （1）关系式为：2009 年县政府对市区绿化工程投入的资金（1+年平均增长率） 2=2011 年 县政府对市区绿化
28、工程投入的资金，把相关数值代入求得合适的解即可； （2）2012 年县政府对市区绿化工程投入的资金=2011 年县政府对市区绿化工程投入的资金（1+年 平均增长率） ，把相关数值代入计算即可 【解答】解：（1）设县政府对城区绿化工程投入资金的年平均增长率为 x，则列方程为： 2000（1+x） 2=2420， 得：x 1=0.1，x 2=2.1（不合题意，舍去） x=0.1=10% 答：县政府对城区绿化工程投入资金的年平均增长率为 10% （2）县政府 2012 年需投入资金为：2420（1+10%）=2662（万元） 【点评】考查一元二次方程的应用；得到 2 年后所需资金的关系式是解决本题的
29、关键 20如图，位于 A 处的海上救援中心获悉，在其北偏东 45的方向有一艘渔船遇险，在原地等待救 援，该中心立即把消息告知在其北偏东 30相距 20 海里的 C 处救生船，并通知救生船遇险船在它 的正东方向 B 处，现救生船沿着航线 CB 前往 B 处救援，若救生船的速度为 20 海里每小时，请问： 救生船到 B 处大约需要多长时间？（结果精确到 0.1 小时） 【考点】解直角三角形的应用-方向角问题 【分析】延长 BC 交 AN 于 D，则 BDAN，根据正弦和余弦的概念求出 AD、CD，根据等腰直角 三角形的性质求出 BD，计算求出 BC，根据时间=距离速度计算即可 【解答】解：延长 B
30、C 交 AN 于 D，则 BDAN， CAD=30， AC=20， AD=ACcos30=10 ，CD= AC=10， 又DAB=45 BD=AD=10 ， 则 BC=BDCD=10 10， = 0.4， 答：救生船到 B 处大约需要 0.4 小时 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、灵活运用锐角三角函 数的定义是解题的关键 21已知：如图，D 是ABC 的边 AB 上一点，CNAB，DN 交 AC 于点 M，MA=MC 求证：AD=CN； 若 BAN=90 度，求证：四边形 ADCN 是矩形 【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质 【专题】证明题 【分析】根
31、据两直线平行，内错角相等求出DAC=NCA，然后利用“ 角边角”证明AMD 和 CMN 全等，根据全等三角形对应边相等可得 AD=CN，然后判定四边形 ADCN 是平行四边形，再 根据平行四边形的对边相等即可得证； 利用有一个角是直角的平行四边形是矩形直接判断即可 【解答】证明：CN AB， DAC=NCA， 在AMD 和 CMN 中， ， AMDCMN（ASA） ， AD=CN， 又 ADCN， 四边形 ADCN 是平行四边形， AD=CN； BAN=90 度，四边形 ADCN 是平行四边形， 四边形 ADCN 是矩形 【点评】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与
32、性质，熟练掌握 平行四边形与矩形之间的关系，并由第一问求出四边形 ADCN 是平行四边形是解题的关键 22已知抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，B（3，0） ，且过点 C（0， 3） （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线 y=x 上，并写出平移后抛物线的 解析式 【考点】二次函数图象与几何变换；待定系数法求二次函数解析式 【分析】 （1）利用交点式得出 y=a（x1） （x 3） ，进而得出 a 的值，再利用配方法求出顶点坐标即可； （2）根据左加右减得出抛物线的解析式为 y=x2，进而得出答案 【解答】解
33、：（1）抛物线与 x 轴交于点 A（1，0） ，B （ 3，0） ， 可设抛物线解析式为 y=a（x1） （x 3） ， 把 C（0，3）代入得： 3a=3， 解得：a= 1， 故抛物线解析式为 y=（x1） （x 3） ， 即 y=x2+4x3， y=x2+4x3=（x2） 2+1， 顶点坐标（2，1） ； （2）先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，得到的抛物线的解析式为 y=x2，平移后抛物线 的顶点为（0，0）落在直线 y=x 上 【点评】此题主要考查了二次函数的平移以及配方法求二次函数解析式顶点坐标以及交点式求二次 函数解析式，根据平移性质得出平移后解析式是解题关键 23如
34、图 1，是抛物线 y=ax2+bx+c（a0）图象的一部分，已知抛物线的对称轴为直线 x=2，与 x 轴的一个交点是（1，0） ； （1）补充完下列结论：abc 0；4a 2b+c 0；b 24ac 0 （2）如图 2，当 a=1 时，一次函数 y=2x5 与 y=x2+bx+c 交于 A、C 两点，求不等式 2x5x 2+bx+c 的解集 （3）抛物线的对称轴上是否存在点 P，使得 PB+PC 的值最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存 在，请说明理由 【考点】二次函数综合题 【分析】 （1）由抛物线开口方向得到 a0，由抛物线的对称轴为直线 x= =2 得到 b0，由抛物 线与 y 轴的
35、交点在 x 轴下方得到 c0，所以 abc0；由 x=2 时，函数值为正数得到 4a2b+c0； 由抛物线与 x 轴有 2 个交点得到 b24ac0； （2）利用对称性求得 B 点坐标，利用交点式求得函数解析式，整理成一般形式，得出一次函数 y=2x5 与 y=x2+bx+c 交于 A、 C 两点，利用图象求得 2x5x 2+bx+c 解集即可； （3）利用对称性求得 C 点对称点 C的坐标为（2，7） ，进一步求得直线 BC解析式，确定点 P 的 坐标即可 【解答】解：（1）abc0；4a 2b+c0；b 24ac0； （2）由已知 B 为（ 1，0）关于直线 x=2 的对称点， B 点坐标
36、为（5，0） ， 抛物线的解析式为：y= （x+1） （x 5） ， 当 2x5=x24x5 时，x 1=0，x 2=6， 由图可知：0x6 为原不等式的解集； （3）存在点 P 理由如下：由（2）可知：当 x=6 时，y=7 C 点坐标为（6，7） ， C点为 C 点关于直线 x=2 的对称点，则 C的坐标为（2，7） ， 设直线 BC的方程为： y=mx+n， 则 ， 解得： ， 即 y=x+5， 当 x=2 时，y=3 即 P 点坐标为（ 2，3） 【点评】此题考查二次函数综合题，待定系数法求函数的解析式，一次函数与二次函数的交点问题， 利用图象解决不等关系，以及利用对称性求最短距离，综
37、合性较强 24如图 1，将三角板放在正方形 ABCD 上，使三角板的直角顶点 E 与正方形 ABCD 的顶点 A 重 合，三角板的一边交 CD 于点 F另一边交 CB 的延长线于点 G （1）求证：EF=EG； （2）如图 2，移动三角板，使顶点 E 始终在正方形 ABCD 的对角线 AC 上，其他条件不变， （1） 中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立请说明理由； （3）如图 3，将（2）中的“正方形 ABCD”改为“矩形 ABCD”，且使三角板的一边经过点 B，其他 条件不变，若 AB=a、BC=b，求 的值 【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质
38、；正方形的性质 【专题】压轴题 【分析】 （1）由GEB+ BEF=90， DEF+BEF=90，可得 DEF=GEB，又由正方形的性质，可 利用 ASA 证得 RtFEDRtGEB，则问题得证； （2）首先过点 E 分别作 BC、CD 的垂线，垂足分别为 H、P，然后利用 ASA 证得 RtFEPRt GEH，则问题得证； （3）首先过点 E 分别作 BC、CD 的垂线，垂足分别为 M、N，易证得 EMAB，ENAD，则可证 得CENCAD，CEMCAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得 GMEFNE，根据 相似三角形的对应边成比例，即可求得答案 【解答】 （1）证明：GEB+BEF=9
39、0 ， DEF+BEF=90， DEF=GEB， 在FED 和 GEB 中， ， RtFEDRtGEB， EF=EG； （2）解：成立 证明：如图，过点 E 作 EHBC 于 H，过点 E 作 EPCD 于 P， 四边形 ABCD 为正方形， CE 平分BCD， 又 EHBC，EPCD ， EH=EP， 四边形 EHCP 是正方形， HEP=90， GEH+HEF=90，PEF+HEF=90 ， PEF=GEH， RtFEPRtGEH， EF=EG； （3）解：如图，过点 E 作 EMBC 于 M，过点 E 作 ENCD 于 N，垂足分别为 M、N， 则MEN=90， EMAB，ENAD CENCAD，CEMCAB， ， ， ，即 = = ， NEF+FEM=GEM+FEM=90， GEM=FEN， GME=FNE=90， GMEFNE， ， 【点评】此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质此题综合 性较强，注意数形结合思想的应用
