1、北京市西城区 2014 2015 学年度第一学期期末试卷 高三数学（文科） 2015.1 第卷（选择题 共 40 分） 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出 符合题目要求的一项 1设集合 ， ，则集合 （ ）1,02A2|BxAB （A） （B） 1,（C） 0,12（D） 1,2 3在锐角 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c. 若 ， ，则（ 2b3sin4B ） （A） 3（B） 6（C） 3sinA（D） 2sin3A 4执行如图所示的程序框图，输出的 x 值为（ ） （A） （B） 5 （C） 6 （D） 7 2
2、设命题 ： ，则 为（ ）p2log0,xp （A） 2x（B） 2log0,x （C） log,x（D） a=2，x=3 开始 y x=x+1103x 输出 x 结束 否 是 5设函数 的定义域为 ，则“ ”是“函数 为奇函数”的（ ）()yfxR(0)f()fx （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 6. 某天，甲要去银行办理储蓄业务，已知银行的营业时间为 9：00 至 17：00，设甲在当天 13：00 至 18：00 之间任何时间去银行的可能性相同，那么甲去银行恰好能办理业务的概率 是（ ） （A） （B） （C） （D ）13
3、345845 8. 如图，在空间四边形 中，两条对角线 互相垂直，且长度分别为 4 和 6，平ABCD,ACBD 行于这两条对角线的平面与边 分别相交于点 ，记四边形 的,EFGHEF 面积为 y，设 ，则（ ） Ex= （A）函数 的值域为 ()f(0,4 （B）函数 的最大值为 8 yx （C）函数 在 上单调递减 ()f=2,3 （D）函数 满足 yx()1)fx=- 7 设抛物线 的焦点为 F，过 F 的直线与 W 相交于 A，B 两点，记点 F 到直线2:4Wyx= l： 的距离为 ，则有（ ）1x-d （A） |B （B） 2|d= （C） 2|d （D） | A B E C D
4、G H F 第卷（非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9. 复数 ，则 _.i1z|z 10设平面向量 满足 ， ， ，那么 的夹角 _.,ab|3|2b3a,ab 11一个四棱锥的三视图如图所示，那么这个四棱锥最 长棱的棱长为_. 12设 为双曲线 C： 的左、右焦点，且直线 为双曲线12,F 21(0,)xyab2yx C 的一条渐近线，点 P 为 C 上一点，如果 ，那么双曲线 C 的方程为12|4PF _；离心率为_. 13. 某小学教师准备购买 一 些签字笔和铅笔盒作为奖品，已知签字笔每支 5 元，铅笔盒每个 6 元，花费总额不能
5、超过 50 元. 为了便于学生选择，购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于 3 个，那么该教师有_种不同的购买奖品方案. 14. 设函数 3 |, 1,()log.xaf （1）如果 ，那么实数 _；f 侧(左)视图正(主)视图 俯视图 2 2 11 1 1 1 （2）如果函数 有且仅有两个零点，那么实数 的取值范围是_. ()2yfxa 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤 15 （本小题满分 13 分） 已知函数 ，xR .2()1sin()4fx （）求函数 的最小正周期； （）判断函数 在区间 上是否为增函数？并说明理由 .()fx,6
6、 16 （本小题满分 13 分） 已知数列 满足 ，且其前 项和 na25n2nSp （）求 的值和数列 的通项公式； pna （）设数列 为等比数列，公比为 ，且其前 项和 满足 ，求 的取值范nbpnnT5S1b 围 17 （本小题满分 14 分） 如图，在四棱柱 1DCBA中， 底面 ABCD， ， BCAD/，90 且 ， . 点 E 在棱 AB 上，平面 与棱 相交于点 F.12AD1E1 （）求证： 平面 ； 1F1 （）求证： 平面 ；ACD （）写出三棱锥 体积的取值范围. （结论不1BE 要求证明） B C A1 D1 D A B1 C 1 E F 18 （本小题满分 13
7、分） 最近，张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财. 现有两种投资方案，且一年后 投资盈亏的情况如下： （1） 投资股市： 投资结果 获利 不赔不赚 亏损 概 率 121838 （2） 购买基金： 投资结果 获利 不赔不赚 亏损 概 率 p13q （）当 时，求 q 的值；12p= （）已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小，求 的取值范围；p （）已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资，假设三种投资结 果出现的可能性相同，求一年后他们两人中至少有一人获利的概率 19 （本小题满分 14 分） 已知椭圆 C： 的右焦点为 F，右顶点为 A，离心率为 e，点 21
8、6xy 满足条件 .(,0)4Pm|AeP （）求 m 的值； （）设过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，记 和 的面积分别PFN 为 ， ，若 ,求直线 l 的方程.1S212S 20 （本小题满分 13 分） 对于函数 ，如果它们的图象有公共点 P，且在点 P 处的切线相同，则称函数(),fxg 和 在点 P 处相切，称点 P 为这两个函数的切点 .()fx 设函数 , .2()(0)fxab(lngx （）当 , 时, 判断函数 和 是否相切？并说明理由； 1a0b()fxg （）已知 ， ，且函数 和 相切，求切点 P 的坐标； （）设 ，点 P 的坐标为 ，问是否
9、存在符合条件的函数 和 ，使1(,)e()fxg 得它们在点 P 处相切？若点 P 的坐标为 呢？（结论不要求证明）2 北京市西城区 2014 2015 学年度第一学期期末 高三数学（文科）参考答案及评分标准 2015.1 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1B 2B 3A 4C 5B 6D 7A 8D 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9 10 2 23 11. 12 146 xy5 13 14 或 4 9 2(,3 注：第 12，14 题第一问 2 分，第二问 3 分. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 其他正确解答
10、过程，请参照评分标准给分. 15 （本小题满分 13 分） （）解：因为 2()1sin()4fxx 3co 分 ， 5sin2x 分 所以函数 的最小正周期 . 7()f T 分 （）解：结论：函数 在区间 上是增函数 . 9()fx,6 分 理由如下： 由 ， 22kxk 解得 ， 44 所以函数 的单调递增区间为 ， . 12()fx,4k()kZ 分 当 时，知 在区间 上单调递增，0k)(f, 所以函数 在区间 上是增函数. 13 分x6 16 （本小题满分 13 分） （）解：由题意，得 ， ， 1Sp24Sp 因为 ， ， 25a2a 所以 ，415Sp 解得 . 32 分 所以
11、 2nS 当 时，由 ， 5 1nnaS 分 得 . 7 分 22()()()43n n 验证知 时， 符合上式，11a 所以 ， . 843n*nN 分 （）解：由（） ，得 . 1011(2)() nnnbT 分 因为 ，5TS 所以 ， 21(2)5b 解得 1243 分 又因为 ，10b 所以 的取值范围是 1345(,0)(,)31 分 17 （本小题满分 14 分） （）证明：因为 1DCBA是棱柱， 所以平面 平面 . 又因为平面 平面 ，1EF 平面 平面 ，1ABCDA 所以 . 3 分F 又 平面 ， 平面 ，11E1BCE 所以 平面 . 6AB 分 （）证明：在四边形
12、ABCD 中， 因为 ， CD/,且 BA2， ， ，90 2D1AB 所以 ， .221AC21 所以 ， 所以 ，即 . 790 分 因为 平面 平面 ，1ABCDA， BCD 所以 . B C A1 D1 D A B1 C 1 E F 因为在四棱柱 1DCBA中， ，1/ 所以 . 91C 分 又因为 平面 ， ，1,1C1 所以 平面 . 11 分ACD （）解：三棱锥 的体积的取值范围是 . 14 分1BEF2,3 18 （本小题满分 13 分） （）解：因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三 种 且三种投资结果相互独立， 所以 + + =1. 2p13q
13、 分 又因为 ， 2= 所以 = 3q61 分 （）解：由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小， 得 ， 438q 分 因为 + + =1， p13 所以 ，解得 . 728q=- 分 又因为 ， ，13p+0q 所以 .2 所以 . 87243p 分 （）解：记事件 为 “一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利” ， 9 分A 用 ， ， 分别表示一年后张师傅购买基金“获利” 、 “不赔不赚” 、 “亏损” ，用 ，abc x ， 分别表示一年后李师傅购买基金“获利” 、 “不赔不赚” 、 “亏损” ，yz 则一年后张师傅和李师傅购买基金，所有可能的投资结果有 种， 它们是：3
14、9 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 10(,)ax,(,)az,bx(,)y,bz(,)cx,y(,)cz 分 所以事件 的结果有 5 种，它们是： ， ， ， ， .A(,)a,(,)az,bx(,) 11 分 因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率 . 13 分5()9PA 19 （本小题满分 14 分） （）解：因为椭圆 C 的方程为 ， 216xy 所以 , , , 24a3b2cab 分 则 ， ， . 312ce|FA|4Pm 分 因为 ，|4Pm 所以 . 58 分 （）解：若直线 l 的斜率不存在，则有 ，不合题意. 621S 分 若直线 l 的斜率存在，设直
15、线 l 的方程为 ， ， .)(xky),(1yM),(2xN 由 ),2(16xky 得 ， 722(43)16480kxk 分 可知 恒成立，且 ， . 8031621kx348162kx 分 因为 和 的面积分别为 ， ,PMFN11|SPFy22|SPFy 所以 . 9 分2|121yS 即 .1y 所以 ， ， 112y2121)(yy 分 则 ，2121 )()()()( xkxk 即 ，22 44 即 ，22)36(36486kkk 解得 . 135 分 所以直线 l 的方程为 或 . 14)2(5xy)2(5xy 分 20 （本小题满分 13 分） （）解：结论：当 , 时,函
16、数 和 不相切. 1 分1a0b()fxg 理由如下： 由条件知 ，2()fx 由 ，得 ， lng0 又因为 ， ， 2()2fx1()gx 分 所以当 时， ， ，0x()20fx1()0gx 所以对于任意的 ， . 当 , 时,函数 和 不相切. 31a0b()fx 分 （）解：若 ，则 ， ，()2fa1()gx 设切点坐标为 ，其中 ,st0s 由题意，得 ， 2ln ， 41as 分 由，得 ，(21)s 代入，得 . （*） 5ln 分 因为 ，且 ， 10(2)ass 所以 . 设函数 ， ，1()ln2xF1(,)2x 则 . 64() 分 令 ，解得 或 (舍). 7()0Fx1x4 分 当 变化时， 与 的变化情况如下表所示，()Fx1(,)2 1 (,)() 0 F 8 分 所以当 时， 取到最大值 ，且当 时 .1x()F(1)0 1(,)2x()0Fx 因此，当且仅当 时 . x 所以方程（*）有且仅有一解 .s 于是 ，ln0ts 因此切点 P 的坐标为 . 9 分(1,) （）解：当点 的坐标为 时，存在符合条件的函数 和 ，使得它们在点e()fxg 处相切； 11 分 当点 的坐标为 时，不存在符合条件的函数 和 ，使得它们在点 处P2(e,) ()fxgP 相 切. 13 分
